【2019年整理】111常数项级数的概念和性质_图文

第十一章 无穷级数
无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分,是

高等数学的重要内容,同时也是有力的数学工具,
在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用,在 自然科学和工程技术领域有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函

数项级数——幂级数和三角级数,主要围绕三个问
题展开讨论:①级数的收敛性判定问题,②把已知 函数表示成级数问题,③级数求和问题。

§11.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1

R

正十二边形的面积 a1 ? a2
n 正 3 ? 2 形的面积 a1 ? a2 ? ? ? an

即 A ? a1 ? a2 ? ? ? an 1 3 3 3 3 2. ? ? ? ? ?? n ? ? 3 10 100 1000 10

3.常数项无穷级数的概念 一般地,如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,? , un ,? 则由这数列构成的表达式 u1 ? u2 ? u3 ? ?? un ? ?

叫做(常数项)无穷级数,记为
?

?u
n ?1

?

n

? u ? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? 其中第 n项 un叫做级数的一般项。

n ?1 n

4.(常数项)无穷级数的部分和


s1 ? u1 , s2 ? u 1 ? u2 , s3 ? u1 ? u2 ? u3 ,

?, sn ? u1 ? u2 ? ? ? un
这样所得到的数列
数的部分和

?sn ?叫做级数的部分和数列,?sn ?叫做级

5.级数收敛的概念 ? 定义 如果级数 ? u n 的部分和数列{sn } 有极限 s , 即

lim sn ? s
n ??
?

n ?1

则称无穷级数

?u
n ?1

?

n

收敛,这时极限 s

叫做这级数的和;如果

?u
n ?1

{sn }没有极限,则称无穷级数

n

发散。

当级数收敛时,称

rn ? s ? sn ?

i ? n ?1

?u

?

i

? un?1 ? un? 2 ? ?

为级数的余项,这时 Sn ? S , rn 为近似值产生的误差

例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) ? n? 0 ?

的收敛性.



如果q ? 1时
sn ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n?1

a ? aq n a aqn ? ? ? , 1? q 1? q 1? q n a ? lim q ? 0 当q ? 1时, ? lim sn ? n? ?
n? ?

1? q n sn ? ? 发散 ? lim q ? ? ? lim 当q ? 1时, n? ? n? ?

收敛

如果 q ? 1时
当q ? 1时,
sn ? na ? ?

发散

当q ? ?1时, 级数变为a ? a ? a ? a ? ?
? lim sn不存在
n? ?

发散

?当q ? 1时, 收敛 综上 ? aq ? n? 0 ?当q ? 1时, 发散
? n

例2

判别无穷级数

1 1 1 ? ??? ? ? 的收敛性. 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)

1 1 1 1 解 ? un ? ? ( ? ), 2 2n ? 1 2n ? 1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 ? sn ? ? ? ?? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ), 2 2n ? 1 1 1 1 ? lim sn ? lim (1 ? )? , n?? n?? 2 2n ? 1 2
例3 证明级数 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 是发散的。

1 ? 级数收敛, 和为 . 2

二、收敛级数的基本性质
性质 1 如果级数

?u
n ?1

?

n 收敛, 则

kun 亦收敛. ? n ?1

?

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.

性质 2 设两收敛级数 s ?
?

un , ? ? ? v n , ? n ?1 n ?1

?

?

则级数

( un ? v n ) 收敛, 其和为 s ? ? . ? n ?1

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

性质 3

若级数

?u
n ?1

?

n

收敛,则

n? k ?1

?u

?

n 也收敛

( k ? 1) .且其逆亦真.
证明

uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? ? ? n ? uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? sn? k ? sk , 则 lim? n ? lim sn? k ? lim sk
n? ? n? ? n? ?

类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.

性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.

事实上,对级数

( u1 ? ? ? u p1 ) ? ( u p1 ?1 ? ? ? u p2 ) ? ? ? ( u pk ?1 ?1 ? ? ? u pk ) ? ?
若记

un ? n ?1

?

任意加括号

bk ? u pk ?1 ?1 ? ? ? u pk
bk ? k ?1 bk 的部分和记为 ? k ? k ?1
? ?

则加括号后级数成为


un ? n ?1

?

的部分和为 sn

则 ? k ? s pk
n? ?

由数列和子数列的关系知

lim ? k 必定存在 lim sn 存在, k ?? lim ? k ? lim sn 且 k n? ? ??

注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?
收敛 发散

1?1?1?1??

推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.

性质5(级数收敛的必要条件)
如果级数

? u 收敛,则它的一般项趋于零,即 lim u
n ?1 n

?

证明

? s ? ? un
n ?1

?

n??

n

?0

则 un ? sn ? sn?1 ,

? lim un ? lim sn ? lim sn?1 ? s ? s ? 0. n? ? n? ? n? ?
注 1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。
2)若 lim 3)若 ,则级数 u ? 0 n n ??

