高考数学第1轮总复习 第49讲 空间向量的概念及运算课件 理 (广东专版)_图文

1.了解空间向量的基本定理及其意 义,掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示 . 掌握空间向量的线性运算及其坐 标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标 表示,能用向量的数量积判断向量的共 线与垂直. 1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间,我们把具有① 大小 和 ②方向 的量叫做向量,其大小叫做向量a的长度或 模,记作|a|. 1 (2) 单位向量:长度或模为③ __________ 的向 量. 0 (3) 零 向 量 : 长 度 或 模 为 ④ __________ 的向 量. 相同 (4) 相 等 向 量 : 方 向 ⑤ __________ 且模⑥ 相等 __________ 的向量. 相反 (5)相反向量:方向⑦_________ 且模⑧ 相等 的向量. __________ (6)共线向量:与平面向量一样,如果表 示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量 或平行向量,a平行于b,记作a∥b. 平面 (7)共面向量:平行于同一⑨__________ 的向量叫做共面向量. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理及其推论 共线向量定理:空间任意两个向量a,b (b=0),a∥b的充要条件是存在实数 使⑩ a ? ?b ?__________. (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面 的充要条件是存在实数x,y使?p ? xa ? yb __________. , 空间四点A、B、C、D共面 ? 空间任意使 OD=x空间向量基本定理如果三个向量a, b,c不共面,那么对空间任一向量p, 存在有序数组{x,y,z},使得p ? x.OA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1) ? 3 ? 空间向量基本定理如果三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量p,存在有序 数组 ? x,y,z ?,使得p = xa + yb + zc. 3.向量线性运的运算律 a+b=b+a (1)加法交换律:?__________ ( a + b )+ c = a +( b + c ) (2)加法结合律:?__________ λ__________ (a+b)=λa+λb (3)数乘分配律:? (4)向量对实数加法的分配律: (λ+μ)=λa+μa ?a __________ ? ( ? a) ? ?? a (5)数乘向量的结合律:? __________ . 4.空间向量的数量积及其运算律 (1)空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量a ,b,在空间任取一个点O, ∠AOB 叫做向量a与b 作OA=a, OB ? b, 则? __________ 的夹角,记作〈a,b〉,且规定0 ? 〈a,b〉 ? p, ? 〈 a,b〉 ? , 显然有〈a,b〉? 〈b,a〉;〉;若? __________ 2 则称a与b互相垂直,记作:a ? b. (2)数量积及坐标运算 b ? cos〈a,b〉 (2)已知向量a,b,则?a __________ 叫做a,b的数量积,记作a×b. (3)空间向量数量积的运算律 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b) ; 结合律:________________________ a ?b ? b?a 交换律: ________________________; a ? ?b ? c ? ? a ? b ? a ? c 。 分配律:________________________ 5.空间向量的坐标表示及应用(设a=(x1,y1, z1),b=(x2,y2,z2)) (1)坐标运算 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ) a±b= ________________________ ; (? x1 , ? y2 , ? z3 ) λa = ________________________ ; x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ; a b= ________________________ (2)坐标应用 (1)共:a / / b ? a ? ? b ? x1 ? ? x2, y1 ? ? y2,z1 ? ? z2; x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ?; 0 (2)垂直:a ? b ? a ? b ? 0 ? __________________ (3)模: a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 ; (4)夹角:cos〈a,b〉 x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? x12 ? y12 ? z12 x2 2 ? y2 2 ? z2 2 (5)距离:设A( x1,y1,z1 ),B ( x2,y2,z2 ) 2 2 2 ? x ? x ? ? ? y ? y ? ? ? z ? z ? 2 1 2 1 1 则 AB ? ________ _____________ . 2 1.已知空间四边形 ABCD 中,G 为 CD 的中点,则 1 → → → AB+2(BD+BC)等于( → A.AG → C.BC → B.CG 1→ D.2BC ) 1 → → → → +BG → =AG → ,故选 A. 【解析】AB+2(BD+BC)=AB 2.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( 1 A.(3,1,1) B.(-1,-3,2) ) 1 3 C.(-2,2,-1) D.( 2,-3,-2 2) 1 3 1 1 【解析】(-2,2,-1)=-2(1,-3,2)=-2a,故选 C. 3.(2012· 华附月考)有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; ②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; → =xMA → +yMB → ,则 P、M、A、B 共面; ③若MP → =xMA → +yMB →. ④

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