江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编10:圆锥曲线_图文

江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 10:圆锥曲线 1 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A , 过双曲线 E 的右焦 点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 a 2 b2

B , C 两点,若 ?ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为_________.
2 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 4 5

F1 , F2 ,点 P 为双曲线上位于第一象限内一点,且 ? PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为___________
3 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)圆心在抛物线 x ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的
2

圆的标准方程为______.
4 . ( 江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,

抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦

点到准线的距离为______.
2 2

5 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)设点 P 是曲线 y=x 上的一个动点,曲线 y=x 在点 P 处

的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y=x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为________.
6 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)椭圆

2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F,直线 a2 b2

x ? m 与椭圆相交于 A,B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离 心率为________.
7 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 已知椭圆

x2 y 2 3 ,A、 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b cos(? ? ? ) =____. cos(? ? ? )

B 是椭圆的左、 右顶点,P 是椭圆上不同于 A、 B 的一点,直线 PA、 PB 斜倾角分别为 ? 、 ? ,则

2 y2 2 2 8 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x +y -10x=0 的圆心重 a b

合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为________.
9 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的

右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相切 , 则该双曲线的离心率为 _____.
10. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲

线 y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点

?

2,2 ,则该椭圆的离心率为____.

?

11. (南京市、 淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ?1. 4 3

1

设过点 M(0,1)的直线与双曲线 C 交于 A、B 两点,若 AM ? 2MB ,则直线的斜率为_____.
12. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 是双曲线 C: 2-

???? ?

????

x2 y2 a b2

=1(a>0,b>0)的右焦点,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 A,延长 FA 与另一条渐近线交于点 B.若 → → FB =2 FA ,则双曲线的离心率为________.
13 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考 试数学试卷) 方程

x2 y2 + ? 1 表示双曲线的充要条件是 k +1 k ? 5

k ? ____.

x2 y2 ? ?1 F F 4 14. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)已知 1 、 2 分别是椭圆 8 的左、右焦
| PF1 ? PF2 | PF1 点, 点 P 是椭圆上的任意一点, 则 的取值范围是
抛物线 y = 4x 的准线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为______.
2

.

15. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与

y 16. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)若双曲线 x ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点到 a
2

2

一条渐近线的距离等于 3 ,则此双曲线方程为______.
17. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知圆 C 的圆心为抛物线 y
2

? ?4 x 的焦点,又直

线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的标准方程为____.
18( .常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) , a 2 b2
2

则该双曲线的离心率的值为_____.
19. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的

焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此 抛物线的方程为____________.
20. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)已知 F1 , F2 是双曲线

的两个焦点,以线段 F1 F2 为边作正 ?MF1 F2 ,若边 MF1 的中点在此双曲线上,则此双 曲线的离心率为__________.

x2 y2 21. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)设双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 a b
线的右支上,且 PF1 ? 4 PF2 ,则此双曲线离心率的最大值为______.

2

二、解答题 22. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)如图,圆 O 与离心率



x2 y2 3 的椭圆 T: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )相切于点 M (0,1) . 2 a b

⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程; ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线 分别交于点 A、C 与点 B、 D(均不重合).
2 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d 2 ,求 d12 ? d 2 的最大值;

②若 3MA ? MC ? 4MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程.

23( .镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB

中点 M 的轨迹方程.

24. (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

3

25. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图,已知椭圆 E1 方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

圆 E2 方程为 x ? y ? a ,过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ)若椭圆 E1 的离心率 e =

1 , F2 为椭圆的右焦点,当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时,求 k1 的值; 2

(Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

k1 b 2 时, ? k2 a 2
y C D B A O x

试问直线 BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理 由.

26. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ 至点 M,使 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? PQ ? 1 QM ,且 PR ? PM ? 0 . 2 (1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点(从左到右),

M

y

Q x O R P

??? ? ???? 交 C2 于 B,C 两点(从左到右),求证: AB ? CD 为定值.

(第 22 题)

27 . ( 2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题) 已知抛物线 C1 : y

2

? x ? 1 和抛物线

C2 : y2 ? ? x ? a在交点处的两条切线互相垂直,求实数 a 的值.

4

28 . (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆

E:

???? ? ???? ? ? x2 y 2 AF ? 5 BF 的左、右焦点 , A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点 , 且 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 ? 0. a 2 b2

(1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点 ,M 为椭圆 E 上的动点 ( 异于点

A 、 B ),连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延
长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分 别为 k1 、 k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在, 求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

29. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 F 是 椭 圆

y

C

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A , B , C 分别为椭圆 E 2 a b ??? ? ??? ? 1 的右、下、上顶点,满足 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 . 2 E:
(1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最 小值时,求点 P 的坐标;

2

2

M A O N B

x

??? ? ??? ?

