高考数学优化方案1-4章课时卷


优化方案· 课时作业 第 1 章 集合与简易逻辑 作业 1

高三数学

第 1 章 集合与简易逻辑 § 1.1 集合的概念与运算 1.(2010 年高考浙江卷)设 P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( ) A.P?Q B.Q?P C.P??RQ D.Q??RP 解析:选 B.Q={x|-2<x<2},∴Q?P. 2.(2010 年高考湖北卷文)设集合 M={1,2,4,8}, N={x|x 是 2 的倍数}, M∩N=( 则 ) A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D.{,1,2,4,8} 解析:选 C.∵M={1,2,4,8},N={x|x 是 2 的倍数}, ∴M∩N={2,4,8}. 3.若集合 A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D.? 解析:选 C.∵A={x||x|≤1,x∈R}={x|-1≤x≤1}, B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}={x|x≥0}, ∴A∩B={x|0≤x≤1}. 4.(2010 年高考天津卷文)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B =?,则实数 a 的取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或 a≥4} C.{a|a≤0,或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} 解析: 选 C.由集合 A 得:-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1,显然集 合 A≠?,若 A∩B=?,由图可知 a+1≤1 或 a-1≥5,故 a≤0 或 a≥6. 5.(2011 年济南市调研)设集合 M={x||x|≥3,x∈R},N={y|y=x2,x∈M},则 M∩N= ( ) A.M B.N C.? D.R 解析:选 B.将两集合化简可得 M={x|x≥3 或 x≤-3},N={y|y≥9},由于集合 N 是集 合 M 的真子集,故 M∩N=N. 6. (2010 年高考上海卷文)已知集合 A={1,3, m}, B={3,4}, A∪B={1,2,3,4}, m=____. 则 解析:∵A∪B={1,2,3,4},∴2∈(A∪B). ∵2?B,∴2∈A, ∴m=2. 答案:2 7.(2010 年高考重庆卷)设 A={x|x+1>0},B={x|x<0},则 A∩B=__________. 解析:A={x|x+1>0}={x|x>-1},B={x|x<0}, ∴A∩B={x|-1<x<0}. 答案:{x|-1<x<0} 8. 设全集 I={1,2,3,4,5}, B 是 I 的子集, A∩B={1,2,3}, A、 若 则称(A, B)为“亚运集”, 那么所有“亚运集”的个数为__________. 解析:要使 A∩B={1,2,3},必须 A,B 中都含有 1,2,3 且 4,5 每个元素要么在 A 中,要 么在 B 中,或不在 A、B 中,这三种情况只能选其一,共有 3×3=9. 答案:9 9.已知集合 A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,求 a 的值. 解:-3∈A,则-3=a-2 或-3=2a2+5a,

3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, ∴a=-1 舍去; 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3, 2 2 3 ∴a=- . 2 10.已知全集 U=R,集合 A={a|a≥2 或 a≤-2},B={a|关于 x 的方程 ax2-x+1=0 有实根},求 A∪B,A∩B,A∩(?UB). 解:对于 ax2-x+1=0 有实根,当 a=0 时,x=1. 1 当 a≠0 时,Δ=1-4a≥0,a≤ . 4 1 ∴B={a|a≤ }. 4 ∵A={a|a≥2 或 a≤-2}, 1 ∴A∪B={a|a≤ 或 a≥2}, 4 A∩B={a|a≤-2}, A∩(?UB)={a|a≥2}. 11.(探究选做)已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若 A∩B=B,求 m 的取值范围. 解:∵A∩B=B,∴B?A. ∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2}, ∴B=?或{1}或{2}或{1,2}. 当 B=?时,需 m2-8<0,∴-2 2<m<2 2; ?m2-8=0 ? 当 B={1}时,需? (无解); ? ?3-m=0
? 2 ?m -8=0 当 B={2}时,需? (无解); ? ?6-2m=0 当 B={1,2}时,有 m=3. 综上可知,m 的取值范围是 m=3 或-2 2<m<2 2.

作业 2 § 1.2 含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法 x-3 1.(2010 年高考大纲全国卷文)不等式 <0 的解集为( ) x+2 A.{x|-2<x<3} B.{x|x<-2} C.{x|x<-2,或 x>3} D.{x|x>3} x-3 解析:选 A.不等式 <0 可转化为(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3. x+2 2.(2010 年高考山东卷理)已知全集 U=R,集合 M={x||x-1|≤2},则?UM=( A.{x|-1<x<3} B.{x|-1≤x≤3} C.{x|x<-1 或 x>3} D.{x|x≤-1 或 x≥3} 解析:选 C.∵U=R,M={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}, ∴?UM={x|x<-1 或 x>3}. 3.不等式 x|x|<x 的解集为( ) A.(0,1) B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

)

?x>0 解析:选 C.原不等式可化为 x(|x|-1)<0?? ?|x|<1 ?x<0 或? ?x<-1 或 0<x<1. ?|x|>1 4.不等式|x2-x|<2 的解集为( ) A.(-1,2) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-2,2) ?x2-x+2>0 ? 2 2 解析:选 A.由|x -x|<2 得-2<x -x<2,即? 2 ,解得-1<x<2,故选 A. ? ?x -x-2<0 5.(2010 年高考天津卷理)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若 A?B,则实数 a,b 必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3 解析:选 D.A={x|a-1<x<a+1},B={x|x>b+2 或 x<b-2},由 A?B 得 b+2≤a-1 或 b-2≥a+1, 即 a-b≥3 或 a-b≤-3,即|a-b|≥3. 6.已知不等式 x2+px+q<0 的解集是{x|-3<x<2},则 p+q=________. 解析:-3+2=-p.-3×2=q.∴p+q=-6+1=-5. 答案:-5 ax-1 1 7. (2009 年高考湖北卷)已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪(- , +∞), 2 x+1 则 a=________. ax-1 1 1 解析:由于不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(- ,+∞),故- 应是 ax-1=0 的 2 2 x+1 根.∴a=-2. 答案:-2 8.(2011 年西安质检)已知关于 x 的不等式|x-1|+|x|≤k 无解,则实数 k 的取值范围是 __________. 解析:|x-1|+|x|表示 x 到点 1 和 0 的距离之和. 其最小值为 1,即|x-1|+|x|≥1, 当 k<1 时,不等式无解. 答案:k<1 9.已知一次函数 f(x)=ax-2, (1)当 a=3 时,解不等式|f(x)|<4; (2)解关于 x 的不等式|f(x)|>4. 解:(1)若 a=3,则 f(x)=3x-2. ∴|f(x)|<4?|3x-2|<4?-4<3x-2<4 2 ?-2<3x<6?- <x<2, 3 2 ∴不等式的解集为{x|- <x<2}. 3 (2)|f(x)|<4?|ax-2|<4?-4<ax-2<4 ?-2<ax<6. 2 6 当 a>0 时,不等式的解集为{x|- <x< }; a a 6 2 当 a<0 时,不等式的解集为{x| <x<- }. a a 10.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<3},求 cx2+bx+a<0 的解集. 解:法一:注意到一元二次不等式的解集与相应二次方程的根之间的关系,可以知道 ax2 +bx+c=0 的两个实根为 1,3,即原不等式与(x-1)(x-3)<0 同解,

即 x2-4x+3<0 与-ax2-bx-c<0 同解, -a -b -c 因此 = = =k>0, 1 -4 3 这样目标不等式 cx2+bx+a<0 可变成 3x2-4x+1>0, 1 3x2-4x+1=0 的根为 ,1, 3 1 因此所求不等式的解集为{x|x< 或 x>1}. 3 2 法二:由 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<3}, 可知 ax2+bx+c=0 的两个实根为 1,3,且 a<0, b c 根据根与系数关系- =4, =3. a a c b 因 a<0,不等式 cx2+bx+a<0 可变成 x2+ x+1>0, a a 1 即 3x2-4x+1>0,解得{x|x< 或 x>1}. 3 11.(探究选做)当 a 为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是全体实数. 解:①a2-1≠0,即 a≠± 时,原不等式的解集为 R 的条件是 1 ?a2-1<0, ?
? 2 2 ? ?Δ=?a-1? +4?a -1?<0.

3 解之得- <a<1. 5 2 ②当 a -1=0,即 a=± 时,当 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.若 a=-1,则原 1 1 3 不等式为 2x-1<0,即 x< ,不符合题目要求,舍去.综上所述,当- <a≤1 时,原不等式 2 5 的解集为全体实数. 作业 3 § 1.3 简易逻辑及充要条件 1.(2010 年高考陕西卷文)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 a>0,则|a|>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件;若|a|>0,则 a>0 或 a<0, 所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件. 2.设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.两偶数之和必为偶数,但两个数的和为偶数,这两个数未必都是偶数,如 1 +3=4,3+5=8 等等,故选 A. 3.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是( ) A.非 p 或 q B.p 且 q C.非 p 且非 q D.非 p 或非 q 解析:选 D.不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上述叙述中只有非 p 或非 q 为真命题. 4.(2010 年高考四川卷文)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 ( ) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 m 解析:选 A.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象的对称轴为 x=- ,且只有一条对称轴,所以 2

m - =1,即 m=-2. 2 5.已知原命题是“若 r,则 p 或 q”的形式,则这一原命题的否命题的形式是( ) A.若非 r,则 p 且 q B.若非 r,则非 p 或非 q C.若非 r,则非 p 且非 q D.若非 r,则非 p 且 q 解析:选 C.以否定了的条件为条件、否定的结论为结论即可得到否命题,重点是对 p 或 q 的否定.条件的否定是非 r,“p 或 q”的否定是非 p 且非 q,故选 C. 6.由命题 p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复 合命题中,真命题有__________个. 解析:p 假,q 真, ∴p 或 q 为真,p 且 q 为假,非 p 为真. 答案:2 7.给出下列命题: ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真; ⑤若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上). 解析:原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①、 ④错误,②、③正确,又因为不等式 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R. ?m>0 ?m>0 ? 由? ?? ?m>1. 2 ?m>1 ? ?Δ=4?m+1? -4m?m+3?<0 故⑤正确. 答案:②③⑤ 8.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若非 p 是非 q 的充分条件,则实数 a 的取 值范围是________. 解析:p:-4<x-a<4?a-4<x<a+4, q:(x-2)(3-x)>0?2<x<3. 又非 p 是非 q 的充分条件,即非 p?非 q,它的等价命题是 q?p. ?a-4≤2, ? 所以? 解得-1≤a≤6. ? ?a+4≥3, 答案:-1≤a≤6 9.写出命题“若 x2+7x-8=0,则 x=-8 或 x=1”的逆命题、否命题、逆否命题,并 分别判断它们的真假. 解:逆命题:若 x=-8 或 x=1,则 x2+7x-8=0,逆命题为真. 否命题:若 x2+7x-8≠0,则 x≠-8 且 x≠1,否命题为真. 逆否命题:若 x≠-8 且 x≠1,则 x2+7x-8≠0,逆否命题为真. 10.(2011 年济南调研)已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只 有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0.若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围. 解:由题意知 a≠0,若 p 正确 1 2 a2x2+ax-2=(ax+2)(ax-1)=0 的解为 x= 或 x=- , a a 若方程在[-1,1]上有解, 1 只需满足-1≤ ≤1. a 即 a∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0, 则有 Δ=0,即 a=0 或 2. 若 p 或 q 是假命题,

则 p 和 q 都是假命题, ? ?-1<a<1, 有? 所以 a 的取值范围是(-1,0)∪(0,1). ?a≠0且a≠2, ? 11.(探究选做)设 p:2x2-3x+1≤0;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非 p 是非 q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 1 解:由 2x2-3x+1≤0,得 ≤x≤1, 2 1 记 A={x| ≤x≤1}. 2 2 由 x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1, 记 B={x|a≤x≤a+1}. ?a+1≥1, ? 由于非 q?非 p,且非 p?/ 非 q,即 p?q,且 q?/ p,所以 A?B,则? 1 解得 ? ?a≤2, 1 0≤a≤ . 2 1 ∴实数 a 的取值范围是[0, ]. 2

优化方案· 课时作业 第 2 章 函 数 高三数学 作业 4 第2章 函 数 § 2.1 映射、函数及反函数 1.下列四个命题中正确命题的个数是( ) ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-3+ 2-x是函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ? 2 ?x≥0? ?x ④函数 y=? 2 的图象是抛物线. ?-x ?x<0? ? A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.只有①正确,②函数定义域不能是空集,③图象是分布在一条直线上的一系 列的点,④图象不是抛物线. 2.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) 2 A.y=x-1 与 y= ?x-1? x-1 B.y= x-1与 y= x-1 C.y=4lgx 与 y=2lgx2 x D.y=lgx-2 与 y=lg 100 解析: D.∵y=x-1 与 y= ?x-1?2=|x-1|的对应法则不同, 选 故不是同一函数; y= x-1 x-1 (x≥1)与 y= (x>1)的定义域不同. ∴它们不是同一函数; y=4lgx(x>0)与 y=2lgx2(x≠0) 又 x-1 x 的定义域不同, 因此它们也不是同一函数, y=lgx-2(x>0)与 y=lg =lgx-2(x>0)有相同 而 100 的定义域,值域与对应法则,故它们是同一函数. 2 ? x≤1, ?1-x 3.设函数 f(x)=? 2 ? ?x +x-2 x>1, 1 则 f[ ]的值为( ) f?2? 15 27 A. B.- 16 16 8 C. D.18 9 1 1 解析:选 A.f(2)=4, = , f?2? 4 1 1 1 15 故 f[ ]=f( )=1-( )2= . 4 4 16 f?2? 4.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 表 1 映射 f 的对应法则 1 2 3 4 原象 3 4 2 1 象 表 2 映射 g 的对应法则 1 2 3 4 原象 4 3 1 2 象

