黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中考试试题 数学文 Word版含答案

哈尔滨市第六中学 2016 届期中考试 高二文科数学试卷
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工 整, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答 题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是 符合题目要求的. 1.已知 p : x ? 1 ? 4 , q : x2 ? 5x ? 6 ,则 p 是 q 成立的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知下列命题: ① 命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” ② 命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0. ③ 若 p ? q 为真命题,则 p, q 均为真命题 ④ “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 其中,真命题的个数有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 3.已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y;命题q : 若x ? y, 则x ? y .
2 2

(

)

? q 中,真命题是 在命题① p ? q; ②p ? q; ③p ? (?q); ④(?p) ( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4.已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形, 则该三棱锥的侧视图可能为 ( )

)

5.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是 半圆) ,根据图中标出的尺寸,可得几何体的表面积 是(单位: cm 2 ) A. 4 ? 2? B. 6 ? 2? C. 4 ? 3? ( ) D. 6 ? 3? ( )

6.若椭圆 2kx 2 ? ky 2 ? 1 的一个焦点是 (0,?4) ,则 k 的值是 A.

1 32

B.

1 8

C.8

D.32

7. 已知双曲线 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2, 若抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0? 的 2 a b 焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, 则抛物线 C2 的方程为 ( )
A. x 2 ?

8 3 16 3 B. x 2 ? C. x2 ? 8 y D. x 2 ? 16 y y y 3 3 2 2 x y 8.双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的 a b 直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( )
A. 6 B. 3 C. 2 D.

3 3

9.已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,以坐标原点 O 为 a 2 b2 2 圆心, OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P ,则当 ?PF1F2 的面积等于 a 时,
双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. ( )

6 2

D.2

10.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C 1 的方程为

x2 y2 x2 y2 C ,双曲线 的方程为 ? ? 1 ? ? 1, 2 a2 b2 a2 b2
( D. 2 x?y? 0 )

C 1 与 C 2 的离心率之积为
A. x ? 2 y ? 0 11.双曲线

3 2

,则 C2 的渐近线方程为 C. x? 2 y? 0

B. 2 x?y?0

y a

2 2

?

x

2

b2

? 1 与抛物线 x 2 ? 8 y 有一个公共焦点 F ,双曲线上过点 F 且垂直

2 3 ,则双曲线的离心率等于 ( ) 3 2 3 3 2 A. 2 B. C. D. 3 3 2 x2 y 2 12 .已知 F1 , F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆 a b 与双曲线 C 在第二象限的交点为 P ,若双曲线的离心率为 5,则 cos ?PF2 F ) 1 等于( 3 5 3 4 A. B. C. D. 5 6 4 5
实轴的弦长为

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13.命题“ ?x ? R, 2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围为
2



14.已知三棱锥的三视图如图所示, 则它的体积为 ;

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线 15.方程 4?t t ?2 为 C ,有下列命题: ① 若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ; ② 若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2; ③ 曲线 C 不可能为圆; ④ 若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 ;
以上命题正确的是 ; (填上所有正确命题的序号) 16.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C : x2 ? ?2 py ( p ? 0) 的焦点 F ,点 M ( p,yM ) 在曲线

C 上,

若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36? ,则 p ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 若 p : x ? 3 ? 2 , q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件, 求实数 m 的取值范围;

18.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系,

t ? x ? 1? ? 2 ? (t为参数) . 直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值.

? x? ? 2 x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y? ? y

19.(本小题满分 12 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 直线 l 与曲线 C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A, B 两点; (1)求 | AB | 的长;

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数) ,

(2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (?2, 2) , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.

20.(本小题满分 12 分) 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单 ? x ? 1 ? t cos? ? 位相同.曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin( ( t 为参数, ? ? ) ,直线 l 的参数方程为 ? 4 ? y ? 2 ? t sin? ,设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点. 0 ?? ?? ) (1)当 ? ? 0 时,求 | AB | 的长度; (2)求 | PA | 2 ? | PB | 2 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的准线与 x 轴交于点 M (?1,0)
2



(1)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; (2)是否存在过焦点的直线 AB (直线与抛物线交于点 A , B ) ,使得三角形 MAB 的面 积

S ?MAB ? 4 2 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知点 A?0, ; F 是椭圆 E 的右焦点, ? 2? ,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a b 2 2 3 直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点; 3
(I)求 E 的方程; (II)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的直线方程. 高二文科数学答案

选项

A

B

C

B

A

A

D

B

A

A

B

C

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) ; 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

?? 2

2, 2 2

?



14.

3 6



15. ②④ ;

16.

6 ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. 【解析】由题意 p: ,所以 .所以 或 . q: ,所以 或 . 所以 2 ? m ? 4 .

