2013年泉州七中高三年第一次质检文科数学试卷


泉州七中 2013 届高三年第一次校质检数学试题(文)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh, 其中 S 为底面面积、h 为高; 命卷人:张丽英 黄永生 复核:黄永生

1 Sh, 其中 S 为底面面积、h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ? ?R , 其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ? 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是( A. 3 ? B. 3i C. ? 3i D. ? 3 ) 开始

2.在△ABC 中, a ? 3 , c ? A. 2 B. 2 2

6,B ?
C.

?
4

,则 b 的长为( ) 输入 x D.2 3

3

2 3.已知集合 M ? {x | x ? 5x ? 0} , N ? {x | p ? x ? 6} ,

y?

1 x ?1 2

则 M ? N ? {x | 2 ? x ? q} ,则 p ? q 等于( A.6 B. 7 C. 8

x? y


) D. 9 ) 是 D. a ? b ? 2ab
2 2

y ? x ? 1?

4.若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则下列不等式中恒成立的是( A. a ? b ? 2 ab

1 1 2 B. ? ? a b ab

b a C. ? ? 2 a b

输出 y

5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为(

) 结束 第 5 题图

5 A. ? 4

5 B. 4

1 C. ? 2

1 D. 2

6. m, n 是不同的直线, ?、? 是不重合的平面,下列命题为真命题的是( A.若 m∥? , m∥n, 则n∥? C.若 m⊥? , m∥? , 则?⊥? B.若 m⊥? , n⊥? ,则 n⊥ m 学科网 D.若 ?⊥? , m ? ? , 则m⊥? 学科网



? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有( ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
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A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.无数个 )

8.函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x 的图像大致是( 2

9. 给出下列四个命题: (1)命题“若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题为假命题;

(2)命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; (3)“ ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件; 3 ”; 2

(4)命题 p : “ ?x0 ? R ,使 sin x 0 ? cos x 0 ?

命题 q : “若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ”,那么 (?p) ? q 为真命题. 其中正确的个数是( )

A .4
2

B .3

C .2

D .1

10.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲 为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? A. 2 2 B.3

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点 4 5


2 AF ,则 A 点的横坐标为(
C. 2 3 D.4

11.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P , P 分别为线段 AB , BD1 (不包括端点)上的动点, 1 1 2 且线段 P 1 P2 平行于平面 A ADD1 ,则四面体 PP AB1 的体积的最大值是( ) 1 2 1 A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

12.已知数列 {an } (n∈N*)是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列,对于函数 y ? f ( x) ,若数列

{ln f (an )} 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”.现有定义在 (0, ??) 上的三个函数:
①f(x)= A.③④

1 ;②f(x)=ex ;③f(x)= x ;④f(x)=2 x , 则为“保比差数列函数”的是( x
B.①②④ C.①③④
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D.①③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置.

13.为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和 年教育支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据

? 得到 y 对 x 的回归直线方程: y ? 0.15x ? 0.2 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教
育支出平均增加____________万元. 14.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形, 俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为________________ 15.给定两个长度为 1 ,且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ,点 C 在以 O 为圆心、

| OA | 为半径的劣弧 AB 上运动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x 、 y ? R ,则
x 2 ? ( y ? 1) 2 的最大值为__
16 . 设 函 数 f ( x ) ? ? 为 .
x

____.

第 14 题 图

? x ? 2 ,  x ? 0, 则 方 程 f ( x) ? x 2 ? 1 的 实 数 解 的 个 数 ?? 2 sin 2 x, x ? 0.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要文字说明、证明过程演算步骤. 17.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是 0, 两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出的数字分别作为 点 P 的横坐标和纵坐标。 (1)求点 P 落在区域 C: x2 ? y 2 ? 10 内的概率; (2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撒一粒豆子,求豆 子落在区域 M 上的概率。 18.设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ? 10 . (1)求 {an } 的通项公式;(2)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin 列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 19. 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 菱 形 , ADNM 是 矩 形 , 平 面
N M P
2

? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数

ADNM ? 平面 ABCD , P 为 DN 的中点.
(1)求证: BD ? MC ; (2)在线段 AB 是是否存在点 E ,使得 AP //平面 NEC ,若存在,说明其位置, 并加以证明;若不存在,请说明理由.
A B

D

C

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20.某海域有 A 、 B 两个岛屿, B 岛在 A 岛正东 4 海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是 曲线 C ,曾有渔船在距 A 岛、 B 岛距离之和为 8 海里处发现过鱼群。以 A 、 B 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 (1)求曲线 C 的标准方程; (2)某日,研究人员在 A 、 B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的 探测信号(传播速度相同), A 、 B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号 的时间比为 5 : 3 ,能否确定 P 处的位置(即点 P 的坐标)? 21.已知函数 f ( x) ? e x ? ax, g ( x) ? e x ln x (1)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值。 (2)若对任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,确定实数 a 的取值范围。 (3)当 a ? ?1 时,是否存在实数 x0 ? [1, e] ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂 直?若存在,求出 x0 的值,若不存在,说明理由。 22. 随着私家车的逐渐增多,居民小区“停车难”问题日益突出.本市某居民小区为缓解“停车难”问题,拟 建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图. (1)按规定,地下停车库坡道口上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高, 请你根据该图所示数据计算限定高度 CD 的值.(精确到 0.1m) (下列数据提供参考: sin 20°=0.3420, cos 20°=0.9397, tan 20°=0.3640) (2)在车库内有一条直角拐弯车道,车道的平面图如图所示,设 ?PAB ? ? (rad) ,车道宽为 3 米,现有 一辆转动灵活的小汽车,其水平截面图为矩形,它的宽为 1.8 米,长为 4.5 米,问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道? 3米 F C O 3米 E D B
A y

?

O

?

B

x

1.8 米 θ A

P

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泉州七中 2013 届高三年第一次质检 数学(文) 一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 B 11 A 12 C 15、2 16.3

二、填空题:(每题 4 分,共 16 分)13、 0.15 ; 三、解答题:(共 74 分) 17、(满分 12 分)

14、 3 ;

.解: (1)以 0、2、4 为横、纵坐标的点 P 共有(0,0)(0,2)(0, 、 、

4)(2,0)(2,2)(2,4) 、 、 、 、

(4,0)(4,2)(4,4)9 个,而这些点中,落在域 C 内的点有: 、 、 (0,0) 、 (0,2)(2,0) 、 (4,2) (4,4)4,∴所求概率为 P=

4 ; 9

(2)? 区域 M 的面积为 4,而区域 C 的面积为 10 ? ,

? 所求概 率为 P ?
18、(满分 12 分)

4 2 ? 10? 5?

12 分

解:(1)设 ?an ? 的公差为 d ,则

? a1 ? 2 ? ? 2 ?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10 ?

解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)??5 分

所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n
2 (2)? y ? 4sin ? x ? 4 ?

????6 分

其最小正周期为

2? ? 1 ,故首项为 1;???7 分 2?
????8 分

1 ? cos 2? x ? ?2cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n?1

0 1 n ?1 ? 故 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 2n ? 3

?

? ?

?

?

2 ? 2n n ? ? 2 ? ? 11? 33 ?

n

? n2 ? n ?

1 1 n ? ?3 2 2

???12 分

19、(满分 12 分)

第 5 页 共 8 页

20、(满分 12 分) 解(1)由题意知曲线 C 是以 A 、 B 为焦点且长轴长为 8 的椭圆 又 2c ? 4 ,则 c ? 2, a ? 4 ,故 b ? 2 3

所以曲线 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 6分 16 12

(2)由于 A 、 B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 5 : 3 , 因此设此时距 A 、 B 两岛的距离分别比为 5 : 3 即鱼群分别距 A 、 B 两岛的距离为 5 海里和 3 海里。
2 2 设 P( x, y) , B(2,0) ,由 PB ? 3 ? ( x ? 2) ? y ? 3 ,

7分 8分

??x ? 2?2 ? y 2 ? 9 ? 2 y2 ?x , ?1 ? ? ? 16 12 ?? 4 ? x ? 4 ?

