必修2第三章直线与方程单元检测卷

第三章《直线与方程》单元检测

一、选择题

1.已知直线 l 过点 ?1, 2? ,且不过第四象限,那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是(

)

A. ?0, 2?

C.

???0,

1? 2 ??

B. ?0,1?

D.

? ??

0,

1 2

? ??

? ? 2.已知直线 l 经过 A?2,1?, B 1,m2 ?m? R? 两点,则直线 l 的斜率的取值范围是(

)

A. ?1, ???

B. ???, ???

C. ???,1?

D. ???,1?

3.若方程 Ax ? By ? C ? 0?表示倾斜角为锐角的直线,则必有( )

A. A? B>0

B. A? B<0

C. A ? 0 且 B ? 0

D. A ? 0 或 B ? 0

4. 若点 M ? x0, y0 ? 是直线 Ax ? By ? C ? 0?上的点,则直线方程可表示为( )

A. A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0

B. A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0

C. B? x ? x0 ? ? A? y ? y0 ? ? 0

D. B? x ? x0 ? ? A? y ? y0 ? ? 0

5.点 P?2,5? 关于直线 x ? y ? 0 的对称点的坐标是( )

A. (5, 2)

B. ?2,5?

C. ??5,?2?

D. ??2,5?

6.已知两直线 3ax ? y ? 2 ? 0 和 ?2a ?1? x ? 5ay ?1 ? 0 分别过定点 A, B?,则 AB ? ( )

A. 89 5
C. 13 5

B. 17 5
D. 11 5

7.若 x 轴上的点 M 到原点及点 (5, ?3) 的距离相等, 则 M 的坐标是( )

A. ??2,0?

B. ?1,0?

C.

? ??

3 2

,

0

? ??

D.

? ??

17 5

,

0 ???

8.已知直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 3 ? 0 ,直线 l3 : x ? y ? 7 ? 0 ,且直线 l3 与直线 l1, l2 分别交于 A, B?,则 AB ? ( )

A. 2 2

B. 2 2

C. 2

D. 4 2

1

9.与两平行直线 5x ?12y ? 5 ? 0 和 5x ?12y ? 57 ? 0 距离相等的直线方程为( )

A. 5x ?12y ? 31 ? 0

B. x ?12y ? 31 ? 0

C. 5x ?12y ? 31 ? 0

D. 5x ? 2y ? 3 ? 0

10.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角

形的底边上,则底边所在直线的斜率为( )

A.3

B. 2

C. ? 1 3

D. ? 1 2

二、填空题
11.已知 a,b, c 为某一直角三角形的三条边长, c 为斜边,若点 ?m, n? 在直线
ax ? by ? 2c ? 0 上,则 m2 ? n2 的最小值是__________

12.已知直线 l 的斜率是 1 ,且和两坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 l 的方程是 6
__________.
13.点 ??3,6? 到 x 轴的距离为__________,到 y 轴的距离为__________,到直线 y ? x 的距
离为_____,到直线 y ? ?x 的距离为__________,到直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的距离为_ ___.
14.经过点 A?2,﹣1? ,且在 x 轴上的截距是 ?2 的直线的方程是__________.

? ? ? ? 15.已知两条平行线分别经过点 1,0 和 0,5 ,且两条直线间的距离为 5,则它们的方程是
__________.

三、解答题
16.直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3 ,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1.过定点 A(?3, 4) 2.与直线 6x ? y ? 3 ? 0 垂直.

17.已知点 A?0,3?, B??1,0?,C ?3,0? ,试求点 D 坐标使四边形 ABCD为等腰梯形.

