湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

宜昌市第一中学2015年秋季学期高二年级期中考 试 数学(文科)试题
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题:“若,则”的逆否命题是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.椭圆的离心率等于( ) A. B. C. D. 3.已知,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线与直线平行,则( ) A.1 B. C. D.0 5.已知为椭圆的左右焦点,弦过,则的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.16 6.过点的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=2x B.x2=﹣2y C.y2=4x或x2=﹣4y D.y2=2x 或x2=﹣2y 7.过点的直线与圆交于、两点,且,则直线的方程是( ) A. B. C. D.或 8.已知命题p:“ ”,命题q:“

”, 若命题“p且q”是真命题,则命题 的取值范围为 A. ( )

B. C. D. 9.设 为双曲线 上的一点,是该双曲线的两个焦点,若 ,则 的面积为 A. B. C. D. 10.已知定点,点为抛物线y2=4x上一动点,点到直线距离为,则的最 小值为 ( ) ( )

A. B.4 D. C.

P F C M D 11.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动 点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD 与OM交于P,则点P的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 12.已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 ,

为坐标原点,在 轴上方且在双曲线上,则

的最小值为( A.

) B.

C.

D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在 答题卡横线上) 13.已知空间一点的坐标是(5,2,﹣6),点在轴上,若,则点的坐 标是      . 14.设x,y满足约束条件 ,若目标函数的最大值为12,则 的最小值为 . 15.直线与曲线有且只有一个交点,则的取值范围是      . 16.给出下列命题: ⑴ 是幂函数; ⑵“”是“”的充分不必要条件; ⑶ 的解集是; ⑷ 函数的图象关于点成中心对称; ⑸ 命题“若,则”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分10分) 设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集 为B(其中a<0). (1)求集合B; (2)设p:x∈A,q:x∈B,且 是的必要不充分条件,求实数的取值范围.

18.(本小题满分12分) 已知函数(其中),﹒ (1)若命题“”是真命题,求的取值范围; (2)设命题:,或,若是假命题,求的取值范围.

19. (本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,,,,,设△AOB的外接圆圆心为E. (1)若⊙E 与直线CD相切,求实数a的值; (2)若点P在⊙E上,且使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,试 问:这样的⊙E是否存在?若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,请 说明理由.

20. (本题满分12分) 已知双曲线C1:的离心率是,抛物线C2:y2=2px的准线过C1的左焦 点. (1)求抛物线C2的方程; (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,4)是C2上三点,且

CA⊥CB,证明:直线AB过定点,并求出这个定点的坐标.

21. (本题满分12分) 已知△ABC三个顶点坐标分别为:A(1,0),B(1,4),C(3,2), 直线经过点(0,4). (1)求△ABC外接圆⊙M的方程; (2)若直线与⊙M相切,求直线的方程; (3)若直线与⊙M相交于A,B两点,且AB=2 ,求直线的方程.

22. (本题满分12分) 设 上的两点, 已知 , ,若

且椭圆的离心率 短轴长为2, 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线 AB的斜率k的值; (3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果 不是,请说明理由.

宜昌市一中2015年高二期中考试数学(文 科)试题
时量:120分钟 总分:150分 命题人:卞自力 审题人:高一年级数学组
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题:“若,则”的逆否命题是( D ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.椭圆的离心率等于( B ) A. B. C. D. 3.已知,则p是q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线与直线平行,则( A ) A.1 B. C. D.0 5.已知为椭圆的左右焦点,弦过,则的周长为( C )

A.4

B.6

C.8 D

D.16 ) D. D )

6.过点(2,﹣2)的抛物线的标准方程是( A.y2=2x B.x2=﹣2y

C.y2=4x或x2=﹣4y

y2=2x或x2=﹣2y 7.过点的直线与圆交于、两点,且,则直线的方程是( A. B. C. D.或 8.已知命题p:“ ”,命题q:“ ”, 若命题“p且q”是真命题,则命题 的取值范围为 A. ( A )

B. C. D. 9.设 为双曲线 上的一点, 是该双曲线的两个焦点,若

,则 的面积为 A. B. C. D. 10.已知定点,点为抛物线y2=4x上一动点,点到直线距离为,则的最 小值为( C ) ( B )

A. B.4 D. C.

P F C M D 11.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动 点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD

与OM交于P,则点P的轨迹是( A.直线 B.椭圆 12.已知抛物线

B

) C.双曲线

D.抛物线

与双曲线

有共同的焦点



为坐标原点,



轴上方且在双曲线上,则

的最小值为(

C



A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答 题卡横线上) 13.已知空间一点的坐标是(5,2,﹣6),点在轴上,若,则点的坐 标是      .(8,0,0)或(2,0,0)

14.设x,y满足约束条件

,若目标函数的最大值为12,则 的最小值为 .
15.直线与曲线有且只有一个交点,则的取值范围是      .  ﹣1<b≤1或b=﹣ 16.给出下列命题: ⑴ 是幂函数; ⑵“”是“”的充分不必要条件; ⑶ 的解集是; ⑷ 函数的图象关于点成中心对称; ⑸ 命题“若,则”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号是 (2)(4)(5) (写出所有正确命题的序 号) 三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分10分) 设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集 为B(其中a<0). (1)求集合B; (2)设p:x∈A,q:x∈B,且



