100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——圆锥曲线

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圆锥曲线
选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 考纲总要求:①了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质. ④理解数形结合的思想. ⑤了解圆锥曲线的简单应用. §2.1-2 椭圆 重难点:建立并掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能 运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题.

8 x 2 25y 2 经典例题:已知 A、B 为椭圆 2 + =1 上两点,F 为椭圆的右焦点,若|AF |+|BF |= a,AB 中点到 2 5 a 9a 3 椭圆左准线的距离为 ,求该椭圆方程. 2
2 2 2

当堂练习: 1.下列命题是真命题的是 A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B.到定直线 x ?
a2 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆 c a





C.到定点 F(-c,0)和定直线 x ? ? D.到定直线 x ?

a2 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 c a

a2 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆 c c

2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是
2 2 A. y ? x ? 1

8

4
2

B.

y2 x2 ? ?1 10 6

5 3 2 2 2 y x2 C. ? ?1 4 8


2 2



3.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) 4.设定点 F1(0,-3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? A.椭圆 B.线段 C.不存在

2

D. x ? y ? 1 10 6 ( ) D. (0,1)

9 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹是( a
D.椭圆或线段 ( )



x2 y2 x2 y2 5.椭圆 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? k ?k ? 0? 具有 a b a b
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 A.

D.相同的长、短轴 ( ) D.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

1 2


7. 已知 P 是椭圆 A. 8.椭圆

16 5

17 x2 y2 若 P 到椭圆右准线的距离是 , 则点 P 到左焦点的距离 ( ? ? 1 上的一点, 2 100 36 66 77 75 B. C. D. 5 8 8
( )

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4

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A.3
2 2

B. 11

C. 2 2

D. 10

9.在椭圆

y x ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|的值最 4 3
( )

小,则这一最小值是

5 A. 2

7 B. 2

C.3

D.4

10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

k1( k1
A .2

,直线 OP 的斜率为 k ,则 k k 的值为 ? 0)
2 1 2

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 2
( )

B.-2

C.

1 2

D.-

1 2
.

11.离心率 e ? 12.与椭圆 4 x 13.已知 P

1 ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为 2
2 2

___________

+ 9 y = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________.

?x, y ?是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点,则 x ? y 的取值范围是________________ 144 25



14 . 已知 椭 圆E 的短 轴长为 6 ,焦 点 F到 长轴 的一 个端 点 的距 离 等于 9, 则椭 圆E 的 离心 率 等 于 __________________. 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e

?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程. 3

16.过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1上一点P( x0 , y 0 )向圆O : x 2 ? y 2 ? 4 引两条切线 PA、PB、A、 8 4

B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 PA ? PB ? 0 ,求 P 点坐标; (2)求直线 AB 的方程(用 x0 , y0 表示) ; (3)求△MON 面积的最小值. (O 为原点)

2 2 17.椭圆 x ? y ? 1 2 2

a

b

?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O 为坐

标原点. (1)求

1 1 ? 2 2 a b

的值;

(2)若椭圆的离心率 e 满足

3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

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18.一条变动的直线 L 与椭圆

x2 4

+

y2 =1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系|MP|·|MQ|=2.若 2

直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并说明曲线的形状.

第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.3 双曲线 重难点:建立并掌握双曲线的标准方程,能根据已知条件求双曲线的标准方程;掌握双曲线的简单几何性 质,能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题. 经典例题:已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x 围.
2

选修 1-1

? 2 y 2 ? 1 总有公共点,试求实数 k 的取值范

当堂练习: 1.到两定点 F1 A.椭圆 2.方程

?? 3,0?、 F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹
B.线段 C.双曲线 (





D.两条射线 )

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 1? k 1? k A. ?1 ? k ? 1 B. k ? 0 C. k ? 0

D. k ? 1 或 k ? ?1

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3. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 m2 ? 12 4 ? m2





A.4 B. 2 2 C.8 D.与 m 有关 2 2 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线可 能是 ( )

y

y

y

y

o

x

o

x

o

x
D ( D.

o

x

A B C 5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为



3 A. 2
6.焦点为 A.

B.3

4 C. 3

3


?0,6? ,且与双曲线 x

2

2

? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 (
D. (

y2 x2 y2 x2 C. ? ?1 ? ?1 12 24 24 12 x2 y2 x2 y2 7.若 0 ? k ? a ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有 a ?k b ?k a b
B. A.相同的虚轴
2 2

x2 y2 ? ?1 12 24

x2 y2 ? ?1 24 12


B.相同的实轴
1

C.相同的渐近线
2

D. 相同的焦点 )

8.过双曲线 A.28

x y ? ? 1 左焦点 F 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F 为右焦点)的周长是( 16 9
B.22 C.14 D.12

