2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第7讲 函数的图象

2019-2020 年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第 7 讲 函数的图象
最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系;2.会利用平移、对称、伸缩变换,由一 个函数图象得到另一个函数的图象;3.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解 的个数与不等式的解的问题.
知识梳理 1.函数图象的作法 (1)描点法作图:通过列表、描点、连线三个步骤,画出函数图象.用描点法在选点时 往往选取特殊点,有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象. (2)图象变换法作图:一个函数的图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图 象,在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换). 2.函数图象间的变换 (1)平移变换
对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减. (2)对称变换
(3)伸缩变换 y=f(x)各点横坐标变纵为坐―原标―→来不的变1a a> 倍y=f(ax). y=f(x)各点纵坐标变横为坐―原标―来→不的变A A> 倍y=Af(x).
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的

图象相同.(×) (2)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.(×) (3)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称.(√) (4)若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称.(×) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.(×) 2.(xx·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能 是( )

解析 ∵a>0,且 a≠1,∴f(x)=xa 在(0,+∞)上单调递增,∴排除 A;当 0<a<1 或 a>1 时,B,C 中 f(x)与 g(x)的图象矛盾,故选 D.
答案 D 3.(xx·山东卷)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图, 则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1

B.a>1,0<c<1

C.0<a<1,c>1

D.0<a<1,0<c<1

解析 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以 0<a<1.又当 x=0 时,y>0,即

logac>0,所以 0<c<1. 答案 D

4.已知函数 f(x)=?????2x, 2+x4>xm+,2,x≤m 的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,则实数

m 的取值范围是( )

A.(-∞,-1]

B.[-1,2)

C.[-1,2]

D.[2,+∞)

解析 法一 特值法,令 m=2,排除 C、D,令 m=0,排除 A,故选 B. 法二 令 x2+4x+2=x,解得 x=-1 或 x=-2, 所以三个解必须为-1,-2 和 2,所以有-1≤m<2. 故选 B. 答案 B 5.(人教 A 必修 1P112A2)点 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周, O,P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图,那么点 P 所走的图形是( )
答案 C
考点一 简单函数图象的作法 【例 1】 作出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;(2)y=xx+ -21. 解 (1)y=|lg x|=?????l-glxg,x,x≥01<,x<1, 作出图象如图 1. (2)因 y=1+x-3 1,先作出 y=3x的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y=xx+ -21的图象,如图 2.
规律方法 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、 幂函数、形如 y=x+mx(m>0)的函数是图象变换的基础.(2)常握平移变换、伸缩变换、对 称变换规律,可以帮助我们简化作图过程.
【训练 1】 作出下列函数的图象:

(1)y=2x+2;(2)y=x2-2|x|-1. 解 (1) 将 y = 2x 的 图 象 向 左 平 移 2 个 单 位 . 图 象 如 图 1.(2)y =

??x2-2x-1 ???x2+2x-1

x, 图象如图 2.
x<

考点二 函数图象的辨识

【例 2】 (1)(xx·成都三诊)函数 y=2x|2c2xo-s21x|的部分图象大致为(

)

??3x

x,

(2)函数 f(x)=? log1 x x> , 则 y=f(1-x)的图象是( )

?? 3

解析 (1)依题意,注意到当 x>0 时,22x-1>0,2x|cos 2x|≥0,此时 y≥0;当 x<0 时,22x-1<0,2x|cos2x|≥0,此时 y≤0,结合各选项知,故选 A.
(2)画出 y=f(x)的图象,再作其关于 y 轴对称的图象,得到 y=f(-x)的图象,再将所 得图象向右平移 1 个单位,得到 y=f[-(x-1)]=f(-x+1)的图象.
答案 (1)A (2)C 规律方法 函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右 位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用 上述方法排除、筛选选项. 【训练 2】 函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图象大致为( )

解析 因为 f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)·sin x=-f(x),所以

函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除 B;当 x∈(0,π )时,1-cos x>0,sin x >0,所以 f(x)>0,排除 A;又函数 f(x)的导函数 f′(x)=sin2x-cos2x+cos x,所以 f′(0)

=0,排除 D,故选 C.

答案 C

考点三 函数图象的应用

【例 3】 (1)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为

()

A.3

B.2

C.1

D.0

(2)已知函数 y=|xx2--11|的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值

范围是________.

解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)=2ln x 与函数 g(x)=x2-4x+5=(x-

2)2+1 的图象,如图所示.

∵f(2)=2ln 2>g(2)=1,∴f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2,故选 B.

