高中数学复习方略课时提升作业:3.7正弦定理和余弦定理(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(二十三)

一、选择题

1.在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于( )

(A)30°或 60°

(B)45°或 60°

(C)120°或 60°

(D)30°或 150°

2.(2013·黄山模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

asinAsinB+bcos2A=a,则的值为( )

(A)2

(B)2

(C)

(D)

3.在△ABC 中,cos2=(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为

()

(A)等边三角形

(B)直角三角形

(C)等腰三角形或直角三角形 (D)等腰直角三角形

4.(2013·宝鸡模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,

且 C=60°,则 ab 的值为( )

(A)

(B)8-4

(C)1 (D)

5.若满足条件 C=60°,AB=,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( )

(A)(1,)

(B)(,)

(C)(,2)

(D)(1,2)

6.(2013·萍乡模拟)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB=BD,

BC=2BD,则 sinC 的值为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题

7.(2013·北京模拟)在△ABC 中,B=,AC=1,AB=,则 BC 的长为

.

8.(2013·南昌模拟)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

若+=6cosC,则+的值是

.

9.(2013·哈尔滨模拟)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

cosC=,·=,a+b=9,则 c=

.

三、解答题

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC.

(1)求角 C 的大小.

(2)求 sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

11.(2013·陕西师大附中模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的

对边,锐角 B 满足 sinB=.

(1)求 sin2B+cos2 的值.

(2)若 b=,当 ac 取最大值时,求 cos(A+)的值.

12.(能力挑战题)在△ABC 中,A,B,C 为三个内角,a,b,c 为三条边,<C<且=.

(1)判断△ABC 的形状.

(2)若|+|=2,求·的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 D.由已知得 sinB=2sinAsinB, 又∵A,B 为△ABC 的内角, 故 sinB≠0,故 sinA=, ∴A=30°或 150°. 2.【解析】选 D.由正弦定理得 sin2AsinB+sinBcos2A=sinA, 所以 sinB(sin2A+cos2A)=sinA, 故 sinB=sinA,所以=. 3.【思路点拨】将等式利用倍角公式及正弦定理转化为角的关系,再将 sinA 化为 sin(B+C)展开可解. 【解析】选 B.由已知及正弦定理得 2sinCcos2=sinA+sinC, 即 sinC(1+cosB)=sinA+sinC, 故 sinCcosB=sinA=sin(B+C), 即 sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC, 即 sinBcosC=0. 又∵sinB≠0,∴cosC=0, ∴C=,∴△ABC 为直角三角形. 【方法技巧】三角形形状判断技巧 三角形形状的判断问题是正、余弦定理应用的一个重要题型,也是高考的热 点问题.其基本技巧就是利用正、余弦定理实现边角互化,有时要利用三角恒 等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.

4. 【解析 】选 A.

依题意得

两式相减得

2ab=4-ab,得 ab=.

5.【解析】选 C.由

正弦定理得

=,

∴a=2sinA.

∵C=60°,∴0°<A<120°.

又∵△ABC 有两个,如图所示:

∴asin 60°<<a,

即<a<2.

6.【解析】选 D.设 BD=a,则由题意可得:BC=2a,AB=AD=a,

在△ABD 中,由余弦定理得:

cosA===,

所以 sinA==.

在△ABC 中,由正弦定理得=,

所以=,

解得 sinC=,故选 D.

7.【解析】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c.

由已知 B=,AC=b=1,AB=c=,

=,得 sinC==,

∴sinC=.

又 0<C<π,

∴C=或.

若 C=,则 A=,此时 a==2;

若 C=,则 A=π--=, 此时 A=B=,故 a=b=1. 答案:1 或 2 8.【思路点拨】利用特值代入法或将切函数化为弦函数,利用正、余弦定理 解题. 【解析】方法一:取 a=b=1,则 cosC=, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=,∴c=, 在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tanA=tanB=. 又 sinC=,tanC=2,∴+=4. 方法二:由+=6cosC, 得=6·, 即 a2+b2=c2, ∴+=tanC(+) ====4. 答案:4 9.【解析】由·=得 abcosC=, 即 ab=20. 又 a+b=9,故 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab =(a+b)2-ab=92-×20=36, 故 c=6. 答案:6 10.【解析】(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π,所以 sinA>0.

从而 sinC=cosC. 又 sinC≠0,故 cosC≠0, 所以 tanC=1, ∵0<C<π,∴C=. (2)方法一:由(1)知,B=-A, 于是 sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A) =sinA+cosA=2sin(A+). 因为 0<A<, 所以<A+<.从而当 A+=,即 A=时,2sin(A+)取最大值 2. 综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为 2,此时 A=,B=. 方法二:由(1)知,A=π-(B+) 于是 sinA-cos(B+)=sin(B+)-cos(B+)=2sin(B+). 因为 0<B<,所以<B+<. 从而当 B+=,即 B=时,2sin(B+)取最大值 2. 综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为 2,此时 A=,B=. 11.【解析】(1)∵锐角 B 满足 sinB=,∴cosB=. ∵sin2B+cos2=2sinBcosB+=2sinBcosB+ =2××+=. (2)∵cosB==, ∴ac=a2+c2-2≥2ac-2, ∴ac≤3,当且仅当 a=c=时,ac 取到最大值, ∴ac 取到最大值时,cosA=== =,

∴sinA===, ∴cos(A+)=cosAcos-sinAsin =×-×=. 12.【解析】(1)由=及正弦定理得: sinB=sin 2C, ∴B=2C 或 B+2C=π. 当 B=2C 时,由<C<得, π<B<π, ∴B+C>π(不合题意),∴B+2C=π, 又 A+B+C=π, ∴A+(π-C)=π,∴A=C, ∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵|+|=2, ∴a2+c2+2accosB=4. ∵a=c,∴cosB=, 而 cosB=-cos 2C, ∴<cosB<1,∴1<a2<, 又·=ac·cosB=a2·=2-a2, ∴<·<1, 即所求·的取值范围是(,1).

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