2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有 4

( ) A.4 条

B.3 条

C.2 条

D.1 条

x2 x2 2 2 10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x +y =3; ③ ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 2 2
y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A.①③ B.②④ C.①②③ ( ) D.②③④

x2 ? 9 x2 12.与椭圆 ? 16
11.双曲线

y2 ? 1 的右焦点到右准线的距离为__________________________. 7 10 y2 ? 1 有相同的焦点,且两准线间的距离为 的双曲线方程为____________. 3 25 x2 y2 13.直线 y ? x ? 1 与双曲线 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =__________________. 2 3 x2 14.过点 M (3,?1) 且被点M平分的双曲线 . ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4 15.求一条渐近线方程是 3 x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ?4,0 ? 的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.

16. 双曲线 x ? y ? a ?a ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,P 为双曲线上任意一点, 求证: PF PO、 PF2 1、
2 2 2

成等比数列( O 为坐标原点) .

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1 2 2 17.已知动点 P 与双曲线 x -y =1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) 设 M(0, -1), 若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、 B, 若要使|MA|=|MB|, 试求 k 的取值范围.

18.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨 响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上).

第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.4 抛物线 重难点:建立并掌握抛物线的标准方程,能根据已知条件求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简单几何性 质,能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题. 经典例题:如图, 直线 y=

选修 1-1

1 1 x 与抛物线 y= x -4 交于 A、B 两点, 2 8
2

线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交

于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时, 求 Δ OPQ 面积 的最大值.

当堂练习: 1.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标是 A. (1,0) B. ( 1 ,0) C. (0, )





1 D. (0, 1 ) 4 8 4 2. 已知抛物线的顶点在原点, 焦点在 y 轴上, 其上的点 P(m,?3) 到焦点的距离为 5, 则抛物线方程为 (
A. x ? 8 y
2



B. x ? 4 y
2

C. x ? ?4 y
2

D. x ? ?8 y
2

3.抛物线 y ? 12x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于
2

( D.15 ( )



C. 15 2 4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 A. 15 B. 2 15

4 9 2 A. x 2 ? ? y 或 y ? x 3 2

4 9 B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? y 3 2

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4 9 D. y 2 ? ? x y 3 2 2 5.点 P(1,0) 到曲线 ? x ? t (其中参数 t ? R )上的点的最短距离为
C. x 2 ?
? ? y ? 2t

( D.2 (



A.0
2

B.1

C. 2

6.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF , BF , CF 成 等差数列,则 A. x1 , x2 , x3 成等差数列 C. y1 , y 2 , y 3 成等差数列
2



B. x1 , x3 , x2 成等差数列 D. y1 , y 3 , y 2 成等差数列

7.若点 A 的坐标为(3,2) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PA ? PF 取得 最小值时点 P 的坐标是 ( )

1 A. (0,0) B. (1,1) C. (2,2) D. ( ,1) 2 2 8.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则关系式 y1 y 2 的值一定等于 ( ) x1 x 2
A.4p
2

B.-4p

C.p

2

D.-p

9.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p, q , 则1?1 ( ) p q A. 2a B. 1 C. 4a D. 4 a 2a 2 10 .若 AB 为抛物线 y =2px (p>0) 的动弦,且 |AB|=a (a>2p) ,则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是 ( )

1a 1 1 B. p C. a+ 1 p D. 1 a- 1 p 2 2 2 2 2 2 11.抛物线 y 2 ? x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________.
A. 12.已知圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 ,与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 13.如果过两点 A(a,

p?

___________. a 的取值

0) 和 B(0, a) 的直线与抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数

范围是 . 14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; (1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上; (3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; (4)抛物线的通径的长为 5; (5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 2 其中适合抛物线 y =10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______. 15.已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

y 2 ? 2 px 上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点

16.已知抛物线 y=ax -1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围.

2

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17.抛物线 x =4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为邻边作平行四边 形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.

2

18.已知抛物线 C: y ? x 2 ? 4 x ?

