二项式定理中展开式系数的六种常见类型

二项式定理中展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例,对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析,供读者参考。
一 、 (a ? b)n (n ? N ? ) 型

例 1. (x ? 2 y)10 的展开式中 x6 y4 项的系数是( ) (A)840 (B)-840 (C)210 (D)-210
解析:在通项公式 Tr?1 ? C1r0 (? 2y)r x10?r 中令 r =4,即得 (x ? 2 y)10 的展
开式中 x6 y4 项的系数为 C140 (? 2)4 =840,故选 A。

例 2. (x ? 1 )8 展开式中 x5 的系数为



x

解析:通项公式 Tr?1 ? C8r x8?r (?

1 )r x

?

(?1)

r

C8r

8? 3r
x2

,由题意得 8 ? 3 r ? 5, 2

则 r ? 2 ,故所求 x 5 的系数为 (?1)2 C82 ? 28 。

评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数,由待定

系数法确定 r 的值。

二 、 (a ? b)n ? (c ? d )m (n, m ? N ? ) 型

例 3. (x3 ? 2)4 ? (x ? 1 )8 的展开式中整理后的常数项等于

.

x

x

解析;

(x3 ? 2)4 x

的通项公式为

Tr?1 ?

Cr4(?

2 x

)r

(3x

4?)

r?

C4?r ( 2 r)1?x2 ,4 令r

12

?

4r

?

0





r

?

3

,







(x3

?

2)4 x











的常







?C43 23

=-

32,

(x ?

1 x

)8

的通项公式为

Tk

?1

?

C8k

(

1 x

)k

x8?k

? C8k x8? 2k

,令 8 ? 2k

?

0,则 k

?

4 ,这时得

(x

?

1 x

)8

的展开式中的常数项为

C84

=70,故 (x3

?

2)4 x

?

(x

?

1)8 x

的展开式中常数项

等于 ? 32 ? 70 ? 38 。

例 4.在 (1 ? x)5 ? (1 ? x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是( )

(A) ?5

(B) 5

(C) ?10

(D) 10

1/5

解 析 : (1 ? x)5 中 x 3 的 系 数 ?C53 ? ?10 , ? (1 ? x)6 中 x 3 的 系 数 为

?C63 ? (?1)3 ? 20 ,故 (1 ? x)5 ? (1 ? x)6 的展开式中 x 3 的系数为10 ,故选 D 。

评注:求型如 (a ? b)n ? (c ? d )m (n, m ? N ? ) 的展开式中某一项的系数,可分

别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。
三 、 (a ? b)n (c ? d )m (n, m ? N ? ) 型

例 5. (x 2 ? 1)( x ? 2)7 的展开式中 x3 项的系数是



解析:

(x

?

2) 7

的展开式中

x



x3

的系数分别为

C

1 7

(?2)

6



C

3 7

(?2) 4

,故

(x2

? 1)( x

?

2) 7

的展开式中

x

3

项的系数为

C

1 7

(?2)

6

+

C

3 7

(?2)

4

=1008。

例 6. ? x ?1?? x ?1?8 的展开式中 x5 的系数是( )

( A ) ?14 (D) 28

( B ) 14

( C ) ?28

略解: (x ? 1)8 的展开式中 x 4 、 x5 的系数分别为 C84 和 C85 ,故 ? x ?1?? x ?1?8 展

开式中 x 5 的系数为 C84 ? C85 ? 14 ,故选 B。

评注:求型如 (a ? b)n (c ? d )m (n, m ? N ? ) 的展开式中某一项的系数,可分别

展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、 (a ? b ? c)n (n ? N ? ) 型

例 7. ( x ? 1 ? 2)5 的展开式中整理后的常数项为

.

2x

解法一: (x ? 1 ? 2x

2)5

=

???(

x 2

?

1) x

?

5

2

? ??

,通项公式

Tk ?1

?

C5k

k
22

(x 2

?

1 )5?k x

,

( x ? 1 )5?k 2x

的 通 项 公 式 为 Tr?1 ? C5r?k x?r x5?k ?r 2?(5?k ?r )

?

Cr 5?k

x5?2r ?k

2k

?r

?5

,令

5 ? 2r ? k ? 0,则 k ? 2r ? 5,可得 k ? 1, r ? 2 或 k ? 3, r ? 1或 k ? 5, r ? 0 。

当k

? 1, r

?

