基本不等式(1)_图文

基本不等式

创设引入
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个平面图 并从你所拼出的图形中找出相等或不等关系 形?

赵爽弦图

新课探究
探究:
D D

a 2 ? b2
a G F b a

C

A

A

H

E

E(FGH)

b

C

B B

结论: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2 当且仅当a=b时,等号成立.

a ? b ? 2ab

新课
重要不等式: 2 a

? b ? 2ab(a、b ? R)
2

当且仅当a=b时,等号成立.

a?b 基本不等式: ? ab (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a =b时,等号成立.

回顾 不等式的证明方法. 证明 基本不等式.

新课
基本不等式的几何意义: a?b D ? ab (a ? 0, b ? 0) 2

A

a

E

B b

C

半径不小于半弦

提高
a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 对基本不等式的理解 2 均值不等式 (1)几何解释:半径不小于半弦;

(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数. (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项; (4) 成立的条件

例题讲解
例1 已知x,y都是正数,求证:

x y ? ?2 y x

变式思考1:已知x,y是任意非零实数,上 面结论是否成立?

1 ?3 变式思考2:已知x>1,求证: x ? x ?1

例题讲解 例2: (1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少?

结论1:两个正数的积为定值,则和有最小值, 当且仅当两值相等时取最值。

例题讲解
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少?

结论2:两个正数的和为定值,则积有最大值, 当且仅当两值相等时取最值。

例题结论 应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小 和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

思考
1 x 最小值? ? x

1.已知x>0,求函数 y=

1 1 2.已知a>0,b>0且a+2b=1,求t= ? 的最小值 a b

小结与作业
1.知识小结 :

a?b ( a, b ? R ? ) 认识了基本不等式 ab ? 2 以及它的几何意义,简单应用(不 等式的简单应用:主要在于求最 值 把握 “七字方针” 即 “一正, 二定,三相等”.)
2.思想方法小结:数形结合.

P100 A组1、2


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