第十章(10)《二项分布超几何分布正态分布》_图文

第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布

第十节

二项分布、超几何分布、 正态分布(1)

考 纲 要 求 1.理解超几何分布及其导出过程,并能进 行简单的应用. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布, 并能解决一些简单的实际问题. 3.利用实际问题的直方图,了解正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义.

知识梳理

一、独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重

复试验.
二、二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好 k k n-k 发生 k 次的概率是 P(ξ=k)=Cnp q , 其中 k=0,1,?,n,q=1-p.

于是得到随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ P 0 1 ? k ? n

1 1 n- 1 k k n- k 0 n n n 0 C p q ? C p q ? C0 p q C n n n np q

我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p)

其中 n,p 为参数,p 叫成功概率.

【例1】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概 2 3 率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标,相互 3 4 之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之 间也没有影响. (1)求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率. (2)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击, (3)设甲连续射击3次,用ξ表示甲击中目标的次数, 求ξ的数学期望Eξ.

问:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少?

解析:(1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中 目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次,相当于 3 次独 ?2? 19 ? ?3 - 立重复试验,故 P(A1)=1-P( A 1)=1-?3? = . 27 ? ? (2)记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 1 3 1 1 3 A2,由于各事件相互独立,故 P(A2)= × × × + 4 4 4 4 4 3 1 1 3 × × × = . 4 4 4 64 2 (3)(法一)根据题意 ξ 服从二项分布,Eξ=3× =2. 3

0 ?1?3 ? ? = (法二)P(ξ=0)=C3·

?3?

1 , 27

1 ?2? ?1?2 ? ?· ? ? = P(ξ=1)=C3·

6 , 3 3 27 ? ?? ? 12 2 ?2?2 ?1?1 ? ? · ? ?= , P(ξ=2)=C3· 27 ?3? ?3? 8 3 ?2?3 ?1?0 ? ? · ? ?= . P(ξ=1)=C3· 27 ?3? ?3? ξ 0 1 2 3 1 6 12 8 P 27 27 27 27 1 6 12 8 Eξ=0× +1× +2× +3× =2. 27 27 27 27

例2:现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有

甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,
约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自

己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加
甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参 加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个 人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求 随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

解析:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游 1 2 戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个人 3 3 中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则
?1? ?2? i ? ?i? ?4-i P(Ai)=C4?3? ?3? . ? ?? ?

(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为
?1? ?2? 8 2? ?2? ?2 P(A2)=C4?3? ?3? = . 27 ? ? ? ?

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大 于去参加乙游戏的人数 ” 为事件 B ,则 B = A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,故 P(B)=P(A3)+ 2 1 3?1?3 4?1?4 P(A4)=C4? ? × +C4? ? = .
?3?

3

?3?

9

所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于 1 去参加乙游戏的人数的概率为 . 9

(3) ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=

8 , 27

40 P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81
所以ξ的分布列是
ξ P 0 8 27 2 40 81 4 17 81

8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=0× +2× +4× = . 27 81 81 81

1 64 64 64 64 2.设随机变量 ξ 服从二项分布 B(6, ),则 P(ξ=3)= 2 16

1.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 3 , 4 某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中 X 0 1 2 3 心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数 X 1 9 27 27 的分布列. P 5

3.甲乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目 标的概率 2 1 为 , 乙每次击中目标的概率为 ,求: 3 2 3 (1)甲恰好击中目标2次的概率;

8 20 (2)乙至少击中目标2次的概率; 27 1 (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率; 1 6
(4)甲、乙两人共击中5次的概率。

思考 1:在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从

桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有 5 发子弹, 第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆. 2 每次射击是相互独立的,且命中的概率都是 . 3 232 (1)求汽油罐被引爆的概率; 243

7 27 (2)如果引爆或子弹打光则停止,求射击次数不小于 4 的概率

思考2:实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛 规定 5局 3胜制(即 5局内谁先赢 3 局就算胜出并停止 比赛). 3 ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. 1 16 ⑵按比赛规则甲获胜的概率. 2

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2

思考 1:解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜 1 1 的概率为 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
王新敞
奎屯 新疆

2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地 - 1 , ? ? ?第n次摸取红球, 每次摸取一个球, 定义数列{an}: an=? ?1, 提示:S7=3 说明摸取 2 个红球,5 个白球。 ? ?第n次摸取白球,

)

如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为( B )
5?1 ?2 ?2 ?5 A.C7 ? ? · ? ?

