浙江省杭州地区七校2015年高三5月第三次高质量检测数学(理)试题

浙江省杭州地区七校 2014 届高三第三次质量检测数学(理) 试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {1 , 2} , B ? {a a ? 2k ?1 ,k ? A} ,则 A ? B ? ( A. ?1? B. ?1, 2? C. ?1, 2,3? D. ? ) D.5 ) )

2.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1, 则f (?2) ? ( A.-1 B.1 C.-5

3.在等腰 ?ABC 中 ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, BC ? 2BD, , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE 的值为 ( A. ?

4 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

4 3


? xy ? 0 ? 4.已知实数 x、y 满足约束条件 ? x 2 ? y 2 ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是( ?x ? y ?1 ? 0 ?

A. [?2 5 , 2 5]

B.[0,2]

C. [?2 5 , 2]

D. [

2 5 , 1] 5

5.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若

FP ? 3FQ ,则 QF =(
A.

) B.

8 3

5 2

C.

3 )

D.

2

6.若正数 a , b 满足 A.3

1 1 1 4 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为( a b a ?1 b ?1
B.4 C.5

D.6

? 1 ? 3,?? 1 ? x ? 0 ? 7.已知函数 g ( x) ? ? x ? 1 ,若方程 g ( x) ? mx ? m ? 0 有且仅有两个不等的实根,则实数 2 ? x ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1 ? ) m 的取值范围是( A B 9 11 A. ( ? , ?2] [0, 2] B. (? , ?2] [0, 2] M 4 4 D C 9 11 C. (? , ?2] [0, 2) D. (? , ?2] [0, 2) 4 4 8.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, M 为 BC 边的中点,点 P 在底 B? A? 面 A?B?C ?D? 上运动并且使 ?MAC ? ? ?PAC ? ,那么点 P 的轨迹是 P ( ) ? C? D A.一段圆弧 B.一段椭圆弧 C.一段双曲线弧 D.一段抛物线弧
[来源:]

二、填空题.(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、15 题每空 4 分,共 36 分) 9. 在数列 ?an ? 中,Sn 为它的前 n 项和, 已知 a2 ? 3 ,a3 ? 7 , 且数列 ?an ?1 则 a1 ? ? 是等比数列, ,

an ?

, Sn ?

0 0 0 0 10.在 ?ABC 中, AB ? cos16 , cos 74 , BC ? 2 cos 61 , 2 cos 29 , 则 ?ABC 面积为

?

?

?

?

,

AC ?
11.正四面体(即各条棱长均相等的三棱锥)的棱长为 6,某学生画出该 正四面体的三视图如下,其中有一个视图是错误的,则该视图修改正确后 对应图形的面积为 .该正四面体的体积为
?log (15 ? x), x ? 0 12.设函数 f ? x ? ? ? 2 则 f ? 3? ? x?0 ? f ( x ? 2),
3 3 6 正视图 6 6 6 3 3 3 3 3 3 侧视图 6

,

f ? f ? 2015?? ?
13.设 F 是双曲线

俯视图

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,O 为坐标原点,点 A, B 分别在双曲线的两条渐近 a 2 b2

线上, AF ? x 轴, BF ∥ OA , AB ? OB ? 0 ,则该双曲线的离心率为 14.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若不等式

f (a ? sin ? ) ? f (2 ? cos 2? ) ? 0 对任意 ? ? R 恒成立,则 a 的取值范围是
2 2 15.设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

三、解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知向量 m ? (sin(? x ? 称轴之间的最小距离为

?
3

), ? 1), n ? ( 3, cos(? x ?

?
3

))(? ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的图象的对称中心与对

. 4 ? ] 上的单调增区间; (Ⅰ)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 在区间 [0, (Ⅱ)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, f ( A) ? 1, cos C ?

?

3 , a ? 5 3 ,求 b 的值. 5

17. (本题满分 15 分)如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (1)求证: AC ? 平面 BDEF ; (2)求证: FC ∥平面 EAD ; (3)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.

2 18.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?1 ,其中 a ? R ,且 a ? 0 .

(1)若 f ? x ? 在[-1,1]上不是单调函数,求 a 的取值范围; (2)求 y ? f ? x ? 在区间 ? ? 0, a ? ? 上的最大值;

19. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2

(1)若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点 O 在以

MN 为直径的圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

20.已知数列 {an } 、 {bn }中,对任何正整数 n 都有:a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

? an?1b2 ? anb1 ? 2n?1 ? n ? 2 .

(1)若数列 {an } 是首项和公差都是 1 的等差数列, 求 b1 , b2 , 并证明数列 {bn }是等比数列; (2)若数列 {bn }是等比数列,数列 {an } 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列 {an } 是等差数列,数列 {bn }是等比数列,求证:

1 1 1 3 ? ? .......? ? a1b1 a2b2 anbn 2

……………………………………密……………………………………封……………………………………

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

2014 学年杭州地区七校高三第三次质量检测 数学(理) 参考答案
最终定稿人:萧山九中 谢青青 一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 联系电话:13675842362

题号 答案

1 A

2 D

3 A

[来源:gkstk.Com]

4 C

5 A

6 B

7 C

8 D

二、填空题(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、15 题每空 4 分,共 36 分)
n ?1 9.__1__ , 2 ? 1 , 2 ? 2 ? n
n

10.

2 , 5? 2 2 2
4 , log 2 15 15.

[来源:gkstk.Com]

11. 6 6 , 18 2

12. 14. a ? ?

13.

2 3 3

25 8
?
3

5 2
?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(Ⅰ)解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin(?x ?

) ? cos( ?x ?

?
3

) ? 2sin( ?x ? ) …4 分 6

由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 所以 T ? 令 2k? ? 线……………………………………………

?
4



2?

