2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——12.概率、统计


2011—2017 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
12.概率统计 一、选择题 (2017· 11)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( A. ) D.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

2 5

(2016· 8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人来到该路 口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A.

7 10

B.

5 8

C.

3 8

D.

3 10

(2015· 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中 不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 (2012· 3)在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,?, (xn,yn) (n≥2,x1, x2,?, xn 不全相等)的散点图中, 若所有样本点 (xi, yi) (i=1, 2,?,n)都在直线 y ? A.-1 B .0 C.

1 则这组样本数据的样本相关系数为 ( x ? 1 上, 2
D.1



1 2

(2011· 6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相 同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 A. B. C. D. 3 3 2 3 4 二、填空题 (2014· 13)甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相同 颜色运动服的概率为_______. (2013· 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______. 三、解答题 (2017· 19) 海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随机抽取了 100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:

频率/组距

频率/组距 0.068 0.046 0.044

0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012 0 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 旧养殖法

0.020 0.010 0.008 0.004

0

35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 新养殖法

(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg” ,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。 附: P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(2016· 18)某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度 的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 0 1 2 3 4 上年度出险次数 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 保费 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

?5
2a

0 1 2 3 4 出险次数 ?5 60 50 30 30 20 10 频率 (Ⅰ)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费”. 求 P(A)的估计值; (Ⅱ)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估 计值; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.

(2015· 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户 对产品的满意度评分,得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分 布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90, 满意度评分分组 100) 2 8 14 10 6 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级; 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

(2014· 19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民. 根据这 50 位市民对两部门的 评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

(2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量 频率/组距 的频率分布直方图,如有图所示.经销商为下一个销售季度购 进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销 0.030 售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度 0.025 内经销该农产品的利润. 0.020 (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; 0.015 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率. 0.010
O

100 110 120 130 140 150

需求量/ t

(2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售. 如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N) 的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的 利润不少于 75 元的概率.

(2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等 于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种 产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 频数 指标值分组 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 4 12 42 32 10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 ? ?2 , (t < 94) ? y ? ? 2 , (94 ? t < 102) ,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 ? 4 , (t ? 102) ? 100 件产品平均一件的利润。

2011—2017 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
12.概率统计 一、选择题 (2017· 11)D 解析:如下表所示,表中的点横坐标表 示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数,

总计有 25 种情况,满足条件的有 10 种,所以所求概率为 10 ? 2 . 25 5 (2016· 8)B 解析:至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 ? 15 ? 5 ,故选 B. 40 8 (2015· 3)D 解析:由柱形图可知,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈减少趋势,所以二氧化硫排放 量与年份负相关,故选 D. (2012· 3) D 解析: 样本相关系数的绝对值越接近于 1, 相关性就越强, 现在所有的样本都在直线 y ?

1 x +1 2

上,故这组样本数据完全正相关,随意其相关系数为 1,故选 D. (2011· 6)A 解析:设三个兴趣小组分别为 A、B、C,他们参加情况共一下 9 种情况,其中参加同一小组 3 1 情况共 3 中,故概率为 ? . 故选 A. 9 3 (2014· 13)

1 解析:所有的选法共有 3× 3=9 种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种,故他们选 3
3 1 ? . 9 3

择相同颜色运动服的概率为

(2013· 13) 解析:该事件基本事件空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)},共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)},有 2 个,∴P(A)=

1 5

2 1 ? . 10 5

三、解答题 (2017· 19) 海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随机抽取了 100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:

频率/组距

频率/组距 0.068 0.046 0.044

0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012 0 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 旧养殖法

0.020 0.010 0.008 0.004

0

35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 新养殖法

(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg” ,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量<50kg 旧养殖法 新养殖法 箱产量≥50kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。 附: P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(2017· 19)解析:旧养殖法箱产量低于 50kg 的频率为 5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) =0.62,因此, 事件 A 的概率估计值为 0.62 . (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表: 旧养殖法 新养殖法 200 ? (62 ? 66 - 34 ? 38) K2= ≈15.705 100 ?100 ? 96 ?104 箱产量<50kg 62 34 箱产量≥50kg 38 66

由于 15.705>6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在 45kg 到 50kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中 程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖 法优于旧养殖法.