(2)根据绝对值的意义,y=|xx2--11|=?????x-+x1-

x>1或x<- , -1≤x<

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,当 0<k<1 或 1

<k<4 时有两个交点.

答案 (1)B (2)(0,1)∪(1,4)

规律方法 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有

多少个解.数形结合是常用的思想方法.

【训练 3】 (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数 y

=f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有( )

A.10 个

B.9 个

C.8 个

D.7 个

(2)(xx·黄冈调研)设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式

f(x)≥g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是________ .

解析 (1)根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1;当 x>10 时,|lg x|>1. 因此结合图象及数据特点知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个. (2)如图,要使 f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1, ∴a≥-1.

答案 (1)A (2)[-1,+∞)

微型专题 函数图象的对称性问题

函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,它包含一个函

数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性,其中两个函数图象之间对称性的实质是

两个函数图象上的对应点之间的对称性,所以问题的关键在于找到对应点的坐标之间的对称

性,可取同一个 y 值,寻找它们横坐标之间的对称性或者取同一个 x 值,寻找它们纵坐标之

间的对称性.

例 4 下列说法中,正确命题的个数为( )

①函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0 对称;

②函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称;

③如果函数 y=f(x)对于一切 x∈R,都有 f(a+x)=f(a-x),那么 y=f(x)的图象关于

直线 x=a 对称;

④函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.

A.1

B.2

C.3

D.4

点拨 先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称,再根据函

数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于 x 轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断.

解析 对于①,把函数 y=f(x)中的 y 换成-y,x 保持不变,得到的函数的图象与原函

数的图象关于 x 轴对称;对于②,把函数 y=f(x)中的 x 换成-x,y 换成-y,得到的函数

的图象与原函数的图象关于原点对称;对于③,若对于一切 x∈R,都有 f(a+x)=f(a-x),

则 f(x)的图象关于直线 x=

a+x

+ 2

a-x

=a 对称;对于④,因为函数 y=f(x)与 y

=f(-x)的图象关于 y 轴对称,它们的图象分别向右平移 1 个单位长度得到函数 y=f(x-

1)与 y=f(1-x)的图象;即 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.

答案 D

点评 本题的难点在于对函数图象的各种对称的正确理解,熟练掌握这些基础知识是化

解难点的关键.在复习备考中要对函数图象的各种对称进行总结.

[思想方法] 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和 形状:(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等;(2)可通过 函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,如作函 数 y= 1-x2的图象. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图 要用函数的思想指导解题,即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与 x 轴交点 的横坐标,或是方程变形后,等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标),不等式的问题 函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应 x 的范围). [易错防范] 1.用描点法作函数图象时,要注意取点合理,并用“平滑”的曲线连接,作完后要向 两端伸展一下,以表示在整个定义域上的图象. 2.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(xx·保定模拟)函数 y=21-x 的大致图象为( )

解析 y=21-x=???12???x-1,因为 0<12<1,所以 y=???12???x-1 为减函数,取 x=0 时,则 y=2,
故选 A. 答案 A 2.函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )

解析 函数 f(x)=ln(x2+1)的定义域为(-∞,+∞),又因为 f(-x)=f(x),故 f(x)

为偶函数且 f(0)=ln 1=0,综上选 A.

答案 A

3.为了得到函数 y=lgx+ 103的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点(

)

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

解析 y=lgx1+03=lg(x+3)-1,将 y=lg x 的图象向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x

+3)的图象,再向下平移 1 个单位长度,得到 y=lg(x+3)-1 的图象.

答案 C

4.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-1,0)

B.[-1,0)

C.(-2,0)

D.[-2,0)

解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈(-1,0), 故选 A.

答案 A

5.函数 y=xl|nx||x|的图象可能是(

)

解析 法一 函数 y=xl|nx||x|的图象过点(e,1),排除 C,D;函数 y=xl|nx||x|的图象过

点(-e,-1),排除 A.

法二 由已知,设 f(x)=xl|nx||x|,则 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数,排除 A,

C,当 x>0 时,f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,排除 D.

答案 B

二、填空题 6.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则

f(x)=________.

解析 与 y=ex 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e-x,依题意,f(x)图象向右平移一个单

位,得 y=e-x 的图象.∴f(x)的图象可由 y=e-x 的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e

=e . -(x+1)

-x-1

答案 e-x-1

7.若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则 a 的取值范围是________.

解析 画出 y=|ax|与 y=x+a 的图象,如图.只需 a>1.