? ? ? ? ?3? ?3 ?

2?2?2 ?1?5 B.C7 ? ? · ? ?

? ? ? ? ?3? ?3?

4?2?2 ?1 ?5 C.C7 ? ? · ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? D.C7 ? ? · ? ? ?3? ?3? ?3? ?3?

3?1?2 ?2?5

复习回顾
3 2 1、甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 , 4 3

假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响,每次射击 是否击中目标,相互之间也没有影响.

65 (1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; 81
标3次的概率;

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目

1 8

(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问乙恰好射 45 击5次后,被中止射击的概率是多少? 1024

(2)射击次数不小于 4 的事件包括射击 4 次引爆汽油罐 (第 4 次必须 击中)和射击 5 次 (前 4 次至多击中一次,无需考虑第 5 次是否击 中 ).记射击 4 次引爆汽油罐为事件 A,因为第 4 次必须击中,所 以前 3 次中必有一次击中,相当于 3 次独立重复试验中有 1 次发
? ? 2 4 12 1 22 ? ? 生,故 P(A)= P3(1)·= C3 ·· ·= . 3 3 ?3? 3 27

记射击 5 次为事件 B,意味着前 4 次射击中只击中一次或一 次也未击中,相当于 4 次独立重复试验中有 1 次或 0 次发生,故
? ? 2 ?1?3 1 0 1 4 ? ? ? ? P(B)= P4(1)+ P4(0)= C4 ·· + C4 · = . 3 ?3? 9 ?3? 4 1 7 ∵事件 A 与 B 是互斥事件, ∴P(A+B)= P(A)+ P(B)= + = . 27 9 27
1

7 因此,射击次数不小于 4 的概率为 . 27

第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布

第十节

二项分布、超几何分布、 正态分布(2)

三、超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰有 X 件 次 品 数 , 则 事 件 “X = k” 发 生 的 概 率 为 P(X = k) = k n-k CM· CN-M ,k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N, Cn N M≤N,n,M,N∈N*,称分布列 ? X 0 1 2 m 0 n 1 n -1 2 n-2 m n-m CM· CN-M CM· CN-M CM· CN-M CM· CN-M ? P n n n n CN CN CN CN

为超几何分布列, 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,

则称离散型随机变量 X 服从超几何分布.

如:某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名 男生,4名女生,从中选出4个参加数学竞赛考试, 用X表示其中的男生人数,求X的分布列.

例 1、某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进

该批产品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中,第一、二、三箱 中分别有 0 件、 1 件、 2 件二等品,其余为一等品. ( 1)在取出的 3 箱中,若该用户从每箱中任意抽 取 2 件产品进行检验,用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品 的件数,求 ξ 的分布列及数学期望. ( 2)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回 的抽取 3 次 (每次一件 ),求恰有两次抽到二等品的概率;

频率分布直方图

总体密度曲线
频率 组距

产品 尺寸 (mm)

频率 总体密度曲线 组距

(编号) a b

总体在区间 (a , b)内取值的概率

导入

产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象:
( x ? ? )2

1 、正态曲线的定义:

1 ? 2? 2 函数 f ( x) ? e ,x ? (??,??) 2?? ? (? ? 0)是参数,分别表示总体的 式中的实数 ? 、 平均数与标准差.其分布叫做正态分布,由参数 ? , ? 唯 2
一确定.正态分布常记作 为正态曲线.

