巩固练习_《数列》全章复习与巩固_提高

【巩固练习】 一、选择题 1.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? cos A. 0,0 B. 0,1
n? ,则该数列的首项 a1 和第四项 a 4 分别为 2

C. -1,0 1 2 4 … 3 5 6 7

D. –1,1

2.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍): 第1行 第2行 第3行 … 则第 9 行中的第 4 个数是( A.132 A.5 B.255 B.4 ) C.259 C.3 D.260 ) D.2 ).

3.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和啊为 30,则其公差是(
3 ,前 n 项和为 S n ,关于 a n 及 S n 的叙述正确的是( 2n ? 11

4.已知数列{an}, an ? A. a n 与 S n 都有最大值 C. a n 与 S n 都有最小值

B. a n 与 S n 都没有最大值 D. a n 与 S n 都没有最小值 )

5.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 a k 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? ( A.2 B.4 C.6 D.8 )

6.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 二、填空题
18 , S n=240 , 7. 设 S n 表示等差数列 ?an ? 与 S n 的前 n 项的和, 且 S9= 若 an-4= 0 3 ? n9 ?

B.45

C.36

D.27

则 n =________. ?,

8.我市民间刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案, 这 些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律 相同),设第 n 个图形包含 f ? n ? 个小正方形,则 f ? n ? 的表达式为 f ? n ? =________ (n ? N* ) .

1 9.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? t ? 5n ? 2 ? ,则实数 t 的值为________. 5

10.设数列 ?an ? 的通项为 an=2n-7 ,则 a1 + a2 +?+ a15 =________.

三、解答题 11.已知函数 f ? x ? ? a1 x ? a2 x2 ??? an x n (n ? N* ) ,且 a1,a2 ,a3 , ,an 构成数列 ?an ? ,又 f ?1? ? n2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
1 (2)求证: f ( ) ? 1 . 3

12.已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 S n , S4 ? 2S2 ? 4 , bn ? (1)求公差 d 的值;
5 (2)若 a1 ? ? ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值. 2

1 ? an . an

13.设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1,a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 . (1)求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?
? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

.

14.求和: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ?

? (?1)n ?1 (2n ? 1)

15.已知数列 {an } , a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ?

1 (n ? N *) ,求 {an } . n(n ? 1)

16.某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案: 方案一:年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; 方案二:总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.

问哪种方案合算?

【答案与解析】 1. 【答案】 B 【解析】 an ? f (n) ? cos 2. 【答案】C 【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.前 8 行数的个数 共有
1 ? 28 ? 255 (个),故第 9 行中的第 4 个数是 259. 1? 2
n? ? ,? a1 ? f (1) ? cos ? 0, a4 ? f (4) ? cos 2? ? 1, 2 2

3. 【答案】 C 【解析】 ∵S 偶-S 奇=5d, ∴5d=15,∴d=3. 4. 【答案】 C 【解析】 画出 an ?
3 的图象, 2n ? 11

点(n,an)为函数 y ? 5. 【答案】 B

11 3 图象上的一群孤立点, ( ,0) 为对称中心,S5 最小,a5 最小,a6 最大. 2 2 x ? 11

【解析】由题意知: a1 ? 9d , an ? a1 ? (n ? 1)d ? (n ? 8)d ,则
ak 2 ? a1 ? a2 k 即 [(k ? 8)d ]2 ? 9d ? (2k ? 8)d

∵ d ? 0 ,∴ (k ? 8)2 ? 9 ? (2k ? 8) , 解得 k ? 4 或 k ? ?2 (舍去) ,故选B 6. 【答案】 B 【解析】
3? 2 ? S ? 3a1 ? d ?9 ? ?a ? 1 ?a ? d ? 3 ? 3 2 法一:依据已知有 ? 即? 1 ,解得 ? 1 , ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 36 ?2a1 ? 5d ? 12 6 1 ? ? 2

所以 a7 ? a8 ? a9 ? 13 ? 15 ? 17 ? 45 。 法二:依据等差数列的性质有:连续三项和也成等差数列 S 3 、 S6 ? S3 、 a7 ? a8 ? a9 成等差数列, 所以 2(S6 ? S3 ) ? S3 ? (a7 ? a8 ? a9 ) ,有 a7 ? a8 ? a9 ? 13 ? 15 ? 17 ? 45 ,故选 B。 7. 【答案】 15

【解析】 由 S9 ? ∴ Sn ?

9a1 ? a9 ? 18 ,得 a5=2, 2

na1 ? an na5 ? an ? 4 ? ? 240 , 2 2

∴n=15. 8. 【答案】 2n2-2n+1 【解析】 f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,… 则有:f(2)-f(1)=4=1× 4, f(3)-f(2)=8=2× 4, f(4)-f(3)=12=3× 4, …… f(n)-f(n-1)=(n-1)× 4, ∴ f (n) ? f (1) ? [1 ? 2 ? 3 ? 9. 【答案】 5
1 1 4 【解析】 ∵ a1 ? S1 ? t ? , a2 ? S2 ? S1 ? t , 5 5 5
? (n ? 1)]4 ? 1 ? nn ? 1 ? 4 ? 2n2 ? 2n ? 1 . 2

a3=S3-S2=4t. ∵{an}为等比数列, ∴ ? t ? ? ? t ? ? ? 4t , ?5 ? ?5 5? ∴t=5 或 t=0(舍去). 10. 【解析】 由 an=2n-7<0?n<3.5, ∵n∈N*,∴n=1,2,3, ∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15=S15-2S3=153. 【答案】 153 11. 【解析】
(n ? N* ) (1)由题意: f ?1? ? a1 ? a2 ??? an ? n2,
?4 ?
2

?1

1?

