湖南省株洲市二中2010届高三考试卷(第一次月考)文科数学试题

湖南省株洲市二中 2010 届高三考试卷 (第一次月考)文科数学试题 时量:120 分钟 分值:150 分

一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出了四个选项只有一个符 合题目要求. 1、函数 y =

x( x ? 1) + x 的定义域为(

) D. x | 0 ≤ x ≤1

A. x | x ≥ 0

{

}

B. x | x ≥1

{

}


C. {x | x ≥ 1或x = 0}

{

}

x2 2、抛物线 y = 的焦点坐标是( 4
A. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

B. ?

?1 ? ,0? ? 16 ?

C.

( 0,1)

D. (1, 0 ) )

3、下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( A. y = ? log 2 x( x > 0) C. y = 3x ( x ∈ R ) B. y = x3 + x( x ∈ R ) D. y =

1 ( x ≠ 0) x

2

4、设 a, b ∈ R, 且 b ≠ 0 ,若复数 ( a + bi ) 2 ∈ R ,则这个实数必为( A. a + b
2 2

B. a ? b
2

2

C. b

2

D. ?b

5、已知集合 A = y | y = x 2 + 2 x ? 3 , B = ? y | y = x + A. A ? B 6、设函数 f ( x) = ? B. A ? B C. A = B

{

}

? ?

1 ? , x > 0 ? ,则有( x ?



D. A ∩ B = ?

? x 2 + bx + c, x ≤ 0 ?2, x > 0
) C.1

,若 f ( ?4) = f (0), f ( ?2) = ?2 ,则关于 x 的方程

f ( x) = x 的解的个数为(
A. 4 B.2

D.3 ( D.3 )

7、直线 3 x ? 4 y ? 15 = 0被圆x 2 + y 2 = 25 截得的弦长为 A.8
0.3 2

B.6
2

C.4

8、设 a = 2 , b = 0.3 , c = log x ( x + 0.3) ( x > 1) ,则 a、b、c 的大小关系是 ( ) A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. b < a < c

二、填空题:本题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分. 9、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两

人这几场比赛得分的中位数之和是

; ;

10、等比数列 {a n } 中 an > 0 ,且 a5 ia6 = 9 ,则 log 3 a2 + log 3 a9 = 11、椭圆 ?

? x = 3cos θ ( θ 为参数)的离心率是_______ ? y = 4 sin θ



12、在平行四边形 ABCD 中, AB = a , AD = b , AN = 3 NC ,M 为 BC 的中点,则

MN = __________(用 a , b 表示) ;
13、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 ( x ≠ 0) ,若当 x ∈ (0, +∞ ) 时, f ( x ) = lg x ,则满足

f ( x) < 0 的 x
的取值范围是 ;

14、在 △ ABC 中, tan A =

1 3 , tan B = .则角 C = 4 5

; 开始

15、下图给出一个程序框图,其运行结果是____________ . S=0

i=2

i<12 ? 是 S=S+i



输出 S

i=i+2 (第 15 小题) 三、解答题:本题共 6 个小题,共 75 分. 16、 (本题 12 分)设集合 A = x x 2 < 4 , B = ? x 1 <

结束

{

}

? ?

4 ? ?. x + 3?

(1)求集合 A ∩ B ; (2)若不等式 2 x + ax + b < 0 的解集为 B ,求 a , b 的值.
2

17、 (本题 12 分)已知 cos(π + α ) = ? (1)求 sin( ?α ) 的值;

3 ,且 sin 2α < 0 2
(2)求 cos 2α ? cos(

π
6

+ α ) 的值.

18、 (本小题 12 分)某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周日的值班 任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人) . (1)共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少?

19、 (本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、 F 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)当 PA=AB=AD 时,求二面角 F—AB—C 的度数.

20、 (本小题满分 13 分)已知一椭圆经过点(2,—3)且与椭圆 9x 2 + 4 y 2 = 36 有共同的 焦点

(1)求椭圆方程; (2)若 P 为椭圆上一点,P、 F1 、 F2 是一个直角三角形的顶点,且 | PF1 |>| PF2 | ,求

| PF1 |:| PF2 | 的值.

21、(本题 14 分) 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx 满足条件: ① f (0) = f (1) ; ② f ( x ) 的 最小值为 ?

1 . 8

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

?4? (2)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,且 Tn = ? ? ?5?

f (n)

,求数列 {an } 的通项公式;

(3)在(2)的条件下, 若 5 f ( an ) 是 bn 与 an 的等差中项,,试问数列 {bn } 中第几项的值最 小? 求出这个最小值.

数学参考答案(文科)

1. C 11.

2. C

3. B 12.

4. D

5.A 13.

6.D

7. A

8. B 14.

9. 63

10. 2 15. 30

7 4

(b ? a )
4

( ?∞, ?1) ∪ (0,1)

135°

16、解:解: A = x x 2 < 4 = x ? 2 < x < 2 ,……3 分

{

} {
}

}

? ? 4 ? ? x ?1 B = ?x 1 < < 0? = {x ? 3 < x < 1} ,… ? = ?x x + 3? ? x + 3 ? ?
(1)∴ A ∩ B = x ? 2 < x < 1 ;….

6分

{

8 分

(2)因为 2 x + ax + b < 0 的解集为
2

B = {x ? 3 < x < 1},所以 ? 3和1 为 2 x 2 + ax + b = 0 的两根,………
? a ? ? 2 = ?3 + 1 ? 故? ,所以 a = 4 , b = ?6 .……………… ? b = ?3 × 1 ?2 ?

