高三数学寒假作业(教师版)

江苏省徐州市棠张高级中学 2014 届高三数学(理科)寒假作业

函数(一)
一、填空题 1.(2011 年辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 ________. 解析:令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f′(x)-2>0,因此,g(x)在 R 上是增函数,又因为 g(- 1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0.所以,原不等式可化为:g(x)>g(-1),由 g(x)的单调性,可得 x>-1. 答案:(-1,+∞) 1 2.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是________. 3 1 1 2 解析:由题意可知|2x-1|< ,解得 <x< . 3 3 3 1 2? 答案:? ?3,3? 3.函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 解析:∵0<a<1,∴u=logax 在(0,+∞)上为减函数,根据复合函数的单调性及图象知,若 f(x)为增 函数,则 1 g(x)为减函数,故 0≤logax≤ ,∴ a≤x≤1, 2 ∴单调减区间为[ a,1]. 答案:[ a,1] 4.动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 t=0 时, 3? ?1 点 A 的坐标是 , ?2 2 ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单调递增区间 是________. 解析:如图,数形结合.由题意知 T=12 秒,则动点 A 转过 3? ?1 30° 圆心角用时 1 秒,又 t=0 时 A , ?2 2 ?, ∴∠AOD=60° , 由图形看出,A-B 与 C-A 时,y 为 t 的增函数, ∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12]. 答案:[0,1]和[7,12] 1 5. 已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点, 若 x1∈(1, x0), x2∈(x0, +∞), 则下列描述正确的是________. 1-x ①f (x1)<0,f(x2)<0 ②f(x1)<0,f(x2)>0 ③f(x1)>0,f(x2)<0 ④f(x1)>0,f(x2)>0 1 解析:函数 y=2x,y= 在(1,+∞)都为单调增函数, 1-x

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∴f(x)=2x+ ∵f(x0)=0,

1 在(1,+∞)上为单调增函数. 1-x

∴x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时, f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)=0. 答案:②
? ?b 6.若定义运算 a*b=? ?a ?

?a≥b? ?a<b?

,则函数

f(x)=3x*3

-x

的最大值为________.


?3 x ? - 解析:∵f(x)=3x*3 x=? x ? ?3

?x≥0?, ?x<0?,

而 x≥0 时,0<3 x≤1,x<0 时,0<3x<1.


∴f(x)的值域为(0,1],故函数的最大值为 1. 答案:1 7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:y=-(x-3)|x|
2 ? ?-x +3x ?x>0? =? 2 ?x -3x ?x≤0? ?

3? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为? ?0,2?. 3? 答案:? ?0,2? 8.若函数 f(x)=-a(x-x3)的递减区间为 - 解析:f′(x)=-a+3ax2,∵函数在 - ∴f′(x)<0,∴a(3x2-1)<0, ∴a>0. 答案:(0,+∞) 9.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数 x,y 都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立.则不等式 f(log2x)<0 的解集为________. 解析:令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1), 即 f(1)=0,则 f(log2x)<0, 即为 f(log2x)<f(1),于是 0<log2x<1, 解集为{x|1<x<2},故填{x|1<x<2}. 答案:{x|1<x<2} 二、解答题 10.已知函数 f(x)自变量取值区间 A,若其值域区间也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.

? ?

3 3? ,则 a 的取值范围是________. , 3 3?

? ?

3 3? 为减函数, , 3 3?

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(1)求函数 f(x)=x2 形如[n,+∞)(n∈R)的保值区间; (2)g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞),求 m 的取值范围. 解析:(1)若 n<0,则 n=f(0)=0,矛盾. 若 n≥0,则 n=f(n)=n2,解得 n=0 或 1, 所以 f(x)的保值区间为[0,+∞)或[1,+∞). (2)因为 g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞), 所以 2+m>0,即 m>-2, 令 g′(x)=1- 1 >0,得 x>1-m, x+m

所以 g(x)在(1-m,+∞)上为增函数, 同理可得 g(x)在(-m,1-m)上为减函数. 若 2≤1-m 即 m≤-1 时, 则 g(1-m)=2 得 m=-1 满足题意. 若 2>1-m 即 m>-1 时,则 g(2)=2,得 m=-1,矛盾. 所以满足条件的 m 值为-1. a 11.已知函数 y=x+x有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0, a ]上是减函数,在[ a,+∞)上 是增函数. 2b (1)如果函数 y=x+ 在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数 b 的值; x c (2)设常数 c∈[1,4],求函数 f (x)=x+ (1≤x≤2)的最大值和最小值. x 解析:(1)b=4. (2)∵c∈[1,4],∴ c∈[1,2], c 又∵f(x)=x+x在(0, c ]上是减函数, 在[ c,+∞)上是增函数,∵在 x∈[1,2]上, 当 x= c时,函数取得最小值 2 c. c c 又 f(1)=1+c,f(2)=2+ ,f(2)-f(1)=1- . 2 2 ∴当 c∈[1,2)时,f(2)-f(1)>0,∴f(2)>f(1), c ∴f(x)的最大值为 f(2)=2+ ; 2 当 c∈(2,4]时, f(2)-f(1)<0,f(2)<f(1), ∴f(x)的最大值为 f(1)=1+c; 当 c=2 时,f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1), ∴f(x)的最大值为 f(2)=f(1)=3. 12. 已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2), 其中常数 k 为负数, 且 f(x)在区间[0,2]上有表达式 f(x)

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=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 解析:(1)f(-1)=kf(1)=-k,∵f(0.5)=kf(2.5), 1 1 3 ∴f(2.5)= f(0.5)= (0.5-2)×0.5=- . k k 4k (2)∵对任意实数 x,f(x)=kf(x+2), 1 ∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)= f(x-2). k 当-2≤x<0 时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0, f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4); 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1, 1 1 f(x)= f(x-2)= (x-2)(x-4). k k

? ?kx?x+2?,-2≤x<0, 故 f (x)=?x?x-2?,0≤x<2, ? ?x-2??x-4?,2≤x≤3. ?1 k
∵k<0, 在[-1,1]上为减函数.

k2?x+2??x+4?,-3≤x<-2,

∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,

(3)由函数 f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在 x=-3 或 x=1 处取得最小值 f(-3)=-k2 或 f(1)=- 1 1,而在 x=-1 或 x=3 处取得最大值 f(-1)=-k 或 f(3)=-k. 故有①k<-1 时,f(x)在 x=-3 处取得最小值 f(-3)=-k2,在 x=-1 处取得最大值 f(-1)=-k; ②k=-1 时,f(x)在 x=-3 与 x=1 处取得最小值 f(-3)=f(1)=-1,在 x=-1 与 x=3 处取得最大值 f(-1)=f(3)=1; 1 ③-1<k<0 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=-1,在 x=3 处取得最大值 f(3)=-k.

函数(二)

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一、填空题 1.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________. 解析:由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知: f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-1. 答案:-1 2.函数 f(x)= 4x+1 的图象关于________对称. 2x

4x+1 - 解析:∵f(x)= x =2x+2 x, 2 ∴f(-x)=2 x+2x=f(x),


∴函数 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称. 答案:关于 y 轴对称 3.若 a,b 是非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|,则函数 f(x)=(xa+b) · (xb-a)是________(填奇函数、偶函数). 解析:∵a⊥b,|a|≠|b|, ∴a· b=0,a2-b2≠0, 则 f(x)=(a· b)x2+(b2-a2)x-a· b=(b2-a2)x. 又 b2-a2≠0,f(-x)=-f(x), ∴f(x)是一次函数且是奇函数. 答案:奇函数 4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, 5 f(x)=2x(1-x),则 f(- )=________. 2 5 5 5 1 1 1 1 解析:依题意得 f(- )=-f( )=-f( -2)=-f( )=-2× ×(1- )=- . 2 2 2 2 2 2 2 1 答案:- 2 5.(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=________. 解析:法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(- x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12 1=-3. 答案:-3 6.(2011 湖南)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. 解析:∵g(-2)=f(-2)+9 ∴f(-2)=3-9=-6

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∴f(2)=-f(-2)=6. 答案:6 7.(2011 年广东)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析:令 g(x)=f(x)-1=x3cosx, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-g(x), ∴g (x)为定义 R 上的奇函数. 又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10, 又 g(-a)=f(-a)-1, ∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 答案:-9 8.(2011 年浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 答案:0 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:由 f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x),故函数图象关于直线 x=2 对称,又函数 f(x)在[0,2]上是增函 数,且为奇函数,故 f(0)=0,故函数 f(x)在(0,2]上大于 0,根据对称性知函数 f(x)在[2,4)上大于 0,同 理推知函数 f(x)在(4,8)上小于 0,故在区间(0,8)上方程 f(x)=m(m>0)的两根关于直线 x=2 对称,故此 两根之和等于 4,根据 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),函数 f(x)以 8 为周期,故在区间(- 8,0)上方程 f(x)=m(m>0)的两根关于直线 x=-6 对称,此两根之和等于-12,综上四个根之和等于- 8. 答案:-8 二、解答题 10.设 f(x)= ax2+1 是奇函数(a、b、c∈Z),且 f(1)=2,f(2)<3.求 a、b、c 的值. bx+c ax2+1 是奇函数, bx+c

解析:∵f(x)= ∴f(-x)=

ax2+1 ax2+1 =-f(x)=- . -bx+c bx+c

∴b(-x)+c=-(bx+c)≠0. ∴c=0. 1 ?a+ b =2, 由 f(1)=2,f(2)<3,得? 4a+1 ? 2b <3.

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4a+1 消去 b,得 <3,解得-1<a<2. a+1 又 a∈Z,∴a=0 或 a=1. 1 若 a=0 时,b= ?Z,若 a=1 时,b=1. 2 ∴a=1,b=1,c=0. 11.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 009]上的所有 x 的个数. 2 2 解析:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 设-1≤x≤0,则有 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)= -1 1 x,即 f(x)= x. 2 2

1 故 f(x)= x(-1≤x≤1) 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∵f(x-2)= (x-2), 2 设∵f(x-2)=-f(2-x) =-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x), 1 ∴-f(x)= (x-2), 2 1 ∴f(x)=- (x-2) (1<x<3) 2

?2x ?-1≤x≤1? ∴f(x)=? 1 ?-2?x-2? ?1<x<3?
1 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2 ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 故 f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z) 2

1

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1 1 005 令 0≤4n-1≤2 009,则 ≤n≤ , 4 2 又∵n∈Z, ∴1≤n≤502(n∈Z), 1 ∴在[0,2 009]上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 2 1 12.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 f[x(x- )]<0 的解 2 集. 解析:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数, 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2

?x?x-2?>0 ∴? 1 ?x?x-2?<1
1 即 0<x(x- )<1, 2 1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 1 0 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2

1

?x?x-2?<0 ∴? 1 ?x?x-2?<-1
1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4

1

函数(三)
一、填空题 1.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为________. 解析:由 x≥0,y≥0 1 x=1-2y≥0 知 0≤y≤ 2

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2 2 t=2x+3y2=2-4y+3y2=3(y- )2+ 3 3 1 1 3 在[0, ]上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2 2 4 3 答案: 4 2.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时是增函数,则 m 的取值范围是________. -m 解析:由题意:- ≤-2, 2×2 ∴m≤-8, ∴m 的取值范围是(-∞,-8]. 答案:(-∞,-8] b 3.函数 y=ax2+bx 与 y=log|a|x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是________.

b 解析:令 ax2+bx=0 得 x=0 或 x=-a, b? 由①②抛物线的图象可知? ?a?<1, b ∴y=log|a|x 应为单调减函数,∴①②错. b? 由③选项抛物线的图象可知? ?a?>1, b ∴y=log|a|x 应为单调增函数,∴③错. b? 由④抛物线的图象可知,0<? ?a?<1, b ∴y=log|a|x 应为单调减函数,∴④对.

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答案:④ 4.若函数 f (x)=x2+ax+b 有两个不同的零点 x1,x2,且 1<x1<x2<3,那么在 f(1),f(3)两个函数值中 ①只有一个小于 1 ②至少有一个小于 1 ③都小于 1 ④可能都大于 1 上述说法不正确的有________. 解析:设 f(x)=(x-m)2+n,由题意可知 1<m<3,n<0. 当 m=2 时,f(1)<1,f (3)<1. 当 m≠2 时,f(1)与 f(3)中至少有一个小于 1. 答案:①③④ 5.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,y=f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根; ③y=f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述四个命题中正确的是________.
2 ? ?x +c?x≥0?, ? 解析:①显然正确,②f(x)= 因 c>0,显然 f(x)=0 只有一解, 2 ?-x +c?x<0?, ?

由 f(-x)=2c-f(x)成立,故③正确,④令 b=-1,c=0, 验之 f(x)=0 有三个根,故填①②③. 答案:①②③ 6.不等式 x2+px+1>2x+p,当|p|≤2 时恒成立,则 x 的取值范围是________. 解析:∵x2+px+1>2x+p, ∴(x-1)p+(x2-2x+1)>0 ∵该等式|p|≤2 时恒成立,
? ?-2?+?x2-2x+1?>0 ??x-1?· ? ∴ ??x-1?· 2+?x2-2x+1?>0 ?

∴x<-1 或 x>3. 答案:x<-1 或 x>3 7.f(x)=x2+2ax+a2+b,当 f(x)在区间(-∞,1]上为减函数时,a 的取值范围为________;若 x∈R,恒 有 f(x)≥0,则 b 的取值范围为________;若 f(x)为偶函数,则 a=________. 解析:f(x)在(-∞,1]上递减, 则 x=-a≥1,即 a≤-1; 若 x∈R,f(x)≥0 恒成立,则 Δ≤0,故 b≥0; 若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x),故 a=0. 答案:a≤-1 b≥0 0

8.关于 x 的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数 m 的取值

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范围是________. 解析:由题意,知 Δ=16m2-4(m+3)(2m-1)>0,① x1+x2= x1x2= 4m <0,② m+3

2m-1 <0.③ m+3

由①②③解得-3<m<0. 答案:(-3,0) 3 2 ? ?x? 9.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈? ?2,+∞?,f?m?-4m f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值 范围是________. 解析:原不等式可变形为: x2 -1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4m2-4, m2 1? 2 2 可得:? ?1+4m -m2?x ≥2x+3, 即 1+4m2- 3 1 2x+3 3 2 ? ≥ 2 = 2+x在 x∈? ?2,+∞?时恒成立, m2 x x

2 1 8 0, ?,则 0<3t2+2t≤ , 令 t= ∈? x ? 3? 3 ∴1+4m2- 1 8 3 ≥ ,可得 m2≥ , m2 3 4 3? ? 3 ? ∪ ,+∞ . 2? ?2 ? 3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

∴m∈ -∞,- 答案: -∞,- 二、解答题

? ?

? ?

10.已知 f(x)=x2+(lg a+2)x+lg b,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立.求实数 a 和 b 的值,并求 f(x)的最小值. 解析:由 f(-1)=-2, ∴(-1)2+(lg a+2)· (-1)+lg b=-2, ∴lg a-1=lg b,∴a=10b, 由 f(x)≥2x 得 x2+(lg a)x+lg b≥0 对 x∈R 恒成立, ∴Δ=(lg a)2-4lg b=(lg b+1)2-4lg b =(lg b-1)2≤0, ∴lg b=1,b=10,a=100, 这时 f(x)=x2+4x+1=(x+2)2-3, 当 x=-2 时,f(x)取最小值-3.

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11.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)若不等式 f(x)>0 的解集为{x|1<x<2},求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)=0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b>-6 且 b 为常数时,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)由题意知方程-3x2+a(6-a)x+b=0 的两根为 1 和 2, -a? , ?1+2=a?63 则? b ?1×2=-3
? ?a=3, ?? ?b=-6. ?

(2)∵-3<0,由图知,只需 f(1)>0 便可满足题意. ∴-3+a(6-a)+b>0 ?a2-6a+3-b<0 ?3- b+6<a<3+ b+6. 12.对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x) 的不动点,已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=1,b=-2 时, f(x)=x2-x-3=x?x2-2x-3=0 ?(x-3)(x+1)=0?x=3 或 x=-1, ∴f(x)的不动点为 x=3 或 x=-1. (2)对任意实数 b,f(x)恒有两个相异的不动点 ?对任意实数 b,ax2+ (b+1)x+b-1=x 恒有两个不等实根 即 ax2+bx+b-1=0 恒有两个不等实根 ?对任意实数 b,Δ=b2-4a(b-1)>0 恒成立 ?对任意实数 b,b2-4ab+4a>0 恒成立 ?Δ′=16a2-16a<0 ?a(a-1)<0?0<a<1.

