湖北省武汉市第二高二数学上学期期末考试试题 理_图文

湖北省武汉市第二中学 学年高二上学期期末考试数学(理)试题
考试时间:2015 年 2 月 4 日 上午 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分.

x2 y 2 ? ?1 F F ?ABF2 的周长是( 1.过椭圆 16 9 的左焦点 1 的直线交椭圆于 A, B 两点, 2 是右焦点, 则



A.6

B.8
2

C.12


D.16

2.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是(

A.(1, 0)

B.(2, 0)

C.(0,

1 ) 16

1 D.(0, ) 8


1 P(? ? i ) ? a ( )i , i ? 1, 2,3 3 3.设随机变量 ? 的分布列为 , 则实数 a 的值为(

A.1

B.

9 13

C.

11 13

D.

27 13

4.某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共 4000 件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽 样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、 丙中产品的有关数据已被污染得看不清 楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多 10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是 ( ) 产品类别 产品数量/件 样本容量/件 甲 乙 2300 230 丙

A.80

B.800

C.90

D.900


5.正四面体 ABCD 中, M, N 分别是棱 BC 、AD 的中点, 则异面直线 AM , CN 所成角的余弦值为 (

A. ?

2 3

B.

1 4

C.

2 3

D. ?

1 4


1 ( x ? a) 2 ( ? 1)5 x 6.若 的展开式中的常数项为 ?1 , 则实数 a 的值为(

A.1

B.99

C. ? 1或-9

D.1或9


7.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) , 且 P (2 ? x ? 4) ? 0.6826 , 则 P ( x ? 4) ? (

A.0.1588
2

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585

8. 设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F , 过点 M( 3, 0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交

S ?BCF S 于 C , | BF |? 2 , 则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比 ?ACF =(
A. 4 5 B. 2 3
2 2



C.

4 7

D.

1 2

9.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是( )

A.(?

15 15 , ) 3 3

B.(0,

15 ) 3

C.(?

15 , 0) 3

D.(?

15 , ?1) 3

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2 x2 ? y 4 4 l ,l 3 =1 的中心且相互垂直的两条直线, 分别交椭圆于 A, C, B, D , 则四 10.已知直线 1 2 是经过椭圆

边形 A BCD 的面积的最小值是(



A.2

B.4

C.

8 3 3

D.

16 3 3

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 11.假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标, 现从 500 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验, 利用随机数表 抽样时, 先将 500 袋牛奶按 000,001, , 499 进行编号. 如果从随机数表第 8 行第 4 列的数开始三位数连续 向右读取, 请你依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号 (下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 12.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为(0,3), 则实数 k 的值为
2 2

. 6 165 61 kg. 7 155 43 8 170 59

13.从某大学中随机抽取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如表所示. 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64

已知该大学某女大学生身高为 165.25cm, 则预报其体重合理值为

14.向等腰直角三角形 A BC (其中 A C = BC )内任意投一点 M , 则 AM 小于 AC 的概率为 . 15. 平 行 六 面 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , ?A1 AD ? ?A1 AB ? 60 , ?DAB ? 90 , A1 A ? 3 , AB ? 2 ,
.

AD ? 1 , 则其体对角线 AC1 的长为
三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分.

5 3 ( ,? ) ( ? 2, 0), (2, 0) 16. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 , 并且经过点 2 2 , 求它的标准方程.

x2 y 2 ? ?1 F F 6 17. (12 分) 过双曲线 3 的右焦点 2 , 倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两点, 1 为左焦点, 求
(1)|AB|; (2)

?AF1 B

的周长.

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18. (12 分) 如图所示, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形 , AB / / CD , ?DAB ? 90 , PA ? 底面

ABCD , 且 PA ? AD ? DC ? 1 , AB ? 2 , M 是 PB 的中点.
(1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD . (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值. (3)求二面角 A ? MC ? B 的余弦值.

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19. (12 分)根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为 0.25, 有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地上 有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失 60000 元, 遇到小洪水时要损失 10000 元. 为保护设备, 有以下 3 种 方案: 方案 1:运走设备, 搬运费为 3800 元. 方案 2:建保护围墙, 建设费为 2000 元, 但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施. 试比较哪一种方案好.

20. (13 分)已知 (1 ? 3 x) 展开式中, 末三项的二项式系数的和等于 121, 求展开式中系数最大的项的项数
n

及二项式系数最大的项的项数.

C:
21. (14 分) 如图所示, 已知椭圆 交于 P, Q 两点. 直线

x2 ? y2 ? 1 A,A 4 左、 右端点分别为 1 2 , 过定点 (1, 0) 的动直线与椭圆 C

A1 P 与 A2Q 交于点 S . A1 P 与 A2Q 的方程.

(1)当直线斜率为 1 时, 求直线

(2)试问:点 S 是否恒在一条定直线上. 若是求出这条直线方程, 若不是请说明理由.

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武汉二中 2014—2015 学年上学期 高二年级期末考试 数学参考答案 1.选择题 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 B

2.填空题 11.163,199,175,128,395 12.-1 13.54.5

?
14. 4 15. 23 3.解答题

?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? 2a ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10 ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2? 16.由椭圆定义知
2 2 2 ? a ? 10 。又 c ? 2,? b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 。 椭圆焦点在 x 轴上

2

2

2

2

x2 y 2 ? ?1 ? 所求椭圆标准方程是: 10 6 。
3 ? ? y ? 3 ? x ? 3? ? x2 y 2 F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? ? 3 ? 6 ?1 ,得 17.由双曲线方程知焦点分别是 。联立直线与双曲线方程 ?