1
2 时,得展开式中项为 C51C42 22 2?2

?

15 2

2



当 k ? 3, r ? 1时,,得展开式中项为 C53C212 2 ? 2?1 ? 20 2 ;

2/5

当 k ? 5, r ? 0 时,得展开式中项为 C55 4 2 ? 4 2 。

综上, ( x ? 1 ? 2)5 的展开式中整理后的常数项为 15 2 ? 20 2 ? 4 2 ? 63 2 。

2x

2

2

? ? 解法二: ( x ? 1 ? 2)5 = ( x2 ? 2 2x ? 2)5 = (x ? 2)2 5 = (x ? 2)10 ,对于二

2x

2x

(2x)5

(2x)5

项式 (x ? 2 )10 中,Tr?1 ? C1r0 x10?r ( 2)r ,要得到常数项需10 ? r ? 5 ,即 r ? 5 。所

以,常数项为 C150 ? (

2)5 63 ?

2。

25

2

解法三: ( x ? 1 ? 2)5 是 5 个三项式 ( x ? 1 ? 2) 相乘。常数项的产生有三

2x

2x

种情况:在 5 个相乘的三项式 ( x ? 1 ? 2) 中,从其中一个取 x ,从另外 4 个三

2x

2

项式中选一个取 1 ,从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘,可得 x

C51

?

1 2

?

C41

?

C33

?

(

2)3 ? 20

2 ;从其中两个取 x ,从另外 3 个三项式中选两个取 1 ,

2

x

从剩余的

1

个三项式中取常数项相乘,可得 C52

? ( 1 )2 2

? C32

?

2 ? 15 2

2 ;从 5 个相

乘的三项式 ( x ? 1 ? 2x

2) 中取常数项相乘,可得 C55 ?(

2)5 = 4

2。

综 上 , (x ? 1 ? 2)5 的 展 开 式 中 整 理 后 的 常 数 项 为 2x

20 2 ? 15 2 ? 4 2 ? 63 2 。

2

2

评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项

式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,本质上是利用加法

原理和乘法原理,这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、 (a ? b)m ? (a ? b)m?1 ? ? (a ? b)n (m, n ? N ?,1 ? m ? n) 型

例 8.在 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ? ? (1 ? x)6 的展开式中, x2 项的系数是



(用数字作答)

解析:由题意得

x

2

项的系数为

C

2 2

? C32

?

C

2 4

? C52

? C62

?

35 。

例 9.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是

3/5

()

(A) 74

(B) 121

(C) -74

(D) -121

解 析 : (1 - x)5 + (1 - x)6 + (1 - x)7 + (1 -

x)8= (1? x)5[1? (1? x)4 ] ? (1? x)5 ? (1? x)9

1? (1? x)

x

(1 ? x)5 中 x 4 的系数为 C54 ? 5 , ? (1 ? x)9 中 x 4 的系数为- C94 ? ?126 ,-126+5= - 121,故选 D。

评注:例 8 的解法是先求出各展开式中 x2 项的系数,然后再相加;例 9 则

从整体出发,把原式看作首相为(1-x) 5 ,公比为(1-x)的等比数列的前 4 项和,

用等比数列求和公式减少项数,简化了运算。例 8 和例 9 的解答方法是求

(a ? b)m ? (a ? b)m?1 ? ? (a ? b)n (m, n ? N ?,1 ? m ? n) 的展开式中某特定项系数的

两种常规方法。 六 、求展开式中若干项系数的和或差

例 10.若 (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 (x ? R) ,

则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 ) ? _______ 。(用数字作答)

解析:在 (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 中,令 x ? 0,则 a0 ? 1 ,

令 x ? 1,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? (?1)2004 ? 1

故 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 )

=2003 a0 + a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? 2004 。

例 11.(2x ? 3) 4 ? a0 ? a1x ?a2x 2?a 3x 3?a 4x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值为( )

(A) 1

(B) -1

(C) 0

(D) 2

解析:在 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2x2 ? a3x3 ? a4x4 中,

令 x ? 1,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3)4 ,

令 x ? ?1,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3)4
4/5

所以, (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 = (a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 )(a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ) = (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) = (2 ? 3)4 (2 ? 3)4 =1,故
选 A。 评注:求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式
(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题 的目的,它普遍适用于恒等式,是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的 是从一般到特殊的转化思想,在高考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应 用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。
5/5


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