湖南省益阳市箴言中学2013-2014学年高二下学期第一次月考试题 数学(理) Word版含答案(打印1分)

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箴言中学 2012 级高二月考理科数学试题 高考资源网

第(Ⅰ)卷

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. )
1 1.因指数函数 y ? a x 是增函数(大前提),而 y ? ( ) x 是指数函数(小前提) ,所 3 1 以 y ? ( ) x 是增函数(结论) ” ,上面推理的错误是 ( ) 3 A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

2.对“a、b、c 至少有一个是正数”的反设是 ( A.a、b、c 至少有一个是负数 B. a、b、c 至少有一个是非正数 C.a、b、c 都是非正数 D. a、b、c 都是正数



3.已知复数 Z= 则 m= A.-5 C.3

4 ? 2i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x-2y+m=0 上, (1 ? i) 2

( B.-3 D.5

)

4.用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 3) ? 第一步验证 n ? 1 时,左边应取的项是 A.1 B. 1 ? 2 C. 1 ? 2 ? 3 D. 1 ? 2 ? 3 ? 4 5.若 x10 ? a0 ? a1( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 ? A.9 B.10 C. ? 9

(n ? 3)(n ? 4) (n ? N? ) 时, 2 ( )

( D. ?10



4 2 6.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是15,刮风的概率为15,既刮风又下 1 雨的概率为10,则在下雨天里,刮风的概率为 8 A.225 1 B.2 3 C.8 3 D.4 ( )

7. f ( x) 是定义在(0,+ ? )上的非负可导函数,且满足 x f ?( x) ? f ( x) ,对任意的
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正数 a.b 若 a<b,则必有 A.af(a) ? bf(b) C.af(b) ? bf(a)

( B. af(a) ? bf(b) D. af(b) ? bf(a)



8.某人射击一发子弹的命中率为 0.8,现在他射击 19 发子弹,理论和实践都表明,在这 19
发子弹中命中目标的子弹数 X 的概率满足 P(X=k)=Ck 0.8k· 0.219 k(k=0,1,2,?,19), 19·


则他射完 19 发子弹后,击中目标的子弹最可能是 A.14 发 C.16 发 B.15 发 D.15 发或 16 发

(

)

二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分. ) ??? ? ??? ? ??? ? 9.设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i, ?3 ? 2i, 那么向量 BA 对应的 复数是_______ 1 10.在 (2 x 2 ? )5 的二项展开式中,第 4 项的系数为 . x
0 ? x ? 2, ?5, 11.一物体在力 F ( x) ? ? (单位: N )的作用下沿与力 F 相同的方向, ?3 x ? 4, x ? 2

从 x ? 0 处运动到 x ? 4 (单位: m )处,则力 F ( x) 做的功为

焦.

12. 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项 目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 (用数字作答) 13. 在某次数字测验中,记座位号为 n (n=1,2,3,4)的同学的考试成绩为 f(n).若 f(n)∈{70,85,88,90,98,100},且满足 f(1)<f(2)≤f(3)<f(4),则这 4 位同学考试 成绩的所有可能有________种. 14.已知函数 f(x)=x -3x-1,若直线 y=m 与 y=f(x)的图像有三个不同的交点, 则 m 的取值范围是 .
3

15.如下图所示,对大于或等于 2 的自然数 M 的 n 次幂进行如下方式的“分裂” : 依次类推,2014 “分裂”中最大的数是
3

.

3 3

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第(II)卷

(答

卷) 座位号

一、选择题答题表: (每小题有且只有一个正确答案,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题答案: (每小题 5 分,共 35 分) 9、 10、 11、 12、 14 、 15、

13、

三、解答题: (6 道大题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知 ? ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,a、b、c 分 别为 ? ABC 所对的边。 1 1 3 求证: ? ? . (注:可以用分析法证明) a?b b?c a?b?c

17 . (本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD 是等腰梯形,
AB / / CD, AC ? BD, AC与BD交于O, PO ? 底面 ABCD , PO? 2, AB? 2 CD ? 2 2,

E、F 分别是 AB、AP 的中点.