函数(四)
一、填空题
2 ? ?x +2x-3,x≤0, 1.函数 f(x)=? 的零点个数为________. ?-2+ln x,x>0 ?

解析:①x≤0 时,f(x)=0?x2+2x-3=0, ∴x=-3(x=1 舍去) ②x>0 时,f(x)=0?-2+ln x=0, ∴x=e2.

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答案:2 2.方程|x|(x-1)-k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是________. 解析:本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法,即构造函数利用函数图象解题, 其次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.如图,作出 y=|x|(x-1)(分段函数)的图象,由 1 - ,0?时,函数 y=k 与 y=|x|(x-1)有三个不同的交点,即方程有三个不相等的实根. 图象知当 k∈? ? 4 ?

1 ? 答案:? ?-4,0? 3.(2011 年陕西)方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内 ①没有根 ②有且仅有一个根 ④有无穷多个根 上述说法正确的有________. 解析:求解方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内根的个数问题, 可转化为求解函数 f(x)=|x|和 g(x)=cos x 在(-∞,+∞)内 的交点个数问题.f(x)=|x|和 g(x)=cos x 的图象如图所 示.显然有两交点,即原方程有且仅有两个根. 答案:③ 4.方程 log2(x+4)=2x 的根有________个. 解析:作函数 y=log2(x+4),y=2x 的图象如图所示, 两图象有两个交点,且交点横坐 标一正一负,∴方程有一正根和一负根. ③有且仅有两个根

答案:2 5.函数 y= 1 的图象与函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________. 1-x

解析:如图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4]上共 8 个公共 点,每两个对应交点横坐标之和为 2,故所有交点的横坐标之和为 8.

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答案:8 6.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N),则 n=________. 解析:f(2)=-1+ln 2<0, f(3)=2+ln 3>0, ∴n=2. 答案:2 7.关于 x 的实系数方程 x2-ax+2b=0 的一根在区间[0,1]上,另一根在区间[1,2]上,则 2a+3b 的最大值 为______. 解析:令 f(x)=x2-ax+2b,据题意知函数在[0,1],[1,2]内各存在一零点,结合二次函 数图象可知满足条件: f?0?≥0 ? ? ?f?1?≤0 ? ?f?2?≥0 b≥0, ? ? ??1-a+2b≤0, ? ?4-2a+2b≥0,

在直角坐标系中作出满足不等式的点(a,b)所在的可行域,问题转化为确定线性目标 函数:z=2a+3b 的最优解,结合图形可知当 a=3,b=1 时,目标函数取得最大值 9. 答案:9 2 ? ?x,x≥2, 8.(2011 年北京)已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 3 ? ??x-1? ,x<2. 的取值范围是________. 解析:当 x<2 时,f′(x)=3(x-1)2≥0,说明函数在(-∞,2)上单调递增,函数的值域是(-∞,1), 又函数在[2,+∞)上单调递减,函数的值域是(0,1].因此要使方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则 0<k <1. 答案:(0,1) 9.(2011 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n, n+1),n∈N*,则 n=________. 解析:令 y1=logax,y2=b-x,函数 f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标,由 于直线 y2=b-x 在 y 轴上的截距 b 满足 3<b<4,结合函数图象,函数 f(x)只有一个零 点,且 n 只能是 1 或者 2 或者 3.f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3<0,f(3)=loga3+3-b >1+3-4>0.根据函数零点存在性定理可得,函数 f(x)的零点在区间(2,3) 内,故 n=2.

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答案:2 二、解答题 10.方程 x3-3x=a 有三个实数根,求实数 a 的取值范围. 解析:设 f(x)=x3-3x,则 f′(x)=3x2-3, 当 x>1 或 x<-1 时,f′(x)>0,函数 f(x) 在(-∞,-1)和(1,+∞)上都递增; 当-1<x<1 时,f′(x)<0, 故 f(x)在[-1,1]上递减, 所以[f(x)]极大=f(-1)=2, [f(x)]极小=f(1)=-2, 因此欲使直线 y=a 与 y= f(x)的图象有三个交点,只需-2<a<2, 即当-2<a<2 时,方程 x3-3x=a 有三个实数根. 1 11.已知集合 P=[ ,2],函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q. 2 (1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若方程 log2(ax2-2x+2)=2 在[ ,2]内有解,求实数 a 的取值范围. 2 1 解析:(1)若 P∩Q≠?,则在 x∈[ ,2]内,至少有一个值 x 使得 ax2-2x+2>0 成立, 2 -2 2 1 即在 x∈[ ,2]内,至少有一个值 x 使得 a> 2 + 成立. x 2 x 2 2 1 1 1 设 μ=- 2+x=-2(x- )2+ , x 2 2 1 1 当 x∈[ ,2]时,μ∈[-4, ],∴a>-4, 2 2 所以实数 a 的取值范围是{a|a>-4}. 1 (2)方程 log2(ax2-2x+2)=2 在[ ,2]内有解, 2 1 则 ax2-2x-2=0 在[ ,2]内有解. 2 1 2 2 即在 x∈[ ,2]内有值 x 使得 a= 2+x成立, 2 x 2 2 1 1 1 μ′= 2+x=2(x+ )2- . x 2 2 1 3 当 x∈[ ,2]时,μ′∈[ ,12], 2 2 3 ∴a∈[ ,12], 2 3 所以实数 a 的取值范围为 a∈[ ,12]. 2

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12.设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证: b (1)a>0,且-2< <-1; a (2)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个相异实根. 证明:(1)因为 f(0)>0 ,f(1)>0, 所以 c>0,3a+2b+c>0. 由条件 a+b+c=0,消去 c, b 则 a+b<0,2a+b>0,∴a>0,故-2<a<-1. b b 3ac-b ? (2)抛物线 f(x)=3ax +2bx+c 的顶点坐标为?- , .在-2<a<-1 的两边同乘 3a ? ? 3a
2 2

b 2 1 1 以- ,得 <- < . 3 3 3a 3 a2+c2-ac b - ?=- 又因为 f(0)>0,f(1)>0,而 f? <0, ? 3a? 3a b? ? b ? 所以方程 f(x)=0 在区间? ?0,-3a?与?-3a,1?内分别有一实根. 故方程 f(x)=0,在(0,1)内有两个相异实根.

函数(五)
一、填空题 1.(2011 年江西)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为________. 解析:y′=ex,k=y′|x=0=1 答案:1 2.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为________. 解析:∵y′x=1=3x2-2x=1=1 ∴切线方程为 y-0=1×(x-1) 整理得 y=x-1. 答案:y=x-1 3.(2011 年山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是________. 解析:y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3,故切线方程是 y-12=3(x- 1),令 x=0,得 y=9. 答案:9 4.(2011 年湖南)曲线 y= 解析:y′= π ? sin x 1 - 在点 M? ?4 ,0?处的切线的斜率为________. sin x+cos x 2

cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? = ?sin x+cos x?2

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1 π 1 ,把 x= 代入得导数值为 . 4 2 1+sin 2x 1 答案: 2 5.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 解析:由于 f′(x)=4ax3+2bx,∴f′(1)=4a+2b=2, 又 f′(-x)=-f′(x),∴f′(x)为 R 上的奇函数, 因此,f′(-1)=-f′(1)=-2. 答案:-2 6.如图所示,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-2x+9,则 f(4)+f′(4)的值为________. 解析:因为 f(4)=-2×4+9=1, f′(4)=-2, 所以 f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1. 答案:-1 7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y =x3-10x+ 3 上,且在第二象限

内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 解析:由 y=x3-10x+3,得 y′=3x2-10, 由曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2, ∴y′=3x2-10=2, 即 x2=4,又点 P 在第二象限, ∴x=-2,又点 P 在曲线 C 上, ∴y=(-8)+20+3=15, 则点 P 的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15) π π+2? 8.已知曲线 f(x)=xsin x+1 在点? , 处的切线与直线 ax-y+1=0 互相垂直,则实数 a=________. 2 ? ?2 π? 解析: f′(x)=sin x+xcos x,f′? ?2?=1,因为切线与 ax-y+1=0 互相垂直,所以 a=-1. 答案:-1 9.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点 P 纵坐标 的取值范围是________. 解析:设 P(a,a2-a+1),y′x=a=2a-1∈[-1,3], ∴0≤a≤2. 1 3 a- ?2+ , 而 g(a)=a2-a+1=? ? 2? 4 1 3 当 a= 时,g(a)min= . 2 4

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3 ? a=2 时,g(a)max=3,故 P 点纵坐标范围是? ?4,3?. 3 ? 答案:? ?4,3? 二、解答题 10.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,且 f(-1)=-1,若方程 f′(x)=0 的实数根为± 1,求方程 f(x)=0 的实 数根. 解析:由题设的三个条件“f(-1)=-1,f′(1)=0, f′(-1)=0”列方程组可解得 a、b、c 的值. ∵f(-1)=-1,∴-a+b-c=-1,即 a-b+c=1.① 又∵f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(x)=0 的实数根为± 1, ∴3a+2b+c=0,②,且 3a-2b+c=0,③ 1 3 联立方程①②③,解得 a=- ,b=0,c= . 2 2 1 3 由 f(x)=0,得- x3+ x=0,解得 x=0, 2 2 或 x=± 3,即方程 f(x)=0 的实数根为 0,± 3. 11.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 解析:(1)由 f(x)=x3-3x 得,f′(x)=3x2-3,过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点为(x0,x3 0-3x0),(x0≠1), 切线斜率 k=f′(x0)=3x2 0-3,
2 切线为 y-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(x-x0)

又切线过 P(1,-2)
2 ∴-2-x3 0+3x0=(3x0-3)(1-x0) 2 即 2x3 ∴(x0-1)2(2x0+1)=0 0-3x0+1=0

∵x0≠1,∴x0=-

1 2

1 3 3 1 - + ?=? -3??x+ ? ∴所求切线方程为 y-? ? 8 2? ?4 ?? 2? 即 9x+4y-1=0. 12.设函数 f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-ln x+2,其中 a∈R,x>0. (1)若 a=2,求曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程; (2)是否存在负数 a,使 f(x)≤g(x)对一切正数 x 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由. 解析:(1)由题意可知:当 a=2 时,g(x)=4x2-ln x+2,

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1 则 g′(x)=8x- . x 曲线 y=g (x)在点(1,g(1))处的切线斜率 k=g′(1)=7, 又 g(1)=6, 故曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y-6=7(x-1),即 y=7x-1. (2)设函数 h(x)=f(x)-g(x)=ax+ln x-a2x2(x>0). 假设存在负数 a,使得 f(x)≤g(x)对一切正数 x 都成立, 即:当 x>0 时,h(x)的最大值小于等于零. -2a2x2+ax+1 1 h′(x)=a+ -2a2x= (x>0), x x 令 h′(x)=0 可得:x1=- 当 a<x<- 当 x>- 1 1 ,x2=a(舍). 2a

1 时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 2a

1 时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 2a

1 所以 h(x)在 x=- 处有极大值,也是最大值. 2a 1? ∴h(x)max=h? ?-2a?≤0, 1 3 解得:a≤- e- , 2 4 1 3 所以负数 a 存在,它的取值范围为:a≤- e- . 2 4

函数(六)
一、填空题 1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________. 1 3

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1 解析:∵y=- x3+81x-234,∴y′=-x2+81(x>0).令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 3 得 0<x<9,∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值. 答案:9 万件 2.(2011 年湖南)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN| 达到最小时 t 的值为________.
2 1 2x -1 2 解析:|MN|的最小值,即函数 h(x)=x2-ln x 的最小值,h′(x)=2x- = ,显然 x= 是函数 x x 2

h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故 t= 答案: 2 2

2 . 2

3.(2011 年福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于________. 解析:函数的导数为 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x)在 x=1 处 a+b?2 ?6?2 的导数值为零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数,所以 ab≤? ? 2 ? =?2? =9,当且仅当 a=b=3 时取到等号. 答案:9 4.(2011 年浙江)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值 点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是________.

解析:设 h(x)=f(x)ex, 则 h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex =(ax2+2ax+bx+b+c)ex. 由 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,当 x=-1 时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,∴c=a. a ∴f(x)=ax2+bx+a.若方程 ax2+bx+a=0 有两根 x1, x2, 则 x1x2=a=1, ④中图象一定不满足该条件. 答案:④ 1 5.函数 f(x)=2x4-3x2+1 在区间[ ,2]上的最大值和最小值分别是________. 2 3 3 解析:令 f′ (x)=8x3-6x=0,得 x=0 或 x=± ,x=0 及 x=- 不合题意,舍去. 2 2 ∵f( 3 9 3 1 )=2× -3× +1=- , 2 16 4 8

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1 3 f( )= ,f(2)=21. 2 8 ∴原函数的最大值为 f(2)=21,最小值为 f( 答案:21,- 1 8 3 1 )=- ,故应选 A. 2 8

6.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极小值是________. 解析:当 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=c. 答案:c 7.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)· (x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值 范围是________. 解析:结合二次函数图象知, 当 a>0 或 a<-1 时,在 x=a 处取得极小值, 当-1<a<0 时,在 x=a 处取得极大值, 故 a∈(-1,0). 答案:(-1,0) 8.(2011 年广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 解析:由题意知 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2,由 f′(x)>0 得 x<0 或 x >2,由 f′(x)<0 得 0<x<2.∴f(x)在 x=2 处取得极小值. 答案:2 9.将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形, ?梯形的周长?2 记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 解析:设 DE=x, 则梯形的周长为:3-x, 1 3 3 梯形的面积为: (x+1)· (1-x)= (1-x2) 2 2 4 ∴s=
2 ?3-x?2 4 3 x -6x+9 = · ,x∈(0,1), 3 1-x2 3 ?1-x2? 4

设 h(x)= h′(x)=

x2-6x+9 , 1-x2

-6x2+20x-6 . ?1-x2?2

1 令 h′(x)=0,得:x= 或 x=3(舍), 3 1? ∴h(x)最小值=h? ?3?=8,

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∴s 最小值=

4 3 32 3 ×8= . 3 3

32 3 答案: 3 二、解答题 10.(2011 年浙江)设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.注:e 为自然对数的底数. 解析:(1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,
?f?1?=a-1≥e-1 ? 只要? 2 2 2 ? ?f?e?=a -e +ae≤e ,

解得 a=e. 1 11.(2011 年江西)设 f(x)= x3+mx2+nx. 3 (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5,求 f(x)的解析式; (2)如果 m+n<10(m,n∈N*),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间(a, b)的长度为 b-a) 解析:(1)由题得 g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2,已知 g (x)在 x=-2 处 取得最小值-5,
?m-1=2, ? 所以? 即 m=3,n=2, 2 ? ??n-3?-?m-1? =-5,

1 即得所要求的解析式为 f(x)= x3+3x2+2x. 3 (2)因为 f′(x)=x2+2mx+n,且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故 f′(x)=0 一定有两个不同 的根, 从而 Δ=4m2-4n>0 即 m2>n. 不妨设为 x1,x2,则|x2-x1|=2 m2-n为正整数. 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m,n, 当 m=2 时,只有 n=3 符合要求, 当 m=3 时,只有 n=5 符合要求, 当 m≥4 时,没有符合要求的 n

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综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求. 12.已知函数 f(x)= 1-m+lnx ,m∈R. x

(1)若 m=1,判断函数在定义域内的单性; (2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数 m 的取值范围. 1-ln x ln x 解析:(1)显然函数定义域为(0,+∞),若 m=1,f(x)= x ,则 f′(x)= ,令 f′(x)=0,得 x x2 =e. 当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. (2)f′(x)= m-ln x . x2

令 f′(x)=0,得 x=em,当 x∈(0,em)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈(em,+∞)时,f′(x)<0, f(x)的单调递减. 故当 x=em 时,f(x)有极大值,根据题意 1<em<e, 即 0<m<1.

数列(一)
一、填空题 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为________. 解析:a8=S8-S7=64-49=15;也可求得 a1=1,n≥2 时,an=2n-1,∴a8=15. 答案:15 2.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= 则 a20 的值是________. 0- 3 解析:a2= =- 3 0× 3+1 - 3- 3 a3= = 3 - 3× 3+1 an- 3 (n∈N*), 3an+1

a4=0,由此发现周期 T=3,∴a20=a2=- 3. 答案:- 3 3.(2011 年安徽)若数列 {an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+?+a10=________. 解析:a1+a2+?+a10 =-1+4-7+10+?-25+28 =(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+28) =3×5=15. 答案:15 4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2n(n∈N*),则 a10 等于________.

