高一数学函数经典题目及答案

1 函数解析式的特殊求法 例1 例2 例3 已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式 若 f ( x ?1 ) ? x ? 2 x ,求 f(x) 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 例 4 已知:函数 y ? x 2 ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式 例5 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f ( x) x 2 函数值域的特殊求法 例 1. 求函数 y ? x 例 2. 求函数 y? 2 ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 1 ? x ? x2 1 ? x2 的值域。 例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域 例 4. 求函数 y? ex ?1 e x ? 1 的值域。 例 1 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① y1 ? ( x ? 3)( x ? 5) x?3 y2 ? x ? 5 ② y1 ? x ? 1 x ? 1 y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2 f 2 ( x) ? 2x ? 5 2 若函数 f ( x) 的图象经过 (0,?1) ,那么 f ( x ? 4) 的反函数图象经过点 (A) (4,?1) 例3 已知函数 f ( x) 对任意的 a、b ? R 满足: f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 6, (B) (?1,?4) (C) (?4,?1) (D) (1,?4) 当a ? 0时, f (a) ? 6 ; f (?2) ? 12 。 (1)求: f (2) 的值; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)若 f (k ? 2) ? f (2k ) ? 3 ,求实数 k 的取值范围。 例 4 已知 A ? {( x, y) | x ? n, y ? an ? b, n ? Z}, B ? {( x, y) | x ? m, y ? 3m2 ? 15, m ? Z} , C ? {( x, y) | x2 ? y 2 ≤ 14} ,问是否存在实数 a , b ,使得(1) A B ? ? ,(2) (a, b) ? C 同时成立. 证明题 1 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对于 x 1、 x 2 ? R,且 x 1< x 2 时 2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证:方程 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有不等实根,且必有一根属于区间 2 ( x 1, x 2). 答案 1 解:设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x?1 ? ? k2 ? 4 ?k ? ?2 ? k ?2 1 或 ? 则? ?? b ? ? ? b ?1 ?(k ? 1)b ? ?1 ? 3 ? ∴ f ( x) ? 2 x ? 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 2 换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。 与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。解法一(换元法) :令 1 3 t= x ? 1则 x=t 2 ?1, t≥1 代入原式有 f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 1 (x≥1) 解法二(定义法) : x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 1 (x≥1) x ? 1 ≥1 4 代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 解:设 M ( x, y) 为 y ? g ( x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y) 关于点 (?2,3) 的对称点 ? x? ? x ? 2 ? ?2 ? y? ? y ? x? ? ? x ? 4 ? ?3 ? 则? 2 ,解得: ? y ? ? 6 ? y , ? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上 ? y ? ? x? 2 ? x? ? x? ? ? x ? 4 ? 把 ? y ? ? 6 ? y 代入得: 2 整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6 2 ? g ( x) ? ? x ? 7 x ? 6 例 5 构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构 造方程组,通过解方程组求得函数解析式。 ∵已知 2 f ( x) ? 1 f ( ) ? 3x x ①, f ( x) ? 3 x x 将①中 x 换成 得 2 f ( 1 ) ? x ①×2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? 3 x 1 x ②, ∴ f ( x) ? 2 x ? 1 . 值域求法 例 1 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) y max ? 8 2 ?4 ? 4 ,当x ? ?1时, ∵ x ? [?1,2] 由二次函数的性质可知:当 x=1 时,y min 故函数的值域是:[4,8] 2. 判别式法例 2. 解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 ( y ? 1)x 2 ? ( y ? 1)x ? 0 (1)当y ? 1 时,x ? R ? ? (?1) 2 ? 4(y ? 1)( y ? 1) ? 0 1 3 ?y? 2 解得: 2 ?1 3? ?1 3? 1? ? , ? ? , ? (2)当 y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? 故函数的值域为? 2 2 ? 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域

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