微波第三章 微波谐振腔_图文

第三章 微波谐振腔
§3.1 概述 §3.2 微波谐振器的主要参数 §3.3 圆柱谐振腔 §3.4 矩形谐振腔 §3.5 同轴线空腔谐振器 §3.6 谐振腔的等效电路及激励与耦合

§3.1 概述
低频电路中常用集总元件的LC振 荡回路作为谐振电路 L LC串联
LC并联

C

L

C

LC正弦波振荡器

谐振回路的作用

放大器中用作调谐回路

滤波电路

§3.1 概述
一. 为什么在微波波段不能使用集总参数LC谐振回 路?
1. ? ? ? 1 0
LC 在微波波段,?0很高 ? L和C很小 ? L和C元件制造困难,机械强度太低 体积太小,耐压低,储能太小。

2. 当电路尺寸与微波波长可以相比拟时,就会产生能量的辐射, 波长越短辐射越严重,故辐射损耗大。另外,由于此时趋肤 效应严重,故欧姆损耗大,而且介质损耗大。因此,在频率 较高的微波波段,集总LC谐振回路储能小,损耗大,导致Q 值小到不能用。

§3.1 概述
二. 微波谐振器的分类
1. 传输线型谐振器:由一段两端开路或短路的传输线构成, 如矩形波导谐振器、圆波导谐振器、同轴线谐振器。它们 也称为谐振腔。 微带线型(半开放)
传输线型 波导型 同轴线型
介质型

2. 非传输线型谐振腔:特殊形状的空腔谐振器。主要用于各 种各样的微波电子管中,如速调管,磁控管等,作为这些 微波电子管的腔体。

§3.1 概述

低 频 LC 回 路 如 何 演 变 成 微 波 谐 振 腔 ?

低频LC回路

增大平板电容 的距离,减小C
减少电感线圈 匝数,减小L

用多个单匝线 圈并联,进一 步减小L

并联线圈增 加到无限多 便得到圆柱 形空腔谐振 器

?
磁场

电场

§3.1 概述
?

微波谐振腔的优点

1. 因为是封闭的, 所以损耗小,没有辐射损耗。 2. 空腔无需填介质,没有介质损耗。 3. 金属表面增大,集肤效应减小,Q值高,谐振阻抗大 理论上可以证明,当谐振器无损耗,无能量泄漏时,在谐 振频率上腔内的电储能或磁储能也达到最大,且等于总储 能,而谐振腔内的电磁场成为驻波场。

§3.1 概述
三. 微波谐振器与LC谐振回路的相同和相异点
在f0(谐振频率)Wemax=Wmmax 且当We=0时,Wm=Wmmax ; 当Wm=0时,We=Wemax 微波谐振器与LC谐振器回路的物理实质上相同,但是他 们主要有3点不同: 1. LC回路为集总参数电路,微波谐振器时属于分布参数电 路。所以LC回路能量只分布在L、C上,而微波谐振器的 能量分布在整个腔体中。 2. LC回路在L及C一定时,只有一个谐振频率,而微波谐 振器有无限多个谐振频率,这称为微波谐振器的多谐性。 3. 微波谐振腔储能多,损耗小。故微波谐振器品质因数很 高,比LC回路的Q值高很多。

§3.1 概述
微波谐振器的分析方法:
1. 场解法:在一定的初始条件和边界条件下解波动方程。 (几何形状简单) 2. 场的叠加法:将谐振腔看作两端短路的传输线。 将谐振腔中的场在满足边界条件的情况下, 由入射波和反射波的叠加来求得。 所以可以直接利用前几章得出的相应波导 和传输线的有关公式。 (传输线型谐振腔)

§3.2 微波谐振器的主要参数
微波谐振器的主要参数有:谐振频率fr(或谐振波长λr), 品质因数,谐振电导。

一. 谐振频率
谐振波长λr是谐振频率fr时的工作波长,也就是fr时的 TEM波在腔体中填充为均匀介质中的波长。 (一)场解法 对已知形状、尺寸与填充介质的腔体,根据边界条件对波 动方程求解,得到一系列本征值K fr。(简谐场) 假设: ①金属空腔谐振器内表面为理想导体 ②介质为均匀无耗简单介质

§3.2 微波谐振器的主要参数
金属腔内E和H是在满足边界条件

的情况下,波动方程:
2

? ? ? an ? E ? 0 ? ? ? ? ? ? 0? an ? H ? ?

? ? ? ? K 2E ? 0 ? ? ? E ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? H ? K H ? 0? ?