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解析:∵an+1-an=2n(n∈N*),a1=1, ∴a10=(a10-a9)+(a9-a8)+?+(a2-a1)+a1 =29+28+?+21+1=210-1=1 023. 答案:1 023 an 5.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则 a5 等于________. 2an+3 解析:由 a1=1,及 an+1= 1 答案: 161 6. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 对任意 n∈N*, 都有 Sn=2an-1, 则 a1 的值为________, an=________. 解析:a1=2a1-1,∴a1=1, 当 n≥2,且 n∈N*时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, an 即 =2, an-1 ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴an=2n 1(n∈N*).


an a1 1 1 1 1 (n∈N*)知,a2= = ,a3= ,a4= ,a5= . 17 53 161 2an+3 2a1+3 5

答案:1

2n

-1

7.已知数列{an}的首项 a1=1,并且对任意 n∈N*,都有 an>0,设其前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn)(n 1 ∈N*)为坐标的点在曲线 y= x (x+1)上运动,则数列{an}的通项公式为________(n∈N*). 2 1 解析:由题意 Sn= an(an+1), 2 1 Sn+1= an+1(an+1+1). 2
?2Sn=a2 ① ? n+an ∴? 2 ? ?2Sn+1=an+1+an+1 ②
2 ②-①得 2an+1=a2 n+1-an+an+1-an,

∴(an+1+an)(an+1-an-1)=0. ∵an>0,∴an+1+an≠0, ∴an+1-an=1. 又 a1=1,a2=2,∴a2-a1=1,适合通式, ∴an=n. 答案:an=n 8.数列{an}的构成法则如下:a1=1,如果 an-2 为自然数且之前未出现过,则用递推公式 an+1=an -2.否则用递推公式 an+1=3an,则 a6=________. 解析:弄清数列的递推关系,逐一写出数列的前 6 项.实际上,本题中的递推公式是一个分段递 推,用数学语言可表示为

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?an-2,?an-2∈N*且an-2?{a1,?,an}?, ? an+1=? * ?3an,?an-2?N 或an-2∈{a1,?,an}?. ?

∵a1-2=-1?N*,∴a2=3a1=3;∵a2-2=1=a1, ∴a3=3a2=9;∵a3-2=7,∴a4=7;∵a4-2=5, ∴a5=5;∵a5-2=3=a2,∴a6=3a5=15. 答案:15 2 1 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*,都有 Sn= an- ,且 1<Sk<9(k∈N*),则 a1 的值为 3 3 ________,k 的值为________. 2 1 解析:当 n=1 时,a1= a1- ∴a1=-1 3 3 2 1 2 1 2 当 n≥2 时,an= an- -( an-1- )= an- 3 3 3 3 3 an 2 a ∴ =-2 3 n-1 an-1 ∴数列{an}是首项为-1,公比为-2 的等比数列. 2 1 - - ∴an=-(-2)n 1,Sn=- ×(-2)n 1- . 3 3 2 1 - 由 1<- ×(-2)k 1- <9 3 3 答案:-1 二、解答题 10.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-30. (1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? (2) n 为何值时,an=0,an>0,an<0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值?说明理由. 解析:(1)由 an=n2-n-30,得 a1=1-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 设 an=60,则 60=n2-n-30. 解之得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴60 是此数列的第 10 项. (2)令 n2-n-30=0,解得 n=6 或 n=-5(舍去). ∴a6=0. 令 n2-n-30>0,解得 n>6 或 n<-5(舍去). ∴当 n>6(n∈N*)时,an>0. 令 n2-n-30<0,解得 0<n<6. 4
[

得-14<(-2)k 1<2 又 k∈N* ∴k=4.


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∴当 0<n<6(n∈N*)时,an<0. 1 1 (3)由 an=n2-n-30=(n- )2-30 ,(n∈N*) 2 4 知{an}是递增数列,且 a1<a2<?<a5<a6=0<a7<a8<a9<?, 故 Sn 存在最小值 S5=S6,不存在 Sn 的最大值. 11.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2-n. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 (2)若 bn= (n≥2 且 n∈N*),记 Tn=b2+b3+?+bn,求证:Tn< . nan 2 解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=0; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-n-(n-1)2+(n-1) =2n-2. 因为 a1=0 满足 an=2n-2,所以 an=2n-2. 1 (2)证明:因为 bn=na (n≥2 且 n∈N*),
n
[

所以 bn=

1 1 1 1 = ( - ). 2n?n-1? 2 n-1 n

Tn=b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+ - )= (1- )< , n 2 2 2 2 3 n-1 n 2 1 即 Tn< . 2 10 12.已知数列{an}的通项 an=(n+1)( )n(n∈N*),则该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和 11 最大项的项数;若没有,说明理由. 解析:设第 k 项最大
?ak≥ak+1 ? 则? 即 ? ?ak≥ak-1

??k+1??11? ≥?k+2??11? ? 10 10 ??k+1??11? ≥k?11?
k k k-1

10

10

k+1

?10?k+1?≥k+2 ∴? 11 ?k+1≥k· 10
∴9≤k≤10 10 ∴数列{an}的最大项为 a9 或 a10,其值为 10· ( )9,其项数为 9 或 10. 11

11

数列(二)

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一、填空题 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=________. 解析:∵a3+a4+a5=12 ∴a4=4 则 a1+a2+?+a7=7a4=28. 答案:28 Sn 2n+1 a9 2.已知等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,且T = .则 等于________. 3n+2 b9 n a9 17a9 S17 2×17+1 35 解析: = = = = . b9 17b9 T17 3×17+2 53 35 答案: 53 3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=________. 解析:Sk+2-Sk=ak+1+ak+2 =a1+kd+a1+(k+1)d =2a1+(2k+1)d=2+2(2k+1)=24 ∴k=5. 答案:5 4.(2011 年江西)设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=________. 解析:∵S10=S11,∴a11=0. ∴a1+10d=0. ∴a1=-10d=20. 答案:20 5.(2011 年湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________. 解析:设最上面一节的容积为 a1,公差为 d,则 有
? ? ?a1+a2+a3+a4=3, ?4a1+6d=3, ? 即? 解得 ?a7+a8+a9=4, ? ? ?3a1+21d=4,

?a =22, ? 7 ?d=66,
1

13

则 a5=

67 67 ,故第 5 节的容积为 升. 66 66

67 答案: 升 66 6.(2011 年重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. 解析:a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=74. 答案:74 7.(2011 年天津)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*.若 a3=16,S20=20,则 S10 的值为

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________. 解析:设{an}的首项,公差分别是 a1,d,则 a +2d=16, ? ? 1 ? 解得 a1=20,d=-2, 20×?20-1? 20a1+ ×d=20, ? 2 ? 10×9 ∴S10=10×20+ ×(-2)=110. 2 答案:110 8.(2011 年湖南)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________. 解析:d= S5=5a1+ 答案:25 9.(2011 年广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 9×8 4×3 1 解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1,得 9×1+ d=4×1+ d,所以 d=- .又 ak 2 2 6 a4-a1 =2 4-1
[

5×4 d=25. 2

? 1?? ? ? 1? ? +a4=0,所以? ?1+?k-1?×?-6??+?1+?4-1?×?-6??=0,即 k=10.
答案:10 二、解答题 10.(2011 年福建)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3. 解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. 所以 Sn= n[1+?3-2n?] =2n-n2. 2

进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求结果. 1 1 3 11.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和且 n∈N*,所有项 an>0,且 Sn= a2 + a - .求数列{an}的通项公式. 4 n 2 n 4 1 1 3 解析:当 n=1 时,a1=S1= a2 + a - ,解得 a1=3 或 a1=-1(舍去). 4 1 2 1 4

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1 2 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an +2an-3)- (a2 +2an-1-3). 4 4 n-1
2 ∴4an=a2 n-an-1+2an-2an-1.

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2). ∴数列{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=3+2(n-1)=2n+1. 12.(2011 年辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?

解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
?a1+d=0, ?a1=1, ? ? ? 解得? ? ? ?2a1+12d=-10, ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ?

a2 an 即 Sn=a1+ +?+ n-1,故 2 2 Sn a1 a2 an S1=1, = + +?+ n, 2 2 4 2 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 1 1 1 2-n =1-?2+4+?+2n-1?- n ? ? 2 1 2-n n =1-?1-2n-1?- n = n. 2 ? ? 2 所以 Sn= n - . 2n 1

? an ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ?

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数列(三)
一、填空题 S5 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =________. S2 解析:设数列{an}的公比为 q,由 8a2+a5=0 得 a1q(8+q3)=0, ∵a1q≠0,∴q=-2
5 5 S5 1-q 1-?-2? ∴ = = =-11. S2 1-q2 1-4

答案:-11 2.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=________. 解析:由题 S3=7 可知,q≠1.则 a q· a q =1 a =4 ? ? ? 1 1 3 ? 1 ? ?a1?1-q ? 解得 1 =7 ? ? ?q=2 ? 1-q ∴S5= a1?1-q5? 31 = 4 1-q
3

31 答案: 4 5 3.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5 4 =________. 解析:设数列{an}的公比为 q,则 a q· a q =2a1, a =16, ? ? ? 1 1 ? 1 ? 3 ? 解得 5 1 6 ? ? ?a1q +2a1q =2, ?q=2.
2

? ?1?5? a1?1-q5? 16?1-?2? ? 所以 S5= = =31. 1 1-q 1- 2
答案: 31 S6 S9 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =________. S3 S6 解析:由等比数列的性质:S3、S6-S3、S9-S6 仍成等比数列,于是由 S6=3S3.可得: S9-S6=4S3,S9=7S3 S9 7 ∴ = . S6 3 7 答案: 3

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1 5. 已知{an}是首项为 1 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和, 且 9S3=S6, 则数列{ }的前 5 项和为________. an 解析:∵a1=1,9S3=S6,∴q≠1. 1-q3 1-q6 则 9· = ,得 q3=1(舍),q3=8, 1-q 1-q 1 1 ∴q=2,∴a = n-1, 2 n
?1? ∴数列?a ?前 5 项和为 ? n?

1?5 1-? ?2? 31 = . 1 16 1- 2

31 答案: 16 6.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an=________. 解析:S3=a1(1+q+q2)=21a1=21, ∴a1=1,∴an=4n 1.


答案:4n

-1

7.(2011 年广东)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. 解析:由已知,得 2q2-2q=4, ∴q=2 或 q=-1, 又{an}是递增数列,∴q=2. 答案:2 1 8. (2011 年北京)在等比数列{an}中, 若 a1= , a =4, 则公比 q=________; a1+a2+?+an=________. 2 4 1 解析:a4=a1q3,得 4= q3, 2 解得 q=2,a1+a2+?+an 1 ?1-2n? 2 1 - = =2n 1- . 2 1-2 答案:2 2n 1-


1 2

9.在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=30,则 a3+a6+a9+?+a99=________. 解析:∵S99=30, 即 a1(299-1)=30. a3+a6+a9+?+a99= 4 120 = ×30= . 7 7 120 答案: 7 4a1?833-1? 4 = a1(299-1) 7 8-1

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二、解答题 10.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.
?a1q=6, ? 解析:设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ? ?6a1+a1q =30. ? ? ?a1=3, ?a1=2, 解得? 或? ?q=2, ? ? ?q=3.

当 a1=3,q=2 时, an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1);


当 a1=2,q=3 时,an=2×3n 1,Sn=3n-1.


1 1 11.(2011 年课标全国)已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 1-an ; 2

(2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 1?n-1 1 解析:(1)证明:因为 an= ×? = n, 3 ?3? 3 1 1 1? 1- n? 1- n 3 3? 3 ? Sn= = , 1 2 1- 3 所以 Sn= 1-an . 2

(2)因为 bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) n?n+1? =- . 2 所以{bn}的通项公式为 bn=- n?n+1? . 2

12.(2011 年江西)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解析:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n
-1

或 an=(2- 2)n 1.


(2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 1 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3

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数列(四)

一、填空题 1.(2011 年四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=________. 解析:∵an+1=3Sn, ∴Sn+1-Sn=3Sn,即 Sn+1=4Sn. 又 S1=a1=1, ∴{Sn}是等比数列,首项为 1,公比为 4. ∴Sn=4n 1.


∴a6=S6-S5=45-44=3×44. 答案:3×44 2.设函数 f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1,则数列{ 解析:∵f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1, ∴m=2,a=1, ∴f(x)=x2+x,即 f(n)=n2+n=n(n+1), 1 ∴数列{ },(n∈N*)的前 n 项和为: f?n? Sn= 1 1 1 1 + + +?+ 1×2 2×3 3×4 n?n+1? 1 } (n∈N*)的前 n 项和是________ f?n?

1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+?+(n- )=1- 2 2 3 n+1 n+1 n = . n+1 答案: n n+1

3.已知某数列前 2n 项和为(2n)3,且前 n 个偶数项的和为 n2(4n+3),则它的前 n 个奇数项的和为 ________. 解析: 已知数列的前 2n 项的和为(2n)3, 其中偶数项的和为 n2(4n+3), 故前 n 个奇数项的和为(2n)3 -n2(4n+3)=n2(4n-3). 答案:n2(4n-3) 4.数列 an= 1 9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上 10 n?n+1?

的截距为______.

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解析:数列的前 n 项和为

n 1 1 1 1 9 + +?+ =1- = = ,所以 n=9,于是直线 1×2 2×3 n?n+1? n+1 n+1 10

(n+1)x+y+n=0. 即为 10x+y+9=0,所以在 y 轴上的截距为-9. 答案:-9 5.正方形 ABCD 的边长是 a,依次连结正方形 ABCD 各边中点得 正方形,再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形, 系列的正方形.如图所示,现有一只小虫从 A 点出发,沿正方 针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆 行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是________. 解析:小虫爬行的线段长度依次为: a 2 2 , a, a,?, 2 4 8 1 它们的平方依次构成公比为 的等比数列. 2 1 a2? 1- 10? 4 ? 2 ? 1 023 a2 1 023 2 S10= = ·= a. 1 1 024 2 2 048 1- 2 答案: 1 023 2 a 2 048 到一个新的 依此得到一 形的边逆时 时针方向爬

* 6.函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2 k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N 若 a1=16,

则 a1+a3+a5 的值是________. 解析:∵y′=2x,∴k=y′|x=ak=2ak,
2 ∴切线方程:y-ak =2ak(x-ak),

1 1 令 y=0,得 x= ak,即:ak+1= ak, 2 2 1 ∴{ak}是以首项为 16,公比为 的等比数列, 2

?1?n-1, ∴ak=16· ?2?
∴a1+a3+a5=16+4+1=21. 答案:21 7.设集合 M={m|m=7n+2n,n∈N*且 m<200},则集合 M 中所有元素的和为________. 解析:∵当 n=7 时,m=7×7+27=177, 当 n=8 时,m=7×8+28=312, ∴1≤n≤7,∴集合 M 中所有元素的和为 7×?1+7? 2-28 7× + =450. 2 1-2 答案:450

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8.已知函数 f(x)=

1 ? ? 2 ? ? 3 ? 4x ?2 010? .求和 S=f? ?2 011?+f?2 011?+f?2 011?+?+f?2 011?,则 S=________. 4 +2
x

解析:由于 f(x)= 所以 f(y)=
y

4x , 4x+2

4y , 4 +2 4x 4y + y 4 +2 4 +2
x

当 x+y=1 时,有 f(x)+f(y)=


2×4x y+2?4x+4y? 8+2?4x+4y? = x+y = =1, 4 +2?4x+4y?+4 8+2?4x+4y? 于是 f(x)+f(y)=1. 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?2 010? 因此若令 S=f? ?2 011?+f?2 011?+f?2 011?+?+f?2 011?, 2 010? ?2 009? ?2 008? ? 1 ? 则 S=f? ?2 011?+f?2 011?+f?2 011?+?+f?2 011?,

? 1 ? ?2 010?? 于是 2S=2 010? ?f?2 011?+f?2 011 ??=2 010,
故 S=1 005. 答案:1 005 9.设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Tn= {Tn}的最大项,则 n0=________. 解析:设数列{an}的首项为 a1, 则 an+1=a1×( 2)n, Sn=-(1+ 2)×a1×[1-( 2)n], S2n=-(1+ 2)×a1×[1-( 2)2n] ∴Tn= 17Sn-S2n an+1 16-17×? 2?n+? 2?2n ? 2?n 17Sn-S2n ,n∈N*,设 Tn0 为数列 an+1

=-(1+ 2)×

n ? =17×(1+ 2)-(1+ 2)× ? 2? +

?