7 ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的法线. 2 1 ,求点 M 的坐标(x0,y0) ; 2

(1)若 C 在点 M 的法线的斜率为 ?

(2)设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线通过点 P?若有, 求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

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选修 1-1 1)如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)
2

第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.5 圆锥曲线单元测试

? y 2 ? 3 ,那么

y x

的最大值是(



1 3 3 B、 C、 D、 3 2 3 2 2 2 2)若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A、 1,?1 B、 2,?2 C、 1 D、 ? 1
A、 3)已知椭圆 的周长为( (A)10 4)椭圆
2



x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则△ ABF2 a 2 25
) (C)2

(B)20
2

41 (D) 4 41
到它的右焦点的距离是( )

x y ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 100 36

(A)15 (B)12 (C)10 (D)8 5)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2 , P 为椭圆上的一点, 已知 PF 则△ F1 PF2 的面积为 ( 1 ? PF 2, 25 9




(A)9 (B)12 (C)10 (D)8

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 6)椭圆 16 4 (A)3(B) 11 (C) 2 2 (D) 10

7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是(



?y ?2 2 2 2 (C) x ? y ? 4 或 y ? x ? 4
(A) x
2 2 2

(B)

y ?x ?2 2 2 2 2 (D) x ? y ? 2 或 y ? x ? 2
2 2

8)双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为( 16 9
(B)8
2 2



(A)6 9)过双曲线 x (A)28

(C)10

(D)12
2 1 1

? y ? 8 的右焦点 F 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F 是左焦点,那么△F PQ 的周长为(
1 2



2 (C) 14 ? 8 2 (D) 8 2 10)双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F 、F , ?F1 MF2 ? 120? ,则双曲线的离心率为(
(A)

(B) 14 ? 8



6 6 3 (C) (D) 2 3 3 2 11)过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q, 1 1 则 ? 等于( ) p q 1 4 (A)2a (B) (C) 4 a (D) 2a a

3 (B)

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12) 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0

x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 4 3 5 14)离心率 e ? ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 。 3 2 15)过抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP 、QQ 垂直于抛物线
13)与椭圆
1 1

的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么|P1Q1|= 16)若直线 l 过抛物线

。 。

并且与 y 轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长为 4, 则 a= y ? ax2 (a>0)的焦点,
2

17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、 2 ,0)和 F ( 2 2 ,0)

18) 已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25

19) 抛物线 式.

y 2 ? 2 x 上的一点 P(x

, y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为

f (a ) ,求 f (a ) 的表达

20)求两条渐近线为 x ? 2 y

? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 3

的双曲线方程.

21)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于 A、B 两点, (1)若以 AB 线段为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值。 (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线

2

2

y?

1 x 对称?说明理由. 2

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参考答案
第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.1-2 椭圆 经典例题:[解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2),? e ? 即 AB 中点横坐标为

1 4 8 , 由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2= a ,∴x1+x2= a , 2 5 5

1 5 1 5 3 2 2 又左准线方程为 x ? ? a , ∴ a? a ? , 即 a=1, ∴椭圆方程为 x + 25 y =1. a, 4 4 4 4 2 9

当堂练习: 1.D; 2.D; 3.D; 4.A; 5.A; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.D; 11.

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ; 12. ? ? 1 ; 13. 36 27 15 10

[ ?13,13] ;14.

4 ; 5
b?4 5 y2 y2 x2 x2 a ? 12 c 2 ? ?1或 ? ?1 . ,∴椭圆的方程为: e? ? ? 144 80 144 80 a 3 c?8 a2 ?b2 ? c2
? PA ? PB
∴OAPB 的正方形

15. [解析]:由

16.[解析]: (1)? PA? PB ? 0

2 2 ? x0 ? y0 ?8 32 ? 2 由? 2 2 ? x0 ? ?8 x0 y 0 4 ? ? 1 ? 4 ?8

? x0 ? ?2 2 ∴P 点坐标为( ? 2 2 ,0 )

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 x1 x ?

y1 y ? 4, x2 x ? y2 y ? 4 ,而 PA、PB 交于 P(x ,y )
0 0

即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 x x ? y y ? 4得M ( 4 ,0) 、 N (0, 4 ) 0 0

S ?MON

x0 y0 1 1 4 4 1 ? | OM | ? | ON |? | |?| |? 8 ? 2 2 x0 y0 | x0 y 0 |
x0 ?