的解。 K 2 ? ? 2 ?? 可以证明:同时满足两组方程的K只能是一系列离散的值。 记为 Ki ? i ? 1, 2,3??

? f r ? Ki 2? ??

?r ? 2? Ki ?微波谐振腔具有多谐性

§3.2 微波谐振器的主要参数
(二)相位法 根据电磁波在谐振腔内来回反射,入射波与反射波相叠加 时的相位关系,求谐振频率(传输线类型谐振器) 将谐振器视为一段两端接有纯电抗性负载(包括开路与短 路)Z1和Z2的传输线,即线两端全反射 腔体内为纯驻波场=行波场来回反射相叠加形成 谐振条件:谐振腔内任一点,行波场同相叠加,相位差为 2π的整数倍,即谐振。 因为谐振器内某点经反射后的相位变化为:

?? ? 2? l ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? 2? l ? ?1 ? ?2
则谐振条件为:

2? l ? ?1 ? ?2 ? 2 p? ? p ? 0,1, 2,3??

§3.2 微波谐振器的主要参数
?当l、?1、?2已知,即可求出?,再由? ? f r、?r 2? 2? 对于无色散波 ?? ? f ?r v 对于色散波 2? 2? ?? ? fr 2 ? fc 2 ?g v
所以当谐振腔的形状、几何尺寸和填充介质给定后,可以 有许多(无穷多个)模可以使之谐振。 多谐性。 ? 对应着许多不同的谐振频率

§3.2 微波谐振器的主要参数
二. 品质因数
(一)固有品质因数 谐振器不与任何外电路相连接(空载)时的品质因数。 固有品质因数的定义为谐振时:
Q0 ? 2? WT ? 腔体在一个周期中的损耗能量? W ? 腔体的总储能 ?

?WT ? PT ? P ? 一周期内谐振器中的平均损耗功率 ? ? Q0 ? 2? W W ? ?r PT P

Q0:表征谐振器的损耗的大小、频率选择性的强弱、工作 稳定度的三个重要参数。

§3.2 微波谐振器的主要参数
微波谐振腔的Q0:几千~几万之间,比集总LC回路高很多 谐振腔的总储能为:

W ? We ? Wm ? 腔内为纯驻波场 ? 电场与磁场随时间在相位上相差 ? 2 ?当We max ,Wm ? 0 同理当Wm max ,We ? 0 ? ?? ? ? ? H dv ? ? H 2 dv ? ? E 2 dv W ? We max ? Wm max ? ? H ? 2 v 2 ?v 2 ?v ? ? ? H 为磁场强度的复振幅矢量, ? ? ? ? ? ? ? ? H ?为H的共轭复矢量 ? ? ?

?

?

§3.2 微波谐振器的主要参数
谐振器的平均损耗主要由导体损耗引起, 设导体表面电阻 为RS, 则有
2 1 1 2 P ? ? S J S RS ds ? Rs ? H t ds s 2 2

式中, Ht为导体内壁切向磁场,而JS=n×Ht, n为法向矢量。

? f? 1 Rs ? ? 而? ? ? 趋肤深度 ?? ? ? f ??
1
于是有:

§3.2 微波谐振器的主要参数
?v H dv ?r ? W ? Q0 ? ?r ? ?r 2 ? 1 1 2 P Rs ? H t ds 2 ?s ??
? 2 ? f r ??

?

2

?H ?H ?
v s

2

dv ds

2

t

?H ?H ?
v s

2

dv

2

t

ds ?

?

2

?H ?H ?
v s

2

dv ds

2

t

因此只要求得谐振器内场分布, 以及知道工作频率范围、 腔体形状、尺寸和材料即可求得品质因数Q0。

§3.2 微波谐振器的主要参数
为粗略估计谐振器内的Q0值,大致看出Q0与V、S之间的 关系,可以令:

H

2

? ?

v

H dv V
2 t s

2

容积能量密度
面积能量密度

Ht

2

?H ? ?

ds

S

这样就得到:

2 H V Q0 ? ? Ht 2 S
H t 2 为一常数,用2A表示。

当工作模式一定的时候 H

§3.2 微波谐振器的主要参数


V V Q0 ? A ? ? ? ? Q0 ? ?S S

可见: ① Q0 ∝ V/S, 应选择谐振器形状使其V/S大;

V ? ?r3 S ? ?r2 , ② 因谐振器尺寸与工作波长成正比即 ,
故有 Q0 ? ?r

?

