【把握高考】高考数学总复习 9-6空间向量及其运算课件 理 新人教A版_图文

第九章 立体几何 第九章 第六节 空间向量及其运算(理) 基础梳理导学 3 考点典例讲练 思想方法技巧 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点:1.空间向量的运算和运算律. 2.共面向量定理和空间向量基本定理. 难点:1.共面向量定理与空间向量基本定理的应用. 2.空间线面位置关系的向量表示. 夯实基础 稳固根基 1.空间向量及其加减与数乘运算 (1)在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的 大小叫做向量的长度或模.方向 相同且模 相等的向量称为相 等向量.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向 量.长度为 0 的向量叫做零向量;模为 1 的向量叫做单位向 量;与向量 a 长度相等,方向相反 的向量叫做 a 的相反向量. (2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算及运算律是平 面向量对应运算的推广. 2.共线向量与共面向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或 重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量(零向量与任何一 个向量都是共线向量). (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量.空间任意两个 向量总是共面的,空间三个不共面向量的和等于以这三个向 量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量. (3)共线向量定理: 对空间任意两个向量 a、 b(b≠0), a∥ b 的充要条件是存在实数 λ,使 a=λb. 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满 → → 足等式OP=OA+ta,其中向量 a 叫做直线 l 的 方向向量 . (4)共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y), 使 p= xa+yb . 3.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p 存在唯一的有序实数组 x、y、z,使 p= xa+yb+zc .其中 {a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c 都叫做基向量. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,点 P 在平面 → → → → ABC 内?存在唯一实数组 x、y、z,使OP=xOA+yOB+zOC, 且 x+y+z=1. 4.空间向量的数量积 (1)设 a、b 是两个非零空间向量,在空间任取一点 O,作 → → OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做 a 与 b 的夹角. b> . 向量 a、b 的数量积 a· b= |a||b|cos<a, (2)向量数量积的性质 ①a· e=|a|cos<a,e> (e 是单位向量); ②a⊥b?a· b=0; ③|a|2=a· a. (3)向量的数量积满足如下运算律: ①(λ· a)· b=λ(a· b); ②a· b=b· a(交换律); ③a· (b+c)=a· b+a· c(分配律). (4)|a· b|≤|a|· |b|. 5.设 i,j,k 是单位正交基底,O 为空间直角坐标系的 原点,i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴上的基向量,则对于空间任 → 一点 A,对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数组 x、y、 → z,使OA=xi+yj+zk,则点 A 的坐标为(x,y,z). (1)向量的直角坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); λa=(λa1,λa2,λa3);a· b=a1b1+a2b2+a3b3; a∥b?a=λb?a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3 a3 =b 3 (b1,b2,b3 均不为 0). a1 a2 (λ∈R)或 = b1 b2 a⊥b?a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0. 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 → → → AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 2 2 |a|= a· a= a1 +a2 + a 2 3; a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos<a,b>= = 2 2 2 2 2 2. |a|· |b| a1+a2+a3 b1+b2+b3 在空间直角坐标系中,已知 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), → 则|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2. 疑难误区 点拨警示 1.零向量是一个特殊向量,在解决问题时要特别注意零 向量,避免因对零向量的忽视致误. 2.空间两向量平行与空间两直线平行是不同的,直线平 行是不允许重合的,而两向量平行,它们所在的直线可以平 行也可以重合. 3.当 p、a、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也 是 p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时, 还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面 内. 4.特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别 (1)两个向量的数量积是一个实数, 不是向量, 符号由 cosθ 的符号所决定. (2)在实数中,若 a≠0,且 a· b=0,则 b=0;但是在数量 积中,若 a≠0,且 a· b=0,不能推出 b=0,因为其中 cosθ 有可能为 0,即两向量垂直时 a· b=0. (3)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc?a=c,在向量数 量积中 a· b=b· c(b≠0)并不一定有 a=c. (4) 在 实 数 中 , 有 (a· b)· c = a(b· c) , 但 是 在 向 量 中 (a· b)c≠a(b· c). (5)a、b 同向时,a· b=|a|· |b|;a 与 b 反向时,a· b=-|a|· |b|.

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