人教版高中数学选修《柯西不等式、排序不等式及应用》ppt课件_图文

柯西不等式、排序不等式及应用 1.已知 m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为 ( B ) A.2 C.8 B.4 D.16 解析:由柯西不等式, (mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16, 得|mt+ns|≤4, 当且仅当 ms=nt 时等号成立,故选 B. 2. 若 a=(- 2, 1, 6), |b|=6, 则 a· b 的最小值为 此时,b= . ; 解析:因为|a· b|≤|a||b|=18,所以-18≤a· b≤18, 所以 a· b 的最小值为-18, 此时 b=-2a=(2 2,-2,-2 6). 3 . 已 知 0<x<1,0<y<1 , 则 函 数 f(x) = ?1-x?2+?1-y?2的最小值是 . x2+y2 + 解析:由三角不等式, x2+y2+ ≥ ?1-x?2+?1-y?2 [x-?x-1?]2+[y-?y-1?]2= 2, 当且仅当 x=1-x,y=1-y, 1 1 即 x=2,y=2时,等号成立. 故 f(x)的最小值为 2. 1 1 1 4.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则 + + 的 a b c 最小值是 . 1 1 1 解 析 : 因 为 (a + b + c)( + + )≥( a b c 1 2 c· ) =9. c 1 1 1 又 a+b+c=1,所以 + + ≥9, a b c 1 当且仅当 a=b=c= 时等号成立, 3 1 1 1 故 + + 的最小值为 9. a b c 1 a· + a 1 b· + b 5.(改编)设 x1,x2,x3,x4 是 2,3,4,5 的任一排列,则 2x1+3x2+4x3+5x4 的最小值是 . 解析: 反序和最小,即最小值为 2×5+3×4+4×3+ 5×2=44. 一 利用柯西不等式和排序不等式求最值 【例 1】(1)已知实数 x,y,z 满足 x2+2y2+3z2=3,求 u=x+2y+3z 的最小值和最大值; (2)设 a1,a2,a3,a4,a5 是互不相同的正整数,求 M a2 a3 a4 a5 =a1+ 2+ 2+ 2+ 2的最小值. 2 3 4 5 解析:(1)因为(x+2y+3z)2 =(x· 1+ 2y· 2+ 3z· 3)2 ≤[x2+( 2y)2+( 3z)2]· [12+( 2)2+( 3)2] =(x2+2y2+3z2)(1+2+3) =18. x 2y 3z 当且仅当 = = ,即 x=y=z 时,等号成立. 1 2 3 所以-3 2≤x+2y+3z≤3 2, 即 u 的最小值为-3 2,最大值为 3 2. (2)设 b1,b2,b3,b4,b5 是 a1,a2,a3,a4,a5 的一个 排列,且 b1<b2<b3<b4<b5. 因此 b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5. 1 1 1 1 又 1≥ 2≥ 2≥ 2≥ 2. 2 3 4 5 由排序不等式,得 a2 a3 a4 a5 a1+ 2+ 2+ 2+ 2 2 3 4 5 b2 b3 b4 b5 ≥b1+ 2+ 2+ 2+ 2 2 3 4 5 1 1 1 1 ≥1×1+2× 2+3× 2+4× 2+5× 2 2 3 4 5 1 1 1 1 =1+ + + + 2 3 4 5 137 = . 60 137 即 M 的最小值为 . 60 【拓展演练 1】 (1)(2013· 江苏省徐州市第一次调研 ) 函数 y = 4+2x的最大值为 ; 1-x + (2)(改编)设 a1,a2,…,an 为正数,且 a1+a2+…+an 2 2 2 a a2 a - a n 1 1 2 n =5,则 + +…+ + 的最小值为 a2 a3 an a1 . 解析:(1)因为 y2=( 1-x+ 2· 2+x)2 ≤[12+( 2)2][(1-x)+(2+x)] =3×3, 所以 y≤3,当且仅当 即当 x=0 时,ymax=3. 1 = 1-x 2 时取等号, 2+x (2)由所求代数式的对称性,不妨设 0<a1≤a2≤…≤an, 所以 2 2 a1 ≤a 2 ≤…≤ a 2 n, 1 1 1 ≥ ≥…≥ , a1 a2 an 1 1 1 1 1 1 1 1 而 , ,…, , 为 , , ,…, 的一个排列, a2 a3 an a1 a1 a2 a3 an 由乱序和≥反序和,得 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 a 1· + a 2 · + … + an-1 · + an · ≥a 1 · + a 2 · + … + a2 a3 an a1 a1 a2 2 1 an· , an 2 2 2 a a2 a - a n 1 1 2 n 即 + +…+ + ≥a1+a2+…+an=5, a2 a3 an a1 故所求最小值为 5. 二 利用柯西不等式证明不等式 【例 2】(2012· 福建省泉州市 3 月质量检查)已知函数 f(x) =|x-2|+|x-4|的最小值为 m,实数 a,b,c,n,p,q 满足 a2+b2+c2=n2+p2+q2=m. (1)求 m 的值; n4 p4 q4 (2)求证: 2+ 2+ 2 ≥2. a b c 解析:(1)f(x)=|x-2|+ |x-4|≥|(x-2)-(x-4)|=2, 当且仅当 2≤x≤4 时,等号成立,故 m=2. n2 2 p2 2 q2 2 (2)证明:[( ) +( ) +( ) ]· (a2+b2+c2) a b c n2 p2 q2 2 ≥( · a+ · b+ · c) , a b c n4 p4 q4 即( 2+ 2+ 2)×2≥(n2+p2+q2)2=4, a b c n4 p4 q4 故 2+ 2+ 2≥2. a b c 【拓展演练 2】 (2012· 江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x,y,z

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