, 由于δ仅为几微米, 对厘米波段的

谐振器,其Q0值将在104~105量级。 (二)有载品质因数 谐振器带上负载时腔体的品质因数。有载品质因数的定义

式为:

§3.2 微波谐振器的主要参数
谐振腔内总的储能 QL ? 2? 一周期内总的耗能
W 总储能;Pi 腔本身的损耗功率;Pc 外 界负载上损耗的功率;PL 一周期内总的损耗功率 W W QL ? ?r ? ?r PL Pi ? Pc

Pi ? Pc Pi Pc 1 1 1 或 ? ? ? ? ? QL ?rW ?rW ?rW Q0 Qc
Qc:耦合品质因数 耦合系数k:腔体与外界负载之间的耦合程度。

Q0 Q0 k? ? QL ? Qc 1? k

§3.2 微波谐振器的主要参数
三. 等效电导
等效电导G0是表征谐振器功率损耗特性的参量。 为了方便,实际谐振腔在某单一谐振模式的某谐振频率附 近,常等效为LC回路。 注意:图中L、C和G0并非真实电容、电 感和电导,只是抽象的等效参数。因为 谐振腔是一个分布参数系统,集总电容、 电感没有确切的物理意义。 对于图示的并联回路,损耗功率P为

1 2 2 P ? G0U m ? G0 ? 2 P U m 2

§3.2 微波谐振器的主要参数
其中P根据前面等式得
2 1 P ? Rs ? H t ds s 2

Um为等效电压幅值,由于在腔体中电压无意义,故可人为 规定在腔体中a、b两点,定义

Um ?

?

b

a

? ? E ? dl

2 P Rs ?s H t ds ? G0 ? 2 ? ? b ? Um E ? dl

2

?

a

一般通过实验方法确定G0

§3.3 圆柱谐振腔
圆柱谐振腔具有较高的品质因数,调谐方便 结构坚固、易于加工,制作。 属于传输线型谐振腔 可以看作两端 短路的一段圆波导。 要了解圆柱谐振腔的工作特性,就需要知道 圆柱腔内各种谐振模式的场结构: ①给定边界条件下求波动方程的解; ②叠加法 把腔内的场看作是电磁波在腔的两个端面之 间来回的反射相叠加,利用圆波导场结构表达式。

TEmn TM mn ? TEmnp TM mnp
P:沿腔体纵向(z轴)场量变化的半周期的个数

§3.3 圆柱谐振腔
一. 场分量表达式
(一)TEmnp振荡模式

Ez ? 0 H z ? 0

将腔内的场视为两个方向相反的行波的叠加:

cos m? ? j ? z cos m? j ? z ? H z ? H J m ? Kc r ? e ? H 0 J m ? Kcr ? e sin m? sin m?
? 0

根据边界条件①: ? ? ? ? z ? 0处, z z ?0 ? 0 ? H 0 ? H 0 ? 0 ? H 0 ? ? H 0 H
? H z ? H J m ? Kc r ?
? 0

cos m?

?e sin m?

? j? z

?e

j? z

? ? ? j 2H
m

? 0

J m ? Kcr ?

cos m? sin m?

sin ? z

? H m J m ? Kc r ?

cos m? sin m?

sin ? z

?H

? ? j 2 H 0? ?

§3.3 圆柱谐振腔
再根据边界条件②:
z ? l处, z H
z ?0

? 0 ? sin ? l ? 0 ? ? l ? p? 或? ?

cos m? ? p? ? ? H z ? H m J m ? Kc r ? sin ? z? sin m? ? l ?
可见:1. 谐振腔的Hz在(r,φ,z)方向均呈驻波状态 2. 相位常数β 必须满足pπ/l. 再根据 1 ? ? ? H t ? K 2 ?z ? ?t H z ? ? ? ? ? c 行波-驻波 ? ? ? ? ? j ? ???? ?z ? ? E ? 1 ? j?? z ? ? H ? ? t z ? t Kc 2 ?

p? l

§3.3 圆柱谐振腔
得到圆柱谐振腔中的电磁场的四个横向场分量的表达式:
sin m? ? m? K ? p? ? ? Er ? ? j K 2 r H m J m ? K c r ? cos m? sin ? l z ? ? ? c ? ? cos m? ? p? ? ?K ? H m J m ? Kc r ? sin ? z? ? E? ? j sin m? Kc ? l ? ? ? ? H ? H m p? J ? ? K r ? cos m? cos ? p? z ? ? ? ? r K c l m c sin m? ? l ? ? sin m? H m mp? ? p? ? ? H? ? ? 2 J m ? Kcr ? cos ? z? ? cos m? Kc r l ? l ? ?