2

18.已知△ ABC 的顶点是 A??1, ?1?, B?3,1?,C ?1,6? .直线 l 平行于 AB ,且分别交边 AC 、
BC 于 E 、 F ,△ CEF 的面积是△ CAB 面积的 1 . 4
1.求点 E 、 F 的坐标; 2.求直线 l 的方程.
? ? ? ? 19.设直线 l 的方程 m2 ? 2m ? 3 x ? 2m2 ? m ?1 y ? 2m ? 6 ,根据条件分别确定 m 的值.
1. l 在 x 轴上的截距是-3; 2. l 的斜率是-1.
20.已知 A 为直线 l1 : y ? 4x ?1上一点,点 A 到直线 l2 : 2x ? y ? 5 ? 0 的距离等于原点到直 线 l2 的距离,求点 A 的坐标.
? ? ? ? 21.对于直线 2m2 ? m ? 3 x ? m2 ? m y ? 4m ?1.
1.求直线的倾斜角为 45 时 m 的值; 2.求直线在 x 轴上的截距为 1 时 m 的值.
3

参考答案
一、选择题
1.答案:A
解析:由图可知,当直线 l 位于 l1 与 l2 之间(包括 l1 与 l2 )时,直线 l 不经过第四象限.
∵ kl1 ? 0, kl2 ? 2 ,
∴0?k ?2.

2.答案:D
解析:根据斜率公式知直线 l 的斜率 k ? m2 ?1 ? 1? m2 .
1? 2
∵ m? R , ∴ m2 ? 0 , ∴k ?1,
∴直线 l 的斜率的取值范围是 ???,1? .
故选 D. 3.答案:B
解析:设倾斜角为? ,则 0 ? ? ? ? ,
2 ∴ tan? ? ? A ? 0 ,
B
即 A? B<0 .
4.答案:A
解析:∵ M ? x0, y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0?上,
∴ Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,
∴ C ? ? Ax0 ? By0 , 代入方程 Ax ? By ? C ? 0?得 Ax ? Ax0 ? By ? By0 ? 0 ,
即 A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0
5.答案:C
解析:设 P 关于直线 x ? y ? 0 的对称点为 P'? x, y? ,



? ?? ? ? ??

y x x

? ? ? 2

5 2 2

? ?

1 y

? 2

5

?

0

x ,解得{
y

? ?

?5 ?2

6.答案:C

解析:

7.答案:D

解析:设 M ?m,0? .

4

由题意知 | m |? ?m ? 5?2 ? 9 ,

∴ m2 ? ?m ? 5?2 ? 9 ,

∴ m ? 17 . 5



M

? ??

17 5

,0

? ??

.

故选 D.

8.答案:B

解析:根据题意可得 l1 ? l3,l2 ? l3 ,

故 AB 等于两平行线 l1 与 l2 之间的距离,

即 | AB |? | 4 | ? 2 2 . 2
9.答案:A

解析:设所求直线上任意一点 P 的坐标为 ? x, y? ,

则可得 | 5x ?12y ? 5 | ? | 5x ?12 y ? 57 | ,

52 ? 122

52 ? 122

整理得 5x ?12y ? 31 ? 0 .

10.答案:A

解析:

二、填空题

11.答案:4

解析:可以建立直角坐标系, ?m, n? 在直线上运动,原点到直线上点的距离的最小值即为点

到直线的距离,∴ m2 ? n2 ? 2c ? 2 ,∴ m2 ? n2 ? 4 . a2 ? b2

12.答案: y ? 1 x ?1 或 y ? 1 x ?1

6

6

解析:设直线 l 的方程为 y ? 1 x ? b , 6
令 x ? 0?,得 y ? b ,

令 y ? 0,得 x ? ?6b .

由 S ? 1 | b | ? | ?6b |? 3 ,得 b2 ? 1,
2

∴ b ? ?1.

故直线 l 的方程为 y ? 1 x ?1 或 y ? 1 x ?1.

6

6

13.答案: 6 3?

92

2

解析:

3 2 28

2

5

三、解答题

14.答案:1. 由条件可知直线 l 斜率一定存在 ∵直线 l 过点 A(?3, 4) ,

∴可设直线 l 方程为 y ? k(x ? 3) ? 4(k ? 0) ,

5

在坐标轴上截距分别为 ? 4 ? 3,3k ? 4 , k

∴ 1 ? 4 ? 3 ? 3k ? 4 ? 3 2k

∵ 9k2 ? 30k ?16 ? 0 或 9k2 ?18k ?16 ? 0 ,

∴k ??2或k ??8

3

3

∴直线的方程为 2x ? 3y ? 6 ? 0 或8x ? 3y ?12 ? 0

2. ∵ l 与直线 6x ? y ? 3 ? 0 垂直,



k1

?