又因为 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,所以 ? 考点:命题的否定及命题间的关系

?m ? 1 ? ?1 ?m ? 1 ? 5

18.解: 。(1) y ? 3x ? 2 ? 3 , 曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 (2) C ' :

x2 ? y 2 ? 1 ,设 M (2cos ? ,sin ? ) 4

x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4sin(
所以,当且仅当 4sin(

?
6

?? ) ;

?
6

? ? ) ? ?1 时, 最小值为: ?4

1 ? x ? ? 2 ? t ? 2 ? 19.解(1)直线 l 的参数方程为标准型 ? ( t 为参数) …… 2 分 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ? 2 代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0 ,设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,
则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 ,所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 ……6 分

t1 ? t 2 ? ?2 , 2 由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2
(2)点 P 在直线 l , 中点 M 对应参数为
2 2

……1 2 分

20.(1)曲线 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ——————————————2 分 当 ? ? 0 时,直线 l : y ? 2 , | AB |? 2 -----------------------4 分 (2)设 t1 , t 2 为相应参数值 t 2 ? (4 cos? ? 2 sin ? )t ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,

3 ? sin 2 (? ? ? ) ? 1 5

?t1 ? t 2 ? ?(4 cos? ? 2 sin ? ) ,---------------------8 分 ? ?t1t 2 ? 3
| PA |2 ? | PB |2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 2t1t 2 ? (4 cos? ? 2 sin ? ) 2 ? 8 ? 20sin 2 (? ? ? ) ? 6 —10 分 | PA | 2 ? | PB | 2 ? (6,14] ——————————12 分 p 2 21. (1)由已知得: ? ? ?1 ,从而抛物线方程为 y ? 4 x ,焦点坐标为 F (1, 0) . 2 2 2 (2)解法一:由题意,设 AB : x ? ty ? 1 ,并与 y ? 4 x 联立, 得到方程: y ? 4ty ? 4 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4t , y1 ? y2 ? ?4 . 7分 1 SD MAB = SD MAF + SD MBS = | MF | ? (| y1 | | y2 |) 2

∵ y1 ? y2 ? 0 ,∴ | y1 | + | y2 | = | y1 - y2 |= 又 | MF |= 2 ,∴ SD MAB =

( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 = 4 t 2 + 1 ,

9分 11 分

1 创2 4 t 2 + 1 = 4 2 解得 t = 1 , 2 故直线 AB 的方程为: x ? ? y ? 1 .即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 1 解法二:当 AB ? x 轴时, | AB |= 2 p = 4 , SD MAB = | MF | ?| AB | 2


12 分

1 创2 4 = 4 ,不合 2

故设 AB : y = k ( x - 1)( k ? 0 ) ,并与 y 2 ? 4 x 联立,到方程:k 2 x2 - (2k 2 + 4) x + k 2 = 0 ,

2k 2 + 4 4(k 2 + 1) = , . , x x = 1 | AB |= x + x + p 1 2 1 2 k2 k2 | k ? ( 1) - 0 - k | 2| k | = 点 M 到直线 AB 的距离为 d = , 9分 2 k +1 k2 + 1
设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 = ∴ SD MAB =

解得 k = 考点:1.抛物线的性质.2.直线与抛物线的关系.3.弦长公式,点到直线的距离.4.运算能力.

1 1 4(k 2 + 1) 2 | k | 4 k2 + 1 = 4 2, 10 分 | AB | ? d 创 = 2 2 k2 |k| k2 + 1 1 ,故直线 AB 的方程为: y ? ?( x ? 1) .即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 12 分

2 2 3 ,得 c ? 3 . ? c 3 x2 c 3 2 2 2 ? y 2 ? 1. 又 ? ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 .故椭圆 E 的方程为 4 a 2 (II)当 l ? x 轴时不合题意,故设直线 l : y ? kx ? 2 , P(x1 , y1 ),Q(x 2 , y2 ) .
22.【解析】 (I)设右焦点 F (c, 0) ,由条件知, 将 y ? kx ? 2 代入
2 即k ?

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16kx ? 12 ? 0 .当 ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 , 4

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 3 2 时, . 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? . 又点 O 到直线 PQ 的距离 4 4k 2 ? 1
2
,所以 ?OPQ 的面积 S?OP Q ?

d?

k 2 ?1

1 4 4k 2 ? 3 2 d ? PQ ? .设 4k ? 3 ? t ,则 2 4k 2 ? 1

4 7 4t 4 .因为 t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 时, k ? ? 时取等号,且 ? t 2 t ?4 t ? 4 t 7 7 满足 ? ? 0 .所以,当 ?OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ? x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2

t ? 0 , S?OPQ ?

2

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