(3)设点 M 为线段 BC (包括端点 )上的一个动点,射线 MF 交椭圆于点 N ,若 NF ? ? FM ,求实数 ? 的取 值范围.

????

???? ?

5

30 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A 1, A 2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 2 a b 2 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q . y ⑴求直线 OP 的方程; P PQ M ⑵求 的值; Q QA 1 B ⑶设 a 为常数 . 过点 O 作两条互相垂直的直线 ,分别交椭圆 E 于 点 B , C ,分别交圆 A2 于点 M , N ,记 △OBC 和 △OMN 的面积分 A2 A1 x O 别为 S1 , S2 ,求 S1 ? S 2 的最大值. C

E:

N
(第 18 题图)

31. (江苏省泰州、 南通、 扬州、宿迁、 淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)如图,在平面直角坐标系 xOy
2 y2 0) , 离心率为 2 . 分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 中 , 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 2 a b

E (异于 A , C 两点),且 OE ? EF .
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

B
(第 18 题)

32. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二) 数学试题)

如图 ,设 A , B 分别为椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右 a 2 b2

y

顶点和上顶点 ,过原点 O 作直线交线段 AB 于点 M ( 异于 点 A , B ), 交 椭 圆 于 C , D 两 点 ( 点 C 在 第 一 象 限 内), ?ABC 和 ?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 . (1) 若 M 是线段 AB 的中点 , 直线 OM 的方程为 y ? 求椭圆的离心率; (2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求

B C O M A D

1 x, 3

x

S1 的最大值. S2

6

江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 10:圆锥曲线 参考答案
一、填空题 01 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 【答案】

3 5
?6 5 ? ? ? 5 ,2 ? ? ?

02 . (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高 三期末考试数学试卷) 【答案】2 03 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题) 【答案】 ?

04 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 【答案】 ?x ? 1?2 ? ? y ?

? ?

1? ? ?1; 2?

2

05 . ( 江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷) 【答案】4

06 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 【答案】

3 3 2

07 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) 【答案】

2 2
20

2 y2 ? 1. 08 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 【答案】答案: x ?

5

本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申
09 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷) 【答案】 10. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 【答案】 11. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷) 【答案】 ?

3 5 5

2 2

1 2

12. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 【答案】2 13. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考 试数学试卷) 【答案】 (?1, 5) ; 14. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 【答案】 [0, 2 2 ? 2] 15. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 【答案】1; 16. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题) 【答案】 x 17. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 【答案】 ( x ? 1) 18. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 【答案】 5 19. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 【答案】 y
2
2
2

?

y2 ?1 3

? y2 ? 4 ;

? 3x 3 ?1

20. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 【答案】 21. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 【答案】 二、解答题 22. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) 【答案】

5 ; 3

7

解: (1)由题意知:

c 3 ? , b ? 1, c 2 ? b 2 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 可知: a 2
x2 ? y 2 ? 1 与圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 1 4
2 1 2 2 2 2 0 2

椭圆 C 的方程为

2 x0 2 ? y0 ?1 (2)设 P( x0 , y0 ) 因为 l1 ⊥ l 2 ,则 d ? d ? PM ? x ? ( y0 ? 1) 因为 4

所以 d1 ? d 2 ? 4 ? 4 y 0 ? ( y 0 ? 1) ? ?3( y 0 ? ) ?
2 2 2 2 2

1 3

16 , 3

因为 ? 1 ? y0 ? 1

所以当 y 0 ? ?

1 16 4 2 1 2 时 d12 ? d 2 取得最大值为 ,此时点 P(? ,? ) 3 3 3 3
解得 A(?

(3)设 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ?

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

2k 1 ? k 2 , ); k 2 ?1 1? k 2

? y ? kx ? 1 8k 1 ? 4k 2 ? C ( ? , ) 由 ? x2 解得 2 4 k 2 ? 1 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4
把 A, C 中的 k 置换成 ?

1 2k k 2 ? 1 8k k 2 ? 4 , 2 ) , D( 2 , ) 12 分 可得 B( 2 k k ?1 k ?1 k ? 4 k2 ? 4

2k ? 2k 2 8k ? 8k 2 , ) , MC(? 2 , ) 所以 MA ? (? 2 k ?1 1? k 2 4k ? 1 1 ? 4 k 2
MB ? ( 2k ?2 8k ?8 , 2 ) , MD ? ( 2 , 2 ) k ?1 k ?1 k ?4 k ?4
2

由 3MA ?MC ? 4MB ? MD 得

???? ????? ?