当 n ? 1 时, a1 ? 1, 当 n ? 2 时, an ? ? a1 ? a2 ??? an ? ? ? a1 ? a2 ??? an-1 ? ? n2 ? ? n ?1? ? 2n ?1
2

∴对 n ? N * 总有 an ? 2n ? 1 , 即数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .
1 1 1 (2) f ( ) ? 1? ? 3 ? 2 ? 3 3 3 1 1 1 f ( ) ? 1? 2 ? 3 3 3 ? (2n ? 1) ? 1 3n

? (2n ? 3)

1 1 ? (2n ? 1) n ?1 n 3 3

2 1 1 1 1 ∴ f ( ) ? 1? ? 2( 2 ? 3 3 3 3 3 3 2 2n ? 2 ? , 3 3n ?1

1 1 ? n ?1 1 2 1 1 1 ? n ) ? (2n ?1) n ?1 ? ? ? 3 ? (2n ? 1) n ?1 3 9 1? 1 3 3 3 3

?

1 n ?1 ∴ f ( ) ? 1? n ? 1 3 3

12. 【解析】 (1)∵ S4 ? 2S2 ? 4 ,∴ 4a1 ?
3? 4 d ? 2(2a1 ? d ) ? 4 ,解得 d ? 1 2

5 7 (2)∵ a1 ? ? ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1) ? n ? 2 2

∴ bn ? 1 ?

1 1 ? 1? 7 an n? 2

∵函数 f ( x) ? 1 ?

7? ?7 ? ? 在 ? ??, ? 和 ? , ?? ? 上分别是单调减函数, 7 2 2 ? ? ? ? x?
1 2

∴ b3 ? b2 ? b1 ? 1 ,当 n ? 4 时, 1 ? bn ? b4 ∴数列 ?bn ? 中的最大项是 b4 ? 3 ,最小项是 b3 ? ?1 13. 【解析】 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,由题意 q>0.
?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ?d ? 2 ? ∴? , 解得 ? 2 ?q ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13

∴an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1 (2)
an 2 n ? 1 ? n ?1 bn 2

∴Sn= 1 ?

3 5 ? ? 21 22 5 ? 21

? ?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 2n ? 2 2

① ②
2 2
n?2

2Sn= 2 ? 3 ?

2n ? 3 2n ? 1 ? n?2 2n ?3 2 ?

2 2 ②-①可知,Sn= 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 1 1 = 2 ? 2 ? (1 ? ? 2 2 2
1?

?

2n ? 1 2n ?1 2n ? 1 2n ?1

?

1 2
n?2

)?

1 n ?1 2n ? 1 2n ? 1 2 =2?2? ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2

14. 【解析】

若 n 为偶数,令 n ? 2k ( k ? N * ) , 则 Sn ? S2k ? (1 ? 3) ? (5 ? 7) ? (9 ? 11) ? 若 n 为奇数,令 n ? 2k ? 1 ( k ? N * ) , 则 Sn ? S2 k ?1 ? 1 ? (?3 ? 5) ? (?7 ? 9) ? (?11 ? 13) ? 15. 【解析】 方法一: 由题意: a2 ? a1 ?
a4 ? a3 ?
1 1 , a3 ? a2 ? , 1? 2 2?3
? [?(2n ? 3) ? (2n ? 1)] ? 1 ? 2(k ? 1) ? n . ? [(2n ? 3) ? (2n ? 1)] ? ?2k ? ?n ;

1 1 ,……, an ? an ?1 ? , ( n ? 1) ? n 3? 4

上述各式相加得:
an ? a1 ? 1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ? 1 ( n ? 1) ? n

?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ?
1 ∴ an ? 2 ? 。 n

1? ? 1 ?? ? ?。 ? n ?1 n ?

方法二: 由题意得: an ? an ?1 ?
? an ? 2 ? ? an ? 3 ? 1 ( n ? 1) n

1 1 ? ( n ? 2)( n ? 1) ( n ? 1) n 1 1 1 ? ? ( n ? 3)(n ? 2) ( n ? 2)( n ? 1) ( n ? 1) n

?
? a1 ? 1 ? 1? 2 ? 1 1 1 ? ? (n ? 3)(n ? 2) ( n ? 2)( n ? 1) ( n ? 1) n

? 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 2?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? 2? 。 ??? ??? n ? n ? 3 n ? 2 ? ? n ? 2 n ?1 ? ? n ?1 n ?

16. 【解析】 (1)由题意知,每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数 n 的关系为 f(n) , 则 f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? … ?(8 ? 4n)] ? 98 ? ?2n2 ? 40n ? 98 . 由题知获利即为 f ? n ? >0,

由 ?2n2 ? 40n ? 98 ? 0 ,得 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 . ∵ n ? N,∴ n =3,4,5,…,17. 即第 3 年开始获利. (2)方案一:年平均收入 ? 由于 n ? ∴
f (n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) . n n

49 49 ? 2 n? ? 14 (当且仅当 n=7 时取“=”号) n n

f (n) . ? 40 ? 2 ?14 ? 12 (万元) n

即前 7 年年平均收益最大,此时总收益为 12× 7+26=110(万元) . 方案二: f ? n ?=? 2n2+ 40n ? 98=? 2 (n ? 10) 2 +102. 当 n =10 时, f ? n ? 取最大值 102,此时总收益为 102+8=110(万元) . 比较如上两种方案,总收益均为 110 万元,而方案一中 n =7,故选方案一.


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