最新2019-2020人教A版高中数学必修四课件2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》优质课件_图文

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1、平面向量的坐标表示与平面向量分 解定理的关系。
2、平面向量的坐标是如何定义的?
3、平面向量的运算有何特点?

类似地,由平面向量的分解定理,对于平面上的

任意向量,→a均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a1

和使λ得a2→2

→a =λ1→a1 +λa2→2

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底 时,会为我们研究问题带来方便。
我们知道,在平面直角坐标系,每一 个点都可用一对有序实数(即它的坐 标)表示,对直角坐标平面内的每一 个向量,如何表示?

a=xi+yj

我们把(x,y)叫做向量a的(直

y

角)坐标,记作

yj

j

→a a=(x,y), 其中x叫做a在x轴上的坐标,y

O →i xi x 叫做a在y轴上的坐标,(x,y)

叫做向量的坐标表示。

图1
→i= (1,0)

其中i,j为向量→i,→j

→j= (0,1) →0= (0,0)

y
yj a
j O i xi x

图1

其中xi为xi→,yj为yj→

如图,在直角坐标平面内,以原

点O为起点作OA=a,则点A的位

y

置由a唯一确定。

y A(x,y) 设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标;反过来,

ja

点A的坐标(x,y)也就是向量OA

Oix

x 的坐标。因此,在平面直角坐标

系内,每一个平面向量都可以用

一对实数唯一表示。

例1如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、 d,并求出它们的坐标。

y

A2

解:由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

b
A j Oi

∴a=(2,3) a
A1 同理,b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
x

c

d=2i-3j=(2,-3)
d

已知,→a=(x1,1y) 你能得出,→a,+→b
的坐标吗?


b=(x,22y) →ab-→ λ→a

已知,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说,两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。

结论: 一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

y A(x1,y1)
O

如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB=OB-OA
B(x2,y2)
=(x2,y2)-(x1,y1)
x
=(x2-x1,y2-y1)

你能在图中标出坐标为的(xP2点-吗x1?,y2 - y1)

y A(x1,y1)
O

B(x2,y2)
x
P

已知a=(x,y)和实数λ,那么
λa=λ(x,y) 即
λa=(λx,λy)
? 这就是说,实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。

例2已知a=(2,1),b=(-3,4), 求a+b,a-b,3a+4b
例3已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为(-2,1)、 (-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标

例4已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为(-2,1)、(-1, 3)、(3,4),求顶点D的坐标

平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=(3,7),AB=(-2,1),求OB坐标。

问题: 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零 向量,那共么可线以向知量道如,a何//b用的坐充要标条来表 示呢件?是存在一实数λ,使
a=λb 这个结论如果用坐标表示,可写为 (x1,y1)=λ(x2,y2) 即x1=λx2 y1=λy2

消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说,a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0

练习:下列向量组中,能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底,正确 的有()
(1)e1=(-1,2),e2=(5,7)
(2)e1=(3,5),e2=(6,10)
(3)e1=(2,-3),e2=(1/2,-3/4)

例5、已知a=(4,2),b=(6,y), 且a//b,求y的值。

例6、已知A(-1,-1),B(1,3),C(2, 5),判断A、B、C三点的位置关系。
C B A


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