???? ???? ?

3k 2 4 ? 2 解得 k ? ? 2 15 分 2 1 ? 4k k ?4

所以 l1 的方程为 y ?

2 x ? 1 , l2 的方程为 y ? ?

2 x ?1 2

或 l1 的方 程为 y ? ? 2x ? 1 , l2 的方程为 y ?

2 x ? 116 分 2

的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中 也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”.

x2 ?
式方程为

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 2 2 )

(3)设直线 MA 的斜率为 k ,

A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ?
,

,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数,

8

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 36 4 ? ? k MB MA 直线 的斜率为 .联立直线 与椭圆方程: ,

整理得

? 9k

2

? 1? x ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k ? 108k ? 18 ? 0
2 2

,得

x1 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2
,

所以 又

x2 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2
,整理得

x2 ? x1 ?

36 2k 108 2k 2 x ? x ? ?6 2 2 1 9k 2 ? 1 , 9k 2 ? 1

y2 ? y1 ? ?kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k
12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 为定值
D 2 ,? E 2

?

?

?108k 3 12 2k ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 ,所以 = 9k ? 1

k AB

2 2 方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

), [来源:学科网 ZXXK]

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , 2 2

E 3 D E 3 2, ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D? m ○ 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3, 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

两式相加得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x12 ? x2 2 ? (1 ? x1 4
2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ?? m? , 2 2

由○ 2○ 3○ 4 解得: D ?

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 , 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1)
9

2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○ 4 2? ?

1 2m 2( m 2 ? 1) 方程○ 1 与方程○ 5 为同解方程. ? , ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2
圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? , (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】 本题考查圆锥曲线的基本量间关系、 直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问题;考查运算求解 能力和推理论证能力.
23( .镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB

中点 M 的轨迹方程. .
【答案】解:设直线方程: y ? x ? m , A?x1 , y1 ?, B ?x2 , y 2 ?, M ?x, y ?

将 y ? x ? m 代入 y 2 ? 2 x ,得 x ? ?2m ? 2 ?x ? m ? 0 ,
2 2

? ? ? ? 2m ? 2 ?2 ? 4m 2 ? 0, ? ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2m, ? x x ? m2 , ? ? 1 2

?m?

x ? x2 1 1 ,x? 1 ?1? m ? , y ? x ? m ?1, 2 2 2

1? ? 线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: y ? 1? x ? ? 2? ?
24. (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

10

【答案】(1)P(

3a 4b , ), 5 5 1 ① 2

K A2 B2 ·KOP=-1,∴4b2=3a2=4(a2-c2), ∴a2=4c2, ∴e=
(2)MN=

4 21 = 7

2 1 1 ? 2 2 a b
2

,∴

a 2 ? b2 7 ? a 2b 2 12



由①②得,a =4,b =3, ∴

2

x2 y 2 ? ?1 4 3
=

(3)cosα =cosβ ,∴

RF1· RQ RF1 · RQ

RF 2 · RQ RF 2 · RQ



(?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y0
1 y0 3
2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y 0
2

化简得: ∴t=-

∵0<y0< 3 ,t∈(-

3 ,0) [来源:Z.xx.k.Com] 3
11

25. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图,已知椭圆 E1 方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

圆 E2 方程为 x ? y ? a ,过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ)若椭圆 E1 的离心率 e =

1 , F2 为椭圆的右焦点,当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时,求 k1 的值; 2

(Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当 求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
y C D B A O x

k1 b 2 时,试问直线 BD 是否过定点?若过定点, ? k2 a 2

【答案】解:(Ⅰ)当 k1

a a ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a) ,则 B(? , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1, 得 a2 b2

b2 1 2 c2 b2 2 6 ∴ 2 ? , e ? 2 ? 1 ? 2 ? ,∴ e ? 3 3 3 a a a
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴ | BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴ xB ? ? 又e ?

a?c , [来源:学|科|网] 2

3 c 1 1 3a a ,∴ xB ? ? , ? ,∴ c ? a , b ? 2 a 2 2 4

代入椭圆方程得 yB ? ?

yB 7 21 21 =? b=? a ,∴ k1 ? xB ? a 4 8 2

? y ? k1 ( x ? a ), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? 2 2 ? ? 0, (Ⅲ)法一:由 ? x 得 y a2 b2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
∴ x ? ? a ,或 x ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) , b 2 ? a 2 k12

12

a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 ∵ xB ? ? a ,∴ xB ? ,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ? 2 b 2 ? a 2 k12 b ? a 2 k12
由?