其中

? ? 波阻抗 K c ?

?mn
R

? R为内半径 ? K ?

2?

?0

§3.3 圆柱谐振腔
? K 2 ? Kc 2 ? ? ? p? ? ? ?mn ? ? p? ? ? ?? ? ? ?? l ? ? R ? ? l ?
2 2 2

对于TEmnp模,m=0,1,2,3,… n=1,2,3,…p=1,2,3,… (二)TMmnp振荡模式

H z ? 0 Ez ? 0
类似的方法可以得到圆柱谐振腔内TMmnp振荡模式的纵向分量:

cos m? ? p? ? Ez ? Em J m ? K c r ? cos ? z? sin m? ? l ?
类似也可以得到TMmnp振荡模式的横向分量为:

§3.3 圆柱谐振腔
cos m? ? p? ? ? Em p? ? ? Er ? ? K l J m ? K c r ? sin m? sin ? l z ? ? ? c ? ? sin m? Em m p? ? p? ? J m ? Kc r ? sin ? z? ? E? ? ? 2 cos m? ? l ? Kc r l ? ? ? H ? ? jE mK J ? K r ? sin m? cos ? p? z ? m m c ? ? ? r cos m? K c 2 r? l ? ? ? cos m? K ? p? ? ? ? ? H? ? ? jEm K ? J m ? K c r ? sin m? cos ? l z ? ? ? c ?
其中

? p? ? ? ?mn ? ? p? ? K ? Kc ? ? ? ?? ? ? ?? l ? ? R ? ? l ? ?
2 2 2 2

2

对于TMmnp振荡模,m=0,1,2,3,… n=1,2,3,…p=0,1,2,3,…

§3.3 圆柱谐振腔
二. 谐振频率和波型图
(一)谐振频率

Kv v 2? fr ? ? ?r ? ? 2? fr K Kv 1 ? 对于TEmnp 模 : f r ? ? 2? 2? ?? ? ?mn ? ? p? ? ? ? ? ?? R ? ? l ? ? 1
2 2

2? ?r ? ? 2 2 K ? ?mn ? ? p ? ? ? ?? ? ? 2? R ? ? 2l ?

§3.3 圆柱谐振腔
对于TM mnp 模 : f r ? Kv 1 ? 2? 2? ?? ? ? mn ? ? p? ? ? ? ? ?? R ? ? l ? ?
2 2

2? 1 ?r ? ? 2 2 K ? ? mn ? ? p ? ? ? ?? ? ? 2? R ? ? 2l ?

? 如果用Xmn来代替上式中的 ? mn 和 mn ,则圆柱谐振腔中的 谐振波长 ?r 可以写成一个公式:
?r ?
1 ? X mn ? ? p ? ? ? ?? ? ? 2? R ? ? 2l ?
2 2

?

D ? X mn ? ? Dp ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2l ?
2 2

§3.3 圆柱谐振腔
(二)波型图 实际的工程设计中,为了更清楚的得到圆柱谐振腔的谐振 频率随谐振模式和腔体尺寸的变化关系,把fr与D、l的关 系绘成曲线图,称为波型图。

v 2 ? vX mn ? ? vp ? ? D ? ?r ? ? ? ? fr D ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 fr ? ? ? ? 2? ? l ? ? X mn ? ? Dp ? ? ? ?? ? ? ? 2l ? 2 ? ? ?D? 2 f r D ? 与? l ? ? ? ? 从上面关系式可以看出,对于给定的模式, D
? vX mn ? ? vp ? 的关系在波型图上是一直线,斜率为 ? ? ,截距为 ? ? ? ? ? ? 2 ?
2
2

2

2

2

§3.3 圆柱谐振腔
当介质为空气时,有

? fr D ?

2

?? X mn ?2 ? p ?2 ? D ?2 ? ? 9 ?1020 ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? l ? ? ? ?