10 分

…………. 12 分

17.解: (1)由 cos(π + α ) = ? cos α = ?

3 3 ,得: cos α = …………………1 分 2 2

又 sin 2α = 2sin α cos α < 0 , cos α > 0 ………3 分 ∴ sin α < 0 , sin α = ? 1 ? cos α = ?
2

1 ………5 分 2

因此 sin( ?α ) = ? sin α = (2) cos 2α ? cos(

π
6

1 ……6 分 2

+ α ) = 2 cos 2 α ? 1 ? (cos α cos

π

? sin α sin ) ……8 分 6 6 = 1 1 ? 1 = ? ……12 分 2 2

π

3 3 3 1 1 = 2 × ?1 ? [ i ? ( ? )i ] ……10 分 4 2 2 2 2

18. 解: (Ⅰ)安排情况如下:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁, 丁甲,丁乙,丁丙

∴ 共有 12 种安排方法.

……………4 分

(Ⅱ)甲、乙两人都被安排的情况包括: “甲乙”“乙甲”两种, ,

∴ 甲、乙两人都被安排(记为事件 A )的概率: P ( A) =

2 1 = 12 6

……………8 分

(Ⅲ) “甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是互斥 事件,∵ 甲、乙两人都不被安排的情况包括: “丙丁”“丁丙”两种, 则“甲、乙两人 , 都不被安排”的概率为

2 1 = …………10 分 12 6

∴ 甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件 B )的概率:

P( B) = 1 ?

1 5 = .…12 分 6 6 1 CD,又 CD 2

19.证明(1)取 PO 中点 H,连 FH,AH 则 FH 平行且等于

平行且等于 AB,E 为 AB 中点,∴ FH 平行且等于 AE∴ AEFH 为平行四 边形,从而 EF∥AH,又 EF ? 平面 PAD,AH ? 平面 PAD,所以 EF∥平 面 PAD; .… 4 分

(2) PA⊥平面 ABCD, PA⊥CD,又 CD⊥AD∴ CD⊥平面 PAD, AH ? 平面 PAD, ∴ CD ∵ ∴ 又 ⊥AH,而 AH∥EF,∴ CD⊥EF. .…8 分

(3)由 CD⊥平面 PAD,CD∥AB,∴ BA⊥平面 PAD, ∴ BA⊥AH, BA⊥DA, ∴ ∠HAD 即 为二面角 F—AB—C 的平面角,由 PA=AB=AD,易知 ∠HAD = 45 ,即为二面角 F—AB
0

—C 的度数是 45 .…12 分

0

20. ( 1 ) ∵ 9 x + 4 y = 36 ∴ a = 3, b = 2, c =
2 2

5 与之有共同焦点的椭圆可设为

x2 y2 + = 1(m > 0) 代入(2,—3)点, m m+5
解得 m=10 或 m= —2(舍) ,故所求方程为 (2)1、若∠PF2 F1 = 90 则
0

x2 y 2 + = 1 .…6 分 10 15

| PF2 |=

10 2 2 4 b2 = = 15 ∴| PF1 |= 2a ? | PF2 |= 2 15 ? 15 = 15 a 3 3 15 3





| PF1 |:| PF2 |= 2 .…10 分 ?| PF | + | PF |= 2 15 ? 1 2
2 2 ( 2 ?| PF1 | + | PF2 | = 2c) = 20 ?

2、若∠F1 PF2 = 90 ,则 ?
0

?a+b=2 15 ? ? a 2 + 2 15 ? a ? 2 2 ?a + b = 20 ?

(

)

2

= 20 ∵△< 0∴ 无解,即这样的三角形不存在,综合 1,2

知 | PF1 |:| PF2 |= 2 .…13 分

? 1 ? ?a + b = 0 ?a = 2 ? 1 2 1 ? ? 21、解: (1) 由题知: ? a > 0 , 解得 ? , 故 f ( x ) = x ? x .…3 分 2 2 ? b2 ?b = ? 1 1 ? ?? ? 2 =? ? 4a 8 ? ?4? (2) Tn = a1a2 ? an = ? ? ?5?
n2 ? n 2

?4? ,……5 分 Tn ?1 = a1a2 ? an ?1 = ? ? ?5?
……7 分
n ?1

( n ?1) 2 ? ( n ?1) 2

(n ≥ 2) ,

T ?4? ∴ an = n = ? ? Tn ?1 ? 5 ?
又 a1 = T1 = 1 满足上式.

n ?1

(n ≥ 2) ,

?4? 所以 an = ? ? ?5?

(n ∈ N ? ) ……………………8 分

(3) 若 5 f ( an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 × 5 f ( an ) = bn + an , ………………9 分 从而 10( an ?
2

1 2

1 an ) = bn + an , 2

得 bn = 5an ? 6an = 5(an ? ) ?
2 2

3 5

9 .……10 分 5

因为 an = ?

?4? ? ?5?

n ?1

(n ∈ N ? ) 是 n 的减函数, 所以

3 5 3 ? 当 an < , 即 n ≥ 4(n ∈ N ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 ….12 分 5
当 an ≥ , 即 n ≤ 3(n ∈ N? ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 又 a3 ?

3 3 < a4 ? , 所以 b3 < b4 , 5 5
2

2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 = 5 ?? ? ? ? 6 ? ? = ? . ……………14 分 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ?


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