(Ⅰ)求证: AC ? EF ; (Ⅱ)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.
P

F D C O E
(第 17 题图)

18.(本小题满分 12 分)益阳市箴言中学学校团委为三个年级 提供了“甲、乙、丙、丁”学雷锋的四个不同活动内容,每 A 个年级任选其中一个.求: (1)三个年级选择 3 个不同活动内容的概率; (2)恰有 2 个活动内容被选择的概率;
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B

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(3 选择甲活动内容的年级个数ξ的分布列

19.( 本 题 满 分 12 分 ) 数 列 ?an ? 中 , a1 ? ?

2 , 其 前 n 项 和 sn 满 足 3

sn ? ?

1 (n ? 2) , s n?1 ? 2

(1)计算 s1 , s 2 , s 3 , s 4 ;(2)猜想 sn 的表达式并用数学归纳法证明。

20.(本小题满分 13 分) 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经 成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千 m 套)与销售价格 x(单位:元/套)满足关系式 y= +4(x-6)2,其中 2<x<6,m x?2 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、 办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出 的套数),试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保 留一位小数)

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x ) ?
k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1

(Ⅲ)试证明: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e2 n?3

益阳市箴言中学高二月考理科数学答案
一、选择题 (本大题共 8 小题每小题 5 分,共 40 分) 1-4 ACAD 5-8 DCCD 二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.)
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9. 10. 11. 12. 13.

5 ? 5i
-40 36 60 35

14.(-3,1) 15.4058209 三、解答题 (本大题共六道题,共 75 分.). 16.(本小题满分 12 分)

17 (本小题满分 12 分) (Ⅰ) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

P

? EF / / PB,
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC,

F D O A E B C

? AC ? BD, PO ? BD ? O

? AC ? 面POB,
又 PB ? 面POB

? AC ? PB ? AC ? EF .
(Ⅱ)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1, 得
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A ? 0, ?2, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , D ? ?1, 0, 0 ? , P(0, 0, 2)
??? ? ??? ? OE ? (1, ?1, 0), OF ? (0, ?1,1),
设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y , z )

z
P

??

F D O A E B C

y

?? ??? ? ?? ? ?m ? OE ? 0 可 m ? (1,1,1) , ? ? ?? ??? ? ? ?m ? OF ? 0 ? 平面 OAE 的法向量为 n ? (0, 0,1)
? cos ? m, n ?? m.n m.n
18.(本小题满分 12 分)(1) (3) 0 1

x

?

3 3 由图形可知,二面角 F ? OE ? A 的余弦值为 3 3
3 8
2 3

(2)

9 16

ξ P
27 64 27 64 9 64
1 64

19.(本小题满分 12 分) 解:(1)S2 ? ? , S3 ? ? , S4 ? ?

n ?1 下面用数学归纳法证明: n?2 (Ⅰ)n=1时显然成立 (2)猜测Sn =(Ⅱ)假设n=k时成立,即Sk = -

3 4

4 5

5 6

k ?1 , 那么当n=k+1时 k ?2 1 1 k ?2 Sk+1 ? ? ?? ?? k ?1 Sk ? 2 k ?3 ?2 k?2 即n ? k ? 1时命题成立 综合(Ⅰ)(Ⅱ)Sn =n ?1 对一切n ? N*成立 n?2

20. (本小题满分 13 分)

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21. (本小题满分 14 分)

1 ? ln( x ? 1)] x ? 1 解: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ?( x) ? ? ? 0, x2 [
故 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是减函数

k x ?1 [1 ? ln(x ? 1)]在 (0, ??) 上恒成 恒成立,即 k ? x ?1 x x ? 1 ? ln( x ? 1) x ?1 立,取 h( x) ? , [1 ? ln( x ? 1)] ,则 h( x) ? x2 x 1 x 再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? ? ? 0, x ?1 x ?1
(Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x ) ? 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3), a ?1 ? ln(a ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, a ) 时, g ( x) ? 0; x ? (a, ??) 时, g ( x) ? 0,
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a ?1 ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), k ? 3, 故 kmax ? 3 a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 (Ⅲ)由(Ⅱ)知: ? ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? x x ?1 x ?1 x ?1 x
故 h( x)min ? 令 x ? n(n ? 1), ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ?

3 1 1 ? 2 ? 3( ? ), n(n ? 1) n n ?1

又 ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1))]

? ln(1 ? 1? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ? ? ? ln(1 ? n ? (n ? 1))

1 1 1 1 1 ? 2n ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1
即: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e
2 n ?3

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