(精校版)重庆市数学(理)卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类) 数学试题卷(理工农医类)
数学试题卷(理工农医类)共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 选择题: 小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的 是符合题目要求的。 只有一项 是符合题目要求的。 (1)在等比数列 {an } 中, a2010 = 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

(2) 已知向量 a,b 满足 a b = 0, a = 1, b = 2, ,则 2a b = A. 0 (3) lim —1 B.

2 2

C.

4

D. 8

1 4 = 2 x→2 x 4 x2
B. —

A.

1 4

C.

1 4

D. 1

y ≥ 0 (4)设变量 x,y 满足约束条件 x y + 1 ≥ 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 x + y 3 ≤ 0
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8

(5) 函数 f ( x ) = A. 关于原点对称

4x + 1 的图象 2x
B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

(6)已知函数 y = sin (ω x + ) (ω > 0, < A.

π
2

) 的部分图象如题 (6)图所示,则
C.

ω =1 =

π
6

B.

ω =1

=-

π
6

ω =2 =

π
6

D.

ω =2 = -

π
6

(7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C.

9 2

D.

11 2

(8) 直线 y=

x = 3 + 3 cos θ , 3 x + 2 与圆心为 D 的圆 B (θ ∈ 0, 2π ) ) 交与 A、 两点, 3 y = 1 + 3 sin θ
5 π 4 4 π 3 5 π 3

则直线 AD 与 BD 的倾斜 角之和为 A.

7 π 6

B.

C.

D.

(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中 的甲、乙排在相邻两天,丙部排在 10 月 1 日,也不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 (10) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 小题, 把答案填写在答题卡的相应位置上。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡的相应位置上。 填空题: (11)已知复数 z=1+I ,则

(12)设 U= {0,1, 2,3} ,A= x ∈ U x + mx = 0 ,若 U A = {1, 2} ,则实数 m=_________.
2

{

2 z =____________. z

}

(13) 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25
(14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 4 x 上的两点 A、B 满足 AF = 3FB ,则弦 AB 的中点到准 线的距离为___________. (15)已知函数 f ( x ) 满足: f (1) = 则 f ( 2010 ) =_____________.

1 , 4 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x y )( x, y ∈ R ) , 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (16) (本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 设函数 f ( x ) = cos x + (I) (II)



2 x π + 2 cos 2 , x ∈ R 。 3 2

求 f ( x ) 的值域; 记 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ( B ) =1,b=1,c= 3 , 求 a 的值。

(17) (本 小题满分 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 在甲、 乙等 6 个单位参加的一次 “唱读讲传” 演出活动中, 每个单位的节目集中安排在一起, 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,……6) ,求: (I)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (II)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ 的分布列与期望。

(18) (本小题满分 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f ( x ) = (I) (II)

x 1 + ln ( x + 1) , 其中实数 a ≠ 1 。 x+a

若 a=-2,求曲线 y = f ( x ) 在点 0, f ( 0 ) 处的切线方程; 若 f ( x ) 在 x=1 处取得极值,试讨论 f ( x ) 的单调性。

(

)

(19) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 如题(19)图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ⊥ 底 面 ABCD,PA=AB= 6 ,点 E 是棱 PB 的中点。 (I) (II) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离;
[来源:Zxxk.Com]

若 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。

(20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, F

(

5, 0 为右焦点的双曲线 C 的离心率

)

e=

5 。 2
求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题(20)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x + 4 y1 y = 4 与过点 N ( x2 , y2 )

(I) (II)

(其中 x2 ≠ x ) 的直线 l2 : x2 x + 4 y2 y = 4 的交点 E 在双曲线 C 上, 直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 OGH 的面积。

(21) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 在数列 {an } 中, a1 =1, an +1 = can + c (I) (II) 求 {an } 的通项公式; 若对一切 k ∈ N * 有 a2 k > azk 1 ,求 c 的取值范围。
n +1

( 2n + 1)( n ∈ N *) ,其中实数 c ≠ 0 。

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题(理工农医类 数学试题(理工农医类)答案

(Ⅱ)由 f ( B ) =1 得 sin( B + 故B =

π
6

5π 5π ) + 1 = 1 ,即 sin( B + ) = 0 ,又因 0 < B < π , 6 6

.
2 2 2 2

解法一:由余弦定理 b = a + c 2ac cos B ,得 a 3a + 2 = 0 ,解 a=1 或 2.