16 ? ? 2? n ?

≤17×(1+ 2)-(1+ 2)×8 当且仅当( 2)n= 16 时上式“=”成立. ? 2? n

即 n=4 时,Tn 最大, ∴n0=4. 答案:4 二、解答题 10.(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.

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(1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解析:(1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2, 所以{an}的通项为 an=2· 2n 1=2n(n∈N*).


(2)Sn=

2?1-2n? n?n-1? + +n×1+ ×2=2n 1+n2-2. 2 1-2

11.(2011 年湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比 数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.
? ?

解析:(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去), 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4 5 n-1 - bn= · 2 =5· 2 n 3. 4 5 ?1-2n? 4 5 5 - - (2)证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n 2- ,即 Sn+ =5· 2n 2, 4 4 1-2 5 5 所以 S1+ = , 4 2 Sn+1+ 5 - 4 5· 2n 1 = n-2=2. 5 5· 2 Sn+ 4

5? ? 5 因此?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 ? ? 1?n+1 1 * 12.数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=? ?3? (n∈N ). 3 (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值. 1?n+1 * 解析:(1)由 Sn+1-Sn=? ?3? (n∈N )得 1?n+1 * an+1=? ?3? (n∈N );

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1?n 1 * 又 a1= ,故 an=? ?3? (n∈N ). 3 1 ? ?1?n? × 1- 3 ? ?3? ? 1? ?1?n? 从而,Sn= = ?1-?3? ?(n∈N*). 1 2 1- 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 3 9 27 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得: 4 13? 1 ?1 4? +3×? ?9+27?=2×?3+9?t,解得 t=2. 3

三角函数(一)

一、填空题 1.(2011 年天津)已知函数 f(x)=2sin (ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小 π 正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则下列说法正确的是________. 2 ①f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 ②f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 ③f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 ④f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 1 解析:∵f(x)的最小正周期为 6π,∴ω= , 3 π ∵当 x= 时,f(x)取得最大值, 2 1 π π π ∴ × +φ= +2kπ(k∈Z),φ= +2kπ(k∈Z), 3 2 2 3 π ∵-π<φ≤π,∴φ= . 3 x π? ∴f(x)=2sin ? ?3+3 ?,由此函数图象易得(图略), 在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增 函数.故①正确. 答案:① π 2.设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原 3 图象重合,则 ω 的最小值等于________. π π π x- ?=cos ?ω?x- ??=cos 解析:依题意得,将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的是 f? ? 3? ? ? 3 ?? 3

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?ωx-ωπ?的图象,其与原图象重合,故 cos ωx=cos ?ωx-ωπ?,ωx-?ωx-ωπ?=2kπ,即 ω=6k(k ? 3? ? 3? ? 3?
∈N*),因此 ω 的最小值是 6. 答案:6 π? 2 3.已知函数 f(x)=Acos (ωx+φ)的图象如图所示,f? ?2?=-3,则 f(0)=________. 11π ? 2 解析: 由题中图象可知所求函数的周期为 π, 故 ω=3, 将? ? 12 ,0? 3 11 π 9π π 代入解析式得 π+φ= +2kπ,所以 φ=- +2kπ,令 φ=- 4 2 4 4 代入解析

π π π π 2 π 2 3x- ?,又因为 f? ?=-Asin =- ,所以 f(0)=Acos ?- ?=Acos = . 式得 f(x)=Acos ? 4? ? ?2? ? 4? 4 3 4 3 2 答案: 3 π 5π? 4.如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间? ?-6, 6 ?上图象,为 了得到这个函数的图象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有 移 ________ 个 单 位 长 度 , 再 把 各 点 的 横 坐 标 ( 伸 长 、 缩 到原来的________倍,纵坐标不变. 解析:由题中函数的图象可知,其振幅为 1 且最大值为 1,最小值为-1,∴纵坐标不变. 结合选项可知,图象是先向左平移,后横向伸缩. π 将 y=sin x(x∈R)向左平移 个单位长度为: 3 π? y=sin ? ?x+3 ?(x∈R) ∵周期由 y=sin x 的 2π 变为图象中的 π. π? π? 1 ? ∴需将 y=sin ? ?x+3?各点的横坐标缩短到原来的2倍.解析式变为:y=sin ?2x+3?. π 1 答案: 缩短 3 2 的点向左平 短 )________

?a1 5.定义行列式运算? ?a3

? 3 sin x? ?=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=? ?的图象向左平移 n(n> ? a4 ?1 cos x ?
a2?

0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为________. 解析:f(x)=? ?1 π +n+ ), 6 π π ∵f(x+n)是偶函数,∴n+ =kπ,∴n=kπ- , 6 6 5π 则 n 的最小值为 时,函数为偶函数. 6 π ? 3 sin x? ?= 3cos x-sin x=2cos (x+6),图象向左平移 n 个单位得 f(x+n)=2cos (x cos x ?

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5 答案: π 6 π? π 6.(2011 年辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图象如图,则 f? ?24? 2 =________.

解析:由题中图象可知,此正切函数的半周期等于

3π π π π - = ,即最小正周期为 ,所以 ω=2.由题意 8 8 4 2

3π ? 3π 3π ? 3π ? 可知,图象过定点? ? 8 ,0?,所以 0=Atan?2× 8 +φ?,即 4 +φ=kπ(k∈Z),所以 φ=kπ- 4 (k∈Z), π? π π ?π? 又 |φ|< ,所以, φ = . 又图象过定点 (0,1) ,所以 A = 1. 综上可知, f(x) = tan ? ?2x+4 ? . 故有 f ?24? = 2 4 π π? π tan? ?2×24+4?=tan 3= 3. 答案: 3 πx π? 7.设函数 f(x)=2sin ? ? 2 +5?,若对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最 小值为______. 2π 解析:f(x)的周期为 T= =4,由题意 f(x1)和 f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值 π 2 应为 f(x)的半周期 2. 答案:2 8.给出下面的三个命题:

?2x+π??的最小正周期是π; ①函数 y=? sin 3 ?? ? ? 2
3π 3π x- ?在区间?π, ?上单调递增; ②函数 y=sin ? 2? 2? ? ? 5π 5π 2x+ ?的图象的一条对称轴. ③x= 是函数 y=sin ? 2? ? 4 其中正确的命题是________(将正确命题的序号写在题中横线上). π? 解析:∵y=sin ? ?2x+3?的最小正周期为 π, π?? π ? ∴y=? ?sin ?2x+3??的最小正周期为2,故①正确. 3 ? 3 ? π ? 当 x∈? ?π,2π?时,x-2π∈?-2,0?, 3 ? ? 3 ? ∴y=sin ? ?x-2π?在?π,2π?上是单调递增的,故②也正确.

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5 5 5 5 当 x= π 时,2x+ π= π+ π=5π, 4 2 2 2 5 ? 此时 sin ? ?2x+2π?=0, 5 故 x= π 不是它的图象的一条对称轴,故③不对. 4 答案:①②

?π?? 9.(2011 年安徽)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤? ?f?6??对一切
x∈R 恒成立,则 11π? ①f? ? 12 ?=0;

?7π?? ? ?π?? ②? ?f?10??<?f?5??;
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; π 2π? ④f(x)的单调递增区间是? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z); ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交.以上结论正确的是________(写出所有正确结论 的编号). b ?π?? 解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x= a2+b2sin (2x+φ)(其中 tan φ= ),因为对一切 x∈R,f(x)≤? ?f?6??恒 a π ? 1,可得 φ=kπ+π(k∈Z), 成立,所以 sin ? ?3+φ?=± 6 π? 故 f(x)=± a2+b2sin ? ?2x+6?. 11π? 2 2 ? 11π π? 而 f? ? 12 ?=± a +b sin ?2× 12 +6?=0,所以①正确;

?f?7π??=? a2+b2sin 47π?=? a2+b2sin 17 π?, 30 ? ? 30 ? ? ?10?? ? ?f?π??=? a2+b2sin 17π?,所以?f?7π??=?f?π??,故②错误;③明显正确;④错误; 30 ? ? ? 5 ?? ? ? ?10?? ? ?5??
π? π? 2 2 ? 由函数 f(x)= a2+b2sin ? ?2x+6?和 f(x)=- a +b sin ?2x+6?的图象可知(图略),不存在经过点(a, b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,故⑤错. 答案:①③ 二、解答题 10.已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos 2 ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函 2 π? 数 g(x)在区间? ?0,16?上的最小值.

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解析:(1)∵f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos 2ωx, ∴f(x)=sin ωxcos ωx+ 1+cos 2ωx 2

1 1 1 = sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2 = π? 1 2 sin ? ?2ωx+4?+2. 2 2π =π, 2ω

∵ω>0,依题意得: ∴ω=1. (2)由(1)知 f(x)= ∴g(x)=f(2x)= 当 0≤x≤ ∴

π 1 2 2x+ ?+ , sin ? 4? 2 ? 2

π? 1 2 sin ? ?4x+4?+2. 2

π π π π 时, ≤4x+ ≤ , 16 4 4 2

π 2 4x+ ?≤1, ≤sin ? 4? ? 2 1+ 2 . 2

∴1≤g(x)≤

π? 故 g(x)在区间? ?0,16?上的最小值为 1. 11.(2011 年福建)设函数 f(θ)= 3sin θ+cos θ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边 与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. 3? ?1 (1)若点 P 的坐标为 , ?2 2 ?,求 f(θ)的值; x+y≥1, ? ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω:?x≤1, ? ?y≤1 的最小值和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)

?sin θ= 23, 解析:(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得? 1 ?cos θ=2.
于是 f(θ)= 3sin θ+cos θ= 3× 3 1 + =2. 2 2

(2)作出平面区域 Ω(即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1).

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π 于是 0≤θ≤ . 2 π? 又 f(θ)= 3sin θ+cos θ=2sin ? ?θ+6?, π π 2π 且 ≤θ+ ≤ , 6 6 3 π π π 故当 θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; 6 2 3 π π 当 θ+ = ,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 6 6 π π ? 12.(2011 年浙江)已知函数 f(x)=Asin ? ?3x+φ?,x∈R,A>0,0∈φ<2.y=f(x)的部分图象如 图所示,P,Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 2π ,求 A 的值. 3

解析:(1)由题意得,T=

2π =6. π 3

π ? 因为 P(1,A)在 y=Asin ? ?3x+φ?的图象上, π ? 所以 sin ? ?3+φ?=1. π 又因为 0<φ< , 2 π 所以 φ= . 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A), π π 3π 则题意可知 x0+ = ,得 x0=4,所以 Q(4,-A). 3 6 2 如图,连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= 2π ,由余弦定理得 3

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cos ∠PRQ=

RP2+RQ2-PQ2 2RP· RQ

A2+9+A2-?9+4A2? 1 = =- ,解得 A2=3. 2 2 2A· 9+A

又 A>0,所以 A= 3.

三角函数(二)

一、填空题 1.计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于________. 解析:sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° =sin (43° -13° ) 1 =sin 30° = . 2 1 答案: 2 π? 1 2 2.(2011 年福建)若 α∈? ?0,2?,且 sin α+cos 2α=4,则 tan α 的值等于________. π 1 3 3 0, ?,所以 sin α= ,即 解析:由二倍角公式可得 sin2α+1-2sin2α= ,即 sin2α= ,又因为 α∈? 2 ? ? 4 4 2 π α= , 3 所以 tan α=tan 答案: 3 3.函数 f(x)=2sin xcos x 是________函数(填“奇,偶”). 解析:∵f(x)=2sin xcos x=sin 2x,∴f(x)是周期为 π 的奇函数. 答案:奇 4.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=________. 解析: 如图所示, 取 AB 中点 O, 连接 OC. 设 AC=BC=1, 则 AB= 2,OC= 2 , 2 π = 3. 3

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1 1 2 OF= × AB= , 2 3 6 ∴tan∠OCF= OF 1 = , OC 3

1 2× 3 3 2tan∠OCF ∴tan∠ECF=tan 2∠OCF= = = . 1 4 1-tan2∠OCF 1- 9 3 答案: 4 π ? 1 5.(2011 年辽宁)设 sin ? ?4+θ?=3,则 sin 2θ=________. π 2?π ? ? 解析:sin 2θ=-cos ? ?2 +2θ?=2sin ?4+θ?-1 1? 2 7 =2×? ?3? -1=-9. 7 答案:- 9 π? tan x 6.(2011 年江苏)已知 tan? ?x+4?=2,则tan 2x的值为______. π x+ ? = 解析:由 tan? ? 4? 4 答案: 9 π 5 ? 7.已知 α∈? ?2,π?,sin α= 5 ,则 tan 2α=________. 解析:依题意得 cos α=- 1-sin 2α=- sin α 2tan α 2 5 1 ,tan α= =- ,tan 2α= = 5 cos α 2 1-tan2α -1 1?2 1-? ?-2? =- π 4 2tan x tan x 1 4 4 1 3 =2,得 tan x= ,tan 2x= = ,故 = × = . π 3 tan 2x 3 3 9 1-tan2x 4 1-tan xtan 4 tan x+tan

4 . 3 4 答案:- 3 π? 1 2 8.若 tan(α+β)= ,tan? ?β-4 ?=4,则 5 π? tan? ?α+4?=________. π? ? ? π?? 解析:tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? 2 1 - 5 4 3 = = = . π 2 1 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4? 1+5×4 π? tan?α+β?-tan? ?β-4?

[

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3 答案: 22 9.设函数 f(x)=cos 2x+2 3sin xcos x 的最大值为 M,若有 10 个互不相等的正数 xi(i= 1,2,?,10)满足 f(xi)=M,且 xi<10π,则 x1+x2+?+x10 的值为________. π? 解析:f(x)=cos 2x+ 3sin 2x=2sin ? ?2x+6? 易知周期为 π, ∴{xi}构成以 x1 为首项,π 为公差的等差数列.
?x10<10π 由? 得 0<x1<π. ?x1>0

π π 13π 故 <2x1+ < . 6 6 6 π? π π π 令 sin ? ?2x1+6?=1,得 2x1+6=2,∴x1=6. ∴x1+x2+?+x10=10x1+ 140 答案: π 3 二、解答题 π 10.已知 0<x< , 化简: 2 x π tan x+1-2sin 2 ?+lg ? 2cos ?x- ??-lg (1+sin 2x). lg ? 2? ?cos x· ? ? 4 ?? x π tan x+1-2sin 2 ?+lg [ 2cos ?x- ?]-lg (1+sin 2x) 解析:lg ? 2? ?cos x· ? 4? π π sin ?-lg (1+2sin xcos x) =lg (sin x+cos x)+lg ? 4? ? 2cos x+cos 4+ 2sin x· =lg (sin x+cos x)+lg (cos x+sin x)-lg (sin x+cos x)2 =2lg (sin x+cos x)-lg (sin x+cos x)2 =lg (sin x+cos x)2-lg (sin x+cos x)2 =0. 1 π? 11.(2011 年广东)已知函数 f(x)=2sin ? ?3x-6 ?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos (α+β)的值. 1 π? 解析:(1)∵f(x)=2sin ? ?3x-6?, 5π? π ?5π π? ∴f? ? 4 ?=2sin ?12-6?=2sin 4= 2. 10×9 140 π= π. 2 3

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π? π? 10 6 ? (2)∵α,β∈? ?0,2?, f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5, ∴2sin α= π? 6 10 5 3 ,2sin ? ?β+2?=5,即 sin α=13,cos β=5, 13

12 4 ∴cos α= ,sin β= , 13 5 12 3 5 4 16 ∴cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = . 13 5 13 5 65 π? π 12.设函数 f(x)=3sin ? ?ωx+6?,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以2为最小正周期. (1)求 f(0); (2)求 f(x)的解析式; α π? 9 (3)已知 f? ? 4 +12?=5, 求 sin α 的值. π? 3 解析:(1)f(0)=3sin ? ?0+6 ?=2. π π (2)又 f(x)=3sin (ωx+ )的最小正周期为 , 6 2 2π π ∴ ω = ,ω=4. 2 π? ∴f(x)=3sin ? ?4x+6?. α π? 9 (3)由 f? ?4+12?=5, π π? 9 得 3sin ? ?α+3+6?=5, 3 即 cos α= . 5 4 ∴sin α=± 1-cos 2α=± . 5

三角函数(三)

