山东省潍坊市寿光现代中学2011届高三质量检测(数学理)

潍坊市寿光现代中学 2011 届高三阶段检测

数 学 试 题(理)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ 卷 3 至 6 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知命题:p:埚 x∈R,sinx≤1,则 B.┓p:Ex∈R,sinx≥1 D.┓p:Ex∈R,sinx>1 ( )

A.┓p: Ex∈R,sinx≥1 C.┓p:Ex∈R,sinx>1 2.为了得到函数 y = 2sin( 所有点 A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移

x π + ) ,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sinx,x∈R 的图象上的 3 6





1 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 1 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6
π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6

3.函数 y =

4 ? x2 是 x +5 ?5





A.奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数不是奇函数 D.非奇非偶函数 (
1 2

4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 A.0,2 B.0,
1 2



C.0, ?

1 2

D.2, ?

第 1 页 共 7 页

5.化简:

1 ? 2 sin 10° cos10° cos(?10°) ? 1 ? cos2 170°

=





A.0 6.函数 y = ln
1 x +1

B.-1 的大致图象为

C.1

D.±1

( 7.曲线 y =
x 在点(1,1)处的切线方程为 2x ?1

) )



A.x-y-2=0 C.x+4y-5=0

B.x+y-2=0 D.x-4y-5=0 )

8.不等式|x+2|+|x-3|≥m2-4m 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. (1,5) B. [2,3) C. [-1,5]
π 1 + 2 cos(2α ? ) 4 = π sin(α + ) 2

D. [-1,3]

3 9.已知角琢在第一象限且 cosα = , 5 2 5 7 5





A.

B.

C.

14 5

D. ?

2 5

?x ? y + 1 ≥ 0 ? 10.如果实数 x、y 满足条件 ? y + 1 ≥ 0 ,那么 Z=2x-y 的最大值为 ?x + y + 1 ≤ 0 ?





A.2

B.1

C.-2

D.-3 )

11.已知函数 f(x)=log3x+2(x∈[1,9],则函数 y=[f(x) 2+f(x2) ) ] ]的最大值是( A.13 B.16 C.18 D.22

12.已知定义在 R 上的函数 y = f(x)满足下列三个条件:①对任意的 x∈R 都有 f(x+2) =-f(x) ;②对于任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2) ,③y=f(x+2)的图象关 于 y 轴对称,则下列结论中正确的是 A. f(4.5)<f(6.5)<f(7) C. f(7)<f(4.5)<f(6.5) B. f(7)<f(6.5)<f(4.5) D. f(4.5)<f(7)<f(6.5) ( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
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13.由直线 x =
π 4

1 1 ,x=2,曲线 y = 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积为 2 x



14.已知 tan( + θ ) = 3 ,则 sin 2θ ? 2 cos2 θ 的值为


2a ? 3 ,则 a 的 a +1

15.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1, f ( 2) = 取值范围是 .

16.给出下列四个结论: ①函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y=logaax(a>0 且 a≠1)的定义域相同; ②函数 y =
1 1 + x (x≠0)是奇函数; 2 2 ?1

③函数 y = sin(-x)在区间 ? , π ? 上是减函数; 2 2
? ?

?π 3

?

④函数 y = cos |x|是周期函数. 其中正确结论的序号是 . (填写你认为正确的所有结论序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|
6 ≥1,x∈R} ,B= {x|x2-2x-m<0} . x +1

(Ⅰ)当 m=3 时,求 A∩(CRB) ; (Ⅱ)若 A∩B={x|-1<x<4} ,求实数 m 的值. 18. (本小题满分 12 分) (A>0,棕>0,|渍|< 函数 f1(x)=Asin(棕 x+渍) 1) ,如图所示. (1)求函数 f1(x)的表达式; (2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移
π 个单位,得函数 y=f2(x)的图象,求 y=f2(x) 4 π )的一段图象过点(0, 2

的最大值,并求出此时自变量 x 的集合.

第 3 页 共 7 页

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f x) ( =cos2 棕 x+ 3 sin 棕 xcos 棕 x+k (其中 0<棕<仔, k∈R) x = 当 时取得最大值 3. (Ⅰ)求函数 f(x)的周期和单调减区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在( ? , 20. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2(ax-3) ,其中 a 为常数. (Ⅰ)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 某企业拟在 2011 年度进行一系列促销活动,已知其产品年销量 x 万件与年促销费 用 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例, 当年促销费用 t=0 万元时, 年销量是 1 万件. 已 知 2011 年产品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件产品售价定为:其生产成本的 150%与“平均每件促销费的 一半”之和,则当年生产的商品正好能销完. (1)将 2011 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数; (2)该企业 2011 年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当 x∈[-1,0)时,f (x)=2ax+
1
x2 π 6

π π )上的最大值和最小值. 4 4

(a∈R) .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 a>-1,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性; (3)是否存在实数 a,使得当 x∈(0,1]时,f(x)有最大值-6.