解法二:由正弦定理 当C =

b c 3 π 2π = ,得 sin C = ,C = 或 . sin B sin C 2 3 3

,从而a= b 2 + c 2 =2 ; 3 2 2 π π 当 C = π 时,A= ,又B= ,从而a=b=1 3 6 6
时,A=

π

π

故 a 的值为 1 或 2. (本题 (17) 本题 13 分) ) ( 解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数. (Ⅰ)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”,则 A 表示“甲、乙的演 出序号均为偶数” ,由等可能性事件的概率计算公式得

P( A) = 1 P( A) = 1

C32 1 4 = 1 = . 2 C6 5 5

(Ⅱ) ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且

P (ξ = 0) =

5 1 4 4 3 1 = , P (ξ = 1) = 2 = , P (ξ = 2) = 2 = , 2 C6 3 C6 15 C6 5 2 2 1 1 = , P (ξ = 4) = 2 = 2 C6 15 C6 15

P (ξ = 3) =

从而知 ξ 有分布列

ξ
P
[来源:Zxxk.Com]

0

1

2

3

4

1 3

4 15

1 5

2 15

1 15

所以,

1 4 1 2 1 4 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = . 3 15 5 15 15 3

(Ⅱ)因 a ≠ 1, 由(Ⅰ)知 f ′(1) =

a +1 1 1 1 + = + , 2 (1 + a ) 1 + 1 a + 1 2

又因 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值,所以 f ′(1) = 0

1 1 + = 0 ,解得 a = 3 , a +1 2 x 1 此时 f ( x ) = + ln( x + 1), 其定义域为 (1,3) ∪ (3, +∞ ), 且 x3


f ′( x) =

2 1 ( x 1)( x 7) + = ,由 f ′( x) = 0得 x1 = 1, x2 = 7 .当 2 ( x 3) x + 1 ( x 3) 2 ( x + 1)

1 < x < 1 或 x > 7 时, f ′( x) > 0 ;当 1 < x < 7 且 x ≠ 3 时, f ′( x) < 0 .
由以上讨论知, f ( x ) 在区间 ( 1,1],[7, +∞) 上是增函数,在区间 (1, 3],[3, 7) 上是减函数. (本题 (19) 本题 12 分) ) ( 解法一: (Ⅰ) 如答(19)图 1,在矩形 ABCD 中, AD / / BC ,从而

AD / / 平面PBC ,故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面
PBC 的距离. 因 PA ⊥ 底面ABCD,得PA ⊥ AB. 由 PA = AB ,故 PAB 为等腰 直角三角形,而点 E 是棱 PB 的中点,所以 AE ⊥ PB . 又在矩形 ABCD 中, BC ⊥ AB ,而 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的 射 影 , 由 三 垂 线 定 理 得 BC ⊥ PB , 从 而 BC ⊥ 平面PAB , 故

因 AE ⊥ 平面PBC,故AE ⊥ CE,又FG ⊥ CE,知FG// 的中点. 连接 DG , 则在 Rt ADC中,DG= 所以 cos DFG = 解法二: 解法二:

1 3 AE , 从而FG= ,且 C 点为 AC 2 2

1 1 3 AC= AD 2 + CD 2 = . 2 2 2

DF 2 + FG 2 DG 2 6 = . 2i DF i FG 3

(Ⅰ) 如答(19)图 2,以 A 为坐标原点,射线 AB, AD, AP 分别为 x轴, y轴, z轴正半轴,

建立空间直角坐标系 A xyz .

设 D (0, a, 0), 则 B ( 6, 0, 0), , C ( 6, a, 0), P (0, 0, 6), E (

6 6 , 0, ). 2 2

因此 AE =

6 6 , 0, , BC = (0, a, 0) . 2 2

PC = ( 6, a, 6) ,
则 AE iBC = 0, iPC = 0 ,所以 AE ⊥ 平面 PBC. AE 又由 AD / / BC 知AD//平面PBC ,故直线 AD 与平面 PBC 的 距离为点 A 到平面 PBC 的距离,即为 AE =

3.

所以 x2 = 0,z2 =

2 y2 .