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一、填空题 α 1+tan 2 4 1.若 cos α=- ,α 是第三象限的角,则 α=________. 5 1-tan 2 α α 4 解析:∵cos α=2cos 2 -1,即- =2cos 2 -1, 2 5 2 解得 cos α 10 =± . 2 10

4 2 又∵α 是第三象限角,cos α=- <- , 5 2 5 ∴2kπ+π<α< π+2kπ,(k∈Z), 4 π α 5π ∴kπ+ < < +kπ,(k∈Z), 2 2 8 α α ∴tan <0,易得 tan =-3, 2 2 α 1+tan 2 1-3 1 则 α=1+3=-2. 1-tan 2 1 答案:- 2 π? 1 1 2.已知 cos α= ,cos (α+β)=- ,且 α,β∈? ?0,2 ?,则 cos (α-β)的值等于________. 3 3 π 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π). 2 1 7 ∵cos α= ,∴cos 2α=2cos 2α-1=- , 3 9 ∴sin 2α= 1-cos 22α= π 而 α,β∈(0, ), 2 ∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)= 1-cos 2?α+β?= ∴cos (α-β)=cos [2α-(α+β)] =cos 2αcos (α+β)+sin 2αsin(α+β) 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =? ?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. 23 答案: 27 3.已知 450° <α<540° ,则 1 1 1 1 + · + cos 2α的值为________ 2 2 2 2 2 2 , 3 4 2 , 9

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α 解析:∵450° <α<540° ,∴225° < <270° , 2 原式= = 1 1 + 2 2 1+cos 2α = 2 1 1 + ?-cos α? 2 2

1-cos α = 2 α 2

α α sin 2 =-sin . 2 2

答案:-sin

2sin 2α+1 4.已知 tan α=2,则 =________. sin 2α 2sin 2α+1 3sin 2α+cos 2α 3tan2α+1 13 解析: = = = . sin 2α 2sin αcos α 2tan α 4 13 答案: 4 1+tan 10° 5.设 a= ,b=tan 10° +tan 50° + 3tan 10° · tan 50 ° ,则下列各式正确的是______. 1-tan 10° a2+b2 a2+b2 a2+b2 a2+b2 ①a< <b ②b< <a ③a<b< ④b<a< 2 2 2 2 解析:∵a= tan 45° +tan 10° =tan 55° , 1-tan 45° · tan 10°

b= 3(1-tan 10° tan 50° )+ 3tan 10° tan 50 ° = 3, 又 1<tan 55° <tan 60° = 3, ∴1<a<b, ∴a<b< a2+b2 a2-1+?b-1?2 -b= >0, 2 2

a2+b2 . 2

答案:③ 6.在△ABC 中,tan A=3tan B,则 tan(A-B)的最大值为________,此时角 A 的大小为 ________. 解析:tan(A-B)= tan A-tan B 2tan B 2tan B 3 3 = ≤ = .当且仅当 1=3tan2B 即 tan B= 时 3 1+tan Atan B 1+3tan2B 2 3tan2 B 3

π 取等号,此时 tan A= 3,A= . 3 答案: 3 π 3 3

π? 3 1 7.已知 α∈? ?0,2?,sin α=5,则cos 2α+tan 2α 的值为______. sin α 3 2tan α 4 7 24 1 解析: cos α= 1-sin 2α= , cos 2α=1-2sin 2α= , tan α= = , tan 2α= 2 = , 5 25 cos α 4 7 cos 2α 1-tan α +tan 2α= 答案:7 25 24 + =7. 7 7

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sin ?α+2β? tan?α+β? 1 π 8.已知 =3,β≠ kπ,α+β≠nπ+ (n、k∈Z),那么 的值是________. sin α 2 2 tan β sin?α+2β? sin [?α+β?+β] 解析: = sin α sin [?α+β?-β] = sin ?α+β?cos β+cos ?α+β?sin β tan?α+β?+tan β = =3, sin ?α+β?cos β-cos ?α+β?sin β tan?α+β?-tan β

tan?α+β? ∴tan(α+β)=2tan β,即 =2. tan β 答案:2 π 9.如果|x|≤ ,那么函数 f(x)=cos 2x+sin x 的最小值是________. 4 1 5 sin x- ?2+ , 解析:f(x)=-sin 2x+sin x+1=-? 2? 4 ? π 2 2 ∵|x|≤ ,∴- ≤sin x≤ . 4 2 2 由抛物线知 当 sin x=- 1- 2 2 时,f(x)min= . 2 2

1- 2 答案: 2 二、解答题 π? ? π? 10.已知函数 f(x)=(1+cot x)sin 2x-2sin ? ?x+4 ?sin ?x-4?. (1)若 tan α=2,求 f(α); π π (2)若 x∈[ , ],求 f(x)的取值范围. 12 2 解析:(1)f(x)=sin 2x+sin xcos x+cos 2x = 1-cos 2x 1 + sin 2x+cos 2x 2 2

1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ , 2 2 由 tan α=2 得 sin 2α= 2sin αcos α 2tan α 4 = = , sin 2α+cos 2α 1+tan2α 5

cos 2α-sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- , 5 sin α+cos 2α 1+tan2α 3 所以 f(α)= . 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = 2 π 1 sin(2x+ )+ , 2 4 2

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π π? π ?5π 5π? 由 x∈? ?12,2?得 2x+4∈?12, 4 ?, π 2 2x+ ?∈?- ,1?, 所以 sin ? 4? ? 2 ? ? 从而 f(x)= π? 1 2 sin ? ?2x+4 ?+2, 2

? 1+ 2?. ∴f(x)∈?0, ? 2 ? ?
π? 11.已知向量 a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且 a∥b,其中 θ∈? ?0,2?. (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; 3 π (2)若 sin(θ-ω)= ,0<ω< ,求 cos ω 的值. 5 2 解析:(1)∵a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且 a∥b, ∴ sin θ cos θ = ,即 sin θ=2cos θ. 2 1

π? ∵sin 2θ+cos 2θ=1,θ∈? ?0,2?, ∴sin θ= 2 5 5 ,cos θ= . 5 5

π π π π (2)∵0<ω< ,0<θ< ,∴- <θ-ω< . 2 2 2 2 3 ∵sin(θ-ω)= , 5 4 ∴cos (θ-ω)= 1-sin 2?θ-ω?= . 5 ∴cosω=cos [θ-(θ-ω)] =cos θcos (θ-ω)+sin θsin (θ-ω)= 2 5 . 5 π 时取最大值 4. 12

12.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π ? 12 (3)若 f? ?3α+12?= 5 ,求 sin α. 解析:(1)由 f(x)=Asin(3x+φ), 2π 得 f(x)的最小正周期为 T= . 3 (2)由题意 f(x)在 x= 所以,A=4, π π π ? sin ? ?4+φ?=1,4+φ=2+2kπ,(k∈Z), π 时取得最大值 4, 12

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π 即 φ= +2kπ(k∈Z). 4 π 又 0<φ<π,所以 φ= , 4 π? 所以 f(x)=4sin ? ?3x+ 4?. 2 π ? 12 (3)若 f? ?3α+12?= 5 , π π? 12 则 4sin ? ?2α+4+4 ?= 5 , π? 3 3 sin ? ?2α+2?=5,所以 cos 2α=5, 3 1 5 所以 1-2sin 2α= ,sin 2α= .∴sin α=± . 5 5 5

三角函数(四)

一、填空题 1.(2011 年浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos 2B=________. 解析:根据正弦定理,由 acos A=bsin B,得 sin Acos A=sin2 B,∴sin Acos A+cos2B=sin 2B+cos 2B =1. 答案:1 2.在△ABC 中,角 A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,则 BC 的长为________. 2

1 3 3 解析:S△ABC= ×2×AC× = ,所以 AC=1.由余弦定理得 BC2=22+12-2×2×1×cos 60° =3, 2 2 2 所以 BC= 3. 答案: 3 3.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC 是________三角 形(填“锐角”、“直角”、“钝角”). 解析:由 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13 得 a∶b∶c=5∶11∶13,

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不妨令 a=5,b=11,c=13. ∴c2>a2+b2=52+112=146, ∴c2>a2+b2, 由余弦定理的结论易知△ABC 为钝角三角形. 答案:钝角 4.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 ①不能作出这样的三角形 ②能作出一个锐角三角形 ③能作出一个直角三角形 ④能作出一个钝角三角形 以上说法正确的是________. 解析:设三边为 a,b,c, 1 1 1 则由面积公式得 a· =b· =c·=x, 13 11 5 则 a=13x,b=11x,c=5x. 由(13x)2>(11x)2+(5x)2=146x2, ∴可以得到一个钝角三角形. 答案:④ 5.(2011 年重庆)若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=________. 解析:依题意,结合正弦定理得 6a=4b=3c,设 3c=12k(k>0),则有 a=2k,b=3k,c=4k;由余弦 定理得 cos B= 11 答案: 16 2π 6.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3 b c 解析:在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin B sin C ∴ 1 3 1 2π π π = =2,∴sin B= ,∵C= ,∴B= ,则 A= ,∴a=b=1. sin B 2π 2 3 6 6 sin 3 a2+c2-b2 ?2k?2+?4k?2-?3k?2 11 = = . 2ac 16 2×2k×4k 1 1 1 , , ,则此人________. 13 11 5

答案:1 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 解析:∵sin B+cos B= 2, π ∴ 2sin(B+ )= 2, 4

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π? ∴sin ? ?B+4?=1. π 又 B∈(0,π),∴B= . 4 又∵a= 2,b=2, 2 2 ∴在△ABC 中,由正弦定理得: = , sin A π sin 4 1 π 解得 sin A= ,又 a<b,∴A= . 2 6 π 答案: 6 8.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C= 2B,则 sin C=________. π 解析:在△ABC 中,由 A+C=2B,可得 B= . 3 b a 根据正弦定理得 = , sin B sin A 3 π ∴sin 3 = 2π 1 1 -C ? = , ,sin ? 3 ? ? 2π 2 ? sin ? ? 3 -C?

2π 2π 2π π π 又 0< -C< ,所以 -C= ,C= ,sin C=1. 3 3 3 6 2 答案:1 9.(2011 年福建)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于____.

解析:在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= 理得, AD AC 2 1 = ,∴AD= × = 2. sin C sin ∠ADC sin 45° 2

3 1 ,∴sin C= ;在△ADC 中,由正弦定 2 2

答案: 2 二、解答题 10.(2011 年江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acos A=ccos B +bcos C. (1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=1,cos B+cos C= ,求边 c 的值. 3 解析:(1)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C,两式相加,则有 ccos B+bcos C

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1 =a,代入已知条件得 3acos A=a,即 cos A= . 3 1 2 2 (2)由 cos A= 得 sin A= , 3 3 1 2 2 则 cos B=-cos (A+C)=- cos C+ sin C, 3 3 代入 cos B+cos C= 2 3 ,得 cos C+ 2sin C= 3, 3 3 6 π π 6 ,cos φ= ,0<φ< ,则 C+φ= ,于是 sin C= ,由正弦 3 3 2 2 3

从而得 sin (C+φ)=1,其中 sin φ= asin C 3 定理得 c= = . sin A 2

11.(2011 年安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2, 1+2cos (B+C)=0,求边 BC 上的高. 解析:由 1+2cos (B+C)=0 和 B+C=π-A 得 1 3 1-2cos A=0,所以 cos A= ,sin A= . 2 2 再由正弦定理,得 sin B= bsin A 2 a =2.

π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< , 2 从而 cos B= 1-sin 2B= 2 . 2 2 ? 3 1? × . 2 ? 2 +2? 3+1 . 2 cos A-2cos C = cos B

由上述结果知 sin C=sin (A+B)=

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsin C=

12.(2011 年山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2c-a b . sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 解析:(1)由正弦定理,设 a b c = = =k, sin A sin B sin C

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B 所以 cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,

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化简可得 sin (A+B)=2sin (B+C). sin C 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此 =2. sin A sin C (2)由 =2 得 c=2a, sin A 1 由余弦定理及 cos B= 得 4 1 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2, 4 所以 b=2a. 又 a+b+c=5,从而 a=1,因此 b=2.

三角函数(五)

一、填空题 1.在地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为 α,同时测得观察该建筑物顶部的 仰角为 β,则山顶的仰角为________. 解析: 如图, 设站在 A 处, CD 表示山顶建筑物, C 为山顶, 则∠DAC =α,∠DAB=β, 所以观测山顶的仰角为∠CAB=β-α. 答案:β-α 2.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行,其方位角(∠NBC) 为 140° .在 A 处有一灯塔,其方位角(∠NBA)为 110° .在 C 处观测灯塔 A 的方 N′CA)为 35° .由 B 到 C 需航行半小时,则 C 到灯塔 A 的距离是________. 解析:由已知得∠ABC=30° ,∠BCA=40° +35° =75° , ∠A=75° .由正弦定理得 CA BC = , sin ∠ABC sin A 位 角 ( ∠

1 20× 2 BCsin ∠ABC 所以 CA= = =10( 6- 2)km. sin A sin 75° 答案:10( 6- 2)km 3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 距塔 68 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为________. PM MN 解析:如图所示,在△PMN 中, = , sin 45° sin 120°

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∴MN=

68× 3 =34 6, 2

MN 17 ∴v= = 6(海里/小时). 4 2 17 答案: 6海里/小时 2 4.在△ABC 中,∠A=60° ,b=1,面积为 3,则△ABC 外接圆的半径是________. 1 1 解析:由 S= bcsin A,得 3= csin 60° ,所以 c=4. 2 2 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 即 a2=1+16-2×1×4cos 60° =13,所以 a= 13, 1 a 39 所以 R= · = . 2 sin A 3 答案: 39 3

5.(2011 年重庆)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C= 60° ,则 ab 的值为________.
??a+b?2-c2=4, ? 4 解析:依题意得? 2 两式相减得 ab= . 2 2 3 ?a +b -c =2abcos 60° =ab, ?

4 答案: 3 6.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角为 120° ,两船的航 行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是________n mile. 解析:如图,两船航行的时间为 t, 则有 OA=50,OB=30. 而 AB2=OA2+OB2-2OA· OB cos 120° 1 =502+302-2×50×30×(- ) 2 =2 500+900+1 500=4 900. ∴AB=70. 答案:70 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB,C 是该小 区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步 每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米. 解析:由题图知,连接 OC,在三角形 OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60° ,由余弦定理可 1 得 OC2=1002+1502-2×100×150× =17 500,∴OC=50 7. 2 答案:50 7 从 O 沿 OD 行的速度为

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8.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C= 2B,则 sin A=____. a b π 1 3 1 解析:在△ABC 中,由 A+C=2B,可得 B= ,根据正弦定理 = , = ,sin A= . 3 sin A sin B sin A π 2 sin 3 1 答案: 2 1 9.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 的面积 2 为 3- 3,则∠BAC=________. 解析:如图,∠ADB=120° ?∠ADC=60° , 1 S△ADC= AD· DC· sin ∠ADC 2 1 3 = ×2CD× =3- 3, 2 2 ∴CD= 2?3- 3? =2( 3-1). 3

1 又∵BD= CD,∴BD= 3-1. 2 在△ADB 中,由余弦定理可得 AB2=AD2+BD2-2AD· BD· cos 120° 1 =4+( 3-1)2-2×2×( 3-1)×(- )=6, 2 ∴AB= 6. 同理在△ADC 中,AC2=AD2+CD2-2AD· CD· cos 60° 1 =4+4( 3-1)2-2×2×2( 3-1)× =12(2- 3). 2 AB2+AC2-BC2 在△ABC 中,cos ∠BAC== 2AB· AC = 6+24-12 3-9? 3-1?2 2× 6× 24-12 3 1 = . 2

∵在△ABC 中,∠BAC∈(0° ,180° ), ∴∠BAC=60° . 答案:60° 二、解答题 10.如图,点 A 在坡度一定的山坡上.已知在点 A 测得山顶上一建筑 物顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶前进 100 m 后,又从点 为 45° .假设建筑物高 50 m, 求此山坡对于地平面的坡角 θ 的余弦 解析:在△ABC 中, B 测得斜度 值.

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AB=100 m,∠CAB=15° ,∠ACB=45° -15° =30° . BC 100 由正弦定理得 = ,所以 BC=200sin 15° . sin 30° sin 15° 由△DBC 中,CD=50 m, ∠CBD=45° ,∠CDB=90° +θ. 50 200sin 15° 由正弦定理得 = , sin 45° sin?90° +θ? 所以 cos θ= 3-1.