? ?
2

? 4?

?
4

? ?, ??2

…………………………………………………5 分

≤ 2x ?

?
6

≤ 2k? ?

?
2

,解得 k? ?

?
3

≤ x ≤ k? ?

?
6

(k∈Z)

? 2? ? ] ,所以所求单调增区间为 [0, ], 又 x ? [0, [ , ? ] ………………………8 分 6 3 ? ? 1 (Ⅱ)解: f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ?1, sin(2 A ? ) ? , 6 6 2
2A ?

?
6

? 2k? ?

?
6

或2 A ?

?
6

? 2k? ?

5? 6

A ? k? 或 A ? k? ?

?
3

? ) ,故 A ? (k∈Z),又 A ? (0,

?
3

……………………10 分

3 ∵ cos C ? , C ? (0, ?) , 5
∴ sin C ?
4 ? 3 3 ?4 , sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) ? 5 3 10

由正弦定理得

5 3 sin B b a ?3 3 ?4 ,∴ b ? ? sin A sin B sin A

………………15 分

17. (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O,连结 FO. 因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. 又 FA=FC,所以 AC ? FO . 因为 FO BD ? O , ……………………………1 分 ………………………………3 分

所以 AC ? 平面 BDEF. ……………………………… 4 分 (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD//BC,DE//BF, 所以 平面 FBC//平面 EAD. ……………………7 分 又 FC ? 平面 FBC, 所以 FC// 平面 EAD. ………………8 分 (Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,故 FO ? 平面 ABCD. 由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. ………9 分 设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,则 BD=2,所以 OB=1,

OA ? OF ? 3 .
所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), C(? 3,0,0), F (0,0, 3) . 所以 CF ? ( 3,0, 3) , CB ? ( 3,1,0) . 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z) ,则有 ?

? ?n ? CF ? 0, ? ? n ? CB ? 0.
………………12 分

所以 ?

? ? 3 x ? 3 z ? 0, ? ? 3 x ? y ? 0.

取 x=1,得 n ? (1, ? 3, ?1) .

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1,0) . 由二面角 A-FC-B 是锐角,得 cos? n, v? ?

………………14 分

u ?v u v

?

15 . 5
………………15 分

所以二面角 A-FC-B 的余弦值为

15 . 5

18.解: (1)∵ f ? x ? 在[-1,1]上不是单调函数, ∴ ?1 ?

a ? 1 , ∴ ?2 ? a ? 2 2

……………5 分

(2)①当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ? 0, a ? ? 上递增,

∴ f ( x) max = 2a ? 1 ………………7 分
2

②当 a ? 0 时, f (0) ? f (| a |) ? 1, f ( ) ? 1 ? 当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) max =1 当 a ? 2 2 时, f ( x) max =

a 2

a2 4

………………9 分 ………………11 分 ………………13 分

a2 ?1 4

∴综上

f ( x) max

? ? 2a 2 ? 1, a ? 0 ? ? ? 1, 0 ? a ? 2 2 ? a2 ? ? 1, a ? 2 2 ?4

………………15 分

19.解: (Ⅰ)由题意得 结合 ,



[来源:学优高考网 gkstk]

所以,椭圆的方程为



……………………5 分

(Ⅱ)由 设 , M(



x1 ? 3 y1 x ? 3 y2 , ) N( 2 , ) 2 2 2 2

……………7 分

所以 依题意,OM⊥ON,所以



……………8 分

(

x1 ? 3 y1 x ? 3 y2 , ) ?( 2 , )?0 2 2 2 2
2

∴ (1 ? k ) x1x2 ? 9 ? 0

………10 分





将其整理为



……………………13 分

因为



所以







……………… 15 分

[来源:学优高考网 gkstk]

20、 (1) b1 ? 1, b2 ? 2 依题意数列 {an } 的通项公式是 an ? n , 故等式即为 bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ?

…………………………… 1 分

? (n ?1)b2 ? nb1 ? 2n?1 ? n ? 2 ,

bn?1 ? 2bn?2 ? 3bn?3 ?

? (n ? 2)b2 ? (n ?1)b1 ? 2n ? n ?1 ? n ? 2 ? , ? b2 ? b1 ? 2n ?1
………………………4 分

两式相减可得 bn ? bn?1 ?

得 bn ? 2n?1 ,数列 {bn }是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ………………5 分 (2)设等比数列 {bn }的首项为 b ,公比为 q ,则 bn ? bqn?1 ,从而有:

bqn?1a1 ? bqn?2a2 ? bqn?3a3 ?
又 bqn?2a1 ? bqn?3a2 ? bqn?4a3 ?

? bqan?1 ? ban ? 2n?1 ? n ? 2 , ? ban?1 ? 2n ? n ?1 ? n ? 2 ? ,
………………………………7 分

故 (2n ? n ?1)q ? ban ? 2n?1 ? n ? 2

an ?

2 ? q n q ?1 q?2 ?2 ? ?n? , b b b
………………………9 分

要使 an?1 ? an 是与 n 无关的常数,必需 q ? 2 ,

即①当等比数列 {bn }的公比 q ? 2 时,数列 {an } 是等差数列,其通项公式是 an ? ②当等比数列 {bn }的公比不是 2 时,数列 {an } 不是等差数列. (3)由(2)知 anbn ? n ? 2n?1 , 显然 n ? 1,2 时
n

n ; b

………10 分

………………………11 分

?ab
i ?1

n

1

i i

3 ? , 2

当n ? 3时

?ab
i ?1

1

?

i i

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 1?1 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 23

?

1 n ? 2n?1

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 3 1? 1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 n ?1 1 1 ? ( ) n ?1 3 3 1 1 2 ? ? n ? ? 1? ? 1 2 2 2 2? 2 1? 2


………………………13 分

………………………14 分


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