[来源:学科网]

? y ? k2 ( x ? a ), ?x ? y ? a ,
2 2 2

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a)2 ? 0 ,

得 x ? ? a ,或 x ?

2 2 2ak2 a (1 ? k2 ) a (1 ? k2 ) , 同理 , 得 , yD ? , x ? D 2 2 1 ? k22 1 ? k2 1 ? k2

b4 2 k ) 2 2 2 k1 b 2ab 2 k2 a(a 2 ? b 2 k2 ) a 当 时, xB ? , yB ? 2 , ? ? 2 2 k2 a 2 a ? b 2 k2 b4 2 a 2 ? b 2 k2 2 b ? 2 k2 a
2

a (b 2 ?

k BD

2ab 2 k2 2ak2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 ? ? ? ,∴ BD⊥AD,∵ E2 为圆, 2 2 2 2 k2 a (a ? b k2 ) a (1 ? k2 ) ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2
∠ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0)



法二:直线 BD 过定点 (a, 0) , 证明如下:

xB 2 y B 2 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
k AD k PB ?
2 yB yB yB a2 a2 a2 a 2 b2 k k ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ?1 , 1 PB 2 b2 b 2 xB ? a xB ? a b 2 x B ? a 2 b2 a 2

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0)
26. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ 至点 M,使 PQ ? 1 QM ,且 PR ? PM ? 0 . 2
(1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点(从左到右),交 C2 于 B,C 两点(从左到右),

??? ? ???? 求证: AB ? CD 为定值.

13

M

y

Q x O R P

(第 22 题)

【答案】解:(1)法一:设 M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由 PR ? PM ? 0, PQ ?

??? ? ???? ?

??? ?

? 1 ???? QM 及 R(0,-3),得 2

? ?? x1 ( x ? x1 ) ? (?3) y ? 0, ? 1 ? 化简,得 x 2 ? 4 y ?? x1 ? x, 2 ? 1 1 ? y2 ? y ? y2 . ? ? 2 2

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线 法二:设 M(x,y). ??? ? 1 ???? ? x y 由 PQ ? QM ,得 P(? ,0), Q(0, ) . [来源:学§科§网] 2 2 3 ??? ? ???? ? x 3x 所以, PR ? ( , ?3), PM ? ( , y ) . [来源:学科网] 2 2 ??? ? ???? ? x 3 3 由 PR?PM ? 0 ,得 ( , ?3) ? ( x, y ) ? 0 ,即 x 2 ? 3 y ? 0 .化简得 x 2 ? 4 y 2 2 4 所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线 ??? ? ???? (2)证明:由题意,得 AB ? CD ? AB ? CD ,⊙C2 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F. 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 AB ? FA ? FB ? y1 ? 1 ? 1 ? y1 同理

CD ? y2 .

设直线的方程为 x ? k ( y ? 1) .
? x ? k ( y ? 1), 1 2 ? 2 2 2 2 2 由? 1 2 得 y ? k ( y ? 1) ,即 k y ? (2k ? 4) y ? k ? 0 . 4 y ? x , ? ? 4
??? ? ??? ? 所以, AB ? CD ? AB ? CD ? y1 y2 ? 1
27 . ( 2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题) 已知抛物线 C1 : y
2

? x ? 1 和抛物线

C2 : y2 ? ? x ? a在交点处的两条切线互相垂直,求实数 a 的值.
【答案】[来源:Zxxk.Com]

14

28 . (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆

E:

???? ? ???? ? ? x2 y 2 AF ? 5 BF 的左、右焦点 , A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点 , 且 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 ? 0. a 2 b2

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ),连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点

N ,连接 MD 、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、PQ 的斜率存在且分别为 k1 、
k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)?

???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
2 . 3

故椭圆 E 的离心率为

4 (2) 存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点 , ? c ? 2 , 从而 a ? 3 , b ? 5 , 左焦点 7

15

F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为
x? x1 ? 1 y ?1 y1

x2 y 2 ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 9 5
入 椭 圆 方 程

,



x2 y 2 ? ?1 9 5

,





得,

y ? x ? 1? ? 5 x ? 9 4 y1 ? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ,? y3 ? .从而 x3 ? 1 ,故点 P ? 1 , ? .同 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5 ? x1 ? 5 x1 ? 5 ?