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11.(2011 年湖南)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C. (1)求角 C 的大小; π? (2)求 3sin A-cos ? ?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 解析:(1)由正弦定理得 sin Csin A=sin Acos C. 因为 0<A<π,所以 sin A>0,从而 sin C=cos C. π 又 cos C≠0,所以 tan C=1,则 C= . 4 (2)由(1)知,B= 3π -A. 4

π B+ ?= 3sin A-cos (π-A) 于是 3sin A-cos ? ? 4? π A+ ?. = 3sin A+cos A=2sin ? ? 6? 3π π π 11π 因为 0<A< ,所以 <A+ < . 4 6 6 12 π π 从而当 A+ = , 6 2 π π A+ ?取得最大值 2. 即 A= 时,2sin ? ? 6? 3 π? 综上所述, 3sin A-cos ? ?B+4?的最大值为 2, π 5π 此时 A= ,B= . 3 12 12.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北 偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需要多长时间?

解析:由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , 在△DAB 中, 由正弦定理得 ∴DB= = AB· sin ∠DAB sin ∠ADB DB AB = , sin ∠DAB sin ∠ADB

5?3+ 3?· sin 45° sin 105°

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5?3+ 3?· sin 45° = sin 45° cos 60° +cos 45° sin 60° =10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC =30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3海里, 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos ∠DBC 1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900, 2 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= 故救援船到达 D 点需要 1 小时. 30 =1(小时). 30

向量(一)

一、填空题 → → 1.在三角形 ABC 中,已知 A(2,3),B(8,-4),点 G(2,-1)在中线 AD 上,且AG=2GD, 则点 C 的坐标是________. 8+x y-4? 解析:设 C(x,y),则 BC 中点 D? ? 2 , 2 ?, 4+x y-2? → → ∴AG=(0,-4),GD=? ? 2 , 2 ?, → → 由AG=2GD,得 x=-4,y=-2, 故 C 坐标为(-4,-2). 答案:(-4,-2) 2.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b= mq-np.则下面四个结论 ①若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 ②a⊙b=b⊙a ③对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) ④(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2. 其中不正确的命题为________. 解析:若 a 与 b 共线,则有 mq-np=0,故①正确;因 b⊙a=pn-qm,又 a⊙b=mq-np,所以 a⊙ b≠b⊙a,②错误;因为 λa=(λm,λn),所以(λa)⊙b=λmq-λnp. 又 λ(a⊙b)=λ(mq-np)=(λa)⊙b,故③正确;

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因为(a⊙b)2+(a· b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故 ④正确. 答案:② 3.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为________. 解析:设 e 为所求的单位向量,则 a ?12, 5 ?. e=± =± ?13 13? |a| 12 5 ? ? 12 5? 答案:? ?13,13?或?-13,-13? → → 4.(2011 山东)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ 1 1 → → ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈ λ μ R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的序号是________. ①C 可能是线段 AB 的中点 ②D 可能是线段 AB 的中点 ③C,D 可能同时在线段 AB 上 ④C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 1 1 → → → → 解析:依题意,若 C,D 调和分割点 A,B,则有AC=λAB,AD=μAB,且 + =2.若 C 是线段 AB λ μ 1 1 1 1 → 1→ 的中点,则有AC= AB,此时 λ= .又 + =2,所以 =0,不可能成立.因此①不对,同理②不对. 2 2 λ μ μ 1 1 → → → → 当 C,D 同时在线段 AB 上时,由AC=λAB,AD=μAB知 0<λ<1,0<μ<1,此时 + >2,与已知 λ μ 1 1 条件 + =2 矛盾,因此③不对. λ μ 1 1 → → → → 若 C,D 同时在线段 AB 的延长线上,则AC=λAB时,λ>1,AD=μAB时,μ>1,此时 + <2,与 λ μ 1 1 已知 + =2 矛盾,故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上. λ μ 答案:④ → → → 5.在四边形 ABCD 所在的平面内,a=(-3,2),b=(2,3).若AB=2a+b,BC=2a-4b,CD =-3a+b,则四边形 ABCD 必是________.(用“平行四边形、矩形、直角梯形”等填空) → → → → 解析:AD=AB+BC+CD=a-2b, → → → → ∵BC=2AD,∴BC∥AD 且|BC|=2|AD|, → AB=2a+b=(-4,7), → BC=2a-4b=(-14,-8), → → ∴AB· BC=0, ∴AB⊥BC,故四边形 ABCD 为直角梯形.

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答案:直角梯形 6.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析:a+b=(1,m-1), ∵(a+b)∥c,又 c=(-1,2), ∴1×2-(-1)×(m-1)=0,得 m=-1. 答案:-1 1 → 1 3 → → → 7.在四边形 ABCD 中,AB=DC=(1,1), BA+ BC= BD,则四边形 ABCD 的 → → → |BA| |BC| |BD| 面积为________. → → → BA BC BD → → → → 解析: 由AB=DC=(1,1), 知四边形 ABCD 为平行四边形, 且|AB|=|CD|= 2, 又 + = 3 , → → → |BA| |BC| |BD| → BA → 我们知道 是长度为 1,方向与BA相同的单位向量,用向量的平行四边形法则画图,在画成的三角 → |BA| 形中,有两边长度为 1,另一边为 3,再由余弦定理有 cos C= 12+12-? 3?2 1 =- ,∴C=120° ,∴D 2 2×1×1 3 = 3. 2

=60° ,可得四边形 ABCD 是菱形,所以求得四边形 ABCD 的面积为: 2× 2× 答案: 3 → → 8.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120° .如图所示, → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y +y 的最大值是________.

∈R,则 x

1 3 解析:以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴建立平面直角坐标系,则可知 A(1,0),B(- , ),设 C(cos α, 2 2 2π 3 2 3 π sin α)(α∈[0, ]),则有 x=cos α+ sin α,y= sin α,所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin (α+ ), 3 3 3 6 π 所以当 α= 时,x+y 取得最大值为 2. 3

答案:2 → → 9.在△OAB 中,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON,AM 交于点 P,若AP=mOA+ → nOB(m,n∈R),则 n-m=____. 2→ 1→ 2 1 → → → 2→ → 2 1 → → → 解析:AP=OP-OA= ON-OA= [ (OA+OB)]-OA=- OA+ OB,所以 m=- ,n= ,故 n- 3 32 3 3 3 3

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m=1. 答案:1 二、解答题 → → → 10.已知OP=(cos θ,sin θ),OQ=(1+sin θ,1+cos θ),其中 0≤θ≤π,求|PQ|的取值范围 → 及|PQ|取最大值时 θ 的值. → → → 解析:∵PQ=OQ-OP=(1+sin θ, 1+cos θ)-(cos θ,sin θ) =(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). → ∴|PQ|2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2 =[1+2(sin θ-cos θ)+(sin 2θ-2sin θcos θ+cos 2 θ)]+[1-2(sin θ-cos θ)+(sin 2θ-2sin θcos θ+cos
2

θ)]

=4-4sin θcos θ=4-2sin 2θ. ∵0≤θ≤π, → ∴-1≤sin 2θ≤1,∴|PQ|∈[ 2, 6]. 3 → ∴当 sin 2θ=-1,即 θ= π 时,|PQ|取得最大值 6. 4 → → → → 11.如图,O,A,B 三点不共线,OC=2OA,OD=3OB,AD 与 → → BC 交于点 E,设OA=a,OB=b. → (1)试用 a,b 表示向量OE; (2)设线段 AB,OE,CD 的中点分别为 L,M,N,试证明 L,M,N 三点共线. → → → 解析:(1)∵B,E,C 三点共线,∴OE=xOC+(1-x)OB =2xa+(1-x)b,① 同理,∵A,E,D 三点共线,可得, → OE=ya+3(1-y)b,②
? ?2x=y, 比较①②,得? ?1-x=3?1-y?, ?

2 4 解得 x= ,y= , 5 5 → 4 3 ∴OE= a+ b. 5 5 → a+b → 1 → 4a+3b (2)∵OL= ,OM= OE= , 2 2 10 2a+3b → 1 → → ON= (OC+OD)= , 2 2 → → → 6a+12b MN=ON-OM= , 10

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→ → → a+2b ML=OL-OM= , 10 → → ∴MN=6ML, → → ∴MN与ML共线, 又∵有公共点 M, ∴L,M,N 三点共线. 12.三角形的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 m=(3c-b,a-b),n =(3a+3b,c),m∥n. (1)求 cos A 的值; (2)求 sin(A+30° )的值. 1 解析:(1)因为 m∥n,所以(3c-b)c-(a-b)· (3a+3b)=0,即 a2=b2+c2- bc, 3 又∵在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴cos A= . 6 1 35 (2)由 cos A= 得 sin A= , 6 6 sin (A+30° )=sin Acos 30° +cos Asin 30° = 35 3 1 1 1+ 105 × + × = . 6 2 6 2 12

向量(二)

一、填空题 1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为________. 解析:a· b=(3,m)· (2,-1)=6-m=0,m=6. 答案:6 2.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为________. 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ, 由(2a+b)· b=0 得 2ab+b2=0, ∴2|a||b|cos θ+|b|2=0. |b|2 |b|2 1 ∴cos θ=- =- 2=- , 2|a||b| 2|b| 2 ∴θ=120° . 答案:120° 3.已知|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则 a 与 b 夹角为________.

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解析:设 a 与 b 夹角为 θ,∵c⊥a,∴c· a=(a+b)· a=a2+a· b=0,∴|a|2+|a||b|cos θ=0 1 ∴1+2cos θ=0,∴cos θ=- ,∴θ=120° . 2 答案:120° 4.(2011 年辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最 大值为________. 解析:由已知条件向量 a, b,c 均为单位向量可知,a2=1,b2=1,c2=1,由 a· b=0 及(a-c)· (b-c)≤0 可知,(a+b)· c≥1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有|a+b-c|2=3-2(a· c+b· c) =3-2c· (a+b)≤1,故|a+b-c|≤1. 答案:1 5.(2011 年湖北)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于________. ?2a+b?· ?a-b? 9 2 解析:2a+b=(3,3).a-b=(0,3),则 cos〈2a+b,a-b〉= = = ,故所求夹 |2a+b|· |a-b| 3 2×3 2 π 角为 . 4 π 答案: 4 6.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a-b|=________. 解析:∵|a-b|2=a2-2a· b+b2 =12-2×1×2×cos 60° +22=3. ∴|a-b|= 3. 答案: 3 7.(2011 课标全国)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka -b 垂直,则 k=________. 解析:∵a+b 与 ka-b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0,化简得(k-1)(a· b+1)=0,根据 a、b 向量不共线, 且均为单位向量得 a· b+1≠0,得 k-1=0,即 k=1. 答案:1 8.(2011 安徽)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角 为________. 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,依题意有(a+2b)· (a-b)=a2+a· b-2b2=-7+2cos θ=-6,所以 cos θ 1 π = ,因为 0≤θ≤π,所以 θ= . 2 3 π 答案: 3 9.已知平面向量 α、β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________. 解析:∵α⊥(α-2β), ∴α· (α-2β)=0,∴α2-2α· β=0,

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1 ∵|α|=1,∴α· β= , 2 ∴|2α+β|2=(2α+β)2=4α2+4α· β+β2 1 =4×1+4× +4=10, 2 ∴|2α+β|= 10. 答案: 10 二、解答题 10.已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π),且 ka+b 与 a-kb 长度相等(k 为非零常数),求 β-α 的值. 解析:法一:∵ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), ∴|ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= k2-2kcos?β-α?+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|. ∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)且 k≠0, ∴cos(β-α)=0. π 又∵0<α<β<π,∴β-α= . 2 法二:∵|a|=1,|b|=1,a· b=cos(β-α). ∴(ka+b)2=k2a2+2ka· b+b2 =k2+2kcos(β-α)+1, (a-kb)2=a2-2ka· b+k2b2=1-2kcos(β-α)+k2. 又∵|ka+b|=|a-kb|, ∴(ka+b)2=(a-kb)2,即 cos(β-α)=0. 又 0<α<β<π, π ∴β-α= . 2 11.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),且 m· n 的最大值是 5,求 k 的值. 解析:(1)∵(2a-c)cos B=bcos C, ∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 即 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin (B+C). ∵A+B+C=π,∴2sin Acos B=sin A. 1 ∵0<A<π,∴sin A≠0,∴cos B= . 2

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π ∵0<B<π,∴B= . 3 (2)m· n=4ksin A+cos 2A =-2sin 2A+4ksin A+1,A∈(0, 设 sin A=t,则 t∈(0,1]. 则 m· n=-2t2+4kt+1 =-2(t-k)2+1+2k2,t∈(0,1]. ∵k>1,∴t=1 时,m· n 取最大值. 3 依题意得(m· n)max=-2+4k+1=5,∴k= . 2 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin B,- 3),n=(cos B 2B,2cos 2 -1),且 m∥n.又 B 为锐角. 2 (1)求角 B 的大小; (2)已知 b=2,求△ABC 的面积的最大值. B 解析:(1)∵m∥n,∴2sin B(2cos 2 -1)=- 3cos 2B, 2 ∴sin 2B=- 3cos 2B,即 tan 2B=- 3. 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π), ∴2B= 2π π ,∴B= . 3 3 2π ), 3

a2+c2-b2 π (2)∵B= ,b=2,由余弦定理得 cos B= , 3 2ac 即 a2+c2-ac-4=0. 又∵a2+c2≥2ac,代入上式得 ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立), 1 3 ∴S△ABC= acsin B= ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 2 4

解析几何(一)

一、填空题 1.直线 x+ay+6=0 与直线(a-2)x+3y+2a=0 平行是 a≠0 的________条件. 解析:若两直线平行,则 a(a-2)=1×3,且 1×2a≠(a-2)×6,解得 a=-1,于是可以推出 a≠0, 反之当 a≠0 时,不一定能推出两直线平行,因而应填充分不必要条件. 答案:充分不必要条件 2.若三条直线 x-2y+3=0,3x+4y-21=0,2x+3y-k=0 交于一点,则 k 的值为________.

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?x-2y+3=0 ? 解析:由? 得交点 P(3,3),代入 2x+3y-k=0 得 k=15. ?3x+4y-21=0 ?

