河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学上学期第三次月考试题A卷 理

河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期第三次月考试题 高二年级理科数学试题
考试时间 150 分钟 试题分数 120 分 一、 选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法中正确的是 A、 一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B、 “ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C、 “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2





D、 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 2.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin2 ax 的最小正周期为 ? ”的( A、必要不充分条件 C、充要条件 B、 充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件 ) )

3、设 ? ??0, ? ? ,则方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 不能表示的曲线为( A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

4、已知数列 an 中, a3 ? 2, a7 ? 1 ,且数列 ?

? ?

?

1 ? ? 是等差数列,则 a11 ? ( ? an ? 1 ?
D、



A、 ?

2 5

B、

1 2

C、 5

2 3

?x ? y ?1? 0 ? 5、已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x?0 ?





A、﹣2 B、﹣1 C、 1 D、 2 6、一个年级有 12 个班,每个班有 50 名同学,随机编号为 1-50,为了了解他们在课外的兴 趣 , 要 求 每 班 第 40 号 同 学 留 下 来 进 行 问 卷 调 查 , 这 里 运 用 的 抽 样 方 法 是 ( ) A、 抽签法 B、系统抽样法 C、随机数表法 D、分层抽样法 7、已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为 m
D、





A、

30 6

B、 7

C、

30 或 7 6

5 或7 6
( )

8、两直线 ax ? y ? 2a ? 0 和 (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则 a ? A. 1 B. ?

1 3

C. 1 或 0

D. ?

1 1 或 5 3
1

9、若框图所给的程序运行结果为 S =90.那么判断框中应填人后 的条件是 A、k=9 B、k≤8 C、k<8 D、k>8 ( )

10、在 ?ABC 中,若 b ? 2, A ? 1200 ,三角形的面积 S ? 3 ,则 三角形外接圆的半径为( A. 3 B.2 ) C. 2 3 D.4

11、过双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与 a 2 b2

双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点, 则双曲线离心率的取值范围是 A、 (1, ) B、 (1, +1) C、 ( +1, ( ) ) D、 ( , )

12、点 P 到点 A( ,0), B ( a , 2) 及到直线 x ? ? 个,那么 a 的值是 ( A、 )

1 2

1 的距离都相等,如果这样的点恰好只有一 2

1 2

B、

3 2

C、

1 3 或 2 2

D、 ?

1 1 或 2 2

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(﹣4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,则 25 9

=



? 2x ? 1? x ? 0? ? 14、已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有 3 个零点,则实 ? ?? x ? 2 x ? x ? 0?
数 m 的取值范围是 .

2 x 15、已知命题 p : ?x ??0,1? , a ? e ,命题 q : ?x ? R, x ? x ? a ? 0 ,若命题 p ? q 是真命

题,则实数 a 的取值范围是__________.

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 16、已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(1,-1) ,点 N(x,y)的坐标 x,y 满足 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? y ? 1. ?
则 OM ? ON ? 0 的概率为_________.
2

???? ? ????

三、 解答题(本题共 6 道小题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分) 17、 (本小题 10 分) 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件, 求 a 的取值范围 。

18、 (本小题 12 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .已知

sin B ? 2sin(

?
4

? B )sin(

?
4

? B)

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

19、 (本小题 12 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2 ? a ? 2 ? x ? b ? 16 ? 0 .
2 2

(1)若 a、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈[2,4],b∈[0,6],求方程没有实根的概率.

20、 (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 且 bc ? 0 ). (Ⅰ)若 | f (0) |?| f (1) |?| f (?1) |? 1 ,试求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)令 g ( x) ? 2ax ? b ,若 g (1) ? 0,又 f ( x) 的图像在 x 轴上截得的弦的长度为 l ,且
0 ? l ? 2 ,试比较 b 、 c 的大小.

3

21、 (本小题 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 MP 与 y

NP 的斜率之积等于 ?

1 . 3
O 3 x

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 MP 和 NP 与直线 x ? 3 分别交于 A, B 两点, 问:是否存在点 P 使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

22、 (本小题 12 分) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 )到定 点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

??? ? ??? ? (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 不同的两点,求 OA ? OB 的值;
(3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0 ,求 ON 的取值范围. 高二理科数学答案 A 卷:D B C B D B C C D B D D B 卷:A B C C D C B B C C B C 13、 14、 (0,1) ;15、

???? ? ???? ?

????

1 1 ? a ? e ;16、 4 4

17、.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

?

?

2分 4分

q : x2 ? 2x ? 1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a,

记B ? ?x | x ? 1? a, 或x ? 1? a?

4

而 ?p ? q,? A

B,

?1 ? a ? ?2 ? 即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 ?a ? 0 ?
18、

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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10 分

19、解:设“方程有两个正根”的事件为 A, (1)由题意知本题是一个古典概型用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知,基本事件(a,b)的总数有 36 个, 二次方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +16=0 有两正根,等价于
2 2

,即



则事件 A 包含的基本事件为(6,1) 、 (6,2) 、 (6,3) 、 (5,3)共 4 个 ∴所求的概率为 P(A)= ; (2)由题意知本题是一个几何概型, 试验的全部结果构成区域 Ω ={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6}, 其面积为 S(Ω )=12 满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6, (a﹣2) +b <16}, 如图中阴影部分所示, 其面积为 S(B)= ∴所求的概率 P(B)= + . = 12 分
2 2

6分

5

20、解: (Ⅰ)由已知 | f (0) |?| f (1) |?| f (?1) |? 1 ,有
| a ? b ? c |?| a ? b ? c |? (a ? b ? c)2 ? (a ? b ? c)2 ,得 4b(a ? c) ? 0 .