则与 f[g(1)]相同的是( ) A.g[f(1)] B.g[f(2)] C.g[f(3)] D.g[f(4)] 解析:选 A.g(1)=4,f[g(1)]=f(4)=1, f(1)=3,g[f(1)]=g(3)=1. 5.(2010 年高考全国大纲卷Ⅱ)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是( ) x+1 x -1 A.y=e -1(x>0) B.y=e +1(x>0) + - C.y=ex 1-1(x∈R) D.y=ex 1+1(x∈R) - y-1 解析:选 D.由 y=1+ln(x-1),得 x=e +1.又由 x>1,知 y∈R.∴反函数为 y=ex 1+1(x∈R). ?3x+2,x<1, ? 6. (2010 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a, 则实数 a=_____. ? ?x +ax,x≥1, 解析:∵f(f(0))=f(2)=4+2a,∴4+2a=4a, ∴a=2. 答案:2 7. (2010 年高考上海卷文)函数 f(x)=log3(x+3)的反函数的图象与 y 轴的交点坐标是____. - 解析:法一:函数 f(x)=log3(x+3)的反函数为 y=f 1(x)=3x-3,所以与 y 轴相交于(0,-2)点. 法二: 设所求交点为(0, 由反函数的定义知(b,0)即为函数 y=log3(x+3)与 x 轴的交点, b). 所以有 log3(b+3)=0,所以 b=-2.故所求交点为(0,-2). 答案:(0,-2) 8.设映射 f:x→-x2+2x 是实数集 M 到实数集 P 的映射,若对于实数 t∈P,t 在 M 中 不存在原象,则 t 的取值范围是__________. 解析:-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,若对于实数 t∈P,t 在 M 中不存在原象,则 t 的取值 范围是(1,+∞). 答案:(1,+∞) - 9.若点(1,2)既在函数 f(x)= ax+b的图象上,又在其反函数 f 1(x)的图象上,试确定 f(x) 的解析式. 解:依题意,有? 1+b=2, ? a·
? ?a=-3, 解得? 所以 f(x)= -3x+7. ? ?b=7. ? a· 2+b=1,

1 - 10.已知函数 y=f(x)在定义域(-∞,0)内存在反函数,且 f(x-1)=x2-2x,求 f 1(- )的值. 4 解:∵f(x-1)=x2-2x=(x-1)2-1, ∴y=f(x)=x2-1(x<0). 1 3 由 x2-1=- 及 x<0 得 x=- , 4 2 1 3 - 故 f 1(- )=- . 4 2 11. (探究选做)函数 f(x)的定义域为 R, 且满足下面两个条件: ①存在 x1≠x2, f(x1)≠f(x2); 使 ②对任意的 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)· f(y). (1)求 f(0); (2)证明:对任意的 x∈R,f(x)>0 恒成立. 解:(1)∵f(0+0)=f(0)· f(0), ∴f(0)=0 或 f(0)=1. 若 f(0)=0,则存在 x≠0,使对任意的 x∈R 都有 f(x+0)=f(x)· f(0)=0,即 f(x)=0,与条件矛盾. ∴f(0)=1. x x x (2)证明:f(x)=f( + )=[f( )]2≥0,若存在 x0 使 f(x0)=0,则对任意的 x∈R, 2 2 2 f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x0)· f(x-x0)=0, 与条件矛盾, ∴f(x)>0 恒成立.

作业 5 § 2.2 函数的定义域、值域 1.(2010 年高考山东卷)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 解析:选 A.∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0. 2.(2010 年高考广东卷)f(x)=lg(x-1)的定义域是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:选 B.由对数的定义知 x-1>0,故 x>1. 1 3.(2009 年高考福建卷)下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是( ) x 1 A.f(x)=lnx B.f(x)= x C.f(x)=|x| D.f(x)=ex 1 1 解析:选 A.∵y= 定义域为(0,+∞),f(x)=lnx 定义域为(0,+∞),f(x)= 定义域为 x x x {x|x≠0}.f(x)=|x|定义域为 R.f(x)=e 定义域为 R,故选 A. 4.函数 y=x+ 1-x2的值域是( ) A.[-1, 2] B.[-1,1] C.[0,1] D.[0, 2] 解析:选 A.∵-1≤x≤1,∴令 x=cosθ,θ∈[0,π], π ∴y=cosθ+sinθ= 2sin(θ+ )∈[-1, 2]. 4 ?g?x?+x+4,x<g?x?, ? 5.(2010 年高考天津卷)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? 则 f(x) ? ?g?x?-x,x≥g?x?, 的值域是( ) 9 A.[- ,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) 4 9 9 C.[- ,+∞) D.[- ,0]∪(2,+∞) 4 4 解析:选 D.由 x<g(x)得 x<x2-2,∴x<-1 或 x>2; 由 x≥g(x)得 x≥x2-2,∴-1≤x≤2. ?x2+x+2,x<-1或x>2, ? ∴f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.

??x+2? +4,x<-1或x>2, 即 f(x)=? 1 9 ??x-2? -4,-1≤x≤2.
1
2

7

2

当 x<-1 时,y>2;当 x>2 时,y>8. ∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时, 函数的值域为(2,+∞). 9 当-1≤x≤2 时,- ≤y≤0. 4 9 ∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为[- ,0]. 4 9 综上可知,f(x)的值域为[- ,0]∪(2,+∞). 4

1 6.函数 f(x)= + x-3+lg(4-x)的定义域为________. sinx ? ?x-3≥0, 解析:由 sinx≠0 知 x≠kπ,k∈Z,又? ? ?4-x>0, ∴3≤x<4,∴x∈[3,π)∪(π,4). 答案:[3,π)∪(π,4) 7.函数 y=|x+1|+ ?x-2?2的值域是________. 解析:y=|x+1|+|x-2|表示 x 到-1 和到 2 的距离之和,最小值为 3. 答案:[3,+∞) 25 8. 若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0, 值域为[- , m], -4], m 的取值范围是_______. 则 4 3 25 3 25 解析:y=(x- )2- .结合图象,当 x= 时,y=- ; 2 4 2 4 当 x=0 或 x=3 时,y=-4. 25 由 x∈[0,m]时,y∈[- ,-4], 4 3 知 m∈[ ,3]. 2 3 答案:[ ,3] 2 x+1-a 1 1 9.已知函数 f(x)= (x∈R 且 x≠a).当 f(x)的定义域为[a+ ,a+ ]时,求 f(x)的值域. 3 2 a-x -?a-x?+1 1 1 1 1 1 1 解:f(x)= =-1+ .当 a+ ≤x≤a+ 时,-a- ≤-x≤-a- ,- ≤a 3 2 2 3 2 a-x a-x 1 1 1 -x≤- ,-3≤ ≤-2,于是-4≤-1+ ≤-3, 3 a-x a-x 即 f(x)的值域为[-4,-3]. 10.已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域. 解:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)]2+f(x2)的定义域满足 ?1≤x≤9, ? ? 解得 1≤x≤3,即定义域为[1,3]. 2 ? ?1≤x ≤9, ∴0≤log3x≤1. 又 y=[f(x)]2+f(x2)=(log3x+2)2+log3x2+2 =log2x+6log3x+6=(log3x+3)2-3, 3 ∵0≤log3x≤1. ∴当 log3x=0,即 x=1 时,ymin=9-3=6, 当 log3x=1,即 x=3 时,ymax=42-3=13. ∴y 的值域为[6,13]. 11.(探究选做)已知函数 y= mx2-6mx+m+8的定义域为 R. (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求函数 f(m)的值域. 解:(1)当 m=0 时,y=2 2,定义域为 R. ? ?m>0 当 m≠0 时, y= mx2-6mx+m+8定义域为 R, 应满足? 解得 0<m≤1, ∴0≤m≤1, ? ?Δ≤0 即 m 的取值范围是[0,1]. (2)当 m=0 时,ymin=2 2=f(m). 当 0<m≤1 时, ymin=f(m)= m·2-6×3m+m+8= 8?1-m?, 3

即 f(m)= 8?1-m?(0≤m≤1), ∴f(m)∈[0,2 2]. 作业 6 § 2.3 函数的单调性及最值 1.(2010 年高考北京卷文)给定函数①y=x2,②y=log1(x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,
2 1


其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④
1

解析:选 B.①函数 y=x2在(0,+∞)上为增函数,②y=log1(x+1)在(-1,+∞)上为减
2

函数,故在(0,1)上也为减函数,③y=|x-1|在(0,1)上为减函数,④y=2x 1 在(-∞,+∞)上 为增函数,故选 B. 2. (2009 年高考陕西卷)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足: 对任意的 x1,2∈(-∞, 1≠x2), x 0](x 有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当 n∈N*时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析:选 C.对任意 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)· 2)-f(x1)]>0,因此 x2-x1 和 [f(x f(x2)-f(x1)同号,所以 f(x)在(-∞,0]上是增函数.由于 n∈N*,且 n+1>n>n-1,所以-n -1<-n<-n+1<0,即 f(n+1)=f(-n-1)<f(-n)<f(-n+1)=f(n-1). 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),当 m>0 时,f(x+m)<f(x),则不等式 f(x) +f(x2)<0 的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-1,0) C.(0,1) D.(-1,1) 解析:选 A.∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 又当 m>0 时,f(x+m)<f(x),∴f(x)是减函数. ∴f(x)+f(x2)<0 可化为 f(x)<f(-x2). 即 x>-x2.∴x>0 或 x<-1. 即解集为(-∞,-1)∪(0,+∞). 1 1 4.已知 0<t≤ ,那么 -t 的最小值是( ) 4 t 15 63 A. B. 4 8 C.2 D.-2 1 1 解析:选 A.设 y1= 在(0, ]上为减函数, t 4 1 y2=-t 在(0, ]上为减函数, 4 1 1 ∴y= -t 在(0, ]上为减函数. t 4 1 1 15 当 t= 时,ymin=4- = . 4 4 4 5. f(x)在区间 M 上是减函数, f(x)>0, 若 且 则下列函数在区间 M 上是增函数的是( ) 1 f(x) A.y=2f(x) B.y=( ) 2 C.y= f?x? D.y=log2f(x)



1 解析: B.四个选项中的函数可分别看作是由 y=2u 和 u=f(x)、 选 y=( )u 和 u=f(x)、 y= u 2 1 和 u=f(x)、y=log2u 和 u=f(x)复合而成的,根据复合函数的单调性规律可确定函数 y=( )f(x) 2 符合题意. 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是______________. 解析:y=-(x-3)|x| ?-x2+3x ?x>0? ? =? 2 ? ?x≤0? ?x -3x 3 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? 3 答案:?0,2? ? ? 7.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数 x,y 都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立.则不 等式 f(log2x)<0 的解集为________. 解析:令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1), 即 f(1)=0,则 f(log2x)<0, 即为 f(log2x)<f(1),于是 0<log2x<1, 解集为{x|1<x<2},故填{x|1<x<2}. 答案:{x|1<x<2} ?ax ?x<0?, ? 8. (2011 年天津河西区调研)已知 a>0, a≠1, 且 函数 f(x)=? ? ?x≥0?, ??a-3?x+4a f?x1?-f?x2? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a 的取值范围是__________. x1-x2

?0<a<1, ? 解析:据题意函数为减函数,故应满足?a-3<0, ?1≥4a, ?
1 解得 0<a≤ . 4 1 答案:0<a≤ 4 9.试讨论函数 f(x)= ax ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1
2

ax2 ax1 解:任取 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,则 Δx=x2-x1>0,则 Δy=f(x2)-f(x1)= 2 - 2 x2-1 x1-1 a?x1-x2??x1x2+1? = . 2 ?x2-1??x2-1? 1 ∵-1<x1<x2<1, ∴|x1|<1,|x2|<1, x1-x2<0,x2-1<0,x2-1<0,|x1x2|<1,即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0, 1 2 ?x1-x2??x1x2+1? ∴ 2 <0.因此,当 a>0 时,Δy=f(x2)-f(x1)<0,此时函数 f(x)在(-1,1)上为减 ?x2-1??x2-1? 1 函数;当 a<0 时,Δy=f(x2)-f(x1)>0,此时函数 f(x)在(-1,1)上为增函数. 10.若函数 f(x)=log2(ax2+2x+5)在(-2,+∞)单调递增,求 a 的取值范围? 解:设 u(x)=ax2+2x+5,y=log2u, ∵y=log2u 在 u∈(0,+∞)为增函数,∴u(x)=ax2+2x+5 在(-2,+∞)上为增函数且恒 有 ax2+2x+5>0 即可.

?-1≤-2 ?a≤1 ? a ? ∴当 a>0 时? ,∴? 2 , ?u?-2?≥0 ?4a-4+5≥0 ? ?
1 ∴0<a≤ . 2 当 a=0 时,u(x)=2x+5 显然成立. 1 ∴0≤a≤ . 2 11.(探究选做)已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时, 2 f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)由(1)可知 f(x)在[-3,3]上是减函数 ∴fmax=f(-3),fmin=f(3) f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2. 又∵f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0, f(-3)+f(3)=f(0), ∴f(-3)=-f(3)=2, ∴最大值为 2,最小值为-2.

