人教版高中数学全套试题11-12学年高中数学 1.5.3 定积分的概念同步练习 新人教A版选修2-2

选修 2-2 1.5.3 定积分的概念

一、选择题

1.定积分??13(-3)dx 等于(

)

A.-6

B.6

C.-3

D.3

[答案] A

[解析] 由积分的几何意义可知??13(-3)dx 表示由 x=1,x=3,y=0 及 y=-3 所围成的

矩形面积的相反数,故??13(-3)dx=-6.

2.定积分??abf(x)dx 的大小(

)

A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξ i 的取法无关

B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξ i 的取法无关

C.与 f(x)以及 ξ i 的取法有关,与区间[a,b]无关

D.与 f(x)、区间[a,b]和 ξ i 的取法都有关

[答案] A

[解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知 A 正确.

3.下列说法成立的个数是( )

n
①??abf(x)dx=i?=1f(ξ

b-a i) n

②??abf(x)dx 等于当 n 趋近于+∞时,f(ξ

b-a i)· n 无限趋近的值

n

③??abf(x)dx

等于当

n

无限趋近于+∞时,?f(ξ
i=1

b-a i) n 无限趋近的常数

④??abf(x)dx 可以是一个函数式子

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] A

[解析] 由??abf(x)dx 的定义及求法知仅③正确,其余不正确.故应选 A.

4.已知??13f(x)dx=56,则(

)

A.??12f(x)dx=28

B.??23f(x)dx=28

C.??122f(x)dx=56

D.??12f(x)dx+??23f(x)dx=56

[答案] D

[解析] 由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),x

=1,x=2 及 y=0 围成的曲边梯形知由 y=f(x),x=2,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形.

∴??13f(x)dx=??12f(x)dx+??23f(x)dx

即??12f(x)dx+??23f(x)dx=56.

故应选 D.

5.已知??abf(x)dx=6,则??ab6f(x)dx 等于(

)

A.6

B.6(b-a)

C.36

D.不确定

[答案] C

[解析] ∵??abf(x)dx=6,

∴在??ab6f(x)dx 中曲边梯形上、下底长变为原来的 6 倍,由梯形面积公式,知??ab6f(x)dx

=6??abf(x)dx=36.故应选 C.

6.设 f(x)=?????x22x

(x≥0), (x<0),

则??1-1f(x)dx 的值是(

)

[答案] D [解析] 由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求 f(x)在区间[- 1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 7.下列命题不正确的是( )
A.若 f(x)是连续的奇函数,则
B.若 f(x)是连续的偶函数,则 C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则??abf(x)dx>0 D.若 f(x)在[a,b)上连续且??abf(x)dx>0,则 f(x)在[a,b)上恒正

[答案] D [解析] 本题考查定积分的几何意义,对 A:因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对 称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等,故积分是 0,所以 A 正确.对 B:因为 f(x) 是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故图象都在 x 轴下方或上方且面积相等,故 B 正确.C 显 然正确.D 选项中 f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0 的曲线围成的面积 比 f(x)<0 的曲线围成的面积大.

[答案] B

9.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分??1-1[(tanx)11+(cosx)21]dx=

()

A.2??01[(tanx)11+(cosx)21]dx

B.0

C.2??01(cosx)21dx

D.2

[答案] C

[解析] ∵y=tanx 为[-1,1]上的奇函数,

∴y=(tanx)11 仍为奇函数,而 y=(cosx)21 是偶函数,

∴原式=??1-1(cosx)21dx=2??01(cosx)21dx.故应选 C.

10.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,则??abf(x)dx-??abf(t)dt 的值(

)

A.小于零

B.等于零

C.大于零

D.不能确定

[答案] B

[解析] ??abf(x)dx 和??abf(t)dt 都表示曲线 y=f(x)与 x=a,x=b 及 y=0 围成的曲边梯
形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为 0. 二、填空题 11.由 y=sinx,x=0,x=π2 ,y=0 所围成的图形的面积可以写成________.

[答案]

[解析] 由定积分的几何意义可得.

12.??06(2x-4)dx=________.
[答案] 12

[解析] 如图 A(0,-4),B(6,8)

S△AOM=12×2×4=4

S△MBC=12×4×8=16

∴??06(2x-4)dx=16-4=12. 13.(2010·新课标全国理,13)设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1,

可以用随机模拟方法近似计算积分??01f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机 数 x1,x2,…,xN 和 y1,y2,…,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中 满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得积分??01f(x)dx 的近似值
为________.

[答案]

N1 N

[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的

考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖.

[解析] 因为 0≤f(x)≤1 且由积分的定义知:??01f(x)dx 是由直线 x=0,x=1 及 曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的面积,又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形

面积为 1,且满足 yi≤f(xi)的有 N1 个点,即在函数 f(x)的图象上及图象下方有 N1 个点, 所以用几何概型的概率公式得:f(x)在 x=0 到 x=1 上与 x 轴围成的面积为NN1×1=NN1,

即??01f(x)dx=NN1.

三、解答题 15.利用定积分的几何意义,说明下列等式.
[解析] (1)??012xdx 表示由直线 y=2x,直线 x=0,x=1,y=0 所围成的图形的面积, 如图所示,阴影部分为直角三角形,所以 S△=12×1×2=1,故??012xdx=1.
(2)??1-1 1-x2dx 表示由曲线 y= 1-x2,直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的图形面积 (而 y= 1-x2表示圆 x2+y2=1 在 x 轴上面的半圆),如图所示阴影部分,所以 S 半圆=π2 ,

16.利用定积分的性质求

???x42+x 1+sin3x+x2-eexx- +11???dx.

[解析] y=x42+x 1,y=sin3x 均为[-1,1]上的奇函数,而对于 f(x)=eexx- +11,

∵f(-x)=ee--xx-+11=11- +eexx=-f(x),

此函数为奇函数.

n
∵S=?
i=1

1n·???in???2=n13i?=n 1

(i)2

=n13·16n(n+1)(2n+1)

=16???2+3n+n12???

∴S=li m n→∞

16???2+3n+n12???=13

即 2??01x2dx=2×13=23

17.已知函数 f(x)= [解析] 由定积分的几何意义知

),求 f(x)在区间[-2,2π ]上的积分.

=π 2-4.
18.利用定积分的定义计算??abxdx. [解析] (1)分割:将区间[a,b]n 等分,则每一个小区间长为 Δ xi=b-n a(i=1,2,…,
n). (2)近似代替:在小区间[xi-1,xi]上取点:ξ i=a+i(bn-a)(i=1,2,…,n). Ii=f(ξ i)·Δ xi=???a+i(bn-a)???·b-n a.
n
(3)求和:In=?f(ξ i)·Δ xi
i=1

n
=?
i=1

???a+i(bn-a)???·b-n a

b-a n
? = n i=1

???a+i(bn-a)???

=b-n a????i?=n 1a+i?=n 1

i(b-a)?? n? ?

=b-n a????na+b-n ai?=n 1i????

=(b-a)???a+b-n2 a·n(n2+1)???

(4)求极限:??abxdx=lin→m∞In

=li m n→∞

(b-a)???a+b-2 a???1+1n??????

=(b-a)???a+b2-a2???=12(b2-a2).


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