(数学)2017-2018学年江苏省包场高级中学高二5月月考数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018 学年江苏省包场高级中学高二 5 月月考文科数学 5.24
编制人:陈晓娟 一、填空题 1、已知复数 z 满足(1﹣i)z=2i,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 2. p : x ? 2 或 y ? 4 是 q : x ? y ? 6 的 不充分,充要,既不充分也不必要) 3.某学校共有师生 2 400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本,已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 ▲ .



条件. (四个选一个填空:充分不必要,必要

4.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、 “手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这 个人胜出;其他情况,不分胜负,则一次游戏中甲胜出的概率是 5.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为 6.若|a|=1,| b |=2,a 与 b 的夹角为 60° , 若(3 a+5 b)⊥(m a-b),则实数 m 的值为 ▲ . ▲ . T=3i-1 S=S+T i= i+1 i>5? 是 输出 S 结束 否 ▲ . 开始

S=0,i=1

π π 3π 7. 已知函数 f(x)= 2sin?2x- ?,x∈R,若 f(x)在区间? , ?上的最大值和最小 4? 4 ? ? ?8 值分别为 a,b,则 a+b 的值为________.

8.在棱长为 2 的正方体内随机取一点,取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率 9.已知函数 图象经过点 . (其中 ω∈(0,1) ) ,若 f(x)的 ,则 f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为 .

10.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题: ①若 ? / / ? ,则 l ? m ; ③若 l / / m ,则 ? ? ? ; 其中正确命题的序号是 ▲ ②若 ? ? ? ,则 l / / m ; ④若 l ? m ,则 ? / / ? . .

11. 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未 找到引用源。的面积为 .

1

?lnx+ ex-3,x≥1 12.已知函数 f (x)=? 2 有且仅有 2 个零点,则 a 的范围是 ?x +ax+2,x<1





13 .已知非零向量 为 .

满足

,则 与

夹角的余弦值

14.在平面内, AB ? AC ? BA? BC ? CA ? CB ? 6 ,动点 P,M 满足 AP ? 2

PM ? MC ,则 BM 的最大值是
二、简答题 15.已知命题 p:函数 f(x)=x3+ax2+x 在 R 上是增函数;命题 q:若函数 g(x) =ex﹣x+a 在区间[0,+∞)没有零点. (1)如果命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

?

2

16.设向量 (1)若 (2)若 ,求实数 x 的值; ,求函数 的值.

. (其中 x∈[0,π])

17 、 已 知 向 量 a ? (sin( x ? ? ),1) , b ? (1,cos( x ? ? )) (? ? 0,0 ? ? ? ) , 记 函 数
2 2 4
? ? ? ? 1 y ? f ( x) 的周期为 4,且经过点 M (1, ) . f ( x)? (a? b) ? (a? .若函数 b) 2

?

?

?

?

?

(1)求 ? 的值;

2

(2)当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x) 的最值.

18、如图,已知 A,B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处, 点 C 在 A 的正西方向 1km 处,tan∠BAN= ,∠BCN= ,现计划铺设一条电

缆联通 A,B 两镇,有两种铺设方案:①沿线段 AB 在水下铺设;②在湖岸 MN 上选一点 P,先沿线段 AP 在地下铺设,再沿线段 PB 在水下铺设,预算地下、 水下的电缆铺设费用分别为 2 万元∕km、4 万元∕km. (1)求 A,B 两镇间的距离; (2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?

19、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
3

+

=1(a>b>0)的离心率



,且右焦点 F 到左准线的距离为 6



(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A 为椭圆 C 的左顶点,P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点,直线 PA 交 y 轴于点 M,过点 F 作 MF 的垂线,交 y 轴于点 N. (i)当直线 PA 的斜率为 时,求△MFN 的外接圆的方程; (ii)设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q,求△PAQ 的面积的最大值.

x 20. 已知函数 f ? x ? ? e ?

a ? a ? R ? 是定义在 R 上的奇函数,其中 e 为自然对数的底数. ex

(1)求实数 a 的值;
2 (2)若存在 x ? ? 0, ??? ,使得不等式 f x ? x ? f ? 2 ? tx ? ? 0 成立,求实数 t 的取值范

?

?

围; (3)若函数 y ? e
2x

?

