2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课学案 新人教A版选修2-1

第三章 空间向量与 立体几何 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数 量积的运算及其应用,会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理,掌握 空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问 题. 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α ,β 的法向量分别为 μ ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R l∥α ?a⊥μ ?a·μ =0 α ∥β ?μ ∥v?μ =kv,k∈R l⊥m?a⊥b?a·b=0 l⊥α ?a∥μ ?a=kμ ,k∈R α ⊥β ?μ ⊥v?μ ·v=0 l,m 的夹角为 θ (0≤θ ≤ ),cos θ = 线线夹角 |a·b| |a||b| π 2 l,α 的夹角为 θ (0≤θ ≤ ),sin θ = 线面夹角 |a·μ | |a||μ | π 2 0年 1 每 较 比 间 之 和 指 ( 际 同 不 站 文 某 游 上 读 。 势 趋 加 增 呈 也 量 水 降 显 明 温 升 域 暖 候 气 球 全 着 随 支 条 的 斯 齐 额 属 , 坡 南 山 泰 尔 阿 于 源 发 河 兰 克 图 化 变 程 过 流 径 内 ) 代 个 一 为 α ,β 的夹角为 θ (0≤θ ≤ 面面夹角 = |μ ·v| |μ ||v| π ),cos θ 2 知识点二 用坐标法解决立体几何问题 步骤如下: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)写出相关点的坐标及向量的坐标; (3)进行相关坐标的运算; (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下: (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标 易求且简单,简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题,必须确定点的坐标、直线 的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决,如何转 化也是这类问题解决的关键. 类型一 空间向量及其运算 例 1 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,S 到 A、B、C、D 的距离 都等于 2.给出以下结论: → → → → ①SA+SB+SC+SD=0; → → → → ②SA+SB-SC-SD=0; → → → → ③SA-SB+SC-SD=0; → → → → ④SA·SB=SC·SD; → → ⑤SA·SC=0. 其中正确结论的序号是 . 2 0年 1 每 较 比 间 之 和 指 ( 际 同 不 站 文 某 游 上 读 。 势 趋 加 增 呈 也 量 水 降 显 明 温 升 域 暖 候 气 球 全 着 随 支 条 的 斯 齐 额 属 , 坡 南 山 泰 尔 阿 于 源 发 河 兰 克 图 化 变 程 过 流 径 内 ) 代 个 一 为 答案 ③④ → → → → → → 解析 容易推出SA-SB+SC-SD=BA+DC=0,所以③正确;又因为底面 ABCD 是边长为 1 的 → → → → 正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以SA·SB=2·2·cos∠ASB,SC·SD=2·2·cos∠CSD,而 → → → → ∠ASB=∠CSD,于是SA·SB=SC·SD,因此④正确,其余三个都不正确,故正确结论的序号 是③④. 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形 法则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义. 1 → → 跟踪训练 1 如图,在平行六面体 A1B1C1D1-ABCD 中,M 分AC成的比为 ,N 分A1D成的比为 2, 2 → → → → 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 a、b、c 表示MN. → → → 解 连接 AN,则MN=MA+AN, 由已知 ABCD 是平行四边形, → → → 故AC=AB+AD=a+b, 1 → 又 M 分AC成的比为 , 2 1→ 1 → 故MA=- AC=- (a+b). 3 3 → → → → → → → 1→ 1 由已知,N 分A1D成的比为 2,故AN=AD+DN=AD-ND=AD- A1D= (c+2b). 3 3 1 1 1 → → → 于是MN=MA+AN=- (a+b)+ (c+2b)= (-a+b+c). 3 3 3 类型二 利用空间向量解决位置关系问题 例 2 四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点,求证: (1)PC∥平面 EBD. (2)平面 PBC⊥平面 PCD. 证明 (1)如图,以 D 为坐标原点,分别以 DC,DA,DP 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系. 0年 1 每 较 比 间 之 和 指 ( 际 同 不 站 文 某 游 上 读 。 势 趋 加 增 呈 也 量 水 降 显 明 温 升 域 暖 候 气 球 全 着 随 支 条 的 斯 齐 额 属 , 坡 南 山 泰 尔 阿 于 源 发 河 兰 克 图 化 变 程 过 流 径 内 ) 代 个 一 为 3 设 DC=a,PD=b,则 D(0,0,0),C(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,b),E(0, , ). 2 2 → a b a b → DE=(0, , ),DB=(a,a,0). 2 2 设平面 EBD 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?DE·n=0, 则? ?→ DB·n=0, ? a b ? ? y+ z=0, 即?2 2 ? ?ax+ay=0. a b 令 x=1,得 n=(1,-1, ), a → 因为PC·n=(a,0,-b)·(1,-1, )=0, b →

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