浙江效实中学2012-2013学年上学期高一年级期中考试数学试卷(1-2班)

浙江省效实中学 2012-2013 学年上学期高一年级期中考试数学试卷(1-2 班)
(答案请做在答题卷上,试卷上作答的一律无效) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.) 1.已知命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则由它们组成的 " p ? q "" p ? q "" ?p "" ?q " 形 式的复合命题中,真命题有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

2.若直线 l 的斜率 k 满足 ?1 ? k ? 3 ,则 l 的倾斜角 ? 的取值范围为 A. (

? 3?
3 , 4

]

B. (0,
2

?
3
2

) [

3? ,? ) 4

C. [0,

?
3

) [

3? ,? ] 4

D. [0,

?
3

) [

3? ,? ) 4

3.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆中过点 M (?3,5) 的最长弦、最短弦分别 为 AC , BD ,则四边形 ABCD 的面积为 A. 10 6 4.双曲线 A. 3 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6

y 2 x2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离等于 3 4
B. 2 C. 3 D. 4

5. m ? 1 是直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 和直线 3x ? my ? 1 ? 0 垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.光线沿直线 y ? 2 x ? 1 入射到直线 x ? y ? 5 ? 0 后反射,则反射光线所在直线方程为 A. 2 x ? y ? 7 ? 0 7.已知 F1 , F2 为椭圆 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,在此椭圆上存在点 P ,使 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,且 | PF1 |? 2 | PF2 | ,则此椭圆的离心率为
A.

2 2

B.

3 3
2

C.

6 6

D.

1 3

8.直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,若线段 AB 的长为 6, AB 的中点到 y 轴的距离为 2,则该抛物线的方程是 A. y ? 8x
2

B. y ? 6 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 2 x
2

1

9.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形,则 b ? a 的取值范围是 A. (??,1) 10.设双曲线 B. (??, ?3) C. (1, ??) D. (?3, ??)

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 两焦点为 F1 , F2 ,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点, a 2 b2

P ,则 P 点轨迹是 过焦点 F2 作 ?FQF 1 2 的平分线的垂线,垂足为
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分.)

? x ? y ? 0, ? 11.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为__▲__. ?x ? 2 ?
12.过点 (1, 2) 的直线 l 与 x, y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点,O 为坐标原点,当 ?AOB 的 面积最小时,直线 l 的方程为__▲__. 13.已知 A, B 为抛物线 y 2 ? 2 x 上两动点, O 为坐标原点且 OA ? OB ,若直线 AB 的倾斜 角为 135? ,则 S?AOB ? __▲__. 14.已知以抛物线 y 2 ? 4 x 过焦点的弦为直径且圆心在第四象限的圆截 y 轴所得弦长为 4, 那么该圆的方程是__▲__. 15.已知 A, B, P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m, n ? 0) 上不同的三点,且 A, B 连线经过坐标原点, m2 n2
3 ,则该椭圆的离心率为__▲__. 2

若直线 PA, PB 的斜率乘积 k PA k PB ? ?

16.已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 和圆 C2 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1,直线 l 过 C1 焦点,从左到右依次交

C1 , C2 于 A, B, C, D 四点,则 AB CD ? __▲__.
17.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ?

4 x ? x 2 ? 1有公共点,则 b 的取值范围是__▲__.

三.解答题(本大题共 5 小题,共 49 分.) 18. (本小题满分 8 分)已知 过点 (2, 5) . (1)求 C 方程;

C 的圆心在 x 轴上,直线 y ? x 截 C 所得弦长为 2,且 C

2

(2)设 P( x, y) 为 C 上任一点,求 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 的最大值.

19. (本小题满分 11 分)已知双曲线 C 的焦点分别为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,一条渐近线方程 为

y?

3 x ,过 F1 的直线 l 交双曲线于 A, B 两点. 3

(1)写出 C 的方程; (2)若 A, B 分别在左右两支,求直线 l 斜率的取值范围; (3)若直线 l 斜率为 1,求 ?ABF2 的周长.

20. (本小题满分 8 分)已知点 F (1, 0) ,动点 P 到直线 x ? ?2 的距离比到 F 的距离大 1. (1)求动点 P 所在的曲线 C 的方程; (2) A, B 为曲线 C 上两动点,若 | AF | ? | BF |? 4 ,求证: AB 垂直平分线过定点,并求出 该定点.

21. (本小题满分 11 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1, 0) ,离心率为 e . a 2 b2

(1)若 e ?