答案 (1,+∞)

8.(xx·长沙模拟)已知函数 f(x)=?????l2ox g2x

x> x

, ,

且关于 x 的方程 f(x)-a=0

有两个实根,则实数 a 的范围是________.

解析 当 x≤0 时,0<2x≤1,所以由图象可知要使方程 f(x)-a=0 有两个实根,即函

数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,所以由图象可知 0<a≤1.

答案 (0,1]

三、解答题

9.已知函数 f(x)=1+x x.

(1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间.

解 (1)f(x)=1+x x=1-x+1 1,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=-1x的图象向左平

移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示.

(2)由图象可以看出,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,+∞).

10.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性;

(2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.



f(x)=????? -x-x-

2-1,x∈ -∞,1]∪[3,+ 2+1,x∈ , ,



作出函数图象如图.

(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3].

(2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如

图).由图知 0<m<1,

∴M={m|0<m<1}.

能力提升题组

(建议用时:25 分钟)

11.已知函数 f(x)=?????xx22+ -22xx- -11, ,xx≥ <00,, 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列

不等式成立的是( )

A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 解析

B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

函数 f(x)的图象如图所示:

且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数.

又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1), 即 f(x1)-f(x2)<0. 答案 D

12.函数 y=1-1 x的图象与函数 y=2sin π x (-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之

和等于( )

A.2

B.4

C.6

D.8

解析 令 1-x=t,则 x=1-t.

由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,

所以-3≤t≤3.

又 y=2sin π x=2sin π (1-t)=2sin π t.

在同一坐标系下作出 y=1t和 y=2sin π t 的图象.

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称. 因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1+t2+…+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+…+1-x8=0, 因此 x1+x2+…+x8=8. 答案 D 13.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关 于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的取值范围是________. 解析 由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图, 记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图象过定点 A(-1,1). 记 B(2,0),由图象知,方程有四个根, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图象有四个交点, 故 kAB<k<0,kAB=2-0--1 =-13,∴-13<k<0.

答案 ???-13,0???

14.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+1x+2 的图象关于点 A(0,1)对称.

(1)求 f(x)的解析式;

(2)若 g(x)=f(x)+ax,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围.

解 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在

h(x)的图象上,

即 2-y=-x-1x+2,∴y=f(x)=x+1x(x≠0).

(2)g(x)=f(x)+ax=x+a+x 1,g′(x)=1-a+x2 1.

∵g(x)在(0,2]上为减函数,

a+1 ∴1- x2 ≤0

在(0,2]上恒成立,即

a+1≥x2

在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即

a≥3,

故 a 的取值范围是[3,+∞).

2019-2020 年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第
8 讲 函数与方程
最新考纲 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方 程根的存在性及根的个数;2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
知识梳理 1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b) <0;则函数 y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就 是方程 f(x)=0 的根. 2.二分法

(1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断

地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零

点近似值的方法叫做二分法.

(2)给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; ②求区间(a,b)的中点 c;

③计算 f(c);

(ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;

(ⅱ)若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②

③④.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.(×)

(2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)·f(b)<0.(×)

(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点.(√)

(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(×)

2.(xx·北京卷)已知函数 f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是

()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)

解析 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,又 f(1)=6-log21=6>0,f(2) =3-log22=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0,由零点存在性定理,可知函数 f(x)在

区间(2,4)上必存在零点,故选 C.

答案 C

3.(xx·湖北七市(州)联考)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上连续不断,由下表知方

程 f(x)=g(x)有实数解的区间是( )

X

-1

0

1

2

3

f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651

g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

解析 记 h(x)=f(x)-g(x),依题意,注意到 h(0)<0,h(1)>0,因此函数 h(x)的零

点属于(0,1),即方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),故选 B.

答案 B

4.(人教 A 必修 1P92A1 改编)下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中

函数零点的是( )

答案 A

5.(xx·福建卷)函数 f(x)=???x2-2,x≤0,

的零点个数是________.

??2x-6+ln x,x>0

解析 当 x≤0 时,由 x2-2=0 得 x=- 2(正根舍去);当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln

x 在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x)在(0,+∞)

上有且只有一个零点,综上可知 f(x)的零点个数为 2.

答案 2

考点一 函数零点的判断与求解 【例 1】 (1)(xx·唐山一模)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( )

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

(2)(xx·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x.则函数

g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( )

A.{1,3}

B.{-3,-1,1,3}

C.{2- 7,1,3}

D.{-2- 7,1,3}

解析 (1)∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0,∴函数 f(x)在 R 上单调递增,对

于 A 项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A 不正确;

同理可验证 B,D 不正确,对于 C 项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=

e2-2>0,f(1)f(2)<0.故 f(x)的零点位于区间(1,2).

