黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中考试试题 数学理 Word版含答案

哈尔滨市第六中学 2014-2015 学年度上学期期中考试 高二理科数学试卷
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的 1.已知点 A(?2, 0) ,点 B(2, 0) ,若 kMA ? kMB ? ?1 ,则动点 M 的轨迹方程为( A. x2 ? y 2 ? 4 ( x ? ?2) B. x2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? y 2 ? 4 ( x ? ?2) )

D. x2 ? y 2 ? 4 )

2.“ m ? 0, n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A. 充分不必要条件
2 2

B.必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,它的一个焦点在抛 2 a b

2 2

物线 y 2 ? 12 x 的准线上,则此双曲线的方程为(

x y A. ? ?1 3 6

2

2

x y B. ? ?1 6 3

2

2

x y C. ? ?1 12 24


x y D. ? ?1 24 12
D. 六棱锥

2

2

4.如果一个棱锥的所有棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥

5.下列命题正确的个数是( ) ①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面 ③有三个公共点的两个平面必重合 ④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共 面 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6.已知一个三棱锥的高为 3 ,其底面用斜二测画法所画出 的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三 角形(如右图所示) ,则此三棱锥的体积为( ) A. 2 B. 6 2 C.

1 3

D. 2 2

7. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图(1)所示,则该几何体的侧视图为 (



侧视→

图1

(A )

(B )

(C)

(D)

8.若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a) ? x ? (a ? 2)? ? 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. [?1, 0] C. (?1, 0) D. (??, ?1)

A. (? ?, 0] [1, ??)

(0, ??)

9.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F1 , F2 为左、右焦点, A1 , A2 , B1 , B2 分别是其左、右、下、 a 2 b2


上顶点, 直线 B1F2 交直线 B2 A2 于 P 点, 若 P 点在以 B1 A2 为直径的圆周上, 则椭圆离心率 ( A.

2 ?1 2

B.

5 ?1 2

C. )

2 2

D.

3 2

10.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ”的逆命题为真命题 B.已知命题 p :函数 f ( x) ? tan x 的定义域为 ?x | x ? k? , k ? Z? , 命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

则命题 p ? q 为真命题

C.“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2 与直线 y ?
2

a x— ? 1 垂直”的必要不充分条件 4

D.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定形式是真命题 11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( A. 8 ? 3 B. 10 ? 3 C. 12 ? 3 D.12 )

x y 12. 过 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0)的 左 焦 点 F (?c, 0) 作 圆 a b

2

2

x2 ? y 2 ? a2的 切 线 , 切 点 为 E , 延 长 FE 交 抛 物 线 y 2 ? 4 cx 于 点 P , O 为 原 点 , 若
OE ? 1 (OF ? OP ) ,则此双曲线的离心率为( 2


A.

1? 5 2

B.

1? 3 2

C.

4 2 ?2 7

D.

4 2 ?2 7

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.在极坐标系中, 已知两点 A, B 的极坐标分别为 (3,

?

) 、(4, ? )(其中 O 为极点) , 则 ?AOB 3 6

?

的面积为 14.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M , 若圆 M 的 3 ? O 面积为 ,则球 的表面积为 15.在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C : x2 ? ?2 py ( p ? 0) 的焦点 F , 点 M ( p,yM ) 在曲线 C 上,若以点 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆 M 面积为 36? ,则 p ?
1 2 1

16.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为 2 ,则该几何体的体积为

2
正视图 1 2 1 侧视图

3

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤
2 17.(本小题满分 10 分)已知圆的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos(? ?

?
4

)?6 ?0

(1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若点 P( x, y) 在该圆上,求 x ? y 的最大值与最小值.

? x2 ? 4x ? 3 ? 0 18.(本小题满分 12 分)已知 p :不等式组 ? 2 的解集 ?x ? 6x ? 8 ? 0
q :不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 的解集
若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 已知圆锥曲线 C : ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数)和定点 A(0, 3) , F1 , F2 是此圆锥曲线的左、右 ? ? y ? 3 sin ?

焦点 (1)以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程; (2)经过 F 1 ? NF 1 的值. 2 垂直的直线交此圆锥曲线于 M , N 两点,求 MF 1 且与直线 AF

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 椭圆上(1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且点 (1, ) 在该 2 2 2 a b
6 2 ,求 7

?AOB 的面积为 l (2)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 与椭圆相交于 A, B 两点,若
圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知动圆过定点 A(4, 0) 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程;

( 2 )已知点 B(?1, 0) ,设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q , 若 x 轴是

?PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点.
22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的两条渐近线分别为 l1 , l2 .过 ,双曲线 a 2 b2 a 2 b2

椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l2 交于点 P ,设直线 l 与椭圆 C 的两个交点由 上至下依次为 A, B (1)若 l1 与 l2 夹角为 60 ,且双曲线的焦距为 4 ,求椭圆 C 的方程; 一、 1.C (2)求 2.B

FA AP
3.A

的最大值. 选择题(5 ? 12=60) 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A

二、填空题(5 ? 4=20) 13. 6 14. 16? 15. 6 16.