作业 7 § 2.4 函数的奇偶性与周期性 1.(2010 年高考山东卷)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可 得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:选 D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数时, 其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 2.(2010 年高考江西卷)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 3 解析:选 B.由题意知 f′(x)=4ax +2bx,若 f′(1)=2,即 f′(1)=4a+2b=2,从题中可 知 f′(x)为奇函数,故 f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2,故选 B. 3.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ) A.y=2|x| B.y=lg(x+ x2+1) 1 - C.y=2x+2 x D.y=lg x+1 1 解析:选 D.对于 D.y=lg 的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称,是非奇、非偶函数. x+1 4.(2011 年宁波模拟)已知 y=f(x)是偶函数,而 y=f(x+1)是奇函数,且对任意 0≤x≤1, 98 101 106 都有 f′(x)≥0,则 a=f( ),b=f( ),c=f( )的大小关系是( ) 19 17 15 A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 解析:选 A.由已知得 f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1).从而得 f(x)=f(x+4),f(1)=0. 98 16 101 1 106 14 ∴f( )=-f( ),f( )=-f( ),f( )=f( ).∵0≤x≤1 时都有 f′(x)≥0,∴f(x)在[0,1] 19 19 17 17 15 15 14 1 16 106 98 101 上递增,且在[0,1)上都有 f(x)<0.∴f( )<0,f( )<f( )<0.∴f( )<f( )<f( ),即 c<a<b. 15 17 19 15 19 17 5.已知定义域为 R 的函数 y=f(x),则下列命题: ①若 f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ②若 f(x+1)+f(1-x)=0 恒成立,则函数 y=f(x)的图象关于(1,0)点对称; ③函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于 y 轴对称; ④函数 y=-f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于原点对称; ⑤若 f(1+x)+f(x-1)=0 恒成立,则函数 y=f(x)以 4 为周期. 其中真命题有( ) A.①④ B.②③ C.②⑤ D.③⑤ 解析:选 C.由 f(x-1)=f(1-x)知 y=f(x)图象关于 x=0 对称,故①错;由 f(1+x)+f(1- x)=0 知 y=f(x)图象关于(1,0)点对称,②正确;函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)图象 关于 x=1 对称,故③错;函数 y=-f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于(1,0)点对称, 故④错;若 f(1+x)+f(x-1)=0,则 f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数 y=f(x) 以 4 为周期,⑤正确.综上,②⑤正确,故选 C. - 6. (2010 年高考江苏卷)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数, 则实数 a 的值为_______. -x - 解析:因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e +aex)=x(ex+ae x),化简得 - x(e x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1. 答案:-1 ?2x-3 ?x>0? ? 7.如果函数 y=? 是奇函数,则 f(x)=______. ?f?x? ?x<0? ?

解析:x<0,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-3] =-(-2x-3)=2x+3,故 f(x)=2x+3. 答案:2x+3 8.若 f(x)是 R 上的奇函数,则函数 y=f(2x-1)+1 的图象必过点________. 1 1 解析:y=f(2x-1)+1 由 y=f(x)向右平移 个单位再向上平移 1 个单位.(0,0)→( ,1). 2 2 1 答案:( ,1) 2 ex a 9.设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数,求实数 a 的值;并求 f(x)的值域. a e 解:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. - e x a ex a 即 + -x= + x, a e a e 2 2x 即(a -1)e +1-a2=0,对任意的 x 恒成立, ?a2-1=0, ? ∴? 解得 a=1. ? ?a>0, 1 ∴f(x)=ex+ x e 当 x∈R 时,ex>0 1 1 ∴f(x)=ex+ x≥2 ex·x=2 e e 当且仅当 x=0 时,取“=” ∴f(x)的值域为[2,+∞). 10.已知奇函数 f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的 取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2], ?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 2 ? ?-2≤1-m ≤2, 解得-1≤m≤ 3,① 又 f(x)为奇函数,在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1) ∴1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 11.(探究选做)是否存在实数 a,使得函数 f(x)=log2(x+ x2+2)-a 为奇函数,同时使 1 函数 g(x)=x· x +a)为偶函数?证明你的结论. ( a -1 解:假设存在 a 满足题目要求, ?f?-x?=-f?x? ? 则? ? ?g?-x?=g?x? 1 令 x=0,由 f(0)=0 得 a= , 2 1 1 此时 g(x)=x( -x + ), 2 -1 2 1 1 1 1 ∴g(-x)=-x( x + )=x( x- ) 2 -1 2 1-2 2 1+2x =x· . 2?1-2x?

1 1 而 g(x)=x( -x + ) 2 -1 2 1+2x =x· , 2?1-2x? ∴g(-x)=g(x), 1 ∴a= 时,g(x)为偶函数. 2 1 因此,存在 a= 满足题目条件. 2 作业 8 § 2.5 二次函数 1. 已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4), 且过点(1,5), 则这个二次函数的解析式为( ) 1 2 1 2 A.y= x +1 B.y= x +4 4 4 2 C.y=4x +1 D.y=x2+4 解析:选 D.设 f(x)=ax2+4(a≠0),∵过点(1,5), ∴5=a+4,∴a=1,∴f(x)=x2+4. 2.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系为( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x)<g(x) D.随 x 值的变化而变化 2 解析:选 A.作差得:f(x)-g(x)=x -2x+2=(x-1)2+1>0,∴f(x)>g(x). 3.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的范围是( ) A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 m 解析:选 A.f(x)=4x2-mx+5 的对称轴为 x= ,开口向上, 8 m ∴ ≤-2,∴m≤-16 8 而 f(1)=4-m+5≥25. 4.(2011 年长沙调研)已知函数 f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若 x1<x2,x1+x2=0,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<f(x2) D.与 a 的值有关 1 解析:选 C.根据函数的图象开口向下,对称轴为 x= ,又依题意得 x1<0,x2>0,且 x1 4 1 1 1 1 与 x2 关于 y 轴对称, x1 到 x= 的距离大于 x2 到 x= 的距离, -x1>x2- , f(x1)<f(x2), 则 即 故 4 4 4 4 选 C. 5.(2010 年高考安徽卷理)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

b 解析:选 D.由 A,C,D 知,f(0)=c<0.∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=- >0,知 A, 2a

b C 错误,D 符合要求.由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=- <0,B 错误. 2a 6. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2m+1=0, 若方程有两根, 其中一根在区间(- 1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则 m 的取值范围是__________.

?f?-1?>0 ?f?0?<0 解析: 设 f(x)=x +2mx+2m+1,由图象(如图)知? f?1?<0 ?f?2?>0 ?
2



5 1 解得 m∈(- ,- ). 6 2 5 1 答案:(- ,- ) 6 2 2 7.要使 y=x +4x(x≥a)有反函数,则 a 的最小值为________. 解析:∵y=x2+4x=(x+2)2-4, ∴它的单调区间为(-∞,-2]和[-2,+∞). ∵函数在它的单调区间上有反函数, ∴[a,+∞)?[-2,+∞),从而 a≥-2. 答案:-2 8.关于 x 的不等式 x2-4x≥m,对 x∈(0,1)恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析:当 x∈(0,1)时,y=x2-4x 是减函数, ∴x∈[0,1]时,y=x2-4x 的最小值为-3,故 m≤-3. 答案:(-∞,-3] 9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足条件 f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为 A,图象 与 x 轴的交点为 B、C,其中 B 点的坐标为(-1,0),且△ABC 的面积为 18,试确定这个二次 函数的解析式. 解:由 f(2-x)=f(2+x),得二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=2,又 B(-1,0),故 C 点坐标为(5,0). 设顶点 A 的纵坐标为 y,则由△ABC 面积为 18, 1 有 (5+1)|y|=18, 2 故可解得 y=± 6,A 点坐标为(2,± 6). 2 ∴可设 f(x)=a(x-2) +6(a≠0)或 f(x)=a(x-2)2-6(a≠0), ∵B(-1,0)是 f(x)图象上一点. 故 a(-1-2)2+6=0 或 a(-1-2)2-6=0 2 2 可以解得 a=- 或 a= , 3 3 2 2 2 ∴f(x)=- (x-2) +6 或 f(x)= (x-2)2-6. 3 3 2 10.函数 f(x)=x -4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数关系式; (2)作出 g(t)的大致图象,并写出 g(t)的最小值. 解:(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8. 当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数. ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4; 当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时, g(t)=f(2)=-8; 当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在区间[t,t+1]上是减函数. ∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7. 综上可知:

?t -2t-7,t<1 ? g(t)=?-8,1≤t≤2, ?t2-4t-4,t>2. ?
(2)g(t)的大致图象如图所示. 由图象易知 g(t)的最小值为-8. 11.(探究选做)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象如图所 示,与 x 轴有两个不同的公共点,f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 试比较 与 c 的大小. a 解:由已知 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的公共点, f(x)=0 有两 知 c 个不同的实数根 x1、x2,又由 f(c)=0,且 x1x2= ,知 f(x)=0 的两个根 a 1 就是 和 c, a 1 ∴ ≠c a 1 1 如果 <c,由 a>0,知 >0, a a 1 即 0< <c, a 而当 0<x<c 时,f(x)>0, 1 1 ∴f( )>0,这与 是 f(x)=0 的根矛盾, a a 1 所以 >c. a 作业 9 § 2.6 指数与指数函数 1.函数 f(x)=ax b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:选 D.所给图象是由 f(x)=ax 的图象左移得到的, 故 b<0,又因递减性知,0<a<1,所以选 D.
1


2

)

2.已知 f(x)是 R 上的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=2x+2x2,又 2<2a<4,则 f(-2),f(a), f(1)的大小关系是( ) A.f(1)<f(a)<f(-2) B.f(-2)<f(1)<f(a) C.f(a)<f(1)<f(-2) D.f(1)<f(-2)<f(a) 解析:选 A.∵2<2a<4,∴1<a<2,又∵f(x)为偶函数,f(-2)=f(2).且 f(x)在(0,+∞)上 为增函数,∴f(1)<f(a)<f(2). 3. (2010 年高考课标全国文)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0), 则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2}

解析:选 B.∵f(x)=2x-4(x≥0), ∴令 f(x)>0,得 x>2. 又 f(x)为偶函数且 f(x-2)>0,∴f(|x-2|)>0, ∴|x-2|>2,解得 x>4 或 x<0,∴{x|x<0 或 x>4}. 4.(2011 年青岛质检)过原点的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的 垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是( ) A.(1,2) B.(2,4) 1 C.( , 2) D.(0,1) 2 解析:选 A. 据题意设点 A(x1,2x1),B(x2,2x2),又由题意知 C(x1,4x1),由于 BC 平行于 x 2x2 2x1 22x1 2x1 轴,故有 4x1=2x2?x2=2x1,又由 A,B,O 三点共线,则有 = ? = ,解得 x1=1, x2 x1 2x1 x1 故点 A(1,2). 5.已知函数 y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是( ) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 3 3 解析:选 D.y=(2x)2-3×2x+3=(2x- )2+ ∈[1,7], 2 4 3 2 1 25 ∴(2x- ) ∈[ , ]. 2 4 4 3 5 1 1 5 x ∴2 - ∈[- ,- ]∪[ , ], 2 2 2 2 2 ∴2x∈(0,1]∪[2,4]. ∴x∈(-∞,0]∪[1,2].故选 D. 1 6.函数 f(x)= 1-? ?x的值域为__________. 2 1x 解析:∵1≥( ) >0. 2 1x 0≤1-( ) <1. 2 答案:[0,1) 1 - + 7.函数 y=( )x2 2x 3 的单调减区间为________. 2 解析:令 t=x2-2x+3,则 t=(x-1)2+2 在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函 数. 1 1 - + 而 y=( )t 为减函数,故 y=( )x2 2x 3 2 2 在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数. 答案:[1,+∞) 8.若函数 f(x)= 2x
2-2ax-a

-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

解析:由 f(x)= 2 -1的定义域为 R. 可知 2x2-2ax-a≥1 恒成立, 即 x2-2ax-a≥0 恒成立, 解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] 3x-a - - 1 9.若函数 y=f 1(x)是奇函数 f(x)= x 的反函数,试求 f 1( )的值. 3 3 +1 x 3 -a 1-a 解:f(x)= x 是奇函数,则 f(0)= =0,a=1, 2 3 +1 3x-1 f(x)= x . 3 +1

x2-2ax-a

3x-1 1 = ,∴3x=2,∴x=log32. 3x+1 3 - 1 ∴f 1( )的值为 log32. 3 10.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 解:由题意,得 1+2x+4xa>0,在 x∈(-∞,1]上恒成立, 1+2x 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2x 只需 a>(- x )max, 4 x 1+2 1 1 1 1 1 又∵- x =-( )2x-( )x=-[( )x+ ]2+ , 4 2 2 2 2 4 3 3 当 x∈(-∞,1]时值域为(-∞,- ],∴a>- . 4 4 1 11.(探究选做)已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 1 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0,当 x≥0 时,f(x)=2x- x.由条件可知 2x- x=2, 2 2 即 22x-2·x-1=0, 2 x 解得 2 =1± 2. ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t(22t- 2t)+m(2t- t)≥0, 2 2 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 令

作业 10 § 2.7 对数与对数函数 1 1.(2010 年高考安徽卷)若集合 A={x|log1x≥ },则?RA=( 2 2 A.(-∞,0]∪( )

2 2 ,+∞) B.( ,+∞) 2 2 2 2 C.(-∞,0]∪[ ,+∞) D.[ ,+∞) 2 2 1 1 2 2 2 解析: A.log1x≥ , log x≥log1 , 选 即 ∴0<x≤ , A={x|0<x≤ }, RA={x|x≤0 即 ∴? 2 2 2 2 2 2 2 2 }. 2 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 1 1 解析:选 A.∵a=log3π>1,b= log23<1,c= log32<1, 2 2 2 log23 lg 3 ∴a>b,a>c.又 = >1.∴b>c.∴a>b>c. log32 lg22 3.(2011 年海淀区期中练习)在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax,y=x+a 的图象, 可能正确的是( ) 或 x>

解析:选 D.当 a>1 时,三个函数 y=logax,y=ax,y=x+a 均为增函数,则排除 B,C, 又由直线 y=x+a 在 y 轴上的截距 a>1 可得仅 D 的图象正确,故应选 D. 4.(2011 年杭州质检)使“lgm<1”成立的一个充分不必要条件是( ) A.m∈(0,+∞) B.m∈{1,2} C.0<m<10 D.m<1 解析:选 B.由 lgm<1?0<m<10,由{1,2}是{m|0<m<10}的真子集,故得出结论:“m∈ {1,2}”为“lgm<1”成立的充分不必要条件. 5.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) 解析:选 C.0<a<1,f(x)<0, ∴a2x-2ax-2>1,∴ax>3 或 ax<-1(舍去), ∴x<loga3,故选 C. 6. 函数 y=f(x)与 y=ax(a>0, a≠1)的图象关于直线 y=x 对称, 且 则下列结论错误的是___. ①f(x2)=2f(x) ②f(2x)=f(x)+f(2) 1 ③f( x)=f(x)-f(2) ④f(2x)=2f(x) 2 解析:由题意可知 f(x)=logax,分别代入各选项检验可知④中 f(2x)=loga(2x)≠2f(x)= 2logax=logax2. 答案:④ ??a-2?x-1,x≤1, ? 7.(2011 年广州毕业调试)已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(-∞,+∞)上 ? x>1. ?logax, 单调递增,则实数 a 的取值范围为__________.

