第四课 柯西不等式

第三讲

柯西不等式与 排序不等式

一 二维形式的 柯西不等式

定理1(二维形式的柯西不等式):

若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗?

推论
a ? b ? c ? d ? ac ? bd
2 2 2 2 2 2 2 2

a ? b ? c ? d ? ac | ? | bd
(a ? b) ? (c ? d ) ? ( ac ? bd ) (a, b, c, d为非负实数)。
2

?? ? 向量形式: m ? (a, b), n ? (c, d ) ?? ? ?? ? m ? n ?| m | ? | n | cos ? ?? ? m ? n ? ac ? bd ?? 2 2 | m |? a ? b ? 2 2 | n |? c ? d ? ? ? ? ? ? ? ? ? | m ? n |?| m | ? | n | ? | cos ? |?| m | ? | n |
? ? ? ? ? ? ? m ? n |?| m | ? | n | |
2 2 2

ac ? bd ? a ? b ? c ? d

2

定理2: (柯西不等式的向量形式)

| ? ? ? |?| ? | | ? |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.

观 察

y

P1(x1,y1)

y P1(x1,y1) 0

0

P2(x2,y2) x

x P2(x2,y2)

根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:

x ? y ? x ? y ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2

2

定理3(二维形式的三角不等式) 设 x , y , x , y ? R ,那么 1 2 1 2

x ? y ? x ? y ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2

2

例题
例1.已知a,b为实数,证明:

(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2

例2.求函数y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x的最大值.

例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 1 ? ? 4 a b

注意应用公式: 1 1 ( a ? b )( ? )? 4 a b

练习:
1.已知2x ? 3 y ? 6,
2 2

求证x ? 2 y ? 11 2.已知a ? b ? 1,
2 2

求证|a cos ? ? b sin ? |? 1

作业

第37页,第1,5,6题

二 一般形式的 柯西不等式

二维形式的柯西不等式): (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

三维形式的柯西不等式):

(a ? a ? a ) ? (b ? b ? b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

? ( a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )

2

n维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ... ? an ) ? (b1 ? b2 ? ... ? bn )
? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )
2

定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数,则
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ... ? an ) ? (b12 ? b2 ? ... ? bn )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2

当且仅当 bi ? 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 ai ? kbi (i=1,2,…,n) 时等号成立。 以上不等式称为一般形式的柯西不等式。

一般形式的三角不等式
x ?y ?z ?
2 1 2 1 2 1

x ?y ?z
2 2 2 2 2

2 2 2

?

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2 x12 ? x2 ... ? xn ? 2 2 y12 ? y2 ? ... ? yn

?

( x1 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? y2 ) 2 ? ... ? ( xn ? yn ) 2

( xi , yi ? R, i ? 1,2,...,n).

例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数,求证:

1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ... ? an ) ? a1 ? a2 ? ... ? an . n

例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数,证明:

a ? b ? c ? d >ab+bc+cd+da.
2 2 2 2

例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。

x ?y ?z
2 2

2

例4:设a、b、c为正数且各不相等。 求证: 2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c 1 1 1 证明: 2(a ? b ? c)( ? ? ? ) a?b b?c c?a 1 1 1 ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)]( ? ? ) a?b b?c c?a

? (1 ? 1 ? 1) ? 9
2

又a、b、c各不相等,故等号不能成立 ∴原不等式成立。

例5 若a>b>c 求证:

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c
1 1 1 1 证明: ? c)( (a ? ) ? [(a ? b) ? (b ? c)]( ? ) a ?b b?c a ?b b?c 2 ? (1 ? 1) ? 4

1 1 4 ? ? ∴ a?b b?c a?c

例6:若 a, b, c ? R ?

a b c 3 求证: ? ? ? b?c c?a a?b 2
分析:左端变形
a b c ?1? ?1? ?1 b?c c?a a?b

1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) b?c c?a a?b

9 ∴只需证此式 ? 2

即可

三 排序不等式

定理(排序不等式,又称排序定理) 设a1 ? a2 ? ... ? an,b1 ? b2 ? ... ? bn为两组 实数c1 , c2 ...cn是b1 , b2 ...bn的任一排列, 那么: a1bn ? a2bn ?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2 c2 ? ... ? an cn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anb.n 当且仅当a1 ? a2 ? ... ? an或b1 ? b2 ? ... ? bn时, 反序和等于顺序和。

反序和≤乱序和≤顺序和

例1 :有10人各拿一只水桶去接水,设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要 ti分,假定这些ti各不相同。 问:只有一个水龙头时,应该如何安排10 人的顺序,使他们等候的总时间最少? 这个最少的总时间等于多少?

解:总时间(分)是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式,当t1<t2<…<t9<t10时, 总时间取最小值。 即:按水桶的大小由小到大依次接水, 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10

例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数, 求证:

an a2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 2 3 n 2 3 n

证明:设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列, 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数, 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n. 又因 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 22 32 n2

由排序不等式,得:

an bn a2 a3 b2 b3 a1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? b1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2 ? 1 ? ? ? ... ? 2 3 n 2 3 n

练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数,证明: a1c1 ? a2c2 ? ... ? an cn ? a ? a ? ... ? a ,
2 1 2 2 2 n

其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。

练习
2.已知a, b, c为正数,用排序不等式证明 2(a ? b ? c ) ? a (b ? c) ? b (a ? c) ? c (a ? b).
3 3 3 2 2 2

练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数,求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 ? ? ? a1 ? a2 ? a3 . a3 a1 a2

练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数,试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ? ? ... ? ? ? a1 ? a2 ? ... ? an . a2 a3 an a1
2 1 2 2 2 n ?1 2 n


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