24 ?

3? 2

17.(1) x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ——————(5 分)
2 2

(2) ( x ? y)min ? 2,( x ? y)max ? 6 ------------------(10 分) 18. p : 2 ? x ? 3 , q : ?

? f (2) ? 0 f 3) ?0 ?(

? a ? 9 ————————(12 分)

19.(1) 3? cos? ? ? sin ? ? 3 ? 0 即 2 ? sin(? ? ( 2 ) k MN ?

?
3

) ? 3 -------------(5 分)

3 , 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 曲 线 , 13t 2 ?12 3t ? 36 ? 0 , 3
12 3 13 (12分)

MF1 ? MF2 ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ?

x2 y 2 ? ? 1 ————(4 分) 20.(1) 4 3
(2)(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 联立,韦达定理, ? ? 0 显然成立------------------(6 分)

AB ?

12(k 2 ? 1) ——————————(8 分) 3 ? 4k 2

S?AOB ?
?r ?

6 k 1? k 2 6 2 , 17k 4 ? k 2 ?18 ? 0, k 2 ? 1 ? 2 3 ? 4k 7
(12分)

(10分)

1 2 ?圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 2

21 、 ( 1 )设动圆圆心 O1 ( x, y) ,由题意, O1 A ? O1 M ,当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作

O1 H ? MN 于 H ,则 H 是 MN 的中点
所以 O1 M ?

x 2 ? 42 ,又 O1 A ? ( x ? 4) 2 ? y 2
x 2 ? 42 ,化简得 y 2 ? 8x( x ? 0)
2

2 2 所以 ( x ? 4) ? y ?

又当 O1 在 y 轴上时, O1 与 O 重合,点 O1 的坐标 (0, 0) 也满足方程 y ? 8x , 所以动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y ? 8x .
2

(2)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0) , P( x1 , y 1 ), Q( x2 , y 2 ) , 将 y ? kx ? b 代入 y ? 8x 中,得 k x ? (2kb ? 8) x ? b ? 0 ,
2 2 2 2

其中 ? ? ?32kb ? 64 ? 0 。由根与系数的关系得 x1 ? x2 ?

b2 8 ? 2kb ①, x1 x2 ? 2 ②, k2 k

因为 x 轴是 ?PBQ 的角平分线,所以

y1 y ?? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

即 y1 ( x2 ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ? 0 , (kx1b)( x2 ? 1) ? (kx2b)( x1 ? 1) ? 0 ,

2kx1 x2 ? (b ? k )( x1 ? x2 ) ? 2b ? 0 ③
将①②代入③,得 2kb2 ? (k ? b)(8 ? 2kb) ? 2k 2b ? 0 , 所以 k ? ?b ,此时 ? ? 0 , 所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,所以直线 l 过定点 (1, 0)
x a 2 2 ? y b 2 2 ? 1 ,所以双曲线的渐近线方程为 y ? ?

22、 (1)因为双曲线方程为 因为渐近线的夹角为 60 且

b x a

(1 分)

b ? 1 ,所以 ?POF ? 30 a
(2 分)

所以

b 3 ? tan 30 ? a 3

2 2 2 所以 a ? 3b .因为 c ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,所以 a ? 3, b ? 1 .

所以椭圆 C 方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(5 分)

(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 的方程为 y ?

b (x ? c) ,其中 c ? a2 ? b2 .因为直线 l2 的方程为 a
(6 分)

y?

a 2 ab b x ,联立直线 l 与 l2 的方程解得点 P ( , ) a c c
? ? ,则 FA ? ? AP .因为 F (c, 0) ,设 A( x0 , y0 ) ,



FA AP

则有 ( x0 ? c, y0 ) ? ? (

a2 ab ? x0 , ? y0 ) c c
(8 分)

解得 x0 ?

c2 ? ? a2 ? ab , y0 ? c(1 ? ? ) c(1 ? ? )
x a 2 2
?

因为点 A( x0 , y0 ) 在椭圆 即

y b

2 2 ? 1 上,所以

(c2 ? ? a 2 )2 (? ab)2 ? ? 1, a 2 c 2 (1 ? ? )2 b2 c 2 (1 ? ? )2
等 式 两 边 同 除 以

(c2 ? ? a2 )2 ? ? 2 a4 ? (1 ? ? )2 a2 c2



a4



(e2 ? ? )2 ? ? 2 ? e2 (1 ? ? )2 , e ? (0,1)
所以

e2 ? e4 2 2 ? ? ? ?(2 ? e2 ? ) ? 3 ? ?2 (2 ? e2 ) ? 3 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ( 10 2 2 2 2?e 2?e 2?e
2

分)
2 所以当 2 ? e ?

FA 2 ? 2 ? 1 , 即 时 取得最大值 , 故 的最大值 2 ? 1 (12 e ? 2 ? 2 AP 2 ? e2

分)

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