§3.3 圆柱谐振腔
即可以根据f、Q 谐振波型、D、l 也可以根据D、l 谐振波型、f以及确定干扰波型 工作方块:以选定工作波型的调谐曲线为对角线,最小、最 2 大的? f r D ? 值与对应的 ? D l ?2 确定的矩形区域。 利用工作方块保证单模工作,避免干扰波型: 自干扰型:相同m、n,不同p 相同截距,不同斜率, 与工作波型耦合最强,务必不使其落入工作方块内 一般干扰型:相同p,不同m、n 不同截距,相同斜率,会 导致一个以上的谐振频率。 交叉型:m、n、p完全不同 场结构完全不同。 简并型:曲线完全重合,fr完全相同,但场结构完全不同,容易 抑制。

§3.3 圆柱谐振腔
1. 圆柱腔存在多谐性 2. R、l一定时,谐振波长λr最长的模为主模。 当l>2.1R时,TE111为主模 当l<2.1R时,TM010为主模 3. 因为在圆波导中,TE0n与TM1n有模式简并 所以在圆柱腔中, TE0np与TM1np有模式简并现象。 而且对于m≠0的每一个TE和TM振荡模式,都存在极化简 并。

§3.3 圆柱谐振腔
三. 圆柱腔常用的3个振荡模式。
(一)TE011 TE011模各个场分量表示式为:

?? ? ? E? ? j H m J 0 ? K c r ? sin ? z ? Kc ?l ? Hm ? ?? ? ? Hr ? J 0 ? K c r ? cos ? z ? Kc l ?l ? ?? H z ? H m J 0 ? K c r ? sin ? ?l ? z? ?

?K

式中

3.832 Kc ? ? R R

?01

§3.3 圆柱谐振腔


?r ? 1

? 1 ? ?1? ? ? ?? ? ? 1.64 R ? ? 2l ?

2

2

为高次模,故当λr一定时,腔体尺寸较大。 ②由于磁场分量只有Hr、Hz,故侧壁和端壁内表面只有φ方 向的表面电流,而且侧壁与端壁之间也没有电流通过,因 此可以用不接触式活塞进行调谐。 ③场结构稳定、无极化简并,损耗小,Q值可高达几万以上。 故可作成高精度的频率计。

§3.3 圆柱谐振腔
(二)TE111 ①当l>2.1R时,为圆柱谐振腔的主模

?r ? 1

? 1 ? ?1? ? ? ?? ? ? 3.41R ? ? 2l ?

2

2

故在λr一定时,腔体尺寸较小。

②Q值不高(约为TE011一半左右),而且存在极化简并

§3.3 圆柱谐振腔
(三)TM010 TM010场分量表达式为

Ez ? Em J 0 ? K c r ? H? ? ? j Em

? ? H z ? H r ? Er ? E? ? 0 式中的 K ? ? 01 ? 2.405 c R R

? J 0 ? Kc r ? ? j

Em

J1 ? K c r ?

可见圆柱腔中的模式只有E z和Hφ分量,而且沿z和φ方向 无变化。

§3.3 圆柱谐振腔
①当l<2.1R时,为圆柱谐振腔的主模, 故当λr一定时,腔体尺寸较小。 ②既无模式简并,又无极化简并。 ③Q值不高,且λr与l无关,故无法用短路活塞来进行调谐 (改变谐振频率)。 常用的调谐方法从端面中心插入一圆柱体,插入深度可调。 相当于在腔体中引入一可变电容,故可通过改变插入深度 来改变谐振频率。

?r ? 2.61R

§3.4 矩形谐振腔
矩形空腔谐振器是由一段长为 l、 两端短路的矩形波导组成, 如图 所示。与矩形波导类似, 它也存在两类振荡模式,即 TEmnp和TMmnp模式。 用途:固态源中的谐振回路, 微波天线开关中的谐振放电器, 波长计与滤波器。 与圆柱谐振腔类似,可以使用叠加法求解矩形谐振腔内的

电磁场表示式。

§3.4 矩形谐振腔
一. 场解及振荡模式
(一)TEmnp模

Ez ? 0 H z ? 0
对于矩形波导内正z方向的入射波: ? m? ? ? n? ? ? j ? z H z ? H 0 cos ? x ? cos ? y?e ? a ? ? b ? 将矩形谐振腔内的场视为矩形波导内两个传播方向相反的 行波的叠加:

? m? H z ? H 0 cos ? ? a
?

? ? n? x ? cos ? ? ? b

? ? j? z ? m? ? y ? e ? H 0 cos ? ? ? a

? ? n? x ? cos ? ? ? b

? j? z y?e ?

§3.4 矩形谐振腔
根据边界条件①:

z ? 0处, z H

z ?0

? ? ? ? ? 0 ? H0 ? H0 ? 0 ? H0 ? ?H0

? m? ? ? n? ? H z ? ? j 2 H 0 ? cos ? x ? cos ? y ? sin ? z ? a ? ? b ? ? m? ? ? n? ? ? H m cos ? x ? cos ? y ? sin ? z ? H m ? ? j 2H 0? ? ? a ? ? b ?