1 ? 2mf ? x ? 在 ? m, ??? 上不存在最值,求实数 m 的取值范围. e2 x

4

1. 23 6、 8

2. 【答案】必要不充分

3.150

1 4. 4

5.40

7、

2-1

8、1﹣

9、

10、①③

11、 【答案】

2 3 或 3 3
13、

12.a=2 2或 a<-3 15、

14、16

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 (1)如果命题 p 为真命题,则 f′(x)=3x2+2ax+1≥0 对 x∈(﹣∞,+ ∞)恒成立,进而得到实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则 p,q 一真一假,进而得到 实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)如果命题 p 为真命题, ∵函数 f(x)=x3+ax2+x 在 R 上是增函数, ∴f′(x)=3x2+2ax+1≥0 对 x∈(﹣∞,+∞)恒成立… ∴ …

(2)g′(x)=ex﹣1≥0 对任意的 x∈[0,+∞)恒成立, ∴g(x)在区间[0,+∞)递增 命题 q 为真命题 g(0)=a+1>0? a>﹣1… 由命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题知 p,q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 …

若 p 假 q 真,则 综上所述, …



【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)利用 ,列出方程即可求实数 x 的值;
5

(2)由已知条件 数关系来求 【解答】解: (1)∵ ∴ 又 ∴ (2)∵ ∴ ∴ 又 x∈[0,π]且 ∴ , .

和辅助角公式得到 的值.

.然后由同角三角函

, , ,



. , 即 .

? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? 17 解: (1) f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? sin 2 ( x ? ? ) ? cos2 ( x ? ? ) ? ? cos(? x ? 2? ) 2 2

………………4 分 由题意得:周期 T ?
2?

?

? 4 ,故 ? ?

?
2

………………6 分

1 ? 1 (2)∵图象过点 M (1, ) ,?? cos( ? 2? ) ? 2 2 2

即 sin 2? ?

1 ? ? ? ? ,而 0 ? ? ? ,故 2? ? ,则 f ( x) ? ? cos( x ? ) . ………………10 分 2 6 2 4 6

当 ?1 ? x ? 1 时, ?

?
3

?

?
2

x?

?
6

?

1 ? ? 2? ?? ? cos( x ? ) ? 1 3 2 2 6

1 1 ? 当 x ? ? 时, f ( x)min ? ?1 ,当 x ? 1 时, f ( x)max ? . 3 2

………………14 分

18、【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】(1)由 tan∠BAN= ,∠BCN= 系,然后利用直角三角形的性质求解; (2)方案①:总铺设费用为 5×4=20(万元). 方案②:设∠BPD=θ,则 ,其中 θ0=∠BAN, ,得到|AD|,|DB|、|AB|间的关

6

在 Rt△BDP 中, 则总铺设费用为 设 ,则



, . ,

,求出函数的极小值,即函数的最小值得答案. 【解答】解:(1)过 B 作 MN 的垂线,垂足为 D,如图示: 在 Rt△ABD 中, 所以 , , ,

在 Rt△BCD 中, 所以 CD=BD. 则 所以 CD=3,AD=4, 由勾股定理得, (km).

,即 BD=3,

所以 A,B 两镇间的距离为 5km.…(4 分) (2)方案①:沿线段 AB 在水下铺设时,总铺设费用为 5×4=20(万元).… (6 分) 方案②:设∠BPD=θ,则 在 Rt△BDP 中, 所以 则总铺设费用为 设 令 f'(θ)=0,得 θ f'(θ) ﹣ 0 +
7

,其中 θ0=∠BAN, , ,

. .…(8 分) ,则 ,列表如下: ,

f(θ)



极小值 .



所以 f(θ)的最小值为 所以方案②的总铺设费用最小为 而 ,

(万元),此时

. …(12 分)

所以应选择方案②进行铺设,点 P 选在 A 的正西方向 用最低.…(14 分)

km 处,总铺设费

19、【解答】解:(1)由题意可知:椭圆 C: 轴上, 由离心率 e= = ,则 a= c, =6 ,

+

=1(a>b>0)焦点在 x

由右焦点 F 到左准线的距离 c+ 解得:c=2 ,则 a=4,

由 b2=a2﹣c2=8, ∴椭圆的标准方程为: ; ,0),

(2)(i)由(1)可知:椭圆的左顶点(﹣4,0),F(2 设直线方程为:y= (x+4),即 y= x+2, 则 M(2,0), kMF= 直线 NF:y= =﹣ ,则 kNF= )= , ﹣4,则 N(0,﹣4),