5 x ? 6 x ? 27 ? 0 ,
2

x1 ? ?3, x2 ?

9 2 3 9 ? A(?3, ?2 3), B( , ? ) 5 5 5。

?

| AB |?

16 3 5

(2)

| AF2 | ? | AF1 |? 2 3,| B F1 | ? | B F2 |? 2 3, ?| AF1 | ? | B F1 |?| AF2 | ? | B F2 | ? 周长= | AF1 | ? | B F1 | ? | AB |?| AF2 | ? | B F2 | ? | AB |? 2 | AF2 |
=4 3 18.证明:以 A 为坐标原点, AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1? ? A ? 0, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , C ?1,1, 0 ? , D ?1, 0, 0 ? , P ? 0, 0,1? , M ? 0,1, ? 2 ?。 ?
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(1)

AP ? ? 0, 0,1? , DC ? ? 0,1, 0 ?

?

?

,? AP DC ? 0,? AP ? DC ,

?

?

又 AD ? DC , AP

AD ? A ,? DC ? 平面 PAD 。

DC ? 平面 PCD ,? 平面 PAD ? 平面 PDC 。
(2)

AC ? ?1,1, 0 ? , PB ? ?1,1, 0 ?
? ?

?

?

| AC |? 2,| PB |? 5, AC PB ? 2 , ,?
10 5

?

?

? cos ? AC , PB ??

AC PB | AC | | PB |
? ?

?

?

?



(3)在 MC 上取一点

N ? x, y , z ?

,则存在 ? ? R ,

? ? ? ? 1? ? NC ? ? MC , NC ? ?1 ? x,1 ? y, ? z ? , MC ? ?1, 0, ? ? 2 ?, ? 使

? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ?

1 ? 2 。
? ?

要使 AN ? MC ,只需 AN MC ? 0 ,即

x?

1 z?0 2

??
解得

?1 2? 4 4 ? ? ?? ? ,1, ? 5 。可知当 5 时,点 N 坐标为 ? 5 5 ? ,能使 AN MC ? 0 。

? ? 2? ?1 2? ?1 AN ? ? ,1, ? BN ? ? , ?1, ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ? BN MC ? 0。 此时 , ,有

由 AN MC ? 0, BN MC ? 0 得 AN ? MC , BN ? MC 。

?

?

?

?

? ?ANB 为所求二面角的平面角。

| AN | ?

?

? 30 30 ? ? 4 ,| BN | ? , AN BN ? ? 5 5 5

? cos ? AN , BN ??

?

?

AN BN | AN | | BN |
? ?

?

?

??

2 3



19.用

X 1 , X 2 , X 3 分别表示方案 1,2,3 的损失。 X 采用第 1 种方案, 无论有无洪水, 都损失 3800 元, 即 1 =3800.

采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2000+60000=62000 元;没有大洪水时,损失 2000 元,即

X2 ?

?

62000,有大洪水 2000,无大洪水



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采用第 3 种方案,有 所以,

?60000,有大洪水 ? X 3 = ?10000,有小洪水 ? 0,无洪水 ?



E ( X 1 ) ? 3800, E ( X 2 ) ? 62000 ? 0.01 ? 2000 ? (1 ? 0.01) ? 2600,

E ( X 3 ) ? 60000 ? 0.01 ? 10000 ? 0.25 ? 3100 。
采取方案 2 的平均损失最小,因此可以选择方案 2. 20.
n?2 n ?1 n Cn ? Cn ? Cn ? 121,? n 2 ? n ? 240 ? 0,? n ? 15.

? 展开式共 16 项。? 第 8 项和第 9 项的二项式系数相等且最大。
记展开式中第 k 项的系数的绝对值为
k ?1 k ?1 k k ak ? C15 3 (1 ? k ? 16) ,则 ak ?1 ? C15 3 。

ak ?1 ?1 a ? a2 ? ? a12 ? a13 ? a14 ? a k 令 得 k ? 12 ,即 1 ? 第 12 项和第 13 项的系数的绝对值最大且相等。
又第 12 项系数为

? a16 。

11 12 C15 (?3)11 ? 0 ,第 13 项系数为 C15 (?3)12 ? 0 。

? 第 13 项的系数最大。

21.(1)联立直线与椭圆方程得

5 x 2 ? 8 x ? 0, x1 ? 0, x2 ?

8 ? P ? 8 , 3 ? , Q 0, ?1 ? ? ? ? ?5 5? 5,

? A1 P : x ? 6 y ? 2 ? 0 A2 Q : x ? 2 y ? 2 ? 0
(2)联立直线与椭圆方程得 (my ? 1) ? 4 y ? 4 ,即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 。记
2 2 2 2

P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?
y?

,则

y1 ? y2 ?

?2m ?3 y1 y2 ? 2 2 m ?4, m ? 4 ,且 A1 P, A2 Q 的方程分别是

y1 y2 ( x ? 2) y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x ? 2 2 , 。

y1 ? ? y ? x ? 2 ( x ? 2) ? 1 ? ? y ? y2 ( x ? 2) ? x2 ? 2 由方程组 ? ,

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