N (? , ? )

.它的图象被称

π为圆周率,即3.14159· · · ; e为自然对数的底,即2.71828· · · 。

2.正态分布的期望与方差 若? ~ N ( ? , ? 2 ),则?的期望与方差分布为:
E? ? ? , D? ? ?
2

3.正态曲线的性质 (1)非负性:曲线 ?? ,? ( x) 在轴的上方,与x轴不相 交(即x轴是曲线的渐近线). (2)定值性:曲线 ?? ,? ( x) 与x轴围成的面积为1. (3)对称性:正态曲线关于直线 x=μ对称,曲线成 “钟形”. (4)单调性:在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的;在 直线 x=μ的右边, 曲线是下降的. 1 ) (5)最值性:当 x=μ时, ?? ,? ( x取得最大值 ? 2?

4. ?,?的变化规律:
(1)当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而 沿 x 轴左右平移,如下左图.
(2)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越“高瘦”, 表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分 布越分散,如下右图.

5. 3个特殊结论 若X ~ N (?, ? ),则
2

? ? ? 2? , ? ? 2? ?

?? ? ? , ? ? ? ?

区间

取值概率
0.6826 0.9544
0.9974

?? ? 3? , ? ? 3? ?

注: 3σ原则

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

正态总体几乎总取值于区间 ? ? ? 3? , ? ? 3? ? 之内,而在此区间以外取值的概率只有0.26%,通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2) 的随机变量只取 ? ? ? 3? , ? ? 3? ? 之间的 值,并称为3σ原则.

? ? 3? ? ? 2?

? ??

?

? ? ? ? ? 2?

? ? 3?

1.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ), P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)等于( A ) A.0.16
2

2

B.0.32

C.0.68

D.0.84

2、设 X~N(1,2 ),试求: (1)P(-1<X≤3);
0.6826

(2)P(3<X≤5);
0.1359

(3)P(X≥5).
0.0228

0.1 1、已知 ξ~N(0,8 ),且 P(-2≤ξ≤0)=0.4, 则 P(ξ>2)=________

2

1 2、假 设总 体服从 正态 分布 N (3, ) , 如 果要 拒绝 这个 16 统 计假 设 ,则 在一次 实验 中取值 ? 应 落在 区间 ( C ) 9 15 A. ( , ) B. (15 , ??) 4 4 4 C. (??, 9 ) ? (15 , ??) D. ( 9 , ??) 4 4 4
3.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,a2),且 0.3. P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=

1、 设两个正态分布

2 N(μ1, σ1)(σ1> 0)和

2 N(μ2, σ2)

(σ2> 0)的密度函数图象如图所示,则有 ( A ). A. μ1<μ2, σ1< σ2 B. μ1< μ2, σ1> σ2 C. μ1>μ2, σ1< σ2 D. μ1>μ2, σ1> σ2
( x ?3) 2 ? 50

2、正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? 则 P( x ? 3)

1 2? 5

1 2 =_________

e

感 悟 高 考 1.某一部件由三个电子元件按如图所示的方
式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正

常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使
用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),

且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件 3
的使用寿命超过1 000小时的概率为__________.

8

解析:(法一)设该部件的使用寿命超过 1 000 小时 的概率为 P(A).因为三个元件的使用寿命均服从正态 分布 N(1 000,502) ,所以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 1 1 1 000 小时的概率分别为 P1= , P 2= , P3= .因为 P( A ) 2 2 2 1 1 1 1 5 = P 1 P 2P3 + P 3 = × × + = ,所以 P(A) = 1 - 2 2 2 2 8 3 - P ( A )= . 8

( 法二 ) 设该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P(A) . 因 为 三 个 元 件 的 使 用 寿 命 均 服 从 正 态 分 布 N(1 000,502), 所以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的概率分 1 1 1 别为 P1= , P= , P = .故 P(A)=P1 P 2P3+ P 1P2P3+P1P2P3 2 2 2 3 2
? 1? 1? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 3 = ×?1-2?× +?1-2?× × + × × = . 2 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 8

3 答案: 8

思考: (2012· 佛山一模)佛山某学校的场室统一

使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿

命ξ(单位:月)服从正态分布N(μ,σ2),且使用寿命不

少于12个月的概率为0.8,使用寿命不少于24个月的

概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命μ;

(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管,

使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下

(中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率.