答案:15 3.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=x 对称,直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率为________. 1 3 1 解析:由于直线 l1 与 l2 关于 y=x 对称,则直线 l2 的方程为 x=2y+3,即 y= x- ,∴kl2= . 2 2 2 又 l3⊥l2,∴kl3=- 答案:-2 4.已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y=log2x 图象的交点分别为 A、B,与函数 y=lg x 图象的交点分别为 C、 D,则直线 AB 与 CD 交点坐标为________. 解析:kAB= log24-log22 1 lg 4-lg 2 lg 2 = ,kCD= = ,因此 kAB>kCD,则直线 AB 与直线 CD 相交.直 2 2 4-2 4-2 1 =-2. kl2

线 AB 的方程为 2y=x, 直线 CD 的方程为 2y=xlg 2, 故两直线的交点为坐标原点. ∴交点坐标为(0,0). 答案:(0,0) 5.(2011 年北京)已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为________. 解析:设点 C(t,t2),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,由于△ABC 的面积为 2,则这个三 |t+t2-2| 1 角形中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2,即 h= 2,由点到直线的距离公式得 2= ,即 2 2 |t2+t-2|=2,即 t2+t-2=2 或者 t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的 点 C 有 4 个. 答案:4 1 6.已知点 P 在直线 2x-y+4=0 上,且到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 倍,则点 P 的坐标是________. 3 解析:设 P(a,b),则:2a-b+4=0, ∴b=2a+4. 1 ∴|2a+4|= |a|, 3 解得:a=- 12 12 或- , 5 7

12 4 12 4 ∴P 点坐标为:(- ,- )或(- , ). 5 5 7 7 12 4 12 4 答案:(- ,- )或(- , ) 5 5 7 7 7.经过两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点,且与直线 x-3y-1=0 平行的直线一般式方程为 ________. 解析:两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点为(-3,-1),所以与直线 x-3y-1=0 平行的直

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1 线为 y+1= (x+3),即 x-3y=0. 3 答案:x-3y=0 π 8.已知曲线 f(x)=xsin x+1 在点( ,1)处的切线与直线 ax-y+1=0 互相垂直,则实数 a=________. 2 解析:f ′(x)=sin x+xcos x, π ∴f ′( )=1.∴a=-1. 2 答案:-1 1 9.已知直线 l 经过点( ,2),其横截距与纵截距分别为 a、b(a、b 均为正数),则使 a+b≥c 恒成立的 c 的 2 取值范围为________. x y 解析:设直线方程为a+b=1, ∴ 1 2 1 2 + =1,a+b=(a+b)· ( + ) b 2a 2a b

5 b 2a 9 = + + ≥ , 2 2a b 2 9 故 c≤ 2 9 答案:(-∞, ] 2 二、解答题 10.已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解析:(1)∵l1⊥l2, ∴a(a-1)+(-b)· 1=0,即 a2-a-b=0 ① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0 ② 由①②得 a=2,b=2. a a (2)∵l1∥l2,∴b=1-a,∴b= , 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: (a-1)x+y+ (a-1)x+y+ 4?a-1? =0, a a =0, 1-a

又原点到 l1 与 l2 的距离相等. a-1 a 2 ∴4| a |=| |,∴a=2 或 a= , 3 1-a

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2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 11.直线 2x+3y-6=0 交 x,y 轴于 A,B 两点,试在直线 y=-x 上求一点 P1,使|P1A|+|P1B|最小,在 y =x 上求一点 P2,使||P2A|-|P2B||最大,并求出两个最值及|P1P2|的值. 解析:令 x=0,得 y=2;令 y=0,得 x=3 ∴A(3,0),B(0,2), 点 B 关于 y=-x 的对称点为 B′(-2,0), 直线 AB′即 x 轴交 y=-x 于(0,0),即为 P1 点, 因为|P1B|+|P1A|=|P1B′|+|P1A|≥|B′A|, ∴当 P1 在直线 AB′上,即 AB′与 y=-x 相交时, |P1B|+|P1A|最小, 最小值为|B′A|=3-(-2)=5. 又 B 关于 y=x 的对称点 B″(2,0), ||P2A|-|P2B||=||P2A|-|P2B″||≤|AB″| =3-2=1, 当且仅当 P2,B″,A 共线(又在 y=x 上), 即 P2 为直线 B″A(即 x 轴)与 y=x 交点(0,0)时, ||P2A|-|P2B||最大,其值为 1, 故 P1,P2 重合,∴|P1P2|=0. 12.已知 n 条直线:l1:x-y+C1=0,C1= 2且 l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,?,ln:x-y+Cn =0,其中 C1<C2<C3<?<Cn,这 n 条平行直线中,每相邻两条之间的距离顺次为 2,3,4,?n. (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积. 解析:(1)由已知条件可得 l1:x-y+ 2=0,则原点 O 到 l1 的距离 d1=1,由平行直线间的距离可得 原点 O 到 ln 的距离 dn 为 1+2+?+n= ∵Cn= 2dn,∴Cn= 2· n?n+1? . 2 n?n+1? , 2

(2)方程 x-y+Cn=0 的纵横截距为:Cn,-Cn, 1 ∴图形面积为 S= (Cn)2 2 n?n+1? 2 n2?n+1?2 1 2· = ( )= . 2 2 4

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解析几何(二)

一、填空题 1.若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x2+y2=1 有两个不同交点,则点 P(a,b)与圆 C 的位置关系是________. 解析:由题意得圆心(0,0)到直线 ax+by=1 的距离小于 1,即 d= ∴点 P 在圆外. 答案:在圆外 2.(2011 年广东)设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为________. 解析:设圆心 C(x,y),由题意得 ?x-0?2+?y-3?2=y+1(y>0),化简得 x2=8y-8. 答案:x2=8y-8 3.(2011 年重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________. 解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故过点 E(0,1)的最 短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点 E(0,1)的最 1 1 长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= 2 2 ×2 10×2 5=10 2. 答案:10 2 4.(2011 年江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是________. 解析:整理曲线 C1 方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线 C1 为以点 C1(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆;曲 线 C2 则表示两条直线,即 x 轴与直线 l:y=m(x+1),显然 x 轴与圆 C1 有两个交点,知直线 l 与 x 轴 |m?1+1?-0| 3? ? 3 相交,故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d= <r=1,解得 m∈ - , 2 3 3 ? ?,又当 m=0 时, m +1 直线 l 与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去. 答案:(- 3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 1 <1,所以有 a2+b2>1, a + b2
2

5.直线 y=

?x= 3+ 3cos θ, 3 x+ 2与圆心为 D 的圆? (θ∈[0,2π))交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 3 ?y=1+ 3sin θ

的倾斜角之和为________.

?x= 3+ 3cos θ 解析:由? 化为圆的标准方程得(x- 3)2+(y-1)2=3,∴圆心 D( 3,1), ?y=1+ 3sin θ

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圆心 D 到直线 y= 又圆的半径为 3,

3 6 x+ 2的距离为 , 3 2

∴∠DAB=∠DBA=45° , ∴不妨认为直线 AD 的倾斜角为 30° +135° =165° , 直线 BD 的倾斜角为 30° +45° =75° , ∴两直线的倾斜角之和为 165° +75° =240° = 4π 答案: 3 6.直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 解析:圆心 O 到直线 AB 距离 d= ∴|AB|=2 8-5=2 3. 答案:2 3 7.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆 心且与直线 l 垂直的方程为________. |a-1| 2 解析:设所求直线的方程为 x+y+m=0,圆心(a,0),由题意知:( ) +2=(a-1)2,解得 a=3 或 2 a=-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,∴a=3,故圆心坐标为(3,0),而直线 x+y+m=0 过圆心(3,0), ∴3+0+m=0, 即 m=-3,故所求直线的方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 8.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂 直,则线段 AB 的长度是________. 1 |AB| 1 解析:依题意得|OO1|= 5+20=5,且△OO1A 是直角三角形,S△OO1A= · · |OO1|= · |OA|· |AO1|, 2 2 2 因此|AB|= 答案:4 9.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________; 圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于直线 l 对称的圆的方程为________. 解析:∵点 P、Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a), 3-b+a 3-a+b ∴线段 PQ 的中点 M 的坐标为( , ), 2 2 3-b-a P、Q 所在直线的斜率 k= =1, 3-a-b ∴线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为-1, 2· |OA|· |AO1| 2× 5×2 5 = =4. |OO1| 5 5 = 5, 5 4π . 3

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l 的方程为:y- 即 y=-x+3;

3-a+b 3-b+a =-(x- ), 2 2

设圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于 l 对称的圆的圆心为 A(s,t). t-3 ? ?s-2=1, 则? t+3 s+2 ? ? 2 =- 2 +3,
? ?s=0, 得? 即 A(0,1), ?t=1, ?

∴圆的方程为:x2+(y-1)2=1. 答案:-1 二、解答题 10.圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5) (1)若圆的面积最小,求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. 解析:(1)要使圆的面积最小,则 AB 为圆的直径, 1 圆心 C(0,-4),半径 r= |AB|= 5, 2 所以所求圆的方程为:x2+(y+4)2=5. 1 (2)法一:因为 kAB= ,AB 中点为(0,-4), 2 所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x, 即 2x+y+4=0,
? ? ?2x+y+4=0, ?x=-1, 解方程组? 得? ?x-2y-3=0, ? ? ?y=-2.

x2+(y-1)2=1

所以圆心为(-1,-2). 根据两点间的距离公式,得半径 r= 10, 因此,所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 根据已知条件得 ?2-a? +?-3-b? =r ? ? ??-2-a?2+?-5-b?2=r2 ? ?a-2b-3=0
2 2 2

a=-1, ? ? ??b=-2, ? ?r2=10.

所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 11.已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过定点 A(3,0),且与圆 C 相切. (1)求直线 l1 的方程;

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(2)设圆 C 与 x 轴交于 P、Q 两点,M 是圆 C 上异于 P、Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线 为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 O′.求证:以 P′Q′为直径的圆 C′总 过定点,并求出定点坐标. 解析:(1)∵直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 C:x2+y2=1 相切,设直线 l1 的方程为 y=k(x-3),即 kx-y -3k=0, 则圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离为 d= |3k| 2 2 =1,解得 k=± ,∴直线 l1 的方程为 y=± (x-3). 2 4 4 k +1

(2)证明:对于圆 C 的方程 x2+y2=1,令 y=0,则 x=± 1,即 P(-1,0),Q(1,0).又直线 l2 过点 A 且 与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x=3.设 M(s,t),则直线 PM 的方程为 y= x=3, ? ? 4t 解方程组? 得 P′(3, ). t s+1 y = ? x + 1 ? ? ? s+1 同理可得 Q′(3, 2t ). s- 1 4t 2t )(y- )=0, s+1 s-1 t (x+1). s+1

∴以 P′Q′为直径的圆 C′的方程为(x-3)(x-3)=(y- 又 s2+t2=1, ∴整理得(x2+y2-6x+1)+ 6s-2 y=0, t

若圆 C′经过定点,只需令 y=0,从而有 x2-6x+1=0,解得 x=3± 2 2, ∴圆 C′总经过定点,定点坐标为(3± 2 2,0). 12.如图,已知点 A(0,-3),动点 P 满足|PA|=2|PO|,其中 O 为坐标原点.

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)记(1)中所得的曲线为 C.过原点 O 作两条直线 l1:y=k1x,l2:y=k2x 分别交曲线 C 于点 E(x1,y1)、 F(x2,y2),G(x3,y3)、H(x4,y4)(其中 y2>0,y4>0). k1x1x2 k2x3x4 求证: = ; x1+x2 x3+x4 (3)对于(2)中的 E、F、G、H,设 EH 交 x 轴于点 Q,GF 交 x 轴于点 R.求证:|OQ|=|OR|.(证明过程 不考虑 EH 或 GF 垂直于 x 轴的情形) 解析:(1)设点 P(x,y),依题意可得 x2+?y+3?2=2 x2+y2, 整理得 x2+y2-2y-3=0,

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故动点 P 的轨迹方程为 x2+y2-2y-3=0, (2)证明:将直线 EF 的方程 y=k1x 代入圆 C 的方程,
2 整理得(k2 1+1)x -2k1x-3=0,

根据根与系数的关系得 x1+x2= 3 x1x2=- 2 , k1+1 ①

2k1 , k2 1+1

将直线 GH 的方程 y=k2x 代入圆 C 的方程, 同理可得 x3+x4= 2k2 3 ,x3x4=- 2 , 2 k2+1 k2+1 ②

k1x1x2 3 k2x3x4 由①②可得 =- = ,所以结论成立. 2 x3+x4 x1+x2 (3)证明:设点 Q(q,0),由 E、Q、H 三点共线, 得 x1-q x4-q ?k1-k2?x1x4 = ,解得 q= , k1x1 k2x4 k1x1-k2x4

设点 R(r,0),由 F、R、G 三点共线, 同理可得 r= 由 即 ?k1-k2?x2x3 , k1x2-k2x3

-x1x4 k1x1x2 k2x3x4 x2x3 = 变形得 = , x1+x2 x3+x4 k1x2-k2x3 k1x1-k2x4 ?k1-k2?x2x3 ?k1-k2?x1x4 + =0, k1x2-k2x3 k1x1-k2x4

从而 q+r=0, 所以|q|=|r|,即|OQ|=|OR|.

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解析几何(三)

一、填空题 x2 y2 1.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于________. 25 9 解析:连接 MF2,已知|MF1|=2,又 |MF1|+|MF2|=10, |MF2|=10-|MF1|=8,如图, 1 |ON|= |MF2|=4. 2 答案:4 x2 y2 4 2.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 9 4+k 5 5-k 4 c 4 19 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由 = 即 = 得 k=- ; a 5 3 5 25 k-5 4 c 4 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5,由a= ,即 = ,解得 k=21. 5 4+k 5 19 答案:- 或 21 25 x2 y2 3.已知如图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,则△PF1F2 的面 a b 积等于________.

解析:在△PF1F2 中,由余弦定理得: 2|PF1|· |PF2|· cos θ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|-|F1F2|2 =(2a)2-2|PF1|· |PF2|-(2c)2(其中 c2=a2-b2). ∴|PF1|· |PF2|· (1+cos θ)=2b2, 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin θ 2 θ 1 2b2 = · · sin θ=b2tan . 2 1+cos θ 2 答案:b2tan θ 2

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4. 在一椭圆中以焦点 F1、 F2 为直径两端点的圆, 恰好过短轴的两顶点, 则此椭圆的离心率 e 等于________. 解析:由已知 b=c, c 2 所以 e=a= . 2 答案: 2 2

x2 y2 y2 5.(2011 年浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 a b 4 线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 b2=________. 解析:对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线 AB 与椭圆 C1 的一个交点为 C(靠近 A 的交点), a 则|OC|= ,因 tan∠COx=2, 3

∴sin∠COx=

2 1 ,cos∠COx= , 5 5

a 2a ? a2 4a2 1 , 则 C 的坐标为? ,代入椭圆方程得 =1,∵5=a2-b2,∴b2= . 2+ 45a 45b2 2 ?3 5 3 5? 1 答案: 2 1 x2 y2 1, ?作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B, 6.(2011 年江西)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点? 2? ? a b 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. 1 解析:由题可设斜率存在的切线的方程为 y- =k(x-1)(k 为切线的斜率),即 2kx-2y-2k+1=0, 2 由 |-2k+1| 3 4? 3 , =1,解得 k=- ,所以圆 x2+y2=1 的一条切线方程为 3x+4y-5=0,求得切点 A? 2 5 5?, ? 4 4k +4

易知另一切点 B(1,0),则直线 AB 的方程为 y=-2x+2.令 y=0 得右焦点为(1,0),令 x=0 得上顶点为 x2 y2 (0,2).∴a2=b2+c2=5,故得所求椭圆方程为 + =1. 5 4 x2 y2 答案: + =1 5 4 x2 → → 7.(2011 年浙江)设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上,若F1A=5F2B,则点 3 A 的坐标是________. 解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,其坐标 m+6 2 → → → → 分别为(- 2,0)、( 2,0),可得F1A=(m+ 2,n),F2B=(c- 2,d).∵F1A=5F2B,∴c= , 5

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?m+6 2?2 ? 5 ? ? ? ?n?2 n m2 2 d= .∵点 A、B 都在椭圆上,∴ +n =1, +?5 ? =1.解得 m=0,n=± 1,故点 A 坐标为 5 3 3
(0,± 1). 答案:(0,± 1) 8.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 值等于________. 解析:设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点坐标为(x0,y0). 将 A、B 两点坐标代入椭圆方程得
2 ?ax2 ? 1+by1=1 ? 2 2 ?ax2+by2=1 ?

a 3 ,则b的 2

① ②

①-②式,得 a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0. ∵x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, ∴2ax0+2by0 y1-y2 =0, x1-x2

∴ax0-by0=0, a y0 3 ∴ = = . b x0 2 答案: 3 2

→ → 9.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心率为________. x2 y2 解析:设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 B(0,b),F(c,0),D(x0,y0), → → 则BF=(c,-b),FD=(x0-c,y0), b 3 → → 由BF=2FD得 x0= c,y0=- , 2 2 9c2 b2 代入椭圆方程得 2+ 2=1, 4a 4b 9 3 ∴ e2= , 4 4 1 3 ∴e2= ,∴e= . 3 3 答案: 二、解答题 x2 y2 10.(2011 年江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原点的直 4 2 3 3

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线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭 圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k.

(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解析: (1)由题设知, a=2, b= 2, 故 M(-2,0), N(0, - 2), 所以线段 MN 中点的坐标为 -1,- 由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点, 2 2 2 又直线 PA 过坐标原点,所以 k= = . 2 -1 - 2 4? 4? x2 4x2 2 ? 2 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P? ?3,3?,A?-3,-3?. 4 2 3 4 0+ 3 2 ? 于是 C? ?3,0?,直线 AC 的斜率为2 2=1, + 3 3 2 故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 3

? ?

2? . 2?

因此,d=

?2-4-2? ?3 3 3? 2 2
12+12 = 3

.

x2 y2 2 2 (3)证明:法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x=± .记 μ= , 4 2 1+2k2 1+2k2 则 P(μ,μk),A(-μ,-μk). 0+μk k 于是 C(μ,0).故直线 AB 的斜率为 = , μ+μ 2 k 2 其方程为 y= (x-μ),代入椭圆方程并由 μ= 得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, 2 1+2k2 μ?3k2+2? μk3 ? μ?3k2+2? ? , 解得 x= 或 x=-μ.因此 B? . 2+k2? 2+k2 ? 2+k2 ? μk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = 2 =-k. μ?3k2+2? 3k +2-?2+k2? -μ 2+k2 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).