?a-2>0 ? 解析:由??a-2?×1-1≤loga1?2<a≤3 . ?a>1 ?
答案:(2,3] 8.设函数 y=4+log2(x-1)(x≥3),则其反函数的定义域为________. 解析:反函数定义域为原函数值域. ∵y=4+log2(x-1)(x≥3), ∴当 x=3 时,ymin=4+log22=5. ∴y≥5.∴反函数的定义域为[5,+∞). 答案:[5,+∞) 9.已知函数 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1), (1)证明:函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧. - (2)求函数 y=f(2x)与 y=f 1(x)的图象的交点坐标. 解:由于 a>0,且 a≠1,所以从 a>1,0<a<1 两种情况来考虑. (1)证明:由 ax-1>0,得 ax>1. 当 a>1 时,得 x>0;当 0<a<1 时,有 x<0; 所以当 a>1 时,f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0<a<1 时,f(x)的图象在 y 轴的左侧. 所以函数 f(x)的图象始终在 y 轴的一侧. - (2)由 f(x)=loga(ax-1)有 f 1(x)=loga(ax+1), 令 loga(a2x-1)=loga(ax+1), 即 a2x-1=ax+1 且 a2x-1>0, 由此解得 ax=2,即 x=loga2, - 并代入 f 1(x)=loga(ax+1), -1 得 f (loga2)=loga3, - 所以函数 y=f(2x)与 y=f 1(x)的图象的交点坐标为(loga2,loga3). 1 10.已知函数 y=log (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 2 2 解:令 g(x)=x -ax+a, a 则 g(x)在(-∞, ]上是减函数. 2 1 ∵0< <1,函数 y 在 x∈(-∞, 2)上是增函数, 2 ∴只要 g(x)在(-∞, 2)上单调递减,且 g(x)>0, ? 2≤a, ? 2 即有?

?g? 2?=? 2?2-a 2+a≥0. ?

∴2 2≤a≤2( 2+1). a 11.(探究选做)设函数 f(x)=loga(1- ),其中 0<a<1. x (1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数; (2)解不等式 f(x)>1. a 解:(1)证明:设 0<a<x1<x2,g(x)=1- , x a a a?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)=1- -1+ = <0, x1 x2 x1x2 ∴g(x1)<g(x2). 又∵0<a<1,∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(a,+∞)上是减函数.

a a a (2)∵loga(1- )>1,∴0<1- <a,解得:a<x< . x x 1-a a ∴原不等式的解集为:{x|a<x< }. 1-a 作业 11 § 2.8 函数的图象及变换 1 的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移 2 个单位 2-x 得图象 C1,又 y=f(x)的图象 C2 与 C1 关于 y=x 对称,则 y=f(x)的解析式是( ) - A.y=10x B.y=10x 2 C.y=lgx D.y=lg(x-2) 解析:选 A.C1 的解析式为 y=lgx,求 C1 的反函数即得 C2∶y=10x. 2.一个体积为 V 的棱锥被平行于底面的平面所截,设截面上部的小棱锥的体积为 y,截 面下部的几何体的体积为 x, y 与 x 的函数关系可以表示为______(填入正确的图象的序号). 则 1.先作与函数 y=lg

解析:因为 x+y=V,所以 y=-x+V. 所以由 y=-x+V 图象可知应选③. 答案:③ 3. (2011 年济南市质检)函数 y=f(x)的曲线如图所示, 那么函数 y=f(2-x)的曲线是(

)

解析:选 C.解答本题可利用图象变换处理.易知 f(2-x)的图象可由 y=f(x)关于 y 轴对称 得 y=f(-x)的图象,再向右平移 2 个单位即得,作出草图即得答案 C. 4.(2011 年合肥市质检)已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x- 3)f′(x)>0 的解集为( )

A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 解析: D.据题意观察函数的图象, 选 由函数的单调性与导数之间的关系可得, 当-1<x<1 2 ? ?x -2x-3>0 时,f′(x)<0;当 x>1 或 x<-1 时,f′(x)>0,故(x2 -2x-3)f′(x)>0? ? 或 ?f′?x?>0 ?
?x2-2x-3<0, ? ? 解之即为不等式的解集. ? ?f′?x?<0,

5.(2010 年高考山东卷)函数 y=2x-x2 的图象大致是(

)

解析:选 A.由于 2x-x2=0 在 x<0 时有一解;在 x>0 时有两解,分别为 x=2 和 x=4.因 此函数 y=2x-x2 有三个零点,故应排除 B 和 C.又当 x→-∞时,2x→0,而 x2→+∞,故 y =2x-x2→-∞,因此排除 D.故选 A. 3 6.(2011 年皖南八校联考)函数 y=f(x)在定义域(- ,3)内可导,其图象如图,记 y=f(x) 2 的导函数为 y=f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集为________.

解析:从图象上看减函数的部分. 1 答案:[- ,1]∪[2,3) 3 1 7. 函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(log x)的单调增区间是________. 2 1 1 1 解析:由图可知 y=f(x)的单调递减区间为(- ,0),∴使- <log x 2 2 2 <0,解得 1<x< 2. 1 ∴g(x)=f(log x)的单调增区间为(1, 2). 2 答案:(1, 2) ?ax+b?a≤0?, ? 8. 函数 f(x)=? 的图象如图所示,则 a+b+c=__________. 1 ?logc?x+9??x>0? ? 1 解析:由图象可求得直线的方程为 y=2x+2,又函数 y=logc(x+ )的图象过 9 1 1 13 点(0,2),将其坐标代入可得 c= ,所以,a+b+c=2+2+ = . 3 3 3 13 答案: 3 9.把函数 C1:y=x3-x 图象沿 x 轴、y 轴正方向分别平行移动 t、s 单位长度后得函数 C2. (1)写出 C2 的解析式; t s (2)证明:C1、C2 的图象关于点 M( , )对称. 2 2 解:(1)C2:y=(x-t)3-(x-t)+s.

(2)证明:在 C1 的图象上,任取一点 P(x1,y1),设 Q(x2,y2)是 P 点关于 M 的对称点,则 有 t ?x +x =2, 2 ?y +y s ? 2 =2,
1 2 1 2

? ?x1=t-x2, ∴? ?y1=s-y2, ?

代入 y=x3-x,得 s-y2=(t-x2)3-(t-x2), ∴y2=(x2-t)3-(x2-t)+s. ∴Q(x2,y2)在曲线 C2 上. 反之,同样证明 C2 的图象上的任意一点关于 M 的对称点也在 C1 的图象上. 故函数 C1 与函数 C2 的图象关于点 M 对称. 10.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)作出函数 f(x)的图象; (2)利用图象求 f(x)的单调区间并指出单调性; 2 5 (3)利用图象求 x∈[ , ]的函数的最大值. 3 2 2 ? ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞? 解:f(x)=? , 2 ? ?-?x-2? +1,x∈?1,3? (1)作出图象如图所示. (2)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. 2 2 2 7 (3) ∈(-∞,1),∴f( )=( -2)2-1= . 3 3 3 9 5 5 5 3 ∈(1,3),f( )=-( -2)2+1= . 2 2 2 4 2 5 又∵f(2)=1,∴x∈[ , ]时 f(x)max=f(2)=1. 3 2 + 11.(探究选做)设 a>1,函数 f(x)=ax 1-2. -1 (1)求 f(x)的反函数 f (x); - (2)若 f 1(x)在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数,求 a 的值; - (3)若 f 1(x)的图象不经过第二象限,求 a 的取值范围. + 解:(1)因为 ax 1>0, 所以 f(x)的值域是{y|y>-2}. + 设 y=ax 1-2,解得 x=loga(y+2)-1. 所以 f(x)的反函数为 - f 1(x)=loga(x+2)-1,x>-2. - - - (2)当 a>1 时,函数 f 1(x)=loga(x+2)-1 是(-2,+∞)上的增函数,所以 f 1(0)+f 1(1)=0, 即(loga2-1)+(loga3-1)=0,解得 a= 6. - (3)当 a>1 时,函数 f 1(x)是(-2,+∞)上的增函数,且经过定点(-1,-1). - - 所以 f 1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是 f 1(x)的图象与 x 轴的交点位于 x 轴的非 负半轴上. 令 loga(x+2)-1=0,解得 x=a-2, 由 a-2≥0,解得 a≥2.

作业 12 § 2.9 函数的应用 1.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一 1 企业生产某种商品的数量为 x 件时的成本函数为 c(x)=20+2x+ x2(万元),若售出一件商品 2 收入是 20 万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为( ) A.18 件 B.36 件 C.22 件 D.9 件 1 解析:选 A.y=20x-c(x)=20x-20-2x- x2 2 1 2 =- x +18x-20. 2 ∴x=18 时,y 有最大值. 2.(2011 年长沙调研)已知每生产 100 克饼干的原材料加工费为 1.8 元.某食品加工厂对 饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示: 型号 重量 包装费 销售价格 小包装 100 克 0.5 元 3.00 元 大包装 300 克 0.7 元 8.4 元

则下列说法正确的是( ) ①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖 3 小包比卖 1 大包盈利多;④卖 1 大包比卖 3 小包盈利多. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3 8.4 2.6 解析:选 D.买小包装时每克费用为 元,买大包装时每克费用为 = 元,而 100 300 100 3 2.6 > ,所以买大包装实惠,卖 3 小包的利润是 3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖 1 大包的利 100 100 润是 8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而 2.3>2.1,卖 1 大包盈利多. 3.拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费(单位:元)由 f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)确定, 其中 m>0,[m]是大于或等于 m 的最小整数(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4),若从甲地到乙地 一次通话时间为 5.5 分钟,则电话费为( ) A.3.71 元 B.3.97 元 C.4.24 元 D.4.77 元 解析:选 C.由题设知,f(5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24,故选 C. 4.(2011 年广州市高中调研)一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车,当 他离汽车 25 米时交通灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),汽 1 车在时刻 t 的速度为 v(t)= t 米/秒,那么,此人( ) 2 A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米 1 解析:选 D.人走的路程 S1=6t,车走的路程为 S2= t2,则人与车之间的距离为 d=S1- 2 12 1 2 S2-25=6t- t -25=- (t-6) -7<0,∴人不可能追上汽车,但其间最近距离为 7 米. 2 2

5.右图表示某种化肥在最近几年里的产销情况,其中:直线 l1 表示该化肥在各年的年产量; 直线 l2 表示该化肥各年的销售情 况.根据所学知识,你认为下列叙述较为合理的是( ) (1)该化肥产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划 进行下去; (2)该化肥已经出现了供大于求的情况,价格将会逐渐下跌; (3)该化肥的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销 售量; (4)该化肥的产、销情况均以一定的年增长率递增. A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(4) D.(2)(3) 解析:选 D.供已大于求,因而需停产或产品积压或产品必降价. 6.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购买 1000 吨,每吨为 800 元,如果购买 2000 吨,每吨为 700 元,一客户购买 400 吨,单价应该 是__________. ?800a+b=1000 ? 解析:设 y=ax+b(a≠0),则? , ? ?700a+b=2000
?a=-10 ? 解得? , ? ?b=9000 ∴y=-10x+9000,由 400=-10x+9000, 得 x=860(元). 答案:860 元 7.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=________吨. 400 1600 1600 解析:设购买 n 次,则 n= ,总运费为 万元,所以总费用= +4x≥160,当 x x x 1600 且仅当 =4x,即 x=20 时,等号成立. x 答案:20 8. 山东水浒书业公司因为甘肃舟曲捐书运输不方便, 就准备在济宁体育中心举行一次售 书活动,将其收入全部捐出,预计卖出 2.4 万册,书价有 8 元,15 元和 18 元三种,且书价为 8 元和 15 元的本数之积为 0.3 万册,设 y 是售书的总收入.当三种书分别为________万册时 捐款数最大. 解析:设 8 元,15 元,18 元的书分别为 a,b,c(万册)

① ?a+b+c=2.4 ? 则?ab=0.3 ② ?y=8a+15b+18c ③ ? ①代入③得 y=43.2-(10a+3b)≤43.2-2 30ab=37.2 ? ? ?10a=3b ?a=0.3 当且仅当? ,∴? ,c=1.1. ?ab=0.3 ?b=1 ? ? 答案:0.3 1 1.1 9.小王粉刷他的卧室共花去 10 小时,他记录的完成工作量的百分数如下: 时序/小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时 完成的 5 20 35 50 50 65 70 85 95 100 百分数

(1)如果用 B(h)表示 h 小时内他完成工作量的百分数,请问 B(8)是多少?

