湖南省师大附中学高二数学下学期期中试题理

在这里遇见你我的缘分

湖南师大附中 2018-2019 学年度高二第二学期期中考试

数学(理科)

时量:120 分钟

满分:150 分

得分:______________

第Ⅰ卷 (满分 100 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集 U={-1,0,1,2,3,4},A={-1,0,2,4},则?UA=

A

B.{0,2,4} C.{1,3} D.{-1,1,3}

2.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程

中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定

3.如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0 互相平行,那么 a 的值等于 A.-2 B.-13 C.-23 D.2

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=3,b= 3,A=π3 ,则 B=

A.π6 B.56π C.π6 或56π D.2π3

5.如图的程序运行后输出的结果为 x=5 y=-20

IF x<0 THEN x=y-3

ELSE y=y+3
END IF

PRINT x-y

END A.-17 B.22 C.25 D.28 6.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面交线的位置关系是

A.异面 B.相交 C.平行 D.平行或重合 7.在△ABC 中,已知 cos A=153,cos B=45,则 cos C 的值为

16 56 16 56

16

A.65 B.65 C.65或65 D.-65

8.要从已编号(1~60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是

A.5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C.1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 9.取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 2

m 的概率是

111 A.5 B.3 C.4 D.不确定 10.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角

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的取值范围是
A.???0,π6 ??? B.???π3 ,π ??? C.???π3 ,π ??? D.???π6 ,π ???
答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.已知 m>0,n>0,且 m+n=4,则 mn 的最大值是________.
12.已知函数 f(x)=?????l2ox(g3xx(≤x0)>0) ,,则 f???f???19??????的值为________.
13.等差数列{an}中,a3=3,a8=33,则数列{an}的公差为________.
14.函数 y= 2sin x-1的定义域是________. 15.如图,正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 的同一个大圆上,点 P
16 在球面上,如果 V = P-ABCD 3 ,则球 O 的表面积是________.
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 某校从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中,随机抽取 60 名,将其成绩(均为整数)分成 六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图的频率分布直方图. (1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位); (2)若这次竞赛成绩不低于 80 分的同学都可以获得一份礼物,试估计该校参加竞赛的 1200 名学生中可以获得礼物的人数.
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17.(本小题满分 8 分)
已知函数 f(x)=a·2x2+x-1 1的图象经过点???1,13???.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的定义域和值域; (3)证明:函数 f(x)是奇函数.

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18.(本小题满分 8 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)求证:PB∥平面 AEC; (2)求证:CD⊥平面 PAD; (3)若三棱锥 C-ADE 的体积为23,求四棱锥 P-ABCD 的侧面积.
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19.(本小题满分 8 分)
已知向量 a=(1,- 3),b=???sin x,sin???x+π2 ??????,x∈R. (1)若 a⊥b,求 tan x 的值; (2)设函数 f(x)=(a·b)·cos x,x∈???0,π2 ???,求 f(x)的值域.
20.(本小题满分 10 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2,an,Sn 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)对于(2)中的 Tn,设 cn=Tan2-n+21 ,求数列{cn}中的最大项.
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第Ⅱ卷 (满分 50 分) 一、选择题:本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中,

有且只有一项是符合题目要求的.

21.给出下列四个命题 ①命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1”; ②命题“ x∈R,x2+x-1<0”的否定是“ x∈R,x2+x-1>0”;

③命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题; ④“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.

其中真命题的个数是

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 x2 y2
22.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两顶点为 A1,A2,其虚轴两端点为 B1,B2,两焦点为

F1,F2,若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,则双曲线的离心率是

3+ 5

5+1

A. 5-1 B. 2 C. 2 D. 3+1

23.设 a1,a2,…,an 是 1,2,…,n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个 数称为 ai(i=1,2,…,n)的顺序数,如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0,则在 1 至 8 这 8 个数的排列中,8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数

为 3 的不同排列的种数为 A.96 B.144 C.192 D.240

答题卡

题号 21 22 23 得分

答案

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 24.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知抛

物线 C 的极坐标方程为 ρ cos2θ =4sin θ (ρ ≥0),直线 l 的参数方程为??x=

3t, (t 为参

?y=1+t

数).设直线 l 与抛物线 C 的两个交点为 A、B,点 F 为抛物线 C 的焦点,则|AF|+|BF|的值

为________. 25.若存在实数 a,b(0<a<b)满足 ab=ba,则实数 a 的取值范围是________.

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

26.(本小题满分 12 分) x2 y2
如图,设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过点 A 作
与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q,且|QF1|=|F1F2|.
(1)若过 A,Q,F2 三点的圆恰好与直线 l:x- 3y-3=0 相切,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,在 x 轴 上是否存在点 P(m,0)使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出 m 的取值 范围;如果不存在,请说明理由.
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27.(本小题满分 13 分)

已知函数 f(x)=ln(x+1),g(x)=12ax2+bx.

