2019-2020学年高中数学(北师大版)选修2-2教案:第4章 定积分的概念 第三课时参考教案

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料
定积分的概念
第三课时 一、教学目标: 1. 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,了解定积分的背景 ; 2. 借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定 积 分 定 义求简单的定积分; 3. 理解掌握定积分的几何意义. 二、教学重难点: 重点:定积分的概念、用定义求简单的定积分、 定积分的几何意义. 难点:定积分的概念、 定积分的几何意义. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 复习:1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法, 解决步骤: 分割 → 近似代替(以直代曲) → 求和 → 取极限(逼近) 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. (二) 、新课探析 1.定积分的概念

b ]上连续,用分点 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a,

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = 个小区间 [x i- 1 ,x i ]上任取一点 xi (i = 1, 2, L ,n) ,作和式:

b- a ) ,在每 n

Sn =

邋f (xi )D x =
i= 1

n

b- a f (xi ) n i= 1

n

如果 D x 无限接近于 0 (亦即 n ?

? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,

那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S =

òa

b

f (x ) dx ,

其中 ò - 积分号, b -积分上限, a -积分下限, f ( x) -被积函数, x -积

dx -被积式。 分变量, [a, b] -积分区间, f (x )
说明: (1) 定积分 ò f (x ) dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ?
a b

?

时)记为 ò f ( x) dx ,而不是 Sn .
a

b

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [a ,b ];②近似代 替:取点 xi ? [xi- 1 ,xi ];③求和: ?

b- a f (xi ) ;④取极限: n i= 1

n

òa

b

f (x ) dx = l i m
n

b- a f (xi ) ? n i
=1

n

(3)曲边图形面积: S = 功W =

òa f (x )dx ;变速运动路程 S = ò

b

t2

t1

v( t) dt ;变力做

òa

b

F (r) dr

2.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间 [a, b ]上函数 f (x )连续 且恒有 f (x )? 0 ,那么定积分 ò f (x ) dx 表示由直线
a b

x = a,x = b ( a ? b ),y

0 和曲线 y = f (x )所围成的曲
b

边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 ò f (x ) dx 的几何意义。
a

说明:一般情况下,定积分 ò f (x ) dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的
a

b

图形以及直线 x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号, 在 x 轴下方的面积去负号。 分析:一般的,设被积函数 y = f (x ),若 y = f (x )在 [a, b] 上可取负值。 考察和式 f (x1)D x + f (x 2 )Dx + L + f (xi ) D x + L + f (x n )D x 不妨设 f (x i ) ,f (x i+ 1 ) , L ,f (x n )< 0

于是和式即为

f (x1)D x + f (x 2 )Dx + L + f (x i- 1 ) D x - {[ - f (x i ) D x ]+ L + [ - f (x n )D x ] }
\
面积) 思考: 根据定积分的几何意义, 你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

òa

b

f (x ) dx = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 ò kdx = k ( b - a);
a b

性质 2 蝌kf (x ) dx = k
a

b

b a

; f (x ) dx (k 为常数)(定积分的线性性质)
b a

性质 3 蝌 [f1 (x )? f2 (x ) ] dx
a

b

f1 (x ) dx ?

; ?a f (x )dx (定积分的线性性质)
2

b

性质 4 蝌 f (x ) dx =
a

b

c a

f (x ) dx +

?c

b

(定积分对积分区 f (x ) dx (其中a < c < b )

间的可加性) (1)

蝌f (x )dx = a
1 2

b

a b

f (x ) dx ; (2)

òa f (x )dx = 0 ;
b a

a

说明:①推广:

[f (x )北f (x ) 蝌 a
b a

b

L ? fm (x ) ] dx
c1 a

f1 (x ) dx 北蝌 f2 (x ) dx
a

b

L?
b ck

b a

fm (x )

dx = ②推广: 蝌f (x )
③性质解释:

f (x )dx +

蝌 f (x )dx + L +
c1

c2

f (x )dx

y 性质 1 y=1

性质 4
y A C

B

O

a

b

x

M O a P b

N x

S曲边梯形A M N B = S曲边梯形A M PC + S曲边梯形C PN B
(三) .典例分析 例 1、计算定积分 ò (x + 1) dx
1 2

分析:所求定积分是 x = 1,x = 2,y = 0与y = x + 1 所围成的梯形面积,即为
y

如图阴影部分面积,面积为 即: ò (x + 1)dx =
1 2

5 。 2
O 1 2 x

5 2
2 - 2

思考:若改为计算定积分 ò (x + 1) dx 呢?
- 2,2]上,出现了负值如何解决呢?(后 改变了积分上、下限,被积函数在 [

面解决的问题) 例 2、计算定积分 ò (2x - x 2 ) dx
0 1

分析:利用定积分性质有, 蝌 (2x - x 2 ) dx = 2
0 1 1 0 0

1

1 0

xdx -

?

1

0

x 2dx

2 利用定积分的定义分别求出 ò xdx , 就能得到 ò (2x - x 2 ) dx 的值。 ò x dx , 0

1

(四) .课堂练习 计算下列定积分 1. ò (2x - 4) dx
0 5

ò
ò
1 - 1

5

0

(2 x-

4d )x =

9 -

4 =

5

2. ò x dx
- 1

1

x dx =

1 1 创 1 1+ 创 1 1= 1 2 2

(五).回顾总结:定积分的概念、用定义法求简单的定积分、 定积分的 几何意义. (六).布置作业: 五、教学后记:


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