解析:(1)∵ξ~N(μ,σ2),P(ξ≥12)=0.8,P(ξ≥24)=0.2, ∴P(ξ<12)=0.2,显然P(ξ<12)=P(ξ≥24), 由正态分布密度函数的对称性可知,μ= 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月. =18, 12 ? 24 2

(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2, 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支,则 η~B(4,0.2).

故至少两支灯管需要更换的概率为:
1 3 0 4 1= P=1-P(η=0)-P(η=1)=1- C 0.8 - 0.8 × 0.2 C 4 4

113 (写成≈0.18也可以). 625
点评:解答这类正态分布问题的关键是熟记正态变量的取

值位于区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)
上的概率值以及正态分布曲线的对称性,同时又要根据已知的 正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个.

5.对正态分布的问题关键是抓住两个参数μ和σ,理解两
个参数的实际意义,再利用三个基本概率值就能解决有关的计 算问题.

6.“小概率事件”和假设检验的基本思想.
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件,认为

在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.这种认识便是进行
推断的出发点.关于这一点我们要有以下两个方面的认识:一 是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的,因

为试验次数多了,该事件当然是很可能发生的;二是当我们运
用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时,我们也 有5%的犯错误的可能.

进行假设检验一般分三步:

第一步,提出统计假设.如课本例子里的统计假设是工人 制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2);
第二步,确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ +3σ); 第三步,做出推断.如果a∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计 假设;如果a?(μ-3σ,μ+3σ),由于这是小概率事件,就拒绝 统计假设. 判断某批产品是否合格,主要运用统计中假设检验的基本 思想.要记住三种区间内取值的概率(简称3σ原则),它对我们 的解题可以带来很大的帮助.

高考预测
1.(2012· 衡水调研)若 ξ~B(n,p)且Eξ=6,Dξ=3,则P(ξ =1)的值为 ( ) A.3· 2- 2 C.2-4 B.3· 2-10 D.2-8

解析:因ξ服从二项分布,所以Eξ=np=6,Dξ=n p(1-p)= 3,解得p= ,1 n=12. 12 2 1 ? 1? ∴P(ξ=1)= C12 ? ?=3· 2-10.故选B. ? 2? 答案:B

变式探究 1.(2012· 韶关调研)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性 别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 10 不喜爱打篮球 5 合计

合计

50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的 3 概率为 . 5 (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程). (2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打 篮球与性别有关?说明你的理由. (3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的 女生人数为ξ,求ξ的分布列与数学期望. 下面的临界值表供参考:

P(K2≥k) 0.15 k 2.072

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2 n ? ad - bc ? 2 参考公式:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d? 其中 n=a+b+ c+d

解析:(1)列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

2 50 × ? 20 × 15 - 10 × 5 ? (2)∵K2= ≈8.333>7.879,∴在犯 30×20×25×25 错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别 有关.

(3)喜爱打篮球的女生人数的可能取值为 0,1,2.其概率分 别为: 2 1 1 C0 C 7 C C 1 10 15 10 15 P(ξ= 0)= 2 = , P(ξ= 1)= 2 = , P(ξ= 2)= C25 20 C25 2 0 C2 C 3 10 15 = . C2 20 25 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 7 1 3 P 20 2 20 7 1 3 4 ξ 的期望值为 Eξ=0× +1× +2× = . 20 2 20 5

正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此 区间以外取值的概率只有0.002 6,通常认为这种情况在一次试 验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验方法的基本 思想. 九、几个重要分布的期望和方差 1.若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1- p). 2.若X~B(n, p), 则EX=np, DX=np(1-p).
n k Ck C M M N-M 3.若 X 服从超几何分布 P(X=k)= ,则 EX= N n CN n, DX=E(X2)-(EX)2.



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