的必要不充分条件,求实数的取值范围. 【答案】(1)

,解得x>-a或x<2a. 故集合B={x|x>-a或x<2a} ………………………………………………………4分 (2)法一 若



的必要不充分条件, 则 ,由此可得

, 而A={x|x2-x-6≥0}={x|(x-3)(x+2)≥0}={x|x≥3或x≤-2} ……………………6分 由

,可得

,……………………………………………………………8分 ∴



……………………………………………………..10分 法二 A={x|x≥3或x≤-2},CUA={x|-2<x<3},而CUB= {x|2a≤x≤-a}, 由



的必要不充分条件,可得

, 也即

, ∴



. 18.(本小题满分12分) 已知函数(其中),﹒ (1)若命题“”是真命题,求的取值范围; (2)设命题:,或,若是假命题,求的取值范围. 18.

即其等价于 …………………4分 解得,…………………5分 故所求x的取值范围是;…………………6分 (Ⅱ)因为是假命题,则为真命题,…………………7分 而当x>1时,>0,…………………9分 又是真命题,则时,f(x)<0,所以,即;…11分 (或据解集得出) 故所求m的取值范围为﹒…………………12分

19. (本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,,,,,设△AOB的外接圆圆心为E. (1)若☉E与直线CD相切,求实数a的值; (2)若点P在☉E上,且使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,试 问:这样的☉E是否存在?若存在,求出☉E的标准方程;若不存在,请 说明理由. 【答案】(1)直线CD的方程为y=x+4,圆心E(

,

),半径r=

a. … 3分 由题意,得

a,解得a=4. (2)∵|CD|=

… 6分

=4

, …7分 ∴当△PCD的面积为12时,点P到直线CD的距离为3

. …9分 又圆心E到直线CD的距离为2

(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,需☉E的半径

=5

,解得a=10, … 11分 ∴存在满足条件的☉E,☉E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50. 20.(本题满分12分) 已知双曲线C1:的离心率是

… 12分

,抛物线C2:y2=2px的准线过C1的左焦点. (1)求抛物线C2的方程; (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,4)是C2上三点,且 CA⊥CB,证明:直线AB过定点,并求出这个定点的坐标. 解:(1)因为双曲线C1: ﹣8y2=1(a>0)的离心率是 , 所以a2= ,c2= ,…(2分) 所以抛物线C2:y2=2px的准线方程是x=﹣ ,

所以p=1,抛物线C2的方程是y2=2x. …(4分) (2)不妨设C(8,4), 设AC的斜率为k,则直线AC的方程是y﹣4=k(x﹣8), x= 代入并整理,得ky2﹣2y+8﹣8k=0, 方程的两根是4和 ﹣4,所以y1= ﹣4,x1=

, A点的坐标是(

, ﹣4), 同理可得B点的坐标(2(2+k)2,﹣2k﹣4),…(7分) 直线AB的斜率kAB= , 直线AB的方程是y﹣(﹣2k﹣4)= [x﹣2(2+k)2], 即y=

(x﹣10)﹣4,…(10分) 直线AB过定点,定点坐标是(10,﹣4).  …(12分) 21.(本题满分12分) 已知△ABC三个顶点坐标分别为:A(1,0),B(1,4),C(3,2), 直线经过点(0,4). (1)求△ABC外接圆⊙M的方程; (2)若直线与⊙M相切,求直线的方程; (3)若直线与⊙M相交于A,B两点,且AB=2 ,求直线的方程. 解:(1)∵A(1,0),B(1,4),C(3,2), ∴ =(﹣2,﹣2), =(﹣2,2), ∴ ,则△ACB是等腰直角三角形, 因而△ACB圆心为(1,2),半径为2,∴⊙M的方程为(x﹣1)2+(y﹣ 2)2=4.…(4分) (2)当直线与x轴垂直时,显然不合题意,因而直线l的斜率存在, 设:y=kx+4, 由题意知 ,解得k=0或 ,…(7分) 故直线的方程为y=4或4x﹣3y+12=0.…(8分) (3)当直线与x轴垂直时,方程为x=0,它截⊙M得弦长恰为 ;…(9分) 当直线的斜率存在时,设:y=kx+4, ∵圆心到直线y=kx+4的距离

, 由勾股定理得 ,解得 ,…(11分) 故直线的方程为x=0或3x+4y﹣16=0. 22.(本题满分12分) 设 上的两点, 已知 , ,若 且椭圆的离心率 短轴长为2, 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线 AB的斜率k的值; (3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果 不是,请说明理由. 解:(1) 椭圆的方程为 …… 2分

…(12分)

(2)由题意,设AB的方程为

由已知 得:

…… 8分 (3)(1)当直线AB斜率不存在时,即 ,由 得 又 在椭圆上,所以

所以三角形的面积为定值 (2)当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b

所以三角形的面积为定值.

…… `12分


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