根据边界条件②:
z ? l处, z H
z ?0

? 0 ? sin ? l ? 0 ? ? l ? p? 或? ?

? m? ? H z ? H m cos ? ? a

? ? n? ? ? p? ? x ? cos ? y ? sin ? z? ? ? b ? ? l ?

p? l

§3.4 矩形谐振腔
1 ? ? 根据 ? H t ? 2 ? ?t H z ? K c ?z ? ? ? E ? 1 ? j?? z ? ? H ? t z ? t Kc 2 ? 得到 E ? j ?? H n? cos ? m? x ? sin ? n? y ? sin ? p? z ? x m ? ? ? ? ? ? 2 Kc b ? a ? ? b ? ? l ? ?? m? ? m? ? ? n? ? ? p? ? Ey ? ? j 2 H m sin ? x ? cos ? y ? sin ? z? Kc a ? a ? ? b ? ? l ?
1 p? m? ? m? Hx ? ? 2 Hm sin ? Kc l a ? a 1 p? n? ? m? H y ? ? 2 Hm cos ? Kc l b ? a ? ? n? ? ? p? ? x ? cos ? y ? cos ? z? ? ? b ? ? l ? ? ? n? ? ? p? ? x ? sin ? y ? cos ? z? ? ? b ? ? l ?

§3.4 矩形谐振腔
其中

? m? ? ? n? ? ? p? ? K ? K ?? ?? ? ?? ? ?? ? a ? ? b ? ? l ? ?
2 2 2 2 c 2

2

对于TEmnp模,m,n不能同时为0,p=1,2,3,… (二)TMmnp模

Ez ? 0 H z ? 0
与TEmnp模的求法相同,使用叠加法可以得到纵向电场为:

? m? Ez ? Em sin ? ? a

? ? n? ? ? p? ? x ? sin ? y ? cos ? z? ? ? b ? ? l ?

然后应用纵向场法,就可以得到其余四个横向分量表达式:

§3.4 矩形谐振腔
1 p? m? ? m? ? ? n? ? ? p? ? Ex ? ? 2 Em cos ? x ? sin ? y ? sin ? z? Kc l a ? a ? ? b ? ? l ? 1 p? n? ? m? ? ? n? ? ? p? ? E y ? ? 2 Em sin ? x ? cos ? y ? sin ? z? Kc l b ? a ? ? b ? ? l ? n? ? m? ? ? n? ? ? p? ? H x ? j 2 Em sin ? x ? cos ? y ? cos ? z? Kc b ? a ? ? b ? ? l ? ?? m? ? m? ? ? n? ? ? p? ? H y ? ? j 2 Em cos ? x ? sin ? y ? cos ? z? Kc a ? a ? ? b ? ? l ?

??

其中

? m? ? ? n? ? ? p? ? K ? K ?? ?? ? ?? ? ?? ? a ? ? b ? ? l ? ?
2 2 2 2 c 2

2

对于TMmnp模,m=1,2,3,…,p=1,2,3,…,p=0,1,2,3,…

§3.4 矩形谐振腔
二. 特性参数
(一)谐振频率、谐振波长

Kv fr ? 2?

v 2? ?r ? ? fr K ?m? ?n? ? p? ? ? ?? ? ?? ? ? a ? ?b? ? l ?
2 2 2

Kv 1 ? fr ? ? 2? 2 ??

v 2? 2 ?r ? ? ? 2 2 2 fr K ?m? ?n? ? p? ? ? ?? ? ?? ? ? a ? ?b? ? l ?

§3.4 矩形谐振腔
1. 在腔体尺寸一定时,模式不同可有无穷多谐振波长,即矩 形腔具有多谐性。 (λr与介质无关,谐振频率fr与介质有关) 2. 在腔体尺寸一定时, λr最长的模式称为主模或最低模。 2 ?r ?TE ? ? TE模:TE101: 2 2
101

TE011:?r ?TE

011

?

?

? 1 ? ?1? ? ? ?? ? ?a? ?l ? 2

TM模:TM110:

?r ?TM

110

?

?

? 1 ? ?1? ? ? ?? ? ?b? ?l? 2
2

2

2

?1? ?1? ? ? ?? ? ?a? ?b?

2

§3.4 矩形谐振腔
①a>b>l TM110为主模 ②a>l>b TE101为主模

?0?TE

011

?

? ?0?TE101 ? ? ?0?TM110 ?