? 5 x ? 9 4 y2 ? y1 y2 ? 理,点 Q? 2 , 从 而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . 从 而 , ? . ? 三 点 M 、 F1 、 N 共 线 , ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 4k k2 ? 3 ? 1 ? 1 2 ? ? .故 k1 ? 2 ? 0 ,从而存在满足条件 5 x ? 9 5 x ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 7 1 ? 2 x1 ? 5 x2 ? 5
4 的常数 ? , l ? ? . 7
29. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A , B , C 分别为椭 a 2 b2
1 . 2

圆 E 的右、下、上顶点,满足 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 (1)求椭圆的方程;

??? ? ??? ?

(2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最小值时,求点 P 的坐标; (3)设点 M 为线段 BC (包括端点 )上的一个动点,射线 MF 交椭圆于点 N ,若 NF ? ? FM ,求实数 ? 的取 值范围.

??? ? ??? ?

????

???? ?

y

C M A O N B
【答案】

x

16

30 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A 1, A 2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 2 a b 2 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q . ⑴求直线 OP 的方程; PQ ⑵求 的值; QA 1 ⑶设 a 为常数.过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 E 于点 B , C ,分别交圆 A2 于点 M , N ,记 △OBC 和 △OMN 的面积分别为 S1 , S2 ,求 S1 ? S 2 的最大值.

E:

y P Q B A2 C N
(第 18 题图)

M

A1

O

x

【答案】⑴连结 A2 P ,则 A2 P ? A1P ,且 A2 P ? a ,
17

又 A1 A2 ? 2a ,所以 ?A1 A2 P ? 60? . 所以 ?POA2 ? 60? ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x ⑵由⑴知,直线 A2 P 的方程为 y ? ? 3( x ? a) , A1 P 的方程为 y ? 联立解得 xP ? 因为 e ?

3 ( x ? a) , 3

a 2

x2 4 y 2 3 c 3 3 1 ,即 ? ,所以 c2 ? a 2 , b2 ? a 2 ,故椭圆 E 的方程为 2 + 2 ? 1 . a a 2 a 2 4 4

? 3 ( x ? a) , ?y ? a ? 3 由? 2 解得 xQ ? ? , 2 7 ? x + 4y ?1 , 2 2 ? a ?a

a a ? (? ) PQ 7 ?3 ? 2 所以 QA 1 ? a ? (? a ) 4 7

[来源:Zxxk.Com]

⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx , a ak ? , ), 联立方程组 ? x 2 4 y 2 解得 B ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 2 + 2 ?1 , a ?a
所以 OB ? a

1? k2 ; 1 ? 4k 2

用?

1? k2 1 代替上面的 k ,得 OC ? a . 4 ? k2 k
2a 1? k
2

同理可得, OM ?

, ON ?

2ak 1? k2

所以 S1 ? S2 ?

1 k ? OB ? OC ? OM ? ON ? a 4 ? 2 4 (1 ? 4k )(4 ? k 2 )

因为

k (1 ? 4k )(4 ? k )
2 2

?

1 1 ≤ , 1 4(k 2 ? 2 ) ? 17 5 k
a4 5

当且仅当 k ? 1 时等号成立,所以 S1 ? S 2 的最大值为

31. (江苏省泰州、 南通、扬州、 宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)如图,在平面直角坐标系 xOy
2 y2 0) , 离心率为 2 . 分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 中 , 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 2 a b

E (异于 A , C 两点),且 OE ? EF .
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.

18

y
C

A E
O

F

D

x

B
(第 18 题)

【答案】(1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ?

a

2 ,故 a ? 2 , 2

从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , 直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?
2

① ②

2 , 2k 2 ? 1

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

kx2 ) , C ( x3, k (1 ? x3 )) , D( x4, k (1 ? x4 )) , kx1 ) , B( x2, 记 A( x1,

则直线 AC , BD 的斜率之和为 kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4

?k? ?k?

( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

2 ?2 ? 2(k ? 1) ? ? 0 ? 4k 2 2? ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? k ? ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

?0
32 . ( 2012-2013 学 年 度 苏 锡 常 镇 四 市 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 二 ) 数 学 试 题 ) 如 图 , 设 A , B 分 别 为 椭 圆

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点,过原点 O 作直线交线段 AB 于点 M (异于点 A , B ),交椭圆 a 2 b2

于 C , D 两点(点 C 在第一象限内), ?ABC 和 ?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 . (1)若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求

1 x ,求椭圆的离心率; 3

S1 的最大值. S2

19

y

B C O M A D

x

【答案】

20

21


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