(2016· 18)某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度 的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 0 1 2 3 4 上年度出险次数 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 保费 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

?5
2a

0 1 2 3 4 出险次数 ?5 60 50 30 30 20 10 频率 (Ⅰ)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费”. 求 P(A)的估计值; (Ⅱ)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估 计值; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. (2016· 18)解析:(Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数小于 2 的 频率为 60 ? 50 ? 0.55 ,故 P(A)的估计值为 0.55 . 200 (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,一年内出险次数大于 1 且 小于 4 的频率为

30 ? 30 ? 0.3 ,故 P(B)的估计值为 0.3. 200

(Ⅲ)由题所求分布列为: 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 保费 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 频率 200 名 续 保 人 的 平 均 保 费 为 0.85a ? 0.30 ? a ? 0.25 ? 1.25a ? 0.15 ? 1.5a ? 0.15

调 查

?1.75a ? 0.30 ? 2a ? 0.10 ? 1.1925a ,因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.

(2015· 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户

对产品的满意度评分,得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分 布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90, 满意度评分分组 100) 2 8 14 10 6 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级; 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. (2015· 18)解析: (Ⅰ)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分 的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意 度评分比较分散。 (Ⅱ)A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。记 CA 表示事件: “A 地区用户满意度等级为不满意” ;CB 表示事 件: “B 地区用户满意度等级为不满意” . 由直方图得 P(CA) 的估计值为 (0.01+0.02+0.03)× 10=0.6 , P(CB) 的估计值为 (0.005+0.02)× 10=0.25. 所以 A 地区用户满意度等级为不 满意的概率大.

(2014· 19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民. 根据这 50 位市民对两部门的 评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

(2014· 19)解析: (Ⅰ)两组数字是有序排列的,50 个数的中位数为第 25,26 两个数. 由给出的数据可知 道,市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77,所以,市民

对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,77. (Ⅱ) 甲部门评分数高于 90 共有 5 个、 乙部门评分数高于 90 共有 8 个, 部门的评分做于 90 的概率. 因

8 5 此估计市民对甲、乙部门的评分小于 90 的概率分别为 P ? 0.1,P乙 ? ? 0.16 ,所以,市民对甲、 甲 ?
50

50

乙部门的评分大于 90 的概率分别为 0.1,0.16. (Ⅲ)由茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大 致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为 一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. (2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求 频率/组距 量的频率分布直方图,如有图所示.经销商为下一个销售季 度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下 0.030 一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个 0.025 销售季度内经销该农产品的利润. 0.020 (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; 0.015 0.010 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
O

100 110 120 130 140 150

需求量/ t

(2013· 19)解析: (Ⅰ)当 x∈[100,130)时,T=500x-300(130-x)=800x-39 000. 当 x∈[130,150]时,T= 500× 130=65 000. 所以 T ? ?

( 100 ? x ? 130) ?800 x ? 39000, ( 130 ? x ? 150) ?65000,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤x≤150. 由直方图知需求量 x∈[120,150]的频率 为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.

(2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售. 如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N) 的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的 利润不少于 75 元的概率. (2012· 18)解析: (Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y=85;当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17 (n ? N ) . n ? 17 ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天 1 的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4 . 100 (ii) 利 润 不 低 于 75 元 当 且 仅 当 日 需 求 不 少 于 16 枝 , 故 当 天 的 利 润 不 少 于 75 元 的 概 率 为 P ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7

(2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等 于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种 产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

指标值分组 频数 指标值分组

4 12 42 32 10 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 ? ?2 , (t < 94) ? y ? ? 2 , (94 ? t < 102) ,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 ? 4 , (t ? 102) ? 100 件产品平均一件的利润。 (2011· 19)解析: (Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为

22 ? 8 ? 0.3 ,所以用 A 配 100 方生产的产品中优质品率的估计值为 0.3. 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42. 100 (Ⅱ)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t≥94,由试验结果知,t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的上 述 100 件产品平均一件的利润为 1 ? [4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4] ? 2.68 . (元) 100


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