③ l>a>b TE101为主模,是矩形谐振腔的主模 3. 在尺寸一定时,TMmnp及TE mnp的m、n、p分别相同时,其 λr相同,这称为模式简并现象。 (二)固有品质因数 以TE101模为例

§3.4 矩形谐振腔
TE101模场分量的表示式为:

?? a ?? Ey ? ? j H m sin ? ? ?a a ?? ?

? ?? x ? sin ? ? ?l ? z? ?

? z? ?

?? H x ? ? H m sin ? x ? cos ? l ?a ? ?l ?? ? ?? ? H z ? H m cos ? x ? sin ? z ? ?a ? ?l ? Ex ? Ez ? H y ? 0

§3.4 矩形谐振腔
其场结构如图所示:

固有品质因数Q0的表示式为:

Q0 ?

2

?

?H ?H ?
v s

2

dv ds

2

t

§3.4 矩形谐振腔
?
v

H dv ? ? H x ? H z
2 a 0

2

??

? ? ?H
b l 0 0

v

?

2

2 x

? Hz

2

? dxdydz
? x? ?

?dv

2 H m 2 2 ab ? ?a ? l ? l 4

在腔体前后壁(z=0,z=l)的内表面上

H? 1 ? H x1
2

2

侧壁(x=0,x=a)的内表面上:

a2 2 ? ? 2 ? H m 2 sin ? l ?a

H? 2 ? H z1
2

2

?? ? H sin ? ?l
2 m 2

? z? ?

§3.4 矩形谐振腔
腔体上、下两个壁的内表面上(y=0,y=b)内表面上

H? 3 ? H x 2 ? H z 2
2 2

2

? H? ?
s

2

ds ? 2[ ?

a

0

?

b

0

H? 1 dxdy ? ?
2

b

0

?

l

0

H? 2 dydz ? ?
2

a

0

?

l

0

H? 3 dxdz

2

2 Hm ? 2 [2b ? a 3 ? l 3 ? ? al ? a 2 ? l 2 ?] 2l 2 2 ?v H dv abl a2 ? l 2 ? Q0 ? ? 2 ? ? H? ds ? 2b a3 ? l 3 ? al a 2 ? l 2 ?

a 1 ?r 当a ? b ? l时,Q0 ? , ?r ? 2a, Q0 ? 3? 3 2 ?

s

?

?

?

?

§3.4 矩形谐振腔
当λ=10cm,δ=1.22×10-4cm时,Q0=19300 (三)等效电导

2b ? a 3 ? l 3 ? ? al ? a 2 ? l 2 ? Rs G0 ? 2 ? 2b 2 ? a 2 ? l 2 ?

§3.5 同轴线空腔谐振器
同轴腔由一段长为l的同轴线构成,其振荡模式为TEM模。 优点:场结构简单、稳定,无色散,无频率下限,工作频带 宽。 缺点:固有品质因数Q值比较低,损耗大,故工作频率不能 太高。 适用:米波、分米波、厘米波(小功率)低精度的波长计。

一. λ/2同轴腔
由一段长为l= pλr/2的两端短路的 同轴线的构成。

§3.5 同轴线空腔谐振器
2l ? ?r ? ,即当l等于?r / 2或为其整数倍时,腔就产生了谐振 p

因此常把这种腔称为二分之一波长型同轴线谐振腔。 其固有品质因数 Q0 ? ?
2

?H ?H ?
v s

2

dv ds

2

根据磁场表达式来求

t

利用叠加法可得同轴腔内TEM波的电场表达式为:

E0? a ? j? z E0? a j ? z Er ? e ? e r r
根据边界条件①:

z ? 0处, r E

z ?0

? ? ? ? ? 0 ? E0 ? E0 ? 0 ? E0 ? ? E0 ? ? Em

§3.5 同轴线空腔谐振器
Em a ? j? z 2 Em a j? z ? Er ? ? e ? e ? ? ? j r sin ? z r
根据边界条件②:

p? z ? l处, r z ?0 ? 0 ? sin ? l ? 0 ? ? l ? p? 或? ? E l 2 Em a ? p? ? ? Er ? ? j sin ? z? r ? l ?
根据 ?? E ? ? j?? H
2 Em a ?? E ? p? ? ? H? ? ? cos ? z? ? j?? ? ?r ? l ?