?u
n ?1 ? n ?1

?

n

发散。 不一定收敛。

lim u n ? 0 ,则级数
n??

? un

注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n 例如 ? ? ? ?? ?? 2 3 4 n?1

发散

2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n

有 lim un ? 0, 但级数是否收敛 ?
n? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ??? ( m ? m ? ? ? m ?1 ) ? ? 2 ?1 2 ? 2 2

1 每项均大于 2

m 即前m 项大于 2

? 级数发散 .

由性质4推论,调和级数发散.

小结
常数项级数的基本概念

基本审敛法
1. 由定义, 若sn ? s , 则级数收敛;

2. 当 lim un ? 0, 则级数发散;
n??

3. 按基本性质.

§11.2

常数项级数的审敛法

在研究级数时,中心问题是判定级数的敛散性, 如果级数是收敛的,就可以对它进行某些运算,并设 法求出它的和或和的近似值。但是除了少数几个特殊 的级数,在一般情况下,直接考察级数的部分和是否 有极限是很困难的,因而直接由定义来判定级数的敛 散性往往不可行,这就要借助一些间接的方法来判定 级数的敛散性,这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论

一、正项级数及其审敛法 1. 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 2. 正项级数的基本定理

定理1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数 列有界。 结论:正项级数的部分和数列有界, 则正项级数一定 收敛; 反之, 若正项级数的部分和数列无界, 则 正项级数一定发散.

3. 正项级数的比较审敛法
? n ?1

定理2(比较审敛法) 设? u n 和? vn 都是正项级数, 且
?

?

un ? vn (n ? 1,2,?) 。若级数 ? vn 收敛,则级数
收敛;若级数
? ? n ?1

n ?1 ?

n ?1

? un

? u n 发散,则级数 ? vn 也发散。
n ?1 ?

?

n ?1

?

推论1 设 使当 n ? 则级数
?

n ?1

? vn 都是正项级数, 且存在自然数N, ? un 和 n ?1
时有 un

N

? kvn (k ? 0) 成立,若级数 ? vn
? n ?1 ? n ?1 n ?1 n

收敛,

n ?1

? un

收敛;若级数 ? u n 发散,则级数 ? v 也发散。

例 1 讨论 P-级数

1 1 1 1 1 ? p ? p ? p ? ? ? p ? ?的收敛性.( p ? 0) 2 3 4 n 1 1 设 p ? 1, ? p ? , 则P ? 级数发散. 解 n n y
n dx 1 设 p ? 1, 由图可知 p ? ?n?1 p n x 1 1 1 sn ? 1 ? p ? p ? ? ? p 2 3 n o 2 dx n dx ? 1 ? ?1 p ? ? ? ?n?1 p x x

y?

1 ( p ? 1) xp

1

2

3

4

x

? 1 ? ?1

n

1 1 1 dx ? 1? (1 ? p?1 ) ? 1 ? p p?1 n p?1 x

即sn有界,

则P ? 级数收敛.

?当p ? 1时, 收敛 P ? 级数? ?当p ? 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.

例 2 证明级数

? n ?1

?

1 是发散的. n( n ? 1)

1 1 ? 1 ? ? , 证明 而级数 ? 发散, n( n ? 1) n ? 1 n ?1 n ? 1 ? 1 ? 级数 ? 发散. n?1 n( n ? 1)

比较审敛法是一基本方法,虽然有用,但应用起 来却有许多不便,因为它需要建立定理所要求的不等 式,而这种不等式常常不易建立,为此介绍在应用上 更为方便的极限形式的比较审敛法

4.比较审敛法的极限形式:

un ? l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n? ? v n n ?1 n ?1

?

?

?

?

则(1) 当 0 ? l ? ??时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当 l ? 0 时,若

v n 收敛, 则 ? un 收敛; ? n ?1
n ?1

?

?

(3) 当 l ? ?? 时, 若

? v n 发散,则? un 发散;
n ?1 n ?1

?

?

un 证明 (1) 由lim ? l n? ? v n

l 对于? ? ? 0, 2

l un l ? N , 当n ? N时, l ? ? ? l ? 2 vn 2

l 3l 即 vn ? un ? vn 2 2

(n ? N )

由比较审敛法的推论, 得证.

例 3 判定下列级数的敛散性:

1 (2) ? n ; n ?1 3 ? n 1 sin n ? 1, 原级数发散. 解 (1) ? lim n sin 1 ? lim n? ? n n? ? 1 1 n n 1 3 ? n ? 1, ? lim ( 2) ? lim n? ? 1 n? ? n 1? n n 3 3 ? 1 ? ? n收敛 , 故原级数收敛. n ?1 3

1 (1) ? sin ; n n ?1

?

?


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