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参考答案
一、DCACC 二、13.2ln2 17.解:由 14. ?
4 5

DBCCB 15. (-1,
2 ) 3

AD 16.①②④

6 x ?5 ≥1,得 ≤0, x +1 x +1

∴-1<x≤5∴A={x|-1<x≤5} ,……………………2 分 (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3} , 则 CRB={x|x≤-1 或 x≥3}…………………………4 分 ∴A∩(CRB)={x|3≤x≤ 5}……………………6 分 (2)∵A={x|-1<x≤ 5} ,A∩B={x|-1<x<4} ,……………………8 分 ∴有 42-2×4-m=0,解得 m=8, 此时 B={x|-2<x<4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8.…………………………12 分 18.解: (1)由图知,T=π,于是ω= 将 y=Asin2x 的图象向左平移 于是渍=2·
2π = 2 .……………………2 分 T

π ,得 y=Asin(2x+渍)的图象, 12

π π = .……………………4 分 12 6

将(0,1)代入 y=Asin(2x+

π ) ,得 A=2. 6

故 f1(x)=2sin(2x+

π ) .……………………6 分 6 π π π )+ ]=-2cos(2x+ ) ,………………………… 4 6 6

(2)依题意,f2(x)=2sin[2( x ? 8分 当 2x+

5π π =2kπ+π,即 x=kπ+ (k∈Z)时,ymax=2.…………………………10 分 12 6 5π ,k∈Z} .……………………12 分 12

x 的取值集合为{x|x=kπ+

19.解: (Ⅰ)∵f(x)=cos2ωx+ 3 sinωxcosωx+k=sin(2ωx+ ∴1+
1 3 +k=3,∴k= 2 2

1 π )+ +k 2 6

………………………………2 分

∵f(x)当 x = ∴ω=1

π π π π 时取得最大值,且 0<ω<π∴2ω× + = , 6 6 6 2

∴f(x)=sin(2x+

π )+2 6

………………………………4 分

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周期 T=π

……………………………………5 分

所以减区间为[kπ+π/6,kπ+2π/3] (k∈Z)………………………6 分 (Ⅱ)∵x∈( ? , ∴?
π π π π 2π ) ,∴ ? <2x+ < …………………………8 分 4 4 3 6 3

3 3 π π <sin(2x+ )≤1,∴ 2 ? <sin(2x+ )+2≤3 2 2 6 6
π π )上的最大值为 3,无最小值.………………12 分 4 4

∴函数 f(x)在( ? ,

20.解: (Ⅰ)f(x)=ax3-3x2,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2) . ∵x=1 是 f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,∴a=2;……………………4 分 (Ⅱ)①当 a=0 时,f(x)= -3x2 在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0 符合题意; ②当 a≠0 时,f′(x) =3ax( x ? 8分 当 a>0 时,对任意 x∈(-1,0) ,f′(x)>0, ∴a>0 符合题意; 当 a<0 时,当 x∈( 综上所述, a≥-2. 12 分 21.解: (Ⅰ)由题意:3-x=
k 2 将 t=0,x=1 代入 k=2,∴x=3………………2 分 t +1 t +1

2 2 ) ,令 f′(x)=0 得:x1=0,x2= ;…………………… a a

2 2 ,0)时 f′(x)>0, ∴ ≤-1,∴-2≤a<0 符合题意; a a

……………………………………

当年生产 x(万件)时,年生产成本=32x+3=32(3分 当销售 x(万件)时,年销售收入=150%[32(3分 由题意,生产 x 万件产品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即 y = 分 (Ⅱ)∵y=50-( 当且仅当
t + 1 32 + )≤50-2 16 =42 万件 2 t +1

2 )+3, t +1

……………4

1 2 )+3]+ t 2 t +1

……………6

? t 2 + 98t + 35 (t≥0) 2(t + 1)

……………7

…………9 分

t + 1 32 = 即 t=7 时,ymax=42∴当促销费定在 7 万元时,利润增大.…12 分 2 t +1

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22. [解析] (1)设 x∈(0,1] ,则-x∈[-1,0) , ∴f(-x)= -2ax+
1 x2

……………………2 分
1 x2

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)= -f(x) ∴当 x∈(0,1]时,f(x)=2ax∴f(x)= ?2ax ?
? ? 1 x
2



x∈(0,1],2ax+

1 x2

x∈[-1,0) .

……………………5

分 (2)当 x∈(0,1]时,∵f′(x)=2a+ 分 ∵a>-1,x∈(0,1],∴a+ 分 ∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数. 分 (3)当 a>-1 时,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=2a-1=-6, ∴ a = ? (不合题意,舍去) , 当 a≤-1 时,由 f′(x)=0 得, x = ?3 如下表可知 fmax(x)=f ? 3 ?
? ? ? 1 a
2 x
3

=2 ? a + ?
?

?

1 ? ?, x3 ?

……………7

1 x3

>0.即 f′(x) >0.

………………9

………………10

5 2

1 . a

? ? =-6,解出 a=- 2 2 . ? ?

x

? ? ? ? ∞, 3 ? 1 ? ? a? ? ?

3

?

1 a

? ? ? 3 ? 1 ,+∞ ? ? ? a ? ?

f′(x) f(x) 此时 x =
2 ∈(0,1) 2

+ 坭

0 极大值

?坨

∴存在 a = ?2 2 ,使 f(x)在(0,1]上有最大值-6.

……………14 分

第 7 页 共 7 页


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