(2)如果小王在早晨 8 时开始工作,试问在花去的 10 小时中,他什么时间没有工作? 解:(1)B(8)表示小王 8 小时内完成工作量的百分数,由表易知 8 小时内完成了工作量的 85%,故 B(8)=85%. (2)显然小王在工作了 4 小时后停止工作了 1 小时,故它在 12~13 时停止工作. 10. 某地响应国家政策,彻底禁止了从农田里取土烧制粘土砖,对已取土的田地要综合 应用.现有一块占地 1800 平方米因取土而废弃的矩形地块(长宽不定),中间再深挖成三个矩 形池塘养鱼, 挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分)种植杨树, 鱼塘周围宽均为 2 米(如 图),池塘所占面积为 S 平方米,其中 a∶b=1∶2. (1)试用 x,y 表示 S; (2)要使 S 最大,x,y 应为多少米? 解:(1) 由题可得:xy=1800,b=2a, 则 y=a+b+6=3a+6 y-6 S=(x-4)a+(x-6)×b=(3x-16)a=(3x-16) 3 16 =1832-6x- y. 3 16 16 (2)法一:S=1832-6x- y≤1832-2 6x× y 3 3 16 当且仅当 6x= y,即 x=40,y=45 时,S 取得最大值 1352. 3 16 1800 9600 9600 法二:S=1800-6x- × +32=1832-(6x+ )≤1832-2 6x× =1832 3 x x x -480=1352 9600 当且仅当 6x= ,即 x=40 时取等号,S 取得最大值. x 1800 此时 y= =45. x ∴当 x=40 米,y=45 米时,S 有最大值为 1352 平方米. 11.(探究选做)某特许专营店销售 2010 世博会纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一 枚纪念章还需向有关部门交特许经营管理费 2 元, 预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时 该店一年可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每 减少一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格 为 x 元(x∈N*). (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售价 格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域); (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时, 该特许专营店一年内利润 y(元)最大?并求出这 个最大值. 解:(1)依题意 * ?[2000+400?20-x?]?x-7?,7<x≤20,x∈N y=? * ?[2000-100?x-20?]?x-7?,20<x<40,x∈N
?400?25-x??x-7?,7<x≤20,x∈N* ? ∴y=? * ? ?100?40-x??x-7?,20<x<40,x∈N

此函数的定义域为{x|7<x<40,x∈N*}. 2 * ?400[-?x-16? +81],7<x≤20,x∈N ? (2)y=? 47 2 1089 * ?100[-?x- 2 ? + 4 ],20<x<40,x∈N ? 当 7<x≤20,则当 x=16,ymax=32400(元); 当 20<x<40,因为 x∈N*, 所以当 x=23 或 24 时,ymax=27200(元); 综上可得当 x=16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元.

优化方案· 课时作业 第 3 章 数 列 高三数学 作业 13 第3章 数 列 § 3.1 数列的概念 1.(2010 年高考安徽卷)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 2 解析:选 A.由于 Sn=n ,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 2.已知 Sk 表示数列{ak}的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ?Sk+Sk+1=ak+1, ? 解析:选 C.由已知得? 相减, ? ?Sk+1+Sk+2=ak+2, 得 Sk+2-Sk=ak+2-ak+1, 即 ak+2+ak+1=ak+2-ak+1, ∴ak+1=0,即{ak}为常数列. 3.一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an) 得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N*),则该函数的图象是( )

解析:选 A.据题意,由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an. 即该函数 y=f(x)图象上任一点(x,y)都满足 y>x. 由图象可知,只有 A 满足. 4.(2011 年潍坊调研)某化工厂打算投入一条新的生产线, 但需要经环保部门审批同意方 1 可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年 2 产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最 长的生产期限是( ) A.5 年 B.6 年 C.7 年 D.8 年 解析:选 C.本题以实际应用题为背景考查数列中 Sn 与 an 的关系.由已知可得第 n 年的 产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2,当 n=1 时也适合,据题意令 an≥150?n≥5 2,即数列从第 8 项开始超过 150,即这条生产线最多生产 7 年.

5.已知数列{xn}满足 xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若 x1=1,x2=a(a≤1,a≠0), 则数列{xn}的前 2010 项的和 S2010 为( ) A.669 B.670 C.1338 D.1340 解析:选 D.x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a, ∴x1+x2+x3=1+a+1-a=2. ∵xn+3=xn,其周期为 3, ∴x4+x5+x6=2 2010 ∴S2010= ×2=1340. 3 6.(2009 年高考北京卷)已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2009 =__________;a2014=__________. 解析:∵a2009=a503×4-3=1,a2014=a2×1007 =a1007=a4×252-1=0. 答案:1 0 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a7=__________. 解析:Sn=2(an-1),Sn+1=2(an+1-1),相减得 an+1=2(an+1-an),an+1=2an,又 S1=a1 =2(a1-1),a1=2,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,a7=128,故填 128. 答案:128 8.数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则通项公式 an=__________. 解析:由 an+1=3an+2 得 an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,{an+1}以 a1+1 为首项,公比为 3 的等比数列. an+1 - - ∴an+1=2×3n 1,∴an=2×3n 1-1. n-1 答案:2×3 -1 10 9.已知数列{an}的通项 an=(n+1)?11?n(n∈N*),试问该数列{an}有没有最大项?若有, ? ? 求最大项的项数;若没有,说明理由. 10 + 10 解:∵an+1-an=(n+2)?11?n 1-(n+1)?11?n ? ? ? ? 10?n 9-n =?11? · . ? 11 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 所以数列中有最大项,最大项为第 9、10 项. 10.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-30. (1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? (2)n 为何值时,an=0,an>0,an<0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值?说明理由. 解:(1)由 an=n2-n-30,得 a1=1-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 设 an=60,则 60=n2-n-30. 解之得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴60 是此数列的第 10 项. (2)令 n2-n-30=0,解得 n=6 或 n=-5(舍去). ∴a6=0. 令 n2-n-30>0,解得 n>6 或 n<-5(舍去).

∴当 n>6(n∈N*)时,an>0. 令 n2-n-30<0,解得-5<n<6. 又 n∈N*,∴0<n<6. ∴当 0<n<6(n∈N*)时,an<0. (3)由 an=n2-n-30 1 1 =(n- )2-30 ,n∈N*, 2 4 知{an}是递增数列, 且 a1<a2<?<a5<a6=0<a7<a8<a9<?, 故 Sn 存在最小值 S5=S6,Sn 不存在最大值. n?n+1? 1 11.(探究选做)已知 a1= 且数列{an}的前 n 项和 Sn= an,求{an}的通项公式. 6 2 解:当 n≥2 时, n?n+1? n?n-1? an=Sn-Sn-1= an- an-1, 2 2 an n ∴an(n2+n-2)=an-1(n-1)n,即 = , an-1 n+2 an-1 n-1 a2 2 故 = ,?, = , a1 4 an-2 n+1 an an an-1 a3 a2 ∴ = · · ?· · a1 an-1 an-2 a2 a1 n n-1 3 2 6 = · · ·= ?· , 5 4 ?n+2??n+1? n+2 n+1 1 ∴an= (n≥2). ?n+2??n+1? 1 又∵a1= 也适合上式, 6 1 ∴an= (n∈N*). ?n+2??n+1? 作业 14 § 3.2 等差数列 1.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+? +a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解析:选 C.∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.∴a1+a2+?+a7=(a1+a7)+(a2+a6) +(a3+a5)+a4=7a4=28. 2.(2010 年高考福建卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 A.设等差数列的公差为 d,则由 a4+a6=-6 得 2a5=-6,∴a5=-3.又∵a1= -11,∴-3=-11+4d,∴d=2. n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时,Sn 取最小值,故选 A. 2 3.(2009 年高考重庆卷) 设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数 列,则{an}的前 n 项和 Sn=( ) n2 7n n2 5n A. + B. + 4 4 3 3

n2 3n C. + D.n2+n 2 4 解析:选 A.∵a1,a3,a6 成等比数列, 则(a1+2d)2=a1(a1+5d), 1 ∴a1d=4d2,∴d= . 2 n?n-1? 1 n2 7 ∴Sn=2n+ × = + n. 2 2 4 4 4.已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9<S8=S7,则下列说 法中不正确的是( ) . A.S9<S10 B.d<0 C.S7 与 S8 均为 Sn 的最大值 D.a8=0 解析:选 A.由 S9<S8=S7 可知,a9<0,a8=0,故等差数列的首项 a1>0,公差 d<0,S7 与 S8 均为 Sn 的最大值. S10=S9+a10, a10=a9+d<a9<0, 而 且 故必有 S9>S10.所以选项 A 不正确. 5.已知等差数列{an}、{bn}的公差均为 2,且 a1=2,b1=1,数列{cn}满足 cn=abn,则 数列{cn}的前 10 项和 S10 为( ) A.75 B.100 C.200 D.400 解析:选 C.依题意,an=2n,bn=2n-1, 10?2+38? ∴S10=ab1+ab2+?+ab10=a1+a3+?+a19= =200,故选 C. 2 6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8 等于__________. ?a1+a8? 解析:因为 a4=18-a5,所以 a4+a5=18.故 S8=8× =4×(a4+a5)=4×18=72. 2 答案:72 1 7.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1,令 bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}的前 n 10 项和 T10=__________. 解析:因为 an=2n+1,所以数列{an}是一个等差数列,其首项为 a1=3,前 n 项和为 Sn n?a1+an? n?3+2n+1? 2 1 1 =a1+a2+?+an= = =n +2n,所以 bn= ×Sn= ×(n2+2n)=n+2, 2 2 n n 故数列{bn}也是一个等差数列,其首项为 b1=3,公差为 d=1,所以其前 10 项和 T10=10b1 10×9 + d=10×3+45=75. 2 答案:75 8. 如图是一个有 n 层(n≥2)的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第 2 层每 边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,??,第 n 层每边有 n 个点,则这 个点阵的点数共有__________个. 解析:设第 n 层共 an 个点,结合图形可知 a1=1,a2=6,?,an+ =an+6(n≥2,n∈N*),则 an=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N*). 1 ?n-1?[6+?6n-6?] 前 n 层所有点数之和为 Sn=1+ =3n2-3n+1, 2 故这个点阵的点数共有 3n2-3n+1 个. 答案:3n2-3n+1 9.公差不为 0 的等差数列{an}中,a1=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的公差 d; (2)记数列{an}的前 20 项中的偶数项的和为 S,即 S=a2+a4+a6+?+a20,求 S. 解:(1)∵数列{an}的公差为 d,a2 是 a1 与 a4 的等比中项, ∴a1a4=a2. 2

即 a1(a1+3d)=(a1+d)2,2(2+3d)=(2+d)2, 整理得 2d=d2,∵d≠0,∴d=2. (2)∵数列{an}的前 20 项中的偶数项是一个以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列, a2=a1+d=4, 10×9×4 ∴S=10a2+ =10×4+10×18=220. 2 10.在等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求当 n 满足什么条件时,Sn>0? 解:(1)设数列{an}的公比为 q, 则 16=2q3,∴q=2. ∴{an}的通项公式为 an=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32. ? ? ?b1+2d=8 ?b1=-16 设数列{bn}的公差为 d,则? ,解之得? . ?b1+4d=32 ?d=12 ? ? ∴bn=-16+12(n-1)=12n-28, n?-16+12n-28? ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= =6n2-22n. 2 11 令 Sn>0,∴6n2-22n>0,解得 n> 或 n<0,∴n≥4(n∈N*). 3 11. (探究选做)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 对一切正整数 n, Pn(n, n)都在函数 f(x) 点 S =x2+2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项 cn∈Q∩R, 其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式. 解:(1)∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, ∴Sn=n2+2n(n∈N*),当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n+1. 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1(n∈N*). (2)对 f(x)=x2+2x 求导可得 f′(x)=2x+2. ∵过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn,∴kn=2n+2, ∴Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}, ∴Q∩R=R. 又 cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,∴c1=6. 又{cn}是公差为 4 的倍数的等差数列, ∴令 c10=4m+6(m∈N*). ? ?110<4m+6<115 又 110<c10<115,∴? ,解得 m=27, * ?m∈N ? c10-c1 114-6 所以 c10=114,设等差数列{cn}的公差为 d,则 d= = =12,∴cn=6+(n- 9 10-1 1)×12=12n-6, 所以等差数列{cn}的通项公式为 cn=12n-6.