(2)当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,令 g(x)=x2-3x-x+3=0,得 x1=3,x2=1.

当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x),

∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.

令 g(x)=-x2-3x-x+3=0,

得 x3=-2- 7,x4=-2+ 7>0(舍),

∴函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合是{-2- 7,1,3},故选 D.

答案 (1)C (2)D

规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为确定

区间两端点对应的函数值的符号是否相反.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知,

求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程 f(x)=g(x)的根,可以构造函数 F(x)

=f(x)-g(x),函数 F(x)的零点即方程 f(x)=g(x)的根.

【训练 1】 (xx·莱芜一模)已知函数 f(x)=???2x-1,x≤1,

则函数 f(x)的零点

??1+log2x,x>1,

为( )

A.12,0

B.-2,0

1

C.2

D.0

解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0, 解得 x=12,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上,函数 f(x)的零点只有 0.

答案 D

考点二 根据函数零点的存在情况,求参数的值

【例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ex2(x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围;

(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

解 (1)法一 ∵g(x)=x+ex2≥2 e2=2e,

等号成立的条件是 x=e,

故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点.

法二 作出 g(x)=x+ex2(x>0)的大致图象如图 1.

图1 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 y=g(x)与 y=f(x)的图象有两个不同的交点,

在同一坐标系中,作出 g(x)=x+ex2(x>0)与 f(x)=-x2+2ex+m-1 的大致图象如图 2.

图2 ∵f(x)=-x2+2ex+m-1= -(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,y=g(x)与 y=f(x)有两个交点,即 g(x)- f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程

即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函

数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.

【训练 2】 (1)函数 f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围

是( )

A.(1,3)

B.(1,2)

C.(0,3)

D.(0,2)

??|2x-1|,x<2, (2)(xx·太原模拟)已知函数 f(x)=???x-3 1,x≥2,

若方程 f(x)-a=0 有三个

不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( )

A.(1,3)

B.(0,3)

C.(0,2)

D.(0,1)

解析 (1)因为函数 f(x)=2x-2x-a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2x-2x-a

的一个零点在区间(1,2)内,则有 f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)< 0.所以 0<a<3.
(2)画出函数 f(x)的图象如图所示,

观察图象可知,若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与直 线 y=a 有 3 个不同的交点,此时需满足 0<a<1,故选 D.
答案 (1)C (2)D 考点三 与二次函数有关的零点问题 【例 3】 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上 恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
解 令 f(x)=0,则 Δ =(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9???a-89???2+89>0 恒成立, 即 f(x)=0 有两个不相等的实数根,
∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,∴a≤- 15或 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1. (2)当 f(3)=0 时,a=-15, 此时 f(x)=x2-153x-65. 令 f(x)=0,即 x2-153x-65=0, 解得 x=-25或 x=3. 方程在[-1,3]上有两个实数根, 不合题意,故 a≠-15. 综上所述,a 的取值范围是???-∞,-15???∪(1,+∞). 规律方法 解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2) 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 【训练 3】 已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求 实数 a 的取值范围.

解 法一 设方程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2 -1)<0,
∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即 a2+a-2<0,∴-2<a<1. 法二 函数图象大致如图,则有 f(1)<0,

即 1+(a2-1)+a-2<0,∴-2<a<1. 故实数 a 的取值范围是(-2,1).

[思想方法] 1.判定函数零点的常用方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有 解求参数范围问题可转化为函数值域问题. [易错防范] 1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数 还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.(xx·青岛统一检测)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,2)内的零点个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 因为函数 y=2x,y=x3 在 R 上均为增函数,故函数 f(x)=2x+x3-2 在 R 上为增

函数,又 f(0)<0,f(2)>0,故函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,2)内只有一个零点,故选

B.

答案 B

2.(xx·西安五校联考)函数 y=ln(x+1)与 y=1x的图象交点的横坐标所在区间为

()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

解析 函数 y=ln(x+1)与 y=1x的图象交点的横坐标,即为函数 f(x)=ln(x+1)-1x的

零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3-12>0,∴f(x)

的零点所在区间为(1,2).

答案 B

3.(xx·长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x

-a)的两个零点分别位于区间( )

A.(a,b)和(b,c)内

B.(-∞,a)和(a,

b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内

D.(-∞,a)和(c,

+∞)内

解析 依题意,注意到 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)·(b-a)<0,f(c)=

(c-b)(c-a)>0,因此由零点的存在性定理知函数 f(x)的零点位于区间(a,b)和(b,c)内,

故选 A.

