2014学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学答案

2014 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案
一、 选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D

二、

填空题 11、 x ? 4 y ? 3 ? 0 12、 0.14? 13、 21 14、 2 2

三、

解答题

15、解: (1)依题意 f (t ) ? 4sin(

t ? ), t ? [0, 24] 12 3

?

?

实验室这一天上午 10 点,即 t ? 10 时, f (10) ? 4 sin( 所以上午 10 点时,温度为 4 C . (2)因为 0 ? t ? 24 ,所以 ? 令? ?

?

12

? 10?

?
3

) ? 4 sin

?
2

? 4,

?
3

?

?
12

t?

?
3

?

5? , 3

?
12

t?

?
3

,即 ?

?
3

?? ?

5? ? 5? ] ,所以 y ? 4sin ? , ? ? [ ? , 3 3 3

故当 ? ?

3? 3? ? ?4 时,即 t ? 22 时, y 取得最小值, ymin ? 4 sin 2 2

故当 t ? 22 时,这一天中实验室的温度最低。

16、解: (1)依题意得 “可回收垃圾”共有 4 ? 19 ? 2 ? 3 ? 28 (吨) 其中投放正确的,即投入了“可回收垃圾”箱的有 19 吨 设事件 A 为“可回收垃圾投放正确”

? 所以,可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为 P(A)
(2)据数据统计,总共抽取了 100 吨生活垃圾

19 28

其中“厨余垃圾”,“可回收垃圾”,“有害垃圾”,“其他垃圾”投放正确的数量 分别为 24 吨,19 吨,14 吨,13 吨。 故生活垃圾投放正确的数量为 24 ? 19 ? 14 ? 13 ? 70 吨 所以,生活垃圾投放错误的总量为 100 ? 70 ? 30 吨 设事件 B “生活垃圾投放错误” 故可估计生活垃圾投放错误的 概率为 P ( B ) ?

30 3 ? 100 10

17、证明: (1)连 BD 交 AC 于 O ,连 EO

? ABCD 为矩形
? O 为 BD 中点
又? E为PB中点

P

? EO ∥ PD
又? EO ? 面ACE , PD ? 面ACE

? PD ∥面 ACE (2)? PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD ? PA ? BC 又? ABCD 为矩形 ? BC ? AB 又? PA ? AB ? A
? BC ? 面PAB ? AE ? 面PAB

E A B O C D

? BC ? AE
又? AP ? AD , E 为 PB 中点,

? AE ? PB

? BC ? PB ? B
? AE ? 面PBC
又? AE ? 面ACE

? 面ACE ? 面PBC

18、解: (1)圆 C 的圆心 C : (0,0) , r ? 3

C 到直线 ax ? y ? 5 ? 0 距离为 d ?
? 直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C 相交

5 a2 ?1

?d ? r

?5 ? 3 a 2 ? 1
?a ? 4 4 或a ? ? 3 3

(2)? AB 为圆上的点

? AB 的垂直平分线过圆心
? lPC 与 ax ? y ? 5 ? 0 垂直
而 k PC ?

1 1 ? ? , k AB ? a ?2 2

1 ? ? a ? ?1 ,? a ? 2 2

? a ? 2 符合(1)中的 a ?

4 4 或a ? ? 3 3

? 存在 a ? 2 ,使得过 P(?2,1) 的直线 l 垂直平分弦 AB
19、解: (1) {an } 为等差数列

? a2 ? a1 ? d ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 6

? a1 , a1 ? a2 ,2(a1 ? a4 ) 成等比数列
?(a1 ? a2 )2 ? 2a1 (a1 ? a4 ) ,故有 (2a1 ? 2)2 ? 2a1 (2a1 ? 6) ,
解得 a1 ? 1 ,?an ? 1 ? 2 ? (n ?1) ? 2n ?1 .

(2)

an 2n ? 1 ? n ?1 n ?1 2 2

Sn ?

1 3 5 2n ? 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ?1 0 2 2 2 2

① ②

1 1 3 5 2n ? 1 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 2 2 2 2 2

①式减②式得,

1 1 1 1 1 2n ? 1 S n ? 1 ? 2( 1 ? 2 ? 3 ? ... n ?1 ) ? n 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2 ? 1? 2? 2 ? n 1 2 1? 2
? 1? 2 ? ? 3?( ? 3? ? Sn ? 6 ? ? n ? N *, 2n ? 3 2n ?1 2n ? 3 2n ? 3 ? 0 ,? S n ? 6 ? n ?1 ? 6 . n ?1 2 2 1 2
n?2

?

2n ? 1 2n

4 2n ? 1 ? n ) 2n 2

2n ? 3 2n

20、解:1)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x x ? 2 当 x ? 2 时, f ? x ? ? x ? 2x , f ? x ? ? x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? x ? 2x 的单调递增区间为 ? 2, ???
2

当 x ? 2 时, f ? x ? ? ?x ? 2x , f ? x ? ? ?x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? ?x ? 2x 的单调递增区间为 ? ??,1?
2

2)令 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 1 , 求函数 g ( x) 的零点个数,即求 y ? f ( x) 与 y ? 1 的交点个数;
2 ? ? x ? ax , ? x ? a ? f ? x? ? ? 2 ? ?? x ? ax , ? x ? a ?

当 x ? a 时, f ? x? ? x ? ax, f ? x ? ? x ? ax 的对称
2 2

轴为 x ?

a 2



x ? a 时, f ? x? ? ? x2 ? ax, f ? x ? ? ?x2 ? ax
a 2

的对称轴为 x ?

①当 a ? 0 时, f ? x ? ? x x , 故由图像可得, y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点

②当 a ? 0 时,

a ? a ,且 2

?a? a f ? ?? , ?2? 4

2

故由图像可得,当 a ? 2 时,

?a? a f ? ?? ? 1 , y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在 ?2? 4
两个交点 当 0 ? a ? 2 时,

2

?a? a f ? ?? ? 1 , y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在 ?2? 4
一个交点 当 a ? 2 时, f ?

2

?a? a ? 1 , y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在三个交点; ?? ?2? 4

2

③当 a ? 0 时,

a ? a, 2

故由图像可得, y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点; 综上所述:当 a ? 2 时, g ? x ? 存在三个零点; 当 a ? 2 时, g ? x ? 存在两个零点; 当 a ? 2 时, g ? x ? 存在一个零点.


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