作业 15 § 3.3 等比数列 1.(2010 年高考重庆卷)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 3 a2010 解析:选 A.∵a2010=8a2007,∴q = =8.∴q=2. a2007 2.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9 =10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 3 解析:选 A.∵a1a2a3=5,a7a8a9=10,且{an}是各项均为正数的等比数列,∴a2= 5, a8 3 3 3 a8= 10.∴ = 2,即 q6= 2. a2 6 3 6 ∴q3= 2.∴a4a5a6=a3=(a2q3)3=( 5· 2)3=5 2. 5 3.(2010 年高考江西卷)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an=( ) - - A.(-2)n 1 B.-(-2)n 1 C.(-2)n D.-(-2)n 解析:选 A.∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1. ∵a5=-8a2=a2·3, q ∴q3=-8,∴q=-2. 又 a5>a2,即 a2q3>a2, ∴a2<0.而 a2=a1q=a1· (-2)<0, - - ∴a1=1.故 an=a1· (-2)n 1=(-2)n 1. 4.已知等比数列{an}的前 n 项的积为 Tn,且公比 q≠1,若 T5=32,则( ) A.a3=2 B.a4=2 C.a5=2 D.a1=2 解析:选 A.依题意知 T5=a1a2a3a4a5=a1a1qa1q2a1q3a1q4=(a1q2)5=32,故 a3=a1q2=2. 5.已知等比数列{an}中,若 a1005·1007=4,则该数列的前 2011 项的积为( a ) 2011 2011 A.4 B.± 4 C.22011 D.± 2011 2 解析:选 D.∵a1005·1007=4=a2 ,∴a1006=± a 2,∴a1·2· a2011=a2011 =± 2011,选 D. a ?· 2 1006 1006 6.数列{an}满足:log2an+1=1+log2an,若 a3=10,则 a10=__________. 解析: 由已知得 an+1=2an, 故数列{an}是公比为 2 的等比数列, 所以 a10=a3×27=10×128=1280. 答案:1280 2 7.已知数列{an}满足 a1= ,且对任意的正整数 m、n 都有 am+n=am·n,若数列{an}的 a 3 前 n 项和为 Sn,则 Sn=__________. an+1 2 2 解析:令 m=1,得 an+1=a1·n,即 a =a1= ,可知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 q an 3 3 2 2n ×[1-? ? ] + 3 a1?1-qn? 3 2n 1 2 2 = 的等比数列,于是 Sn= = =2[1-( )n]=2- n . 3 2 3 3 1-q 1- 3 + 2n 1 答案:2- n 3 8.已知数列{an}满足 a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则 a9+a10 的值为__________.

an+2 an+1an+2 2n 1 解析:∵anan+1=2n,∴ = = n =2,即数列{an}的奇数项是以 1 为首项,2 an 2 anan+1 - 为公比的等比数列,偶数项是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,则 a9+a10=1×25 1+2×25 -1 =48. 答案:48 9.(2009 年高考辽宁卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 解:(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 1 由于 a1≠0,故 2q2+q=0.又 q≠0,从而 q=- . 2 12 (2)由已知可得 a1-a1(- ) =3,故 a1=4. 2 1n 4[1-?- ? ] 2 8 1 从而 Sn= = [1-(- )n]. 1 3 2 1-?- ? 2 10.(2010 年高考重庆卷)已知{an}是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn-an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn. 解:(1)∵{an}是首项为 a1=19,公差为 d=-2 的等差数列, ∴an=19-2(n-1)=21-2n, 1 Sn=19n+ n(n-1)×(-2)=20n-n2. 2 - - (2)由题意得 bn-an=3n 1,即 bn=an+3n 1, n-1 ∴bn=3 -2n+21, 3n-1 - Tn=Sn+(1+3+?+3n 1)=-n2+20n+ . 2 1 1 1 1 11.(探究选做)在数列{an}中,a1= ,an= an-1+ × n(n∈N*且 n≥2). 6 2 2 3 1 (1)证明:{an+ n}是等比数列; 3 (2)求数列{an}的通项公式; 1 (3)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证:Sn< . 2 1 an+1+ n+1 3 解:(1)证明:由已知,得 1 an+ n 3 1 1 1 1 ? an+ ·n+1?+ n+1 2 23 3 1 = = , 1 2 an+ n 3 1 ∴{an+ n}是等比数列. 3 1 1 1 1 1 1 1 (2)设 An=an+ n,则 A1=a1+ = + = ,且 q= ,则 An=( )n, 3 3 6 3 2 2 2 1 1 1 1 ∴an+ n= n,可得 an= n- n. 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 (3)证明:Sn=( 1- 1)+( 2- 2)+?+( n- n) 2 3 2 3 2 3



1 1 1 1 ?1- n? ?1- n? 2 2 3 3 = - 1 1 1- 1- 2 3 n 3n 1 1 1 1 1 2· -2 1 = - n+ ·n= - n < . 2 2 23 2 2· 6 2 作业 16 § 3.4 数列求和 1.(2010 年高考广东卷)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·3=2a1, a 5 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 解析:选 C.设公比为 q(q≠0),则由 a2·3=2a1 知 a1q3=2, a ∴a4=2. 5 1 1 又 a4+2a7= ,∴a7= .∴a1=16,q= . 2 4 2 15 16[1-? ? ] 2 a1?1-q5? ∴S5= = =31. 1 1-q 1- 2 - 2.数列 1,1+2,1+2+4,?,1+2+22+?+2n 1,?的前 n 项和 Sn>1020,那么 n 的 最小值是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 + n 解析:选 D.an=2 -1,Sn=(2-1)+(22-1)+?+(2n-1)=2n 1-2-n,代入验证即可. 3.已知数列 2008,2009,1,-2008,-2009,?,这个数列的特点是从第二项起,每一 项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2011 项之和 S2011 等于( ) A.2008 B.2010 C.1 D.0 解析:选 A.由题得 an=an-1+an+1(n≥2),∴an+1=an-an-1(n≥2),数列的前 8 项依次为 2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009,可知数列为周期数列,周期为 6,且 S6=0, ∴S2011=S1=a1=2008. 1 4.数列{an}中,a1=1,an、an+1 是关于 x 的方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,则数列 bn {bn}的前 n 项和 Sn 等于( ) 1 1 A. B. 2n+1 n+1 n n C. D. 2n+1 n+1 1 1 解析:选 D.an+an+1=2n+1,anan+1= ,bn= , bn anan+1 1 1 由 a1=1,得 a2=2,a3=3,S1=b1= = ,排除 A、C. a1a2 2 1 1 1 1 2 S2=b1+b2= + = + = ,排除 B,故选 D. a1a2 a2a3 1×2 2×3 3
? x ?x≤0? ?2 -1 5. 已知函数 f(x)=? 把函数 g(x)=f(x)-x=0 的根按从小到大的顺序排 ?f?x-1?+1 ?x>0? ? 成一个数列{an},该数列的前 n 项和 Sn 为( )

n?n-1? A.Sn= B.Sn=n(n-1)(n∈N*) 2 C.Sn=n-1 D.Sn=2n-2 解析:选 A.据已知函数关系式可得:

? ?2 f(x)= ? 2 ?? ?

2x-1
x-1 x-2

?x≤0?, ?0<x≤1?, 此时易知方程 g(x)=f(x)-x=0 的前几个?根依次为

+1 ?1<x≤2?,

0,1,2,?即每个根都是前一个根向右移动一个单位得到,{an}是以 0 为首项,公差为 1 的等 差数列,∴an=n-1. n?n-1? ∴Sn= . 2 2n-1 1 3 7 6.数列 , , ,?, n ,?前 n 项和 Sn=________. 2 4 8 2 2n-1 1 解析:∵an= n =1- n, 2 2 1 1 1 1 ∴Sn=(1- )+(1- )+(1- )+?+(1- n) 2 4 8 2 1 1 1 1 =n-( + +?+ n)=n+ n-1. 2 4 2 2 1 答案:n+ n-1 2 1 7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列{ } bnbn+1 的前 n 项和 Sn=__________. a4 - - 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 =q3=27,解得 q=3.所以 an=a1qn 1=3×3n 1 a1 1 1 1 1 1 1 =3n,故 bn=log3an=n,所以 = = - .则数列{ }的前 n 项和为 1- + 2 bnbn+1 n?n+1? n n+1 bnbn+1 1 1 1 1 1 n - +?+ - =1- = . 2 3 n n+1 n+1 n+1 n 答案: n+1 8.若数列{an}的各项按如下规则排列: n-1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 1 2 1 1 2 , , , , , , , , , ,?, , ,?, ,设 Tn= + + + +?+ + 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n 2 3 3 4 n n n-1 +?+ ,则 Tn=__________. n 1 1 2 解析:a1= ,a2+a3= + =1 2 3 3 1 2 3 6 3 a4+a5+a6= + + = = , 4 4 4 4 2 n-1 n?n-1? n-1 1 2 + +?+ = = n n n 2· n 2 n-1 1 1 2 1 2 3 1 2 ∴ ,( + ),( + + ),?,( + +?+ ) 2 3 3 4 4 4 n n n 1 1 是以 为首项,公差为 的等差数列 2 2 n-1 n2-n 1 3 ∴Tn= +1+ +?+ = 2 2 2 4

n2-n 答案: 4 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ? ?a1+d=2 则由已知得? . ? ?a1+4d=8 ∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q, 则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 10.已知:等差数列{an}中,a1=1,S3=9,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; 2n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?Sn 解:(1)由题知,a1=1,3a1+3d=9, 所以 d=2,所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,故 an=2n-1. (2)由(1)易得,Sn=n2, 2n 2 ∴bn= = , ?n+1?Sn n?n+1? 2 2 2 ∴Tn= + +?+ 1×2 2×3 n?n+1? 1 1 1 1 1 1 =2( - + - +?+ - ) 1 2 2 3 n n+1 1 2n =2(1- )= . n+1 n+1 2n 故 Tn= . n+1 1 11.(探究选做)已知函数 f(x)对任意实数 p,q 都满足:f(p+q)=f(p)· f(q),且 f(1)= . 3 * (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式; 3 (2)设 an=nf(n)(n∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项的和,求证:Sn< . 4 1 解:(1)由题意知,f(n+1)=f(n)· f(1),f(1)= , 3 1 ∴f(n+1)= f(n)(n∈N*), 3 1 1 ∴数列{f(n)}(n∈N*)是以 f(1)= 为首项,以 为公比的等比数列, 3 3 1 1 n-1 1n ∴f(n)= ×( ) ,即 f(n)=( ) (n∈N*). 3 3 3 1n (2)证明:由(1)知,an=n( ) , 3 1 1 1 1 - 1 则 Sn=1× +2×( )2+3×( )3+?+(n-1)( )n 1+n( )n,① 3 3 3 3 3 1 12 13 14 1n 1 n+1 S =1×( ) +2×( ) +3×( ) +?+(n-1)· ) +n( ) ,② ( 3 n 3 3 3 3 3

①-②得: 2 1 1 1 1 1 + S = +( )2+( )3+?+( )n-n( )n 1 3 n 3 3 3 3 3 1 1n [1-? ? ] 3 3 1 + = -n( )n 1 1 3 1- 3 1 1 1 + = [1-( )n]-n( )n 1, 2 3 3 3 31 n1 ∴Sn= - ( )n- ( )n. 4 43 23 3 * ∵n∈N ,∴Sn< . 4

作业 17 § 3.5 数列的综合应用 1.数列{an}的通项公式是关于 x 的不等式 x2-x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数,则数 列{an}的前 n 项和 Sn=( ) 2 A.n B.n(n+1) n?n+1? C. D.(n+1)(n+2) 2 解析:选 C.x2-(n+1)x<0,∴0<x<n+1,x∈N*, n?n+1? ∴x=1,2,3,?,n.∴Sn= . 2 + 2.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 log2010x1+ log2010x2+?+log2010x2009 的值为( ) A.-log20102009 B.-1 C.log20102009-1 D.1 n+1 解析:选 B.由 y=x ,得 y′=(n+1)xn,则在点(1,1)处切线的斜率 k=y′|x=1=n+1, n 切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 xn= , n+1 1 2 3 2009 ∴log2010x1+log2010x2+?+log2010x2009=log2010(x1·2· x2009)=log2010( × × ×?× x ?· ) 2 3 4 2010 1 =log2010 =-1. 2010 3.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x 1 +y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( ) 2 1 1 A.[ ,2) B.[ ,2] 2 2 1 1 C.[ ,1] D.[ ,1) 2 2 1 1 解析:选 D.由已知可得 a1=f(1)= ,a2=f(2)=f2(1)=( )2,a3=f(3)=f(2)· f(1)=f3(1)= 2 2 1 1 [1-? ?n] 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( )3,?,an=f(n)=f n(1)=( )n,∴Sn= +( )2+( )3+?+( )n= =1-( )n,∵n∈ 2 2 2 2 2 2 1 2 1- 2 1 N*,∴ ≤Sn<1. 2 4.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析:选 D.由 c、a、b 成等比数列,可将三个实数 a、b、c 待定为 cq、cq2、c.由实数 a、 b、c 成等差数列得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,同时等比数列中 c≠0,得 2q2-q-1=0,解 1 a 5 一元二次方程得 q=1(舍去, 否则三个实数相等)或- , a+3b+c=a+3aq+ =- a=10, 则 2 q 2 得 a=-4,选 D. 1 5.(2010 年高考湖北卷)已知等比数列{an}中,各项都是正数, a1, a3,2a2 成等差数列, 且 2 a9+a10 则 =( ) a7+a8 A.1+ 2 B.1- 2