? | x0 y0 |? 4 2 |

y0 x2 y2 8 8 ? ?2 2 |? 2 2 ( 0 ? 0 ) ? 2 2 ? S ?MON ? 8 4 | x0 y 0 | 2 2 2 2 2

2 2 2 17. [解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ
2 2

当且仅当 | x 0 |?| y 0 | 时, S . ?MON min ? 2 2

?

x

1

x

2

+ y1 y

2

= 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

y 2a 2 x ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , 2 a ? b2 a b a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? 又由(1)知 b 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 2 a2 3 2a 2 ? 1 a2 a2 3 a2 2
? 1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5, 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2

18.[解析]:设动点 M(x,y),动直线 L:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组 ? y ? x ? m, 的解, ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 消去 y ,得 3x +4mx+2m - 4=0 ,其中 Δ =16m - 12(2m - 4)>0 ,∴-
2 2 2 2

6

<m<

6

,且 x1+x2= -

4m , 3

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2 x1x2= 2m ? 4 ,又∵|MP|=

3
2

2 |x-x |,|MQ|= 2 |x-x |.由|MP||MQ|=2,得|x-x ||x-x |=1,也即
1 2 1 2

|x -(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有 x 2 ?

4mx 2m 2 ? 4 2 2 2 2 ? ? 1. ∵m=y-x,∴|x +2y -4|=3.由 x +2y -4=3, 3 3

得椭圆

x 2 2x 2 ? ? 1 夹在直线 y ? x ? 6 间两段弧,且不包含端点.由 x2+2y2 - 4= - 3 ,得椭圆 7 7

x2+2y2=1.

§2.3 双曲线 ? y ? kx ? b ? 2 x ? 2y2 ?1 2 2 2 经典例题:[解析]:联立方程组 ? 消去 y 得(2k -1)x +4kbx+(2b +1)=0, 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ?
2 2 若 b=0,则 k ? ? ;若 b ? 0 ? x ? ? 2b ? 1 ,不合题意. 时, 2 2 2b

2 2 2 2 2 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 依题意有△=(4kb) -4(2k -1)(2b +1)>0, ? 2k ? 2b ? 1 对所有实

2

数 b 恒成立,?2k 2 ? (2b 2 ? 1) min ∴2k <1,得 ?
2

2 2 ?k? 2 2

.

当堂练习: 1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.B; 6.B; 7.D; 8.A; 9.B; 10.D; 11.

y2 x2 7 ? ? 1 ; 13. 4 6 ;14. ; 12. 5 4 4

3x ? 4 y ? 5 ? 0 ;
15.[解析]:设双曲线方程为: 9 x 2 ? 16y 2 ? ? ,∵双曲线有一个焦点为(4,0) ,?? ? 0
2 2 2 双曲线方程化为: x ? y ? 1 ? ? ? ? ? 16 ? ? ? 48 , ? ? 9 16 25 9 16 2 2 ∴双曲线方程为: x ? y ? 1 ∴e ? 4 ? 5 . 256 144 16 4 25 25 5

16.[解析]:易知 b ? a, c ? 2a, e ? 2 ,准线方程: x ? ?
a , 则 PF ) PF2 ? 1 ? 2(x ? 2
2 2 2 2 2
2 2

a ,设 P?x, y ?, 2
2

2 (x ?
2

a 2

) ,PO ?

a 2 ? PF ) ? 2 x2 ? a2 x2 ? y2 , 1 ? PF 2 ? 2( x ? 2

? x ? ( x ? a ) ? x ? y ? PO

? PF PO、 PF2 成等比数列. 1、

17. [解析]:(1)∵x -y =1,∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a> 2 2 2 2 2 2 |PF1| +|PF2| -|F1F2| (|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|-|F1F2| 由 余 弦 定 理 有 cos∠F1PF2 = = = 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| 2 2a -4 -1 |PF1||PF2| |PF1|+|PF2| 2 2 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a ,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a . 2 2 2 2a -4 2a -4 1 2 ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 2 -1, 由题意 -1=- , 解得 a =3, a a2 3 ∴P 点的轨迹方程为 +y =1. 3 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ?

x2

2

? x2 ① ? y2 ? 1 ?3 ? y ? kx ? m ② ?