可取 y2 = 1 ,则 n2 = (0,1, 2) . 故 cos < n1 , n2 >=

n1 in2 6 = . n1 i n2 3
6 . 3

所以二面角 A EC D 的平面角的余弦值为 (本题 (20) 本题 12 分) ) (

x2 y2 c 5 解: (Ⅰ)设 C 的标准方程为 2 2 = 1( a > 0, b > 0) ,则由题意 c = 5, 又e = = , a b a 2
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

因此 a = 2, b = C 的标准方程为

c2 a2 = 1 , x2 y2 = 1. 4

[来源:Zxxk.Com]

C 的渐近线方程为 y = ±

1 x , 即x 2 y = 0 和 x + 2 y = 0 . 2

(Ⅱ)解法一:如答(20)图,由题意点 E ( xE , y E ) 在直线 l1 : x1 x + 4 y1 y = 4 和

l2 : x2 x + 4 y2 y = 4 上,因此有 x1 xE + 4 y1 yE = 4,x2 xE + 4 y2 yE = 4 .
故点 M、N 均在直线 xE x + 4 yE y = 4 上,因此直线 MN 的方程为 xE x + 4 yE y = 4 .

1 4 1 1 SOGH = i OQ i yG yH = i + 2 xE xE + 2 y E xE 2 y E
=

2x 4 i 2 E 2 = 2. xE xR 4 y E

解法二:设 E ( xE , y E ) ,由方程组

x1 x + 4 y1 y = 4, x2 x + 4 y2 y = 4,

解得 xE =

4( y2 y1 ) x1 x2 , yE = . x1 y2 x2 y1 x1 y2 x2 y1 y2 y1 x = E . x2 x1 4y E

因 x2 ≠ x1 ,则直线 MN 的斜率 k =

故直线 MN 的方程为 y y1 =

xE ( x x1 ) , 4y E

注意到 x1 xE + 4 y1 yE = 4 ,因此直线 MN 的方程为 xE x + 4 yE y = 4 . 下同解法一. (本题 (21) 本题 12 分) ) ( (Ⅰ)解法一:由 a1 = 1, a2 = ca1 + c i3 = 3c + c = (2 1)c + c,
2 2 2 2

a3 = ca2 + c3 i5 = 8c3 + c 2 = (32 1)c3 + c 2 , a4 = ca3 + c 4 i7 = 15c 4 + c 3 = (4 2 1)c 4 + c3 ,
猜测 an = ( n 1)c + c
2 n n 1

, n ∈ N +.

下用数学归纳法证明. 当 n=1 时,等式成立;

因此 an = ( n 1)c + c
2 n

n 1

, n ≥ 2.又当n = 1时上式成立, ,n∈ N +.

因此 an = ( n 1)c + c
2 n

n 1

(Ⅱ)解法一:由 a2 k > a2 k 1, 得

[(2k )2 1]c 2 k + c 2 k 1 > [(2k 1) 2 1]c 2 k 1 + c 2 k 2 ,

易知 lim ck = 1,
k →∞

又由 (4k 4k 1) + 4(4k 1) <
2 2 2

(4k 2 1) 2 + 4(4k 2 1) + 4 = 4k 2 + 1 ,知

(4k 2 4k 1) + 4k 2 + 1 8k 2 4k ck < = < 1, 2(4k 2 1) 8k 2 2
因此由 c > ck 对一切 k ∈ N 成立得 c ≥ 1. 又 ck ′ =
+

2 (4k 4k 1) + (4k 2 4k 1) 2 + 4(4k 2 1)
2

< 0, 易知 ck ′ 单调递增,故

ck ′ ≥ c1′ 对 一 切 k ∈ N + 成 立 , 因 此 由 c < ck ′ 对 一 切 k ∈ N + 成 立 得
1 + 13 c < c1′ = . 6
从而 c 的取值范围为 (∞, 解法二:由 a2 k > a2 k 1, 得

1 + 13 ) ∪ [1, +∞) . 6

[(2k )2 1]c 2 k + c 2 k 1 > [(2k 1) 2 1]c 2 k 1 + c 2 k 2 ,
因 c 2 k 2 > 0, 所以 4(c 2 c )k 2 + 4ck c 2 + c 1 > 0 对 k ∈ N 恒成立. 记 f ( x ) = 4(c 2 c ) x 2 + 4cx c 2 + c 1, 下分三种情况讨论. (i) (ii) 当 c c = 0 即 c = 0 或 c = 1 时,代入验证可知只有 c = 1 满足要求.
2

+

当 c c < 0 时, 抛物线 y = f ( x) 开口向下, 因此当正整数 k 充分大时, f ( k ) < 0 ,
2

不符合题意,此时无解.

(iii)

当 c c > 0 即 c < 0或 c > 1 时,抛物线 y = f ( x) 开口向上,其对称轴 x =
2

1 2(1 c)

必在直线 x = 1 的左边.因此 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上是增函数. 所以要使 f ( k ) > 0 对 k ∈ N 恒成立,只需 f (1) > 0 即可,
+


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