1 6

,

∵可设 l 的方程为 y ? 1 x ? b , 6

∴ l 在坐标轴上的截距分别为 ?6b,b ,

∴ 1 ?6b ? b ? 3, 2
∴ b ? ?1, ∴直线 l 的方程为 x ? 6 y ? 6 ? 0 或 x ? 6 y ? 6 ? 0.

解析: 15.答案:

设所求 D 点坐标为 ? x, y? ,

(1)若 AD BC , AB ? CD ,



?? ? ??

y

? (0

3 ?

1)2

? (3 ? 0)2

?

(x ? 3)2 ? y2

x?2 x?4

解得{ 或{

(不合题意,舍去)

y?3 y?3

(2)若 AB CD , BC ? AD ,



? ? ?

y x

? ?

0 3

?

3?0 0 ?1

?? (?1? 2)2 ? 02 ?

x2 ? ( y ? 3)2

解得

? ?? ? ?

x y

? ?

16 5 3

或{x y

? ?

4 3

(不合题意,舍去)

?? 5

综上,得点

D

的坐标为

?2,

3?



? ??

16 5

,

3 5

? ??

.

解析:

16.答案: x ? 4 y ? 2 ? 0

解析:由题意得,直线方程为 x ? 2 ? y ?1 ,即 x ? 4 y ? 2 ? 0 .
?2 ? 2 0 ?1
17.答案:1.因为 EF / / AB ,且△ CEF 的面积数△ CAB 面积的 1 , 4

6

所以

E



F

分别是

CA



CB

的中点,由中点坐标公式可得点

E

的坐标为

? ??

0,

5 2

? ??

,



F

的坐标为

? ??

2,

7 2

? ??

.

2.由两点式方程,可知直线 l

的方程为

y

?

5 2

?

x

?

0

,

7?5 2?0

22

即 x ?2y ?5 ? 0.

解析:

18.答案:1.由题意可得
由①得 m ? ?1且 m ? 3. 由②得 m ? 3 或 m ? ? 5 .
3 ∴m ? ?5
3

2.由题意得

由③得 m ? ?1且 m ? 1 , 2
由④得 m ? ?1或 m ? ?2 . ∴ m ? ?2 .
解析:
19.答案:设点 A 的坐标为 ?t, 4t ?1? .

由题意得 | 2t ? ?4t ?1? ? 5 | ? | 5 | ,即 | 6t ? 4 |? 5 ,

22 ? 12

5

∴t ? 1 或t ? ? 3 .

6

2

∴点

A

的坐标为

? ??

1 6

,

?

1 3

? ??



? ??

?

3 2

,

?7

? ??

.

解析:

20.答案: y ? 5 和 y ? 0 或 5x ?12y ? 60 ? 0 和 5x ?12y ? 5 ? 0

解析:设两条平行线为 l1, l2 ,
且 l1 : y ? kx ? 5,l2 : x ? my ?1,
在l1 上取点 A?0,5? .

由题意知 A 到l2 的距离为5 ,
∴ | 0 ? 5m ?1| ? 5 , 1? m2
解得 m ? 12 , 5

7

∴ l2 : 5x ?12 y ? 5 ? 0 .

在l2 上取点 B ?1, 0?,则 B 到l1 的距离为 5,

∴|k ?0?5| ?5, 1? k2

∴ k ? 0?或 k ? 5 ,
12 ∴ l1 : y ? 5 或 5x ?12y ? 60 ? 0 .

结合l2 的斜率不存在的情况知两直线方程分别为 l1 : y ? 5,l2 : y ? 0 或

l1 : 5x ?12y ? 60 ? 0 , l2 : 5x ?12 y ? 5 ? 0 .

21.答案:1.直线的倾斜角为 45

,则直线的斜率为

1,所以

?

2m2 ? m ? m2 ? m

3

?

1,

解得 m ? ?1,m ?1 (舍去).

2.由题易知当 y ? 0时,

x

?

4m 2m2 ?

?1 m?

3

?

1,

解得 m ? ? 1 或 m ? 2 . 2

当 m ? ? 1 或 m ? 2 时都符合题意, 2

所以 m ? ? 1 或 m ? 2 . 2
解析:

8


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