将②代入①得:(1+3k )x +6kmx+3(m -1)=

2

2

2

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0 (*)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点 Q(x0,y0)的坐标满足:x0=

x1+x2
2



-3km m 2,y0=kx0+m= 2 1+3k 1+3k

3km m 即 Q(- 2, 2) ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 1+3k 1+3k
2+1 2 1+3k 1+3k ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 3km 2 - 2 1+3k 2 2 2 2 2 即 (6km) -4(1+3k )[3(m -1)]=12(1+3k -m )>0 ④ ,将③代入④得 2 1+3k 2 2 12[1+3k -( ) ]>0,解得-1<k<1,由 k≠0,∴k 的取值范围是 k∈(-1,0)∪(0,1). 2 18.[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别 是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 x ? y ? 1 上, 依题意得 a=680, c=1020, a2 b2

m

2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 , 故双曲线方程为 : x 2 ?

y2 5 ? 3402

680

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,

即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10 ,答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680 10m 处.

§2.4 抛物线

1 y? x x1 ? ?4 x2 ? 8 2 经典例题: 【解】(1) 解方程组 得 或 y ? ? 2 y2 ? 4 1 1 y ? x2 ? 4 8
即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== y-1=

1 2

,直线 AB 的垂直平分线方程

1 (x-2). 2

令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5).

(2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x,

1 x -4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 8
2

1 x ? x2 ? 4 8 d= = 1 x 2 ? 8 x ? 32 , OQ ? 5 2 ,∴SΔ OPQ= 1 OQ d = 5 x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16 8 2 2
∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. 2 ∵函数 y=x +8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, Δ OPQ 的面积取到最大值 30. 当堂练习: 1.C; 2.D; 3.A; 4.B; 5.B; 6.A; 7.C; 8.B; 9.C; 10.D; 11. ( ,? (2) , (5 ) ;

1 8

2 ) ; 12. 2; 13. (?? , ? 13 ) ;14. 4 4

15.[解析]: (1)由点 A(2,8)在抛物线

y 2 ? 2 px 上,有 8 2 ? 2 p ? 2 ,

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解得 p=16. 所以抛物线方程为

y 2 ? 32x ,焦点 F 的坐标为(8,0).

(2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的 定比分点,且

2 ? 2x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0 ,解得 x0 ? 11, y0 ? ?4 , 1? 2 1? 2

AF ? 2 ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 FM

所以点 M 的坐标为(11,-4) . (3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 11 )(k ? 0). 由 ? y ? 4 ? k ( x ? 11), 消 x 得 ky 2 ? 32y ? 32(11k ? 4) ? 0 , ? 2 ? y ? 32 x

2 因此 BC 所在直线的方程为: 4 x ? y ? 40 ? 0. 2 16.[解析]:设在抛物线 y=ax -1 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为 P(x,y),Q(-y,-x),则
k
2 ? ? y ? ax ? 1 ① ? 2 ? ?? x ? ay ? 1 ② ,由①-②得 x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q 为相异两点,∴x+y≠0,又 a≠0,

y ? y2 所以 y1 ? y 2 ? 32 ,由(2)的结论得 1 ? ?4 ,解得 k

? ?4.

∴x?

y?

1 1 3 2 2 2 2 代入②得 a x -ax-a+1=0, 其判别式△=a -4a (1-a)>0, 解得 a ? . , 即y ? x ? , 4 a a
x y ?1 ) ,L:y=kx-1,代入抛物线方 2 2
2

17.[解析]:设 R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形 FARB 的中心为 C ( ,
2

程得 x -4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k -16>0,即|k|>1

①,

?

x1 ? x 2 ( x ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 ,∵C 为 AB 的中点. 4 4 x x2 ? x2 ? ? 2k 2 2 ∴ y ?1 y2 ? y2 ? ? 2k 2 ? 1 2 2 x ? 4k 2 ? y1 ? y 2 ?

2

2

2

y ? 4k 2 ? 3

, 消去 k 得 x =4(y+3),由① 得, x ? 4 , 故动点 R 的轨迹方程为 x =4(y+3)( x ? 4 ).

2

18. [解析]: (1)由题意设过点 M 的切线方程为: y ? 2 x ? m ,代入 C 得 x 2 ? 2 x ? ( ? m) ? 0 , 则?

7 2

7 5 5 1 1 ? 4 ? 4( ? m) ? 0 ? m ? ,? x 0 ? ?1, y 0 ? ?2 ? ? ,即 M(-1, 2 2 2 2 2
7 7 ? x 2 ? (4 ? k ) x ? ( ? n) ? 0 ,则 ? ? 0 ? (k ? 4) 2 ? 14 ? 4n 2 2


) .