? x ? 2, y ? ?3 ? 点 P 的坐标为 ?2,3? 或 ?2,?3?
21、(满分 12 分)
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12 分

解: (1) f ?( x) ? e x ? a , 因此 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线的斜率为 e ? a , 又直线 x ? (e ? 1) y ? 1的斜率为 ∴( e ? a ) ? ∴

1 , 1? e

1 =-1, 1? e
…………….3 分

a =-1.

(2)∵当 x ≥0 时, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, ∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) ? e x , a 可为任意实数; 又当 x >0 时, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, 则a ? ?

ex ex (1 ? x)e x 恒成立, 设 h( x) = ? ,则 h?( x) = , x x x2

当 x ∈(0,1)时, h?( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增, 当 x ∈(1,+∞)时, h?( x) <0, h( x) 在(1,+∞)上单调递减, 故当 x =1 时, h( x) 取得极大值, h( x)max ? h(1) ? ?e , ∴ 实数 a 的取值范围为 ? ?e, ?? ? . …………….7 分 (3)依题意,曲线 C 的方程为 y ? ex ln x ? ex ? x ,
x x 令 u ( x) = e ln x ? e ? x ,则 u?( x) ?

ex ? e x ln x ? e x ? 1 x

设 v( x) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 ,则 v?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x x x x

当 x ??1, e? , v?( x) ? 0 ,故 v( x) 在 ?1,e? 上的最小值为 v(1) ? 0 ,
x 所以 v( x) ≥0,又 e ? 0 ,∴ u?( x) ? ?

?1 ? ? ln x ? 1? e x ? 1 >0, ?x ?

而若曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直, 则 u?( x0 ) =0,矛盾。 所以,不存在实数 x0 ??1, e? ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. …………….12 分
第 7 页 共 8 页

22.解:(1)在△ABE 中,∠ ABE=90° BAE=20° ,∠ , ∴ tan∠ BAE=

BE ,又 AB=10, AB

∴ BE=AB?tan∠ BAE=10tan20°≈3.6m,∵ BC=0.6∴ CE=BE-BC=3m, 在△CED 中,∵ CD⊥ AE,∠ ECD=∠ BAE=20° , ∴ cos∠ ECD=

CD ,∴ CD=CE?cos∠ ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m. CE

故答案为 2.8m.????5 分 (2)延长 CD 与直角走廊的边相交于 E , F ,如下图.

? 3 3 ? ,其中 0 ? ? ? . 2 cos ? sin ? DA 1.8 ? 容易得到 DE ? , CF ? BC ? tan ? ? 1.8 tan ? .又 AB ? DC ? EF ? ( DE ? CF ) , tan ? tan ? 3(sin ? ? cos ? ) ? 1.8 ? 3 3 1 ? ? 1.8(tan ? ? )? 于是 f (? ) ? ,其中 0 ? ? ? .???8 分 sin ? cos ? 2 cos ? sin ? tan ?

EF ? OE ? OF ?

设 sin ? ? cos? ? t ,则 t ?

2 sin(? ? ) ,于是 1 ? t ? 2 . 4

?

t 2 ?1 又 sin ? cos ? ? , 2
因此 f (? ) ? g (t ) ? 因为 g ?(t ) ? ?

6t ? 3.6 . t 2 ?1

????11 分

6t 2 ? 7.2t ? 6 6(t ? 0.6)2 ? 3.84 ,又 1 ? t ? 2 ,所以 g ?(t ) ? 0 恒成立, ?? (t 2 ? 1)2 (t 2 ? 1)2
6t ? 3.6 在 t ? (1, 2] 是减函数,所以 g (t )min ? g ( 2) ? 6 2 ? 3.6 ? 4.5 , t 2 ?1
????14 分

因此函数 g (t ) ?

故能顺利通过此直角拐弯车道

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