C.3+2 2 D.3-2 2 解析:选 C.设等比数列{an}的公比为 q, 1 ∵a1, a3,2a2 成等差数列,∴a3=a1+2a2. 2 2 ∴a1q =a1+2a1q.∴q2-2q-1=0.∴q=1± 2. ∵各项都是正数,∴q>0.∴q=1+ 2. a9+a10 ∴ =q2=(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 6.数列{an}是递减的等差数列,且 a3+a9=50,a5·7=616,则数列{an}的前 n 项和 Sn a 的最大值为__________. 解析:设此等差数列的首项为 a1,公差为 d, ?a3+a9=50 ?2a1+10d=50 ? ? 则由? ,即? , ? a ? ?a5·7=616 ??a1+4d??a1+6d?=616
?a1=10 ?a1=40 ? ? 解得? (舍去)或? . ? ? ?d=3 ?d=-3 n?n-1? 3 83 6889 所以 Sn=40n+ ×(-3)=- (n- )2+ , 2 2 6 24 ∴当 n=14 时,Sn 最大为 287. 答案:287 7.已知函数 f(x)是周期为 4 的函数,当 0≤x≤4 时,f(x)=|x-2|-1,若 f(x)的图象与射 1 线 y= (x≥0)的交点的横坐标由小到大依次组成数列{an},则|a2-a1|=__________;|an-an- 2 1|=__________. 解析:由题意知,当 0≤x≤4 时,f(x)= ? ?1-x,0≤x<2 ? ,因为函数 f(x)的周期为 4,所以画出函 ? ?x-3,2≤x≤4 1 数 f(x)及射线 y= (x≥0)的图象如图所示, 易知|a2-a1|=3.同理 2 由图可知|an-an-1|=3 或|an-an-1|=1. 答案:3 3 或 1 8.已知函数 f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得 2,f(a1),f(a2),?,f(an),2n+4 成等 差数列,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 解析: 设等差数列的公差为 d, 则由题意, 2n+4=2+(n+1)d, 得 解得 d=2, 于是 log2a1 =4,log2a2=6,log2a3=8,?,从而 a1=24,a2=26,a3=28,?.易知数列{an}是等比数列, 24?4n-1? 16 n a2 其公比 q= =4,所以 Sn= = (4 -1). a1 3 4-1 16 n 答案: (4 -1) 3 n 9.已知数列{an}的通项公式为 an= (n,a∈N*). n+a (1)若 a1,a3,a15 成等比数列,求 a 的值; (2)当 k 满足 k≥3 且 k∈N*时,a1,a2,ak 成等差数列,求 a 的值. 1 3 15 解:(1)由题意得 a1= ,a3= ,a15= , 1+a 3+a 15+a ∵a1,a3,a15 成等比数列,∴a1a15=(a3)2, 1 15 3 2 ∴ × =( ) ,解得 a=0 或 a=9. 1+a 15+a 3+a ∵a∈N*,∴a=9. 1 2 k (2)由题意得 a 满足条件,a1= ,a2= ,ak= , 1+a 2+a k+a

∵a1,a2,ak 成等差比数列,∴a1+ak=2a2, 化简得(k-3)a=2. ∵k,a∈N*,∴k=5 时,a=1 或 k=4 时,a=2. 10.假设某市 2010 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是经济适用房,预计 在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%,另外,每年新建住房中, 经济适用房的面积均比上一年增加 50 万平方米,那么,到哪一年底,该市历年所建经济适用 房的累计面积(以 2010 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? 解:设经济适用房面积形成数列{an}, 由题意可知{an}是等差数列. 其中 a1=250,d=50. n?n-1? 则 Sn=250n+ ×50=25n2+225n, 2 令 25n2+225n≥4750, 即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. ∴到 2019 年底,该市历年所建经济适用房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. 11.(探究选做)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2、a4 的 等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n·n 1>50 成立的正整数 n 的最小值. 2 2 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8, ∴a2+a4=20, ?a1=32 ?a1q+a1q3=20 ?a1=2 ? ? ? 于是有? ,解得? ,或? 1 . 2 ? ? ?a3=a1q =8 ?q=2 ?q=2 ? 又{an}是单调递增数列, - ∴a1=2,q=2,所以 an=2·n 1=2n. 2 1 1 (2)bn=anlog an=2n· 2n=-n·n, log 2 2 2 2 3 ∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·n, 2 ① + -2Sn=1×22+2×23+?+(n-1)·n+n·n 1,② 2 2 ①-②,得 2?1-2n? + + + + + + Sn=2+22+23+?+2n-n·n 1= 2 -n·n 1=2n 1-2-n·n 1,∴Sn+n·n 1=2n 1-2, 2 2 2 1-2 + + + Sn+n·n 1>50,即 2n 1-2>50,即 2n 1>52, 2 + + 当 n≤4 时,2n 1≤25=32<52;当 n≥5 时,2n 1≥26=64>52. n+1 故使 Sn+n· >50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 2

优化方案· 课时作业 第 4 章 三角函数 作业 18

高三数学

第 4 章 三角函数 § 4.1 任意角的三角函数 1. 已知 A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于 90° 的角}, 那么 A、 C 关系是( B、 A.B=A∩C B.B∪C=C C.A?C D.A=B=C 解析:选 B.B?A,排除 A、D;A 与 C 没有一种确定关系,故选 B. 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( ) π π A. B.- 3 3 π π C. D.- 6 6 2π π 解析:选 C.把分针逆时针转动 = . 12 6 3.已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边( ) A.在 x 轴上 B.在直线 y=x 上 C.在 y 轴上 D.在直线 y=x 或 y=-x 上 解析:选 A.画单位圆,可知 α 的终边在 x 轴的非正半轴或非负半轴上. π π 4.若 <α< ,则( ) 4 2 A.sinα>cosα>tanα B.cosα>tanα>sinα C.sinα>tanα>cosα D.tanα>sinα>cosα 解析:选 D.作三角函数线. 5.角 α 的终边上有一点 P(a,a)(a≠0),则 cosα=( ) 2 2 A. B.- 2 2 2 2 C. 或- D.1 2 2 解析:选 C.∵r= a2+a2= 2|a|, a 2 当 a>0 时,cosα= = ; 2 2a a 2 当 a<0 时,cosα= =- ,∴选 C. 2 - 2a 2a-3 6.已知 cosx= ,x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围为__________. 4-a )

?2a-3<0 ? 4-a 2a-3 解析:-1<cosx<0,-1< <0,? 4-a 2a-3 ? 4-a >-1 ?
3 答案:(-1, ) 2 7.满足 sinx= 3 的 x 的集合为__________. 2

3 ,-1<a< . 2

π 2 3 解析:∵在(0,2π)内有 sin =sin π= , 3 3 2 π 2 ∴x= +2kπ 或 π+2kπ,k∈Z. 3 3 π 2 答案:{x|x= +2kπ 或 x= π+2kπ,k∈Z} 3 3 8. 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长, 则这段弧所对圆心角的弧度数是_____. 解析:设圆半径为 R,则边长为 2 3R. 答案:2 3 9.已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,扇形面积最大?并求 出这个最大面积. 解:法一:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,弧长为 l,则有 l=αr. 4 由题意有:αr+2r=4,得 r= (cm), α+2 1 4 2 8α ∴S= ( )· α= 2 2 α+2 α +4α+4 8 8 = ≤ =1(cm2), 4 4 α+ +4 2 α·+4 α α 4 当且仅当 α= ,即 α=2 时取等号, α 4 此时 r= =1(cm). 2+2 故当半径 r=1 cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值为 1 cm2. 法二:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,则扇形的弧长为 rα,由题意 4-2r 有:2r+rα=4?α= . r 1 1 4-2r 2 ∴S= αr2= × ×r 2 2 r =2r-r2=-(r-1)2+1, ∴当 r=1(cm)时,S 有最大值 1(cm2), 4-2r 此时 α= =2(弧度). r 故当半径为 1 cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值为 1 cm2. 10.已知在直角坐标系中,角 α 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上. α (1)若 α 角的终边与 168° 角的终边相同,求在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角; 3 1x 1 (2)若 α 的终边过函数 y=( ) 与 y=log x 的图象的交点,求角 α 的集合. 2 2 α 解:(1)α=k· +168° 360° ,k∈Z, =k· +56° 120° ,k∈Z. 3 依题意得 0≤k· +56° 120° <360° , 当 k=0,1,2 时,k· +56° 0° 120° 在 ~360° 内, α 所以在 0° ~360° 内与 终边相同的角有 56° ,176° ,296° . 3 1 (2)∵函数 y=( )x 与 y=log1x 互为反函数,故两图象交点在第一象限且在直线 y=x 上, 2 2 故 α 的终边与 45° 角的终边相同,∴角 α 的集合是{α|α=k· +45° 360° ,k∈Z}. 11.(探究选做) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴的正 3 π 3 半轴上,直线 AB 的倾斜角为 π,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈( , π). 4 2 4 用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|.

解:设 B(x,y),∵|OB|=2, x 由 cosθ= , |OB| ∴x=2cosθ, y sinθ= ,y=2sinθ. |OB| ∴B(2cosθ,2sinθ). 3 又∵kAB=tan π=-1, 4 ∴AB 的方程为 y-2sinθ=-(x-2cosθ). 令 y=0,∴x=2sinθ+2cosθ, π 3 ∵θ∈( , π), 2 4 ∴sinθ+cosθ>0, ∴|OA|=2sinθ+2cosθ. 作业 19 § 4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 2 1.(2010 年成都模拟)若 sinα+cosα= ,则 sin2α=( ) 5 4 4 A. B.- 25 25 21 21 C. D.- 25 25 2 解析:选 D.∵sinα+cosα= , 5 4 4 21 ∴1+2sinαcosα= ,∴sin2α= -1=- . 25 25 25 4 3π 2.已知 sin(2π-α)= ,α∈( ,2π),则 tan(π-α)等于( ) 5 2 3 4 A. B.- 4 3 3 4 C.- D. 4 3 4 3 解析:选 D.sinα=- ,cosα= , 5 5 sinα 4 4 tanα= =- ,tan(π-α)=-tanα= . cosα 3 3 3.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)cos 300° =( ) 3 1 A.- B.- 2 2 1 3 C. D. 2 2 1 解析:选 C.cos 300° =cos 60° . = 2 sin?kπ+α? cos?kπ+α? 4.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sinα cosα A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} sinα cosα 解析:选 C.当 k 为偶数时,A= + =2; sinα cosα

)

-sinα cosα k 为奇数时,A= - =-2. sinα cosα 2 5.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)已知 sin α= ,则 cos(π-2α)=( ) 3 5 1 A.- B.- 3 9 1 5 C. D. 9 3 解析:选 B.由诱导公式,得 cos(π-2α)=-cos 2α. 4 1 1 ∵cos 2α=1-2sin2α=1-2× = ,∴cos(π-2α)=- . 9 9 9 π π 6.(2010 年高考湖南卷)若 x∈(0, ),则 2tanx+tan( -x)的最小值为__________. 2 2 π 解析:y=2tanx+tan( -x)=2tanx+cotx 2 1 1 =2tanx+ ≥2 2,当且仅当 2tanx= , tanx tanx 2 即 tanx= 时,ymin=2 2. 2 答案:2 2 7.若 sin2x+sinx=1,则 cos2x+cos4x=________. 解析:由 sin2x+sinx=1 得,sinx=1-sin2x=cos2x, 故 cos2x+cos4x=sinx+sin2x=1. 答案:1 8. 已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β), 其中 a, α, 都是非零实数, b, β 又知 f(2001) =-1,则 f(2012)=________. 解析:∵f(2001)=asin(2001π+α)+bcos(2001π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ),又 f(2001)=-1, ∴asinα+bcosβ=1. ∴f(2012)=asin(2012π+α)+bcos(2012π+β) =asinα+bcosβ=1. 答案:1 cos?π-θ? 3 9.若 sinθ= ,求 + 3 3 cosθ[sin? π-θ?-1] 2 cos?2π-θ? 的值. π 3π cos?π+θ?sin? +θ?-sin? +θ? 2 2 -cosθ cosθ 解:原式= + cosθ?-cosθ-1? -cosθ· cosθ+cosθ 1 1 = + cosθ+1 1-cosθ 2 2 = 2 =6. 2 = 1-cos θ sin θ 10.求证:tan2αsin2α=tan2α-sin2α. sin2α sin4α 证明:左边=tan2αsin2α= 2 · 2α= 2 , sin cos α cos α 2 sin α 右边=tan2α-sin2α= 2 -sin2α cos α sin2α?1-cos2α? sin4α = = 2 , cos2α cos α

∴左边=右边,原等式成立. 1 11.(探究选做)已知 cos(75° +α)= ,α 是第三象限角,求 cos(15° -α)+sin(α-15° )的值. 3 解:∵α 是第三象限角,∴k· +255° 360° <α+75° 360° <k· +345° (k∈Z),又∵cos(75° +α) 1 12 2 2 = >0,∴α+75° 是第四象限的角,∴sin(75° +α)=- 1-? ? =- , 3 3 3 2 2+1 ∴原式=cos(15° -α)-sin(15° -α)=sin(75° +α)-cos(75° +α)=- . 3 作业 20 § 4.3 和、差、倍角的三角函数 1.(2010 年高考福建卷)计算 1-2sin222.5° 的结果等于( ) 1 2 A. B. 2 2 3 3 C. D. 3 2 2 解析:选 B.1-2sin222.5° =cos 45° = . 2 2.(2011 年潍坊质检)sin45° cos15° +cos225° sin15° 的值为( ) 3 1 A.- B.- 2 2 1 3 C. D. 2 2 解析:选 C.原式=sin45° cos15° -cos45° sin15° 1 =sin(45° -15° . )= 2 π 2 3.cos cos π 的值是( ) 5 5 1 1 A. B. 4 2 1 C.- D.1 4 1 π π 2π 1 2π 2 1 4 1 解析:选 A.原式= · 2sin cos cos = · 2sin cos π= sin π= . π 5 5 5 π 5 5 π 5 4 2sin 4sin 4sin 5 5 5 1 4.(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知 tanα=4,cotβ= ,则 tan(α+β)=( ) 3 7 7 A. B.- 11 11 7 7 C. D.- 13 13 1 解析:选 B.∵cotβ= ,∴tanβ=3. 3 tanα+tanβ 4+3 7 ∴tan(α+β)= = =- . 11 1-tanαtanβ 1-4×3 5.(2011 年重庆调研)已知 2 sin α tan α=3,则 sin4α-cos4α 的值是( ) 1 A.-7 B.- 2 3 1 C. D. 4 2 2 解析:选 D.由已知得 2sin α=3cosα?2-2cos2α=3cosα,2cos2α+3cosα-2=0.(2cosα- 1)(cosα+2)=0.