§3.5 同轴线空腔谐振器
? ? H? ds ? ? H? 1 ds1 ? ? H? 2 ds2 ? ? ? ? ? ?
2 2 2 s s1 s2 s3

b H? 3 ds3 ? ? ? 4? ln a b a
2

?l ?l

内导体外表面的 积分=πl/a

外导体内表面的 积分=πl/b

两端短路板内表 面的积分= 4πln(b/a)

b 而? H? dv ? l? ln v a ? ? b l? ln ? 2? a ? ? Q0 ? ? b? ? ? ?1 1? ? l ? ? ? ? 4? ln ? ?a b? a? ? ?
2

§3.5 同轴线空腔谐振器
? ? ? ?r 2? 1 ? 当l ? 时,Q0 ? ? b 8 2 ? ?? 1 1 ? ? ? ln ? ? ?? a b ? a ?r ? ? ? ? b 当 ? 3.6时,Q0为最大值,损耗最小。 a

二. λ/4同轴腔
由一段长为l=(2p+1) λr/4的同轴线 一端短路,另一端开路构成。

4l ? ?r ? 2 p ?1
p=0时, λr=4l为最长。

§3.5 同轴线空腔谐振器
?

为了避免场的能量从开口端泄漏,一般将外导体作成比内导 体要长△l。在长为△l的一段圆波导中,其波型为TM,圆波 导中TM波的最低波型TM01,其λc=2.61a,但同轴腔工作于 TEM模条件,有λmin>π(a+b),即有λmin> (λc)TM01,所以 △l段的圆柱波导是截止的。当△l足够长,可以用金属盖封闭 开口端,对清洁、能量泄漏都有好处。

λ/4同轴腔的固有品质因数可以根据λ/2同轴腔的Q0值导出:

? ? b l? ln ? 2? a ? ? ? / 2同轴腔的Q0 ? ? b ? ? ?1 1? ? l ? ? ? ? 4? ln ? ? ?a b? a? ? ?

§3.5 同轴线空腔谐振器
λ/4同轴腔比λ/2同轴腔少一个短路板,所以两端短路板上 的损耗只有λ/2同轴腔上损耗功率的一半。

? ? b l? ln ? ? 2 a ? ? ? / 4同轴腔的Q0 ? ? b? ? ? ?1 1? ? l ? ? 2? ln ? ?a b? a? ? ? ? ? 当l= λr/4时,其Q0值为:

? ? b ln ? 2? a ? Q0 ? ? ? ?? 1 1 ? 8 b ? ? ? a ? b ? ? ? ln a ? ? r ?? ?

因为结构上的原因, λ/4同 轴腔的测量精度比λ/2同轴 腔差一点。

§3.5 同轴线空腔谐振器
三. 电容加载同轴谐振腔
由一段长为l的同轴线构成,其外 导体,比内导体略长t。 画出AA‘截面处等效电路,由AA‘截 面向左的输入导纳Yin为: 1 1 1 Yin ? ? ? ? j ctg ? l Z in jZ 0tg ? l Z0 1 ? Bin ? ? ctg ? l Z0 由AA‘截面向右的导纳Yc为:

Yc ? j?r C ??r为谐振角频率? ? Bc ? ?r C

§3.5 同轴线空腔谐振器
由谐振条件有 ? B ? B ? 0 in c

1 1 ? ?r C ? ctg ? l ? tg ? l ? Z0 ?r CZ 0 1 ? ? l ? tg ? p? ? p ? 0,1, 2 ?? ?r CZ 0
?1

?r ?1 1 ?r ?l ? tg ?p 2? ?r CZ 0 2 1 ? ?1 又 ? tg ? ?r CZ 0 2 ?r ? ?r ?r ?r ?r ?l ? ? ? p ? ? p ? ? 2 p ? 1? 2? 2 2 4 2 4

§3.5 同轴线空腔谐振器
可见此同轴腔的长度小于具有相同谐振频率的λ/4同轴腔 的长度。所以将电容C称为缩短电容,且C值越大,l越短。 其优点:体积较小,工作频带宽。 其缺点:品质因数较低。

§3.6 谐振腔的等效电路及激励与耦合
一. 等效电路
①谐振腔的等效电路是对某单一振荡模式而言,在谐振 频率fr附近而言。 ②等效电路的参考面的选择。当参考面 处于电场最强时,电压最大。等效电 路为LC并联谐振回路。 当参考面处于磁场最强时,电流最大。等效电路为LC 串联谐振回路。

§3.6 谐振腔的等效电路及激励与耦合
二. 激励与耦合
都是通过腔体与外界耦合装置实现。常用的耦合装置有 1.探针耦合 2.环耦合 3.孔式缝隙耦合 Q0 耦合系数: k? QL k=1 临界耦合 k>1 过耦合 k<1 欠耦合


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