(2)当 a>0 时,假设在 C 上存在点 Q( x1 , y1 ) 满足条件.设过 Q 的切线方程为: y ? kx ? n ,代入

y ? x 2 ? 4x ?
且 x1 ?

y1 ? a 1 1 k ?4 k2 ?2 ? ? ? k 2 ? 4a ? k ? ?2 a , . 若 k ? 0 时, 由于 k PQ ? ? ? , y1 ? k x1 ? 2 k 2 4

1 1 ;若 k=0 时,显然 Q(?2,? 2 ) 也满足要求. y1 ? a ? y1 ? a ? 2 2 1 , 2 a ? 1) ∴有三个点(-2+ a , , (-2- a , 2a ? 1 )及(-2,- ) 2 2 2


x1 ? a ? 2

x1 ? ? a ? 2

1 或

且过这三点的法线过点 P(-2,a) ,其方程分别为:

a y+2-2a a =0,x-2 a y+2+2a a =0,x=-2. 1 当 a≤0 时,在 C 上有一个点(-2,- ) ,在这点的法线过点 P(-2,a) ,其方程为:x=-2. 2
x+2

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§2.5 圆锥曲线单元测试 1.D; 2.D; 3.D; 4.B; 5.A; 6.D; 7.D; 8.B; 9.C; 10.B; 11. C; 12.D; 13.

x2 y2 ? ?1 8 6



1 3y2 4x2 x2 9 y2 ? ? 1 ;14. ? ? 1 ;15. 2 ab ;16. ; 4 25 25 5 20 17. 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是: ? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 ? y 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? ? y ? x?2 18 x1 ? x2 9 ? 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线段的中点为 M( x0 , y0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 = 2 5 5 1 所以 y0 = x0 +2= . 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5 4 18. 解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2, 5 从而 c=4,a=2,b=2 3 . y2 x2 ? ? 1. 所以求双曲线方程为: 4 12
19. 解:由于 =

y 2 ? 2 x ,|PA|= ( x ? a )2 ? y 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 x
=

[ x ? ( a ? 1)]2 ? 2a ? 1 ,其中 x ? 0 (1)a ? 1 时,当且仅当 x=0 时, f ( a ) =|PA| =|a|.
min

x 2 ? 2( a ? 1) x ? a 2

(2)a>时, 当且仅当 x=a-1 时, 所以

f (a ) =|PA|

min

=

2a ? 1 .

? ? | a |, a ? 1 f (a) = ? . 2 a ? 1, a ? 1 ? ? 20. 解:设双曲线方程为 x -4y = ? . ? x 2 -4y 2 =? 联立方程组得: ? ,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0 ?x ? y ? 3 ? 0
2 2 2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? x1 x2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2 那么:|AB|=
(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 3 )? 3 ? 3
解得:

? =4,所以,所求双曲线方程是:
? 3x 2 -y 2 =1 ? y ? ax ? 1

x ? y2 ? 1 4
2 2

2

21. 解: (1)联立方程 ?

,消去 y 得: (3-a )x -2ax-2=0.

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2a ? x1 ? x2 ? ? 3 ? a2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 2 ? x1 x2 ? ? ? 3 ? a2 ? 2 2 ? ? ? (2a ) ? 8(3 ? a ) ? 0 ? ?
由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么: OA ? OB ,即 x1 x2 所以: x1 x2

??? ?

??? ?

? y1 y2 ? 0 。

? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,得到: (a 2 ? 1) ?

?2 2a ?a? ? 1 ? 0, a 2 ? 6 ,解得 a= ? 1 3 ? a2 3 ? a2

1 x 对称。 2 ? 3x12 -y12 =1 y -y 3(x1 +x 2 ) 2 2 2 2 那么: ? ,两式相减得: 3(x1 -x2 )=y1 -y2 ,从而 1 2 = .......(*) 2 2 x1 -x 2 y1 +y2 ? 3x 2 -y 2 =1
(2)假定存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线

y?

? y1 +y 2 1 x1 +x 2 = ? ? 1 2 2 ? 2 因为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称,所以 ? y -y 2 1 2 ? ? ?2 x1 -x 2 ? ?
代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线

y?

1 x 对称。 2

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料, 课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析, 课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库, 测评卷,小学学习资料, 中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷, 期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 ===================================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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