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设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= 0-?-y1? y1 k = = .从而 x1-?-x1? 2x1 2

y2-y1 y2-?-y1? k1k+1=2k1k2+1=2· · +1 x2-x1 x2-?-x1? =
2 2 2 2 2y2 ?x2 +2y2 4-4 2-2y1 2?-?x1+2y1? = 2 2 2 +1= 2 2 2=0. x2-x1 x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. x2 y2 11.(2011 年天津)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. a b (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点, 5 且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8 解析:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 因为|PF2|=|F1F2|, 所以 ?a-c?2+b2=2c. c ?2 c c c 1 整理得 2? ?a? +a-1=0.得a=-1(舍),或a=2. 1 所以 e= . 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).

?3x +4y =12c , 8 A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0.解得 x1=0,x2= c. 5 ?y= 3?x-c?. ?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

2

2

2

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
2 2

8

?8 3 3c?,B(0,- 3c), 不妨设 A c, 5 ? ?5
所以|AB|=

?8c?2+?3 3c+ 3c?2=16c. ?5 ? ? 5 ? 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= = 3|2+c| . 2 |- 3- 3- 3c| 2

|MN|?2 3 2 2 2 因为 d2+? ? 2 ? =4 ,所以4(2+c) +c =16.

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26 整理得 7c2+12c-52=0,得 c=- (舍),或 c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 12 x2 y2 6 12.(2011 年北京)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l a b 3 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解析:(1)由已知得,c=2 2,a= . 3 解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m, y=x+m, ? ? 2 2 由? x y 得 ?12+ 4 =1, ? 4x2+6mx+3m2-12=0. ① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m m x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 4 所以 PE 的斜率 k= =-1,解得 m=2. 3m -3+ 4 2- 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-3-2+2| 3 2 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2

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解析几何(四)

一、填空题 x2 y2 1.已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线的 y2=16x 焦点重合,则 e 的值为________. a 7 解析:抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,故 c=4,∵c2= c 4 a2+b2,∴a2=16-7=9,∴a=3,e=a= . 3 4 答案: 3 2.(2012 年镇江市质检)以双曲线 x2-4y2=4 的中心顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是________. p 解析:设抛物线的方程为 y2=2px,则由焦点相同的条件可知 = 5?p=2 5,所以抛物线的方程为 2 y2=4 5x. 答案:y2=4 5x π 3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角等于 的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交于点 A,则 AF 的 3 长为________. 解析:由已知可得直线 AF 的方程为 y= 3(x-1),联立直线与抛物线方程消元得:3x2-10x+3=0, p 1 解之得:x1=3,x2= (舍去),由抛物线定义可得:AF=xA+ =3+1=4. 3 2 答案:4 x2 y2 4.双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r________ 6 3 1 |3| 解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 x± 2y=0,圆心(3,0)到直线的距离 d= = 3. 2 ? 2?2+1 答案: 3 5.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的方程为 ________ x2 y2 解析:设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程得 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4 b +4 b +12b2=0, ∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点, ∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0, 即(b2+4)(b2-3)=0, ∴b2=3,a2=7.

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x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 7 3 x2 y2 答案: + =1. 7 3 → → 6.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ________. c 2 2 解析:依题意得,c<b,即 c2<b2,c2<a2-c2,2c2<a2,故离心率 e=a< ,又 0<e<1,∴0<e< . 2 2 答案:(0, 2 ) 2

x2 y2 7.已知对?k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是________. 5 m x2 y2 解析: +m=1 表示椭圆,所以 m>0 且 m≠5.直线 y=kx-1=0 恒过定点 P(0,1),则 P 在椭圆上或 5 1 在椭圆内部,m≤1,∴m≥1 且 m≠5. 答案:m≥1 且 m≠5 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过点 F 且与抛物线交于 A,B 两点,若点 A 的横坐标为 → x0,则点 F 分有向线段AB所成的比为________. p 解析:设直线 l 的方程为 x=my+ (m≠0),代入抛物线 y2=2px(p>0)可得 y2-2pmy-p2=0,点 F 分 2 |yA| |y2 2px0 2x0 → A| 有向线段AB所成的比为 = = 2 = p . |yB| |yAyB| p 2x0 答案: p x y2 9.在直线坐标系 xOy 中,过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的一条切线(切点为 a b T)交双曲线右支于点 P,若 M 为 EP 的中点,则 OM-MT 等于________. 解析:设双曲线的右焦点为 F1,连结 PF1,在△PFF1 中 M,O 分别是 PF,FF1 的中点,所以 OM- 1 1 1 MT= PF1-( PF-TF)=- (PF-PF1)+TF=b-a. 2 2 2 答案:b-a 二、解答题 3 10.已知,椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(-1,0),(1,0). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两上动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜 率为定值,并求出这个定值. x2 y2 解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 2+ 2=1(b>0). 1+b b

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因为点 A 在椭圆上,所以

1 9 + 2=1, 1+b2 4b

3 解得 b2=3,b2=- (舍去). 4 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 3 3 (2)设直线 AE 的方程为:y=k(x-1)+ ,代入 + =1 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4( -k)2-12=0. 2 4 3 2 3 4? -k?2-12 2 3 3 设 E(xE,yE),F(xF,yF).因为点 A(1, )在椭圆上,所以 xE= ,yE=kxE+ -k. 2 2 3+4k2 3 4? +K?2-12 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数, 在上式中以-k 代 k, 可得 xF= ,yF=-kxF 3+4k2 3 + +k. 2 所以直线 EF 的斜率 kEF= yF-yE -k?xE+xF?+2k 1 = = . 2 xF-xE xF-xE
[

1 ∴直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2 → → 11.已知 A,B 两点在抛物线 C:x2=4y 上,点 M(0,4)满足MA=λBM. → → (1)求证:OA⊥OB; (2)设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 N. (ⅰ)求证:点 N 在一条定直线上; (ⅱ)设 4≤λ≤9,求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=kx+4 与 x2=4y 联立得 x2-4kx-16=0, Δ=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0, x1+x2=4k,x1x2=-16, → → (1)证明:∵OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4) =(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16 =(1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0 → → ∴OA⊥OB. (2)(ⅰ)证明:过点 A 的切线: 1 1 1 2 y= x1(x-x1)+y1= x1x- x1 ,① 2 2 4 1 1 过点 B 的切线:y= x2x- x2 ,② 2 4 2 x1 + x2 联立①②得点 N( ,-4),所以点 N 在定值线 y=-4 上. 2

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→ → (ⅱ)∵MA=λBM, ∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2), 联立 x1=-λx2,x1+x2=4k,x1x2=-16, 可得 k2= ?1-λ?2 λ2-2λ+1 1 =λ+ λ-2,4≤λ≤9, λ = λ

9 64 ∴ ≤k2≤ . 4 9 -8 直线 MN:y= x+4 在 x 轴上的截距为 k. 2k ∴直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是 8 3 3 8 [- ,- ]∪[ , ]. 3 2 2 3 12.(2011 年湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于 → → 点 D,E,求AD· EB的最小值. 解析:(Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意为 ?x-1?2+y2-|x|=1 化简得 y2=2x+2|x|,当 x≥0 时, y2=4x,当 x<0 时.y=0.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为,y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (Ⅱ)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0, 设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x-1).
? ?y=k?x-1?, 由? 2 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ?y =4x, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 上述方程的两个实根, 4 于是 x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为-k. 设 D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得: x3+x4=2+4k2,x3x4=1 → → → → → → AD· EB=(AF+FD)(EF+FB) → → → → → → → → =AF· EF+AF· FE+FD· EF+FD· FB → → → → =|AF· FB|+|FD· EF| 故=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) 4 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k2)+1 k 1 =8+4(k2+ 2)≥8+4×2 k 1 k2 2=16 k

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1 → → 当且仅当 k2= 2即 k=± 1 时,AD· EB取最小值 16. k

立体几何(一)

一、填空题 1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是________. ①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α ②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ③若 l∥α,m?α,则 l∥m ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m 解析:当 l⊥m,m?α 时,l 可能在平面 α 内,也可能平行平面 α 或与平面 α 相交.故①不对;因为 两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于该平面,故②正确;当 l∥α,m?α 时, l∥m 或 l 与 m 异面,故③不对;当 l∥α,m∥α 时,l∥m 或 l 与 m 相交或 l 与 m 异面,故④不对. 答案:② 2.如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题:

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是________. 解析:①中要求过 M 点作直线与 AB,B1C1 均相交,因为 AB 与 B1C1 异面且垂直,所以该直线可得 唯一一条,故①正确.又③中过 M 点与对角面 AA1C1C 平行的平面与 AB,B1C1 均相交,旋转该面仍 可能与 AB,B1C1 均相交,故③错. 答案:①②④ 3.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中, ①BM 与 ED 平行 ②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60° 角 ④DM 与 BN 垂直

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以上四个命题中,正确命题的序号是:________.

答案:③④ 4. 如图, 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB, 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为________.

解析:如图,连接 BC1,A1C1,∠A1BC1 是异面直线 A1B 与 AD1 所成的角, 设 AB=a,AA1=2a, 4 ∴A1B=C1B= 5a,A1C1= 2a,∠A1BC1 的余弦值为 . 5 4 答案: 5 5.在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,AC,CD,BD 的中点,且 AD=BC,那么四边形 EFGH 是________. 答案:菱形 6.直线 a 与 b、b 与 c 都是异面直线,且 a 与 b 的公垂线也是 b 与 c 的公垂线,那么 a 与 c 的位置关系是 ________. 解析:a 与 c 的位置关系都有可能. 答案:平行、相交或异面 7.A、B、C 表示不同的点,a、l 表示不同的直线,α、β 表示不同的平面,下列推理正确的是________. ①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α ②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB ③l?α,A∈l?A?α ④A,B,C∈α,A,B,C∈β 且 A,B,C 不共线?α 与 β 重合 答案:①②④ 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF, CD 都相交的直线有________条.

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解析:在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与直线 A1D1,EF, CD 均相交,故满足题意的直线有无数条. 答案:无数 二、解答题 9.求证:不交于同一个点的四条直线两两相交,则这四条直线共面. 证明:(1)若三直线 l1、l2、l3 交于一点 A(如图),则由点 A 与 l4 确定一个平面 α,A∈α,B∈α,AB? α,l1?α,同理可得 l2?α、l3?α,

∴l1、l2、l3、l4 四点共面. (2)若四直线无三线共点,设两直线交于一点,如 l1∩l2=A,则 l1、l2 确定一个面 α,则 B∈α,C∈α ?l3?α.同理 l4?α?四线共面.

10.如下图,四面体 ABCD 中,E、G 分别为 BC、AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且有 DF∶FC =2∶3,DH∶HA=2∶3. 求证:EF、GH、BD 交于一点.

证明:连结 GE、HF, ∵E、G 分别为 BC、AB 的中点,

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∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3, ∴HF∥AC.∴GE∥HF. 故 G、E、F、H 四点共面. 又∵EF 与 GH 不能平行,∴EF 与 GH 相交,设交点为 O.∵EF?面 ABD,O∈EF, ∴O∈面 ABD,同理 O∈面 CBD, 又∵面 ABD∩面 CBD=BD, ∴O∈BD ∴EF,GH,BD 交于一点. 11.O1 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的上底面的中心,过 D1、B1、A 作一个截面,求证:此截面与对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1 上.

证明:连接 A1C1、AC,因 AA1∥CC,则 AA1 与 CC1 可确定一个平面 AC1,易知截面 AD1B1 与平面 AC1 有公共点 A、O1,所以截面 AD1B1 与平面 AC1 的交线为 AO1,又 P∈AC1,得 P∈面 AO1,而 P ∈截面 AB1D1,故 P 在两平面的交线上,即 P∈AO1. 12.已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点 F、G 分别是边 BC、DC 的三等分点(如图), 求证:

(1)对角线 AC、BD 是异面直线. (2)直线 EF 和 HG 必交于一点,且交点在 AC 上. 证明:(1)假设对角线 AC、BD 在同一平面 α 内,则 A、B、C、D 都在平面 α 内,这与 ABCD 是空间 四边形矛盾,∴AC、BD 是异面直线. (2)∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, 1 ∴EH 綊 BD. 2 又 F、G 分别是 BC、DC 的三等分点, 2 ∴FG 綊 BD.∴EH∥FG,且 EH<FG. 3

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∴FE 与 GH 相交. 设交点为 O,又 O 在 GH 上,GH 在平面 ADC 内, ∴O 在平面 ADC 内. 同理,O 在平面 ABC 内. 从而 O 在平面 ADC 与平面 ABC 的交线 AC 上. ∴EF、GH、BD 交于一点.

立体几何(二)

一、填空题 1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题正确的是________. ①若 m⊥n,m⊥α,n∥β,则 α∥β ②若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n ③若 m⊥α,n∥β,α∥β,则 m⊥n ④若 m∥n,m∥α,n∥β,则 α∥β 解析:本题考查空间想象能力和逻辑推理能力,对于命题③,由 m⊥α 得直线 m 垂直于平面 α 内的所 有直线,而由条件得直线 n 平行于平面 α 或在平面 α 内,所以 m⊥n.其他命题均可举出反例. 答案:③ 2.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别是 8、12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD、AC 的截 面四边形的周长为________. 解析:截面四边形为 EFGH,F、G、H 分别是 BC、CD、DA 的中点.∴EF=GH=4,FG=HE=6, ∴周长为 2×(4+6)=20. 答案:20 3.设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线.给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是________. 解析:①α 与 β 关系不确定.②少条件 m 与 n 相交. ③正确.④易推出 l∥m,l∥n,∴m∥n 正确. 答案:2 4.已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是: ①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是________.

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解析:如图 1,当直线 m 或直线 n 在平面 α 内时不可能有符合题意的点;如图 2,直线 m、n 到已知 平面 α 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点;如图 3,直 线 m、n 所在平面与已知平面 α 平行,则符合题意的点为一条直线,从而填①②④.

答案:①②④ 5.如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是________. ①EH∥FG ②四边形 EFGH 是矩形 ③Ω 是棱柱 ④Ω 是棱台 解析:∵EH∥A1D1,∴EH∥B1C1, ∴EH∥平面 BB1C1C.由线面平行性质,EH∥FG. 同理 EF∥GH.且 B1C1⊥面 EB1F. 由直棱柱定义知几何体 B1EFC1HG 为直三棱柱, ∴四边形 EFGH 为矩形,Ω 为五棱柱. 答案:④ 6.给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β 则 α∥β. 其中为真命题的是________. 解析:③中 l 与 m 平行或异面,所以③错误,而其他命题都正确. 答案:①②④ 7.已知一条直线 m 与两个不同的平面 α,β,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β. 当满足条件(ⅰ)时,有 m∥β;当满足条件(ⅱ)时,有 m⊥β,则条件(ⅰ)、(ⅱ)分别是________.(填序 号) 解析:由条件及线面的平行与垂直的性质与判定定理可得, 当 m?α,α∥β,则 m∥β; 若 m⊥α,α∥β,则 m⊥β. 故应填③⑤、②⑤. EFGHB1C1 上 异 于 B1

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答案:③⑤、②⑤ 8.(2011 福建)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 解析: 因为直线 EF∥平面 AB1C, EF?平面 ABCD, 且平面 AB1C∩平面 ABCD AC,所以 EF∥AC,又因为在 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点,由中位 = 线 定 点 F

1 理可得 EF= AC,又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,所以 AC=2 2,所以 EF= 2. 2 答案: 2 9.已知两直线 a,b 满足 a∩b=A,且 a?α,b?α;两直线 m,n,满足 m∩n=B,且 m?β,n?β.若 a ∥m,b∥n,则平面 α 与 β 的位置关系是________. 解析: a∥m? ? ??a∥β ? m?β? 同理b∥β a∩b=A a?α b?α 答案:α∥β 二、解答题 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V. 解析:(1)证明:在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点, AP =

? ? ??α∥β. ? ?

∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 2 在△PAB 中,AP=AB,∠PAB=90° ,BP=2,

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∴AP=AB= 2,EG=

2 . 2

1 1 ∴S△ABC= AB· BC= × 2×2= 2, 2 2 1 1 2 1 ∴VE-ABC= S△ABC· EG= × 2× = . 3 3 2 3 11.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B.

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值. 解析:(1)证明:因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1.

又已知 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1. 又 B1C?平面 AB1C, 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D∶DC1=1. 12.(2011 年北京)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC, BC,PB 的中点.

(1)求证:DE∥平面 BCP;

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(2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 解析:(1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP,PC?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF, 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG, 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 2

分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理可证四边形 MENG 为矩形,其对象线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 EG 的中点 Q 是满足条件的点.


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