2 ,求椭圆方程; 2

(2)设直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆相交于 A, B 两点, M , N 分别为线段 AF , BF 的中点,若坐 标原点 O 在以 MN 为直径的圆上. (i)将 k 表示成 e 的函数;(ii)当 e ? (

2 3 , ] 时,求 k 的取值范围. 2 2

3

22. (本小题满分 11 分)已知点 M (2,0) , P 为抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一动点,若

| PM | 的最小值为

7 . 2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)已知

M : ( x ? 2)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0),过原点 O 作 M 的两条切线交抛物线于 A, B 两
M 也相切.

点,若直线 AB 与 (i)求 r 的值;

(ii)对于点 Q(t 2 , t ) ,抛物线 C 上总存在两个点 R, S ,使得 ?QRS 三边与 求 t 的取值范围.

M 均相切,

4

2011学年度 高二(1)(2)班数学期中答题案 宁波效实中学 第二学期 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

1 C

2 D

3 B

4 B

5 A

6 B

7 B

8 C

9 D

10 D

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)

11.

3

12.

2x+y-4=0

13.

2 5

14. ( x ? ) ? ( y ? 1) ?
2 2

3 2

25 4

15.

3 3

16.

1

17. [?5,2 2 ? 3]

三、解答题(本大题有 5 题,共 49 分) 18.解:(1)设圆心 ( a, 0) ,则 ( 解得 a ? 4,?( x ? 4) ? y ? 9
2 2

|a| 2 2 ) ? 1 ? (a ? 2) 2 ? 5 2

(2)设 ?

? x ? 4 ? 3cos ? ? 2 2 ,故 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9(3 ? 2 2 sin(? ? )) ? 27 ? 18 2 4 ? y ? 3sin ?

x2 ? y2 ? 1 19.解: (1) 3
(2) ?

? y ? k ( x ? 2) ?x ? 3y ? 3
2 2

? (3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 3 ? 0

?? ? 12(k 2 ? 1) ? 0 1 3 3 ? ? k2 ? ? ? ?k? ? 3(4k 2 ? 1) 3 3 3 ?0 ? x1 x2 ? 3k 2 ? 1 ?
(3) | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 2 | AB | ?4 3 ? 8 3
5

20.(1) y 2 ? 4 x (2) | AF | ? | BF |? 4,? x1 ? x2 ? 2 ,设 AB 中点 M (1, y0 ) ,则 k AB ?

2 y0

所以中垂线 y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 1) ,过 (3, 0) 2

x2 ? y2 ? 1 21.(1) 2
(2)(i) OM ON ?

1 1 ? e2 [( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ] ? 0 ? k ? ? 4 2e2 ? 1

(ii) k ?

2 2 或k ? ? 4 4
2 2

? y2 ? 1 4 2 ? 2 ? ? y2 ? y ? (1 ? ) y 2 ? 4 ,对称轴 2 p(2 ? p) 22.(1) | PM | ? ? 2 4p p ? 2p ?
当 p ? 2 , | PM |min ? 2 ,舍 当 0 ? p ? 2 , | PM |min ? 4 p ? p ?
2

7 1 7 ,解得 p ? 或 (舍),所以 y 2 ? x 4 2 2

(2)(i)由题意 A(2 ? r, 2 ? r ), B(2 ? r, ? 2 ? r ) ,? kOA ?

1 2?r

OA : y ?

1 2 x ,? ? r ? (r ? 1)(r ? 2)2 ? 1 ? r ? 1 r ?3 2?r

(ii)设 R(t12 , t1 ), S (t22 , t2 )(t1 ? t2 ) ,则 QR : y ?

tt 1 x? 1 t ? t1 t ? t1

与圆相切故

| 2 ? tt1 | 1 ? (t ? t1 )
2

2

? 1,从而 t12 (1 ? t 2 ) ? 2tt1 ? t 2 ? 3 ? 0 ,将 t1 换成 t 2 也成立

因为 t1 ? t2 ,所以 t ? 1 故 t1 , t2 为方程 (1 ? t 2 ) x2 ? 2tx ? t 2 ? 3 ? 0 的两根

? t1 ? t2 ?

2t t2 ? 3 1? t2 t2 ? 3 t1t2 1 , t t ? y ? x ? RS : y ? x ? ,故 ,即 1 2 1? t2 1? t2 2t 2t t1 ? t2 t1 ? t2
| 2(1 ? t 2 ) ? t 2 ? 3 | (1 ? t 2 ) 2 ? 4t 2 ? 1 ,故 t ? ?1

圆心到 RS 的距离

6


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