2017-2018学年数学人教A版必修五优化课件:第三章 3.2 第2课时 一元二次不等式及其解法(习题课)

3.2 第 2 课时 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法(习题课) 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.会求解方程根的存在性问题 和不等式恒成立问题. 重点:有关不等式恒成立求 参数的值或范围问题和分式 2.会将简单的分式不等式化为 不等式的解法. 一元二次不等式求解. 难点:对实际应用问题如何 3.会从实际情境中抽象出一元 建立正确的数学模型并加以 二次不等式模型,并加以解决. 解决. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 1.解分式不等式的同解变形法则 f?x? (1) >0?f(x)g(x)>0; g?x? (2) f?x? ? ≤0?? ?f?x?g?x?≤0?g?x?≠0 ; g?x? f?x?-ag?x? f?x? (3) ≥a? ≥0. g?x? g?x? 2.处理不等式恒成立问题的常用方法 (1)一元二次不等式恒成立的情况: ?a>0 ①ax +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ; ? Δ< 0 2 ?a<0 ②ax +bx+c≤0(a≠0)恒成立?? . Δ ≤ 0 ? 2 (2)一般地,若函数 y=f(x),x∈D 既存在最大值,也存在最小值,则: ①a>f(x),x∈D 恒成立?a>f(x)max; ②a<f(x),x∈D 恒成立?a<f(x)min. 3.一元二次方程根的分布 设 x1 , x2 是实系数二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两实根, f(x)=ax2+bx+c, 则 x1,x2 的分布范围与方程系数之间的关系如下表所示. 根的分布 图象 等价条件Ⅰ Δ≥ 0 ? ? ?x1+x2>0 ? ? x1 · x2>0 等价条件Ⅱ 0<x1≤x2 ?Δ≥0 ?f?0?>0 ? ?- b >0 ? 2a 根的分布 图象 等价条件Ⅰ ?Δ>0 ? ?x1x2<0 等价条件Ⅱ x1<0<x2 f(0)<0 x1≤x2<k ?Δ≥0 ?x1+x2<2k ? ? x - k? · ? 1 ??x2-k?>0 ?Δ≥0 ?f?k?>0 ? ?- b <k ? 2a 根的分布 图象 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ k<x1≤x2 ?Δ≥0 ?x1+x2>2k ? ?x -k?· ? 1 ??x2-k?>0 Δ>0 ? ? ??x1-k?· ? ??x2-k?<0 ?Δ>0 ?f?k?>0 ? ?- b >k ? 2a x1<k<x2 f(k)<0 根的分布 图象 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ x1、x2∈(k1, k2) ?Δ≥0 ?f?k1?>0 ?f?k ?>0 ? 2 ?k1<- b 2a ? ?<k2 f?k ?>0 ? ? 1 ?f?k2?<0 ? ?f?k3?>0 k1<x1<k2<x2 <k3 [双基自测] 1.不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4x+2 >0 的解集是( 3x-1 ) ? 1 1? B. x|-2<x<3? ? ? ? 1? D. x|x<-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? A. x|x>3或x<-2? ? ? ? 1? C. x|x>3? ? ? 4x+2 解析: >0 等价于(4x+2)(3x-1)>0, 3x-1 ? 1 1? ∴原不等式解集为 x|x<-2或x>3? . ? ? ? ? ? ? ? 答案:A ? x-2 ? ? ?, 2. 若集合 A={x|-1≤2x+1≤3}, B= x| 则 A∩B=( ≤ 0 x ? ? ) A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} 解析:∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 答案:B 3.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( A.-4≤a≤4 C.a≤-4 或 a≥4 B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4 ) 解析:依题意应有 Δ=a2-16≤0, 解得-4≤a≤4,故选 A. 答案:A 4.已知方程 x2-2ax+1=0 有两正根,则 a 的取值范围是________. 解析:设方程 x2-2ax+1=0 两根 x1,x2, ?Δ=?-2a?2-4≥0 则? ,解得 a≥1. x + x = 2 a >0 ? 1 2 答案:[1,+∞) 探究一 [典例 1] 解不等式. (1) x+ 2 <0; 1- x 解简单的分式不等式 x+ 1 (2) ≤2. x- 2 [解析] x+2 x+2 (1)由 <0,得 >0. 1-x x-1 此不等式等价于(x+2)(x-1)>0. ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}. x+1 (2)法一:移项,得 -2≤0, x-2 - x+ 5 x- 5 左边通分并化简,得 ≤0,即 ≥ 0, x-2 x- 2 ??x-2??x-5?≥0, 它的同解不等式为? ?x-2≠0, ∴x<2 或 x≥5. 原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. 法二:原不等式可化为 x- 5 ≥0. x- 2 ① ?x-5≥0, 此不等式等价于? ?x-2>0, ?x-5≤0, 或? ?x-2<0. ② 解①,得 x≥5. 解②,得 x<2. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. 1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分 (不 要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 1.解不等式. x2-x-6 (1) >0; x-1 2x-1 (2) >1. 3-4x 解析:(1)原不等式等价于 ?x2-x

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