(x﹣2

丨 MN 丨=6,则以 MN 为圆心(0,﹣1),半径为 3,即 x2+(y+1)2=9, (ii)设直线方程为:y=k(x+4),

8



,整理得:(1+2k2)x2+16k2x+32k2﹣16=0,

解得:x1=4,x2=

,则 y2=



则 P( ∴kMF= ∴kNF=

, =﹣

), k,由 M(0,4k),F(2 (x﹣2 ), ,0),

,则 NF:y=

则 N(0,﹣ ), 则直线 AN:y=﹣ ﹣ , )x2+ x+ ﹣16=0, ,
8k ), 1 ? 2k 2

代入椭圆方程:整理得:(1+ 解得:x1=-4,x2= ∴S= ,则 y2=

,则 Q(

?

32 k 1 32 32 PQ ? d ? ? ? ?8 2 2 1 2 1 ? 2k 2 2 ?2k k
x 20. 【 答 案 】( 1 ) 解 : 因 为 f ? x ? ? e ?

a 在定义域 R 上是奇函数,所以 es

?x ? R, f ? ? x ? ? f ? x ? ? e ? x ?

1 a a ? ? e x ? x 0 即 ? a ? 1? ? e x ? x ?x e e e ?

? ??0 恒 成 立 , 所 以 ?

a ? ?1 ,此时 f ? x ? ? e x ?
(2)

1 ex

2 2 因为 f x ? x ? f ? 2 ? tx ? ? 0 所以 f x ? x ? ? f ? 2 ? tx ?

?

?

?

?

a 2 在定义域 R 上是奇函数,所以 f ? x ? x ? ? f ? tx ? 2 ? s e 1 1 x x 又因为 f ? ? x ? ? e ? x ? 0 恒成立 所以 f ? x ? ? e ? x 在定义域 R 上是单调增函数 e e
x 又因为 f ? x ? ? e ?
2 所以存在 x ? ? 0, ??? ,使不等式 f x ? x ? f ? 2 ? tx ? ? 0 成立等价于存在 x ? ? 0, ??? ,

?

?

x 2 ? x ? tx ? 2 成立
9

所以存在 x ? ? 0, ??? ,使 ?t ?1? x ? x ? 2 ,即 t ? 1 ? x ?
2

2 2 又因为 x ? ? 2 2 ,当且仅 x x

当x?

2 时取等号

所以 t ? 1 ? 2 2 ,即 t ? 2 2 ? 1 注:也可令 g ? x ? ? x ? ?t ?1? x ? 2
2

①对称轴 x0 ?

t ?1 ? 0 时,即 t ? 1 2

g ? x ? ? x2 ? ?t ?1? x ? 2 在 x ? ? 0, ??? 是单调增函数的。由 g ? 0? ? 2 ? 0 不符合题意
② 对 称 轴 x0 ?
2 t ?1 ? 0 时 , 即 t ? 1 此 时 只 需 ? ? ? t ? 1? ? 8 ? 0 得 t ? 1 ? 2 2 或 者 2

t ? 1? 2 2
所以 t ? 1 ? 2 2 综上所述:实数 t 的取值范围为 t ? 1 ? 2 2 .

1 1? ? 1? 1? ? ? (3)函数 y ? e ? 2 x ? 2m ? e x ? x ? ? ? e x ? x ? ? 2m ? e x ? x ? ? 2 e e ? ? e ? e ? ? ?
2x
x 令t ? e ?

2

1 1 , t ? em ? m x e e

则y?e

2x

?

1 ? 2mf ? x ? 在 x ? ? m, ??? 不存在最值 e2 x

等价于 函数 y ? t 2 ? 2mt ? 2, 在 t ? ? e ?
m

? ?

1 ? , ?? ? 上不存在最值 m e ?
1 ? m 成立 em

m 由函数 y ? t 2 ? 2mt ? 2, 的对称轴为 t0 ? m 得: e ?
m 令 g ? m? ? e ?

1 1 m ?m 由 g? ? m? ? e ? m ?1 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 m e e 1 m 所以 g ? m ? ? e ? m ? m 在 m ? R 上是单调增函数 e

又因为 g ? 0? ? 0 ,所以实数 m 的取值范围为: m ? 0

10


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