答案 A

4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)内存在一

个零点,则 a 的取值范围是( )

A.???15,+∞??? ???15,+∞???

B . ( - ∞ , - 1) ∪

C.???-1,51???

D.(-∞,-1)

解析 当 a=0 时,f(x)=1 与 x 轴无交点,不合题意,所以 a≠0;函数 f(x)=3ax+1

-2a 在区间(-1,1)内是单调函数,所以 f(-1)·f(1)<0,即(5a-1)(a+1)>0,解得 a

<-1 或 a>15.

答案 B

5.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3,

则 x1,x2,x3 的大小关系是( )

A.x2<x1<x3

B.x1<x2<x3

C.x1<x3<x2

D.x3<x2<x1

解析 依据零点的意义,转化为函数 y=x 分别和 y=-2x,y=-ln x,y= x+1 的

交点的横坐标大小问题,作出草图,易得 x1<0<x2<1<x3.

答案 B

二、填空题

6.(xx·淄博期末)函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是________.

解析 函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数,即为函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 图

象的交点个数.

在同一坐标系内分别作出函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 的图象,如图,

由图可知函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是 2. 答案 2 7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1, 所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2 8.已知函数 f(x)=?????2-x-x21-,2xx> ,0x, ≤0, 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是________.

解析 画出 f(x)=?????2-x-x21-,2xx> ,0x, ≤0 的图象,如图. 由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案 (0,1)

三、解答题 9.若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解 法一 (换元法) 设 t=2x (t>0),则原方程可变为 t2+at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t2+at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2,

??Δ =a2- a+ 则?t1+t2=-a>0,

, 解得-1<a≤2-2 2;

??t1·t2=a+1>0,

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则 f(0)=a+1<0, 解得 a<-1;
③当 a=-1 时,t=1,x=0 符合题意.

综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2].

法二 (分离变量法) 由方程,解得 a=-222xx++11,设 t=2x (t>0),

则 a=-tt2++11=-???t+t+2 1-1???=2-??? t+ +t+2 1???, 其中 t+1>1,由基本不等式,得(t+1)+t+2 1≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,

故 a≤2-2 2.

综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 10.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 有两根,其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. 解 由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2) 内,如图所示,

?? f =2m+1<0, f - =2>0,

得?f ??f

=4m+2<0, =6m+5>0

?m<-12, ?m∈R, ?? m<-12, ??m>-56.

即-56<m<-12.

故 m 的取值范围是???-56,-12???.

能力提升题组

(建议用时:25 分钟) 11.(xx·合肥检测)若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,则实数 a 的取值为

()

A.0

B.-14

1 C.0 或-4

D.2

解析 当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数仅有

一个零点; 当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程

ax2-x-1=0 有两个相等实根.∴Δ =1+4a=0,解得 a=-14.

综上,当 a=0 或 a=-14时,函数仅有一个零点.

答案 C 12.(xx·洛阳统一考试)已知方程|x2-a|-x+2=0(a>0)有两个不等的实数根,则实

数 a 的取值范围是( )

A.(0,4)

B.(4,+∞)

C.(0,2)

D.(2,+∞)

解析 依题意,知方程|x2-a|=x-2 有两个不等的实数根,即函数 y=|x2-a|的图象

与函数 y=x-2 的图象有两个不同交点.如图,则 a>2,即 a>4,选 B.

答案 B

13.(xx·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)= |x2-2x+12|.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取 值范围是________.
解析 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有互不相同的 10 个零点,即函数 y=f(x),x ∈[-3,4]与 y=a 的图象有 10 个不同交点,在坐标系中作出函数 f(x)在一个周期内的图象 如图,可知当 0<a<12时满足题意.

答案 ???0,12???

14.已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-

1≤x≤3,x∈R}.

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)求函数 g(x)=f

x x

-4ln x 的零点个数.

解 (1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},

∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0.

∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3.

(2)∵g(x)=x2-2xx-3-4ln x=x-3x-4ln x-2(x>0),

∴g′(x)=1+x32-4x=

x-

x- x2

.

令 g′(x)=0,得 x1=1,x2=3. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:

x

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,+∞)

g′(x)



0



0



g(x)

极大值

极小值

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0.

又因为 g(x)在(3,+∞)单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点.故 g(x)在

(0,+∞)只有 1 个零点.


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