广东省佛山市南海区罗村高级中学2011-2012学年高二第二阶段考试数学(理)试题

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参考公式:棱台体积公式 V ?

1 h[ S ? S ? ? SS ? ] 3

一、选择题:本题共有 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 是正确的. 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 )条

2.已知两个平面垂直,下列命题其中正确的个数是( ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 3.若直线过点(1,2) , (4,2+ 3 ) ,则此直线的倾斜角是( A.30° B.45° C.60° D.90° ) )

4.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是 ( B. 1 ? 2 C. 2 ?

A. 2

2 2


D. 1 ? 2 2

5.命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 )

6.表面积为 4 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为(

A.

6 ? 3

B.

2 6 ? 3

C. 6?

D.

6 ? 27
)

7.已知 x, y 是实数,则“ x ? 1 且 y ? 1 ”是“ x ? y ? 2 且 xy ? 1 ”的 ( A.充分必要条件

B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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8. 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 a 2 b2
)

?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为(
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.一个长方体的长、宽、高之比为 2:1:3,全面积为 88cm ,则它的体积为___________. 10.如图,ABC 是直角三角形, ? ACB= 90? ,PA ? 平面 ABC,此图形中有 个直角三角形 11.过点P(1,2)且在X轴,Y轴上截距相等的直线方程 是 . 12.已知圆的方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是 . 13 . 椭 圆 的 一 个 顶 点 与 两 个 焦 点 构 成 等 边 三 角 形 , 则 离 心 率 e ? _______。 14. 在一次射击训练中, 某战士连续射击了两次, 设命题 p 是 “第一次射击击中目标” , 命题 q 是 “第 二次射击击中目标” ,用 p, q 及逻辑联结词“或” “且” “非” (或 ? , ? , ? )表示下列命题:两次都击 中目标可表示为:_____________;恰好一次击中目标可表示为:____________________. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 正四棱台的侧棱长为 3cm,两底面边长分别为 1cm 和 5cm,求该正四棱台的体积.
2

16. (本小题满分 12 分) 过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

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17. (本小题满分 14 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底 后的 M 直观图与三视图的侧视图、 俯视图, 在直观图中, 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直 角三 角形,有关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ) 若 N 是 BC 的中点, 求证:AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

18. (本小题满分 14 分) 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, 离心率 e ? 离为 7 ,求这个椭圆方程.

3 3 ) 到这个椭圆上的点的最远距 .已知点 P (0, 2 2

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19. (本小题满分 14 分)

2) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0,
且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值; 如果不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中 点. (Ⅰ)求证:AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的余弦值; (Ⅲ)求点 C1 到平面 A1BD 的距离.

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罗村高级中学 2011--2012 学年度第一学期高二年级数学科(理) 阶段测试二( 必修 2、选修 2-1)考试参考答案
一、 选择题:本题共有 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一个是正确的.

二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 48cm 13.
3

10. 4

11. x+y-3=0 或 2x-y=0

12. ?2 ? a ?

2 3

1 2

14. p ? q ; ? p ? (?q) ? ?

???p? ? q?

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 正四棱台的侧棱长为 3cm,两底面边长分别为 1cm 和 5cm,求该正四棱台的体积. 解: 正四棱台ABCD ? A1 B1C1 D1

16. (本小题满分 12 分) 过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 . 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 (

4 ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k
D

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
得 25k ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k ? 50k ? 16 ? 0
2 2

M E

4 2

解得 k ?

2 8 ,或 k ? 5 5

C
A

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。
17. (本小题满分 14 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三

N

B

直观图

侧视图

2 2

俯视图 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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角形,有关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD . 解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC …………2 分 平面 ABC ? 平面 ACDE = AC 所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: …………4 分

D

E C A N

M

1 1 (4 ? 2) ? 2 V ? S ACDE ? AB ? ? ?2 ? 4 3 3 2

B

…………6 分

(Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD ? AN ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM ? EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . 18. (本小题满分 14 分) 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, 离心率 e ? 离为 7 ,求这个椭圆方程.

…………12 分

…………14 分

3 3 ) 到这个椭圆上的点的最远距 .已知点 P (0, 2 2

若b ?

1 3 2 3 1 2 , 则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 (b ? ) ? 7 , ? b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 2 2 2

1 1 2 2 若 b ? 时, y ? ? 时 4b ? 3 ? 7 , b ? 1 ,所求方程为 2 2
19. (本小题满分 14 分)

x2 ? y2 ? 1 4

2) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0,
2 2

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且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B .

0) ,过 P(0, 2) 解: (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心为 Q(6,
且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x2 ? (kx ? 2)2 ?12x ? 32 ? 0 , 整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .
2 2



直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,
解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? , 0? . 4 ? 4 ?

而 P(0 ,, 2) Q(6,, 0) PQ ? (6, ? 2) . 所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? ?

3 . 4

由(Ⅰ)知 k ? ? , 0 ? ,故没有符合题意的常数 k .

?3 ?4

? ?

20. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的余弦值; (3)求点 C1 到平面 A1BD 的距离. 解:(1)取 BC 中点 O,连结 AO.∵△ABC 为正三角形,

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∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∴AO⊥平面 BCC1B1.

∴ AB ,2,? 3), BD ? (?2,1,0), BA ,2, 3) .∴ AB1 ? BD ? 0, AB1 ? BA 1 ? (1 1 ? (?1 1 ?0

? 平面 A1BD. ∴ AB 1 ? BD, AB 1 ? BA 1 ,∴AB1
(2)设平面 A1AD 的法向量为 n ? ( x, y , z ) .

AD =(-1,1,- 3 ), AA 1 =(0,2,0).
∵ n ? AD, n ? AA 1, ∴?

? ?n ? AD ? 0,

?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ?? ?? 2 y ? 0 . ? n ? AA ? 0 . ? ? x ? ? 3z. 1 ?

cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 ? 3 ? 3 6 . ? ?? 4 2?2 2 | n? AB1|
6 . 4

∴二面角 A-A1D-B 的大小的余弦值为 (3)C1 点到 A1BD 的距离为

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