∵ bc ? 0 ,∴ b ? 0 ,∴ a ? c ? 0 ,由 a ? 0 知, c ? 0 , ∵ | c |? 1 ,∴ c ? ?1. 则 a ? 1, b ? ?1 .∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 或 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 . 6分

(Ⅱ) g ( x) ? 2ax ? b ,由 g (1) ? 0 且 a ? 0 ,知 2a ? b ? 0, b ? 0 且 a ? 0 , 设方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ? ? 2 , x1 x2 ? , ∴ | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 4 ? 由已知 0 ?| x1 ? x2 |? 2 ,∴ 0 ?
c ?1. a
c , a

b a

c a

又∵ a ? 0 , bc ? 0 ,∴ c ? 0 ,又 b ? 0 ,∴ c ? 0 ? b .

12 分 y B M O N P A 3

21、21、(Ⅰ) ∵点 N 与 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称,∴点 N ?1,?1? , 设 P?x, y ?,∵直线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ? ∴

1 , 3

y ?1 y ?1 1 ? ? ? ,化简得 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x ?1 x ?1 3

?x ? ?1? ,

∴动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 4

?x ? ?1? .

x

(Ⅱ)法一:设存在点 P?x0 , y0 ? ,使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等, ∴

1 1 PA ? PB sin ?APB ? PM ? PN sin ?MPN , 2 2

∵ sin ?APB ? sin ?MPN ? 0 , ∴ PA ? PB ? PM ? PN , 即
2 2 ∵ x0 ? 3 y0 ? 4 , ∴ y0 ? ?

PA PM

?

PN PB





3 ? x0 x0 ? 1

?

x0 ? 1 3 ? x0

,解得 x0 ?

5 , 3

法二:设 P ? x0 , y0 ? , A ? 3, y1 ? , B ?3, y2 ?

33 , 9

5 33 ). ∴满足条件的点 P 为 ( ,? 3 9

x0 ? 4 y 0 ? 3 ? y1 ? 1 y 0 ? 1 ? ? 4 ? x ?1 ? y1 ? x0 ? 1 ? ? 0 ∴? ,解得 ? , ? y2 ? 1 ? y0 ? 1 ? y ? 2 y 0 ? x0 ? 3 2 ? ? x0 ? 1 x0 ? 1 ? 2 ?
∴ AB ? y1 ? y2 ?

? 2 x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
2 x0 ?1



6

∵ S?PAB ? S?PMN , MN ? 2 2 ,又点 P 到直线 MN 的距离 d ? ∴

x0 ? y0 2



1 1 3 ? x0 y1 ? y2 ? MN d , 2 2

∴ 3 ? x0

? 2 x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
x ?1
2 0

? 2 ? x0 ? y0 ? ,
33 , 9

? x0 ? 3? ∴
x ?1
2 0

2

? 1 ,解得 x0 ?

5 , 3

2 2 ∵ x0 ? 3 y0 ? 4,

∴ y0 ? ?

5 33 ). ∴满足条件的点 P 为 ( ,? 3 9

(1)依题意知,动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离等于 P 到直线 x ? ?1 的距离, 曲线 C 是以原点为顶点, F (1, 0) 为焦点的抛物线 ∵

p ? 1∴ p ? 2 2

∴ 曲线 C 方程是 y 2 ? 4 x

(2 分)

(2)当 l 平行于 y 轴时,其方程为 x ? 1 ,由 ?

? x ?1 解得 A(1, 2) 、 B(1, ?2) 2 ? y ? 4x
(4 分)

??? ? ??? ? 此时 OA ? OB=1 ? 4= ? 3
当 l 不平行于 y 轴时,设其斜率为 k ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 1) 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 k2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? 1 , x1 +x2 ?

∴ OA ? OB=x1 x2 ? y1 y2 =x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

??? ? ??? ?

=1+k 2 ? k 2 ?

2k 2 ? 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ? ?3 2 k
∴ OM ? (

(6 分)

(3)设 M (

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y2 ) 4 4

???? ?

???? ? y12 y 2 ? y12 , y1 ), MN ? ( 2 , y2 ? y1 ) 4 4

???? ? ???? ? ∵ OM ? MN ? 0

2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∴ 16

∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 y 2 ? ?( y1 ?

16 ) y1

(8 分)

7

2 ∴ y2 ? y12 ?

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12 256 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y12

(10 分)

2 当且仅当 y1 ?

2 y2 1 2 2 2 )2 ? y2 ? ( y2 ? 8)2 ? 64,又 ? y2 ? 64 4 4 ???? ???? 2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8 , | ON |min ? 8 5,故 | ON | 的取值范围是 [8 5,??) (12 分)

∵ | ON |? (

????

8


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