1 ∴cosα= . 2 1 1 ∴sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=1-2cos2α=1-2·= . 4 2 π 3 6.若 sin( +θ)= ,则 cos2θ=________. 2 5 π 3 3 解析:由 sin( +θ)= 可知,cosθ= , 2 5 5 32 7 2 则 cos2θ=2cos θ-1=2×( ) -1=- . 5 25 7 答案:- 25 1+tanα 1 7.如果 =2012,那么 +tan2α=________. cos2α 1-tanα 1+tanα 解析:因为 =2012, 1-tanα 1 1 sin2α 所以 +tan2α= + cos2α cos2α cos2α ?sinα+cosα?2 = cos2α-sin2α sinα+cosα tanα+1 = = =2012. cosα-sinα 1-tanα 答案:2012 8.若锐角 α、β 满足(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4,则 α+β=________. 解析:由(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4, tanα+tanβ 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tanαtanβ π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3 π 答案: 3 9.求函数 y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最大值和最小值. π π π 3π 2 π 解:令 sinx-cosx=t,t= 2 sin(x- ),- ≤x- ≤ ,- ≤sin(x- )≤1,得 t∈[- 4 4 4 4 2 4 1-t2 1-t2 12 1 1, 2],sin x cos x= ,y=t+ =- t +t+ ,对称轴 t=1,当 t=1 时,ymax=1;当 2 2 2 2 t=-1 时,ymin=-1. π π α α 10.已知 0<α< ,0<β< ,且 3sinβ=sin(2α+β),4tan =1-tan2 ,求 α+β 的值. 4 4 2 2 α α 解:由 4tan =1-tan2 得 2 2 α 2tan 2 1 tanα= = . α 2 1-tan2 2 由 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]. 得 tan(α+β)=2tanα,∴tan(α+β)=1. π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴0<α+β< . 4 4 2 π ∴α+β= . 4 5 π 1 11.(探究选做)(2011 年广州市综合测试二)已知 sin α= ,α∈(0, ),tanβ= . 5 2 3

(1)求 tan α 的值; (2)求 tan(α+2β)的值. 5 π 解:(1)∵sin α= ,α∈(0, ), 5 2 1 2 5 ∴cos α= 1-sin2α= 1- = . 5 5 5 5 sin α 1 ∴tan α= = = . cos α 2 5 2 5 1 2× 3 3 = . 12 4 1-? ? 3 1 3 + 2 4 tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= = =2. 1 3 1-tan αtan 2β 1- × 2 4 1 2tanβ (2)∵tanβ= ,∴tan2β= = 3 1-tan2β

作业 21 § 4.4 三角函数的图象 1.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如下,那么 ω=( )

A.1 B.2 1 1 C. D. 2 3 解析:选 B.由图可知在[0,2π]上出现两个周期, 因此 T=π,∴ω=2. π 2.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(其中 ω>0,|φ|< )的图象与 x 轴的两个相邻交点之间的距离 2 π 3 为 ,且 f(0)= ,则( ) 2 2 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 解析:选 D.∵函数 f(x)与 x 轴的两个相邻交点之间的距离等于其最小正周期的一半,且 2π 1 2π π 3 3 π π 最小正周期 T= ,∴ × = ,∴ω=2.又∵f(0)= ,∴sin φ= .∵|φ|< ,∴φ= .故选 ω 2 ω 2 2 2 2 3 D. π 3.(2010 年高考重庆卷) 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 2 ( ) π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ= 6 π D.ω=2,φ=- 6 T 7π π π 解析:选 D.由图象知 = - = ,∴T=π,ω=2. 4 12 3 4 7π π 且 2× +φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ- (k∈Z). 12 6 π π 又|φ|< ,∴φ=- . 2 6 π 4.(2010 年高考福建卷)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位,若所得图象与 2 原图象重合,则 ω 的值不可能等于( ) . A.4 C.8 B.6 D.12

π π 解析: B.将 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位, 选 若与原图象重合, 为函数 f(x) 则 2 2

π 2π 的周期的整数倍,不妨设 =k· (k∈Z),得 ω=4k,即 ω 为 4 的倍数,故选项 B 不可能. 2 ω π π 5. (2009 年高考全国卷Ⅱ)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 4 6 π 与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 的最小值为( ) 6 1 1 A. B. 6 4 1 1 C. D. 3 2 π π π π 解析:选 D.函数 y=tan(ωx+ )的图象向右平移 个单位长度后得到 y=tan[ω(x- )+ ] 4 6 6 4 ωπ π π =tan(ωx- + ).又因为 y=tan(ωx+ ), 6 4 6 π ωπ π π ωπ ∴令 - = +kπ,∴ = +kπ(k∈Z), 4 6 6 12 6 1 得 ω 的最小值为 . 2 π π π 6. 函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 , f( )=____. 则 4 4 4 π π 解析:∵T= = ,∴ω=4. ω 4 π ∴f(x)=tan4x,f( )=0. 4 答案:0 7.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为 奇函数,则 φ 的最小值为________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ), 6 5π f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值为 . 6 5π 答案: 6 8.在[0,2π]上,函数 y=cosx 与直线 y=1 围成的封闭图形的面积为________. 解析:如图知矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=4π,

由图象的对称性可知,S1=S2=S3=S4. 1 ∴所求封闭图形的面积= S=2π. 2 答案:2π 9. 已知函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R(其中 A>0, ω>0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 (函数取最大值的点)为 M(2,2 2),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0),求这个函数的 解析式. T 解:根据题意,可知 =6-2=4,所以 T=16. 4 2π π π 于是 ω= = ,将点 M(2,2 2)代入 y=2 2sin( x+φ), T 8 8

π π 得 2 2=2 2sin( ×2+φ),∴sin( +φ)=1. 8 4 π π π ∴满足 +φ= 的 φ 的最小正数为:φ= . 4 2 4 π π 从而所求函数的解析式是 y=2 2sin( x+ ),x∈R. 8 4 π 2 10.已知函数 f(x)=sin ωx+ 3sinωxsin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的 2 π 第一个最高点的横坐标为 . 6 (1)求 ω; π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 6 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ . 2 2 2 6 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π, 2 2 6 2 4π 10 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π], 3 3 k∈Z 为函数的单调递减区间. 11.(探究选做)已知关于 x 的方程 sinx+ 3cosx=a 在区间[0,π]上有且只有两个不同的 实根. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求这两个实根之和. π π a π a 解:(1)sinx+ 3cosx=a?2sin(x+ )=a?sin(x+ )= ,令 x+ =t,x∈[0,π]?sint= , 3 3 2 3 2 π 4π t∈[ , ]. 3 3 π 4π 画出函数 y=sin t,t∈[ , ]的图象,如图所示. 3 3

a 3 a 当 在 与 1 之间时,直线 y= 与曲线有两个不同的交点. 2 2 2 3 a a π 4π 即 ≤ <1 得 3≤a<2 时,方程 sint= 在[ , ] 上有两个不同的实根 t1、t2. 2 2 2 3 3 此时方程 sinx+ 3cosx=a 在区间[0,π]上有且只有两个不同的实根 x1、x2.故 3≤a<2. π (2)从图可以看出,方程的两个实根 t1、t2 关于直线 t= 对称,即 t1+t2=π, 2 π π π 即(x1+ )+(x2+ )=π?x1+x2= . 3 3 3

作业 22 § 4.5 三角函数的性质 π 4π 1.(2010 年高考辽宁卷)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原 3 3 图象重合,则 ω 的最小值是( ) 2 4 A. B. 3 3 3 C. D.3 2 4 解析:选 C.由函数图象向右平移 π 个单位后与原图象重合, 3 4 得 π 是此函数周期的整数倍,又 ω>0, 3 2π 4 3 3 ∴ · π,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= . k= ω 3 2 2 π 2.(2009 年高考天津卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y 4 =f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( ) π 3π A. B. 2 8 π π C. D. 4 8 2π 解析:选 D.由题意 T=π,ω= =2, T π f(x)=sin(2x+ ), 4 π π π π 当 φ= 时, y=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x.此函数是偶函数, 图象关于 y 轴对称. 8 8 4 2 π 3.(2009 年高考四川卷)已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是( ) 2 A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 解析:选 D.∵y=sin(x- )=-cosx, 2 ∴T=2π,A 正确; π y=cosx 在[0, ]上是减函数, 2 π y=-cosx 在[0, ]上是增函数,B 正确; 2 由图象知 y=-cosx 关于直线 x=0 对称,C 正确. y=-cosx 是偶函数,D 错误. π π 4.(2010 年高考重庆卷)下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为减函数的是( ) 4 2 π π A.y=sin(2x+ ) B.y=cos(2x+ ) 2 2 π π C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x+ ) 2 2 π π 解析:选 A.因为函数的周期为 π,所以排除 C、D.又因为 y=cos(2x+ )=-sin 2x 在[ , 2 4

π π π π ]上为增函数,故 B 不符.只有函数 y=sin(2x+ )的周期为 π,且在[ , ]上为减函数.故选 2 2 4 2 A. π 5.若 f(x)=tan(x+ ),则( ) 4 A.f(-1)>f(0)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(-1) C.f(1)>f(0)>f(-1) D.f(0)>f(-1)>f(1) π 3π π 解析:选 D.∵f(x)=tan(x+ )在(- , )上是增函数, 4 4 4 3π 3π 3π 且 f(1)=f(1- ).∴由- <1- <-1<0,得 4 4 4 3π f(1- )<f(-1)<f(0).即 f(0)>f(-1)>f(1).应选 D. 4 π 6.(2010 年高考浙江卷)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是__________. 4 2 2 2 2 π 解析:f(x)= sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x)= sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ ) 2 2 2 2 4 2π - 2,∴T= =π. 2 答案:π 7π 7.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如下图所示,则 f( )=________. 12

3 解析:由图象知,函数的周期 T 满足 ×T=π, 2 2π ∴T= . 3 π ∵f( )=0, 4 7π π π π T ∴f( )=f( + )=f( + )=0. 12 4 3 4 2 答案:0 π 8. 已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同. 若 6 π x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是__________. 2 解析:由对称轴完全相同知两函数周期相同. π ∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x- ). 6 π π π 5 由 x∈[0, ],得- ≤2x- ≤ π, 2 6 6 6 3 ∴- ≤f(x)≤3. 2 3 答案:[- ,3] 2

π 9.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π 解:(1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴. 8 π π π ∴sin(2× +φ)=± 1, +φ=kπ+ ,k∈Z. 8 4 2 3π ∵-π<φ<0,∴φ=- . 4 3π 3π (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin(2x- ). 4 4 π 3π π 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 π 5π 即 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 8 8 3π π 5π ∴函数 y=sin(2x- )的单调增区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 4 8 8 π π 10.(2011 年成都质检)已知向量 m=(sin2x,cos2x),n=(cos ,sin ),函数 f(x)= 2m· n 4 4 +2a(其中 a 为实数). (1)求函数 f(x)的最小正周期. π (2)若 x∈[0, ]时,函数 f(x)的最小值为-2,求 a 的值. 2 π π π 解:(1)f(x)= 2m· n+2a= 2(sin2xcos +cos2xsin )+2a= 2sin(2x+ )+2a. 4 4 4 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 2 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 4 π 2 ∴f(x)= 2sin(2x+ )+2a 的最小值是 2×(- )+2a=2a-1. 4 2 ∴2a-1=-2. 1 ∴a=- . 2 π π 11. (探究选做)(2011 年浙江金华十校联考)已知函数 f(x)=2sin(x- )cos(x- )+2 3cos2(x 3 3 π - )- 3. 3 (1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时相应的 x 的值; π (2)若函数 y=f(2x)-a 在区间[0, ]上恰有两个零点 x1,x2,求 tan(x1+x2)的值. 4 2π 2π 解:(1)f(x)=sin(2x- )+ 3[1+cos(2x- )]- 3 3 3 2π 2π π =sin(2x- )+ 3cos(2x- )=2sin(2x- ), 3 3 3 π π ∴函数 f(x)的最大值为 2,此时 2x- = +2kπ,k∈Z, 3 2 5π 即 x= +kπ,k∈Z. 12 π (2)f(2x)=2sin(4x- ), 3

π π π 2π 令 t=4x- ,∵x∈[0, ],∴t∈[- , ], 3 4 3 3 π π 设 t1,t2 是函数 y=2sin t-a 的两个相应零点(即 t1=4x1- ,t2=4x2- ), 3 3 π π 由函数 y=2sin t 的图象性质知 t1+t2=π,即 4x1- +4x2- =π, 3 3 π π 3 tan +tan 1+ 4 6 3 π π π π ∴x1+x2= + ,tan(x1+x2)=tan( + )= = =2+ 3. 4 6 4 6 π π 3 1-tan ×tan 1- 4 6 3


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