(1)若 a=0,f(x)<g(x)在(0,+∞)上恒成立,求 b 的取值范围;

(2)设数列

n cn=n+1,Sn

为数列{cn}的前

n

项和,求证:Sn<n-ln???n+2 2???;

(3)当 a≠0 时,设函数 f(x-1)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于点 P,Q,过线段 PQ

的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M,N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在

N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

湖南师大附中 2018-2019 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案-(这是边

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湖南师大附中 2018-2019 学年度高二第二学期期中考试

数学(理科)参考答案

第Ⅰ卷 (满分 100 分)

一、选择题

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

CBDABCABA B

二、填空题

11.4. 12.14 13.6 14.???2kπ +π6 ,2kπ +56π ???(k∈Z)

15.16π 【解析】正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 的同一个大圆

上,点 P 在球面上,PO⊥底面 ABCD,PO=R,SABCD=2R2,VP-ABCD=136,所以13·2R2·R=136,解

得 R=2,则球 O 的表面积是 16π . 三、解答题

16.【解析】(1)由图可知,本次竞赛成绩的众数是 75.

因为前三个小组的频率之和为 0.4,所以中位数落在第四个小组内.

设中位数为 x,则有(x-70)×0.03=0.5-0.4,解得 x≈73.3.

所以中位数约为 73.3.(3 分)

(2)因为不低于 80 分的频率=(0.025+0.005)×10=0.3,

所以 1200 名学生中可以获得礼物的人数约为 1200×0.3=360.(6 分)

2a-1 1 17.【解析】(1)由已知,f(1)= 3 =3,解得 a=1.(1 分)

(2)由(1)知,f(x)=22xx-+11,∵2x>0,2x+1>1,∴f(x)的定义域为 R.

∵f(x)=22xx- +11=1-2x+2 1,又∵2x∈(0,+∞),∴2x+2 1∈(0,2),

∴f(x)的值域为(-1,1).(5 分)

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2-x-1 1-2x (3)∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=2-x+1=1+2x=-f(x), ∴f(x)是奇函数.(8 分)

18.【解析】(1)连结 BD,交 AC 于点 O.连结 OE.

因为四边形 ABCD 是正方形,所以 O 为 BD 的中点,

又 E 为 PD 的中点,所以 OE 为△PBD 的中位线,

所以 OE∥PB.

又 PB 平面 AEC,OE 平面 AEC,

所以 PB∥平面 AEC.(3 分)

(2)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 CD⊥AD.

因为 PA⊥底面 ABCD,所以 CD⊥PA.

又 AD∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAD.(6 分)

1

2

(3)因为 VC-ADE=VE-ACD=3·h·S△ACD=3,

又因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,所以 S△ACD=2,所以 h=1.

又因为 E 是 PD 的中点,所以 PA=2h=2.所以 PB=PD=2 2.

所以四棱锥 P-ABCD 的侧面积=2S△PAB+2S△PBC=2???12×2×2+12×2×2 2???=4+4 2.(8

分)

19.【解析】(1)因为 a⊥b,所以 a·b=sin x- 3sin???x+π2 ???=sin x- 3cos x=0,
解得 tan x= 3.(4 分)

(2)f(x)=(sin x- 3cos x)cos x=sin xcos x- 3cos2x

=12sin 2x- 3·1+c2os 2x=sin???2x-π3 ???- 23, 当 x∈???0,π2 ???时,2x-π3 ∈???-π3 ,2π3 ???,sin???2x-π3 ???∈???- 23,1???, 所以 f(x)的值域为???- 3,1- 23???.(8 分)
20.【解析】(1)∵2an=2+Sn, ① ∴2an-1=2+Sn-1(n≥2). ② ①-②得 an=2an-1(n≥2),又 2a1=2+a1,a1=2,∴an=2n.(3 分) (2)bn=n·an=n·2n, 用错位相减法得:Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, ① 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, ② ①-②,得 Tn=(n-1)·2n+1+2.(6 分)

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(3)cn=Tan2-n+21 =(n-212)n+1·2n+1=n-2n 1,

?? 由???cn≥cn+1,得 ??? ??cn≥cn-1,

n-1 n 2n ≥2n+1, 解得 2≤n≤3(n∈N*).
n-1 n-2 2n ≥ 2n-1 ,

∴n=2 或 n=3 时,cn 最大,即 c2=c3=14为{cn}中的最大项.(10 分)

第Ⅱ卷 (满分 50 分)

一、选择题 21.A 【解析】①为假命题,“若 x2=1,则 x=1”的否命题应为“若 x2≠1,则 x≠1”; ②为假命题,“ x∈R,x2+x-1<0”的否定应为“ x∈R,x2+x-1≥0”;③正确;④为 假命题,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.选 A.

22.C 【解析】解:由题意可得 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),

F1(-c,0),F2(c,0), 且 a2+b2=c2,菱形 F1B1F2B2 的边长为 b2+c2, 由以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.

1

1

由面积相等,可得2·2b·2c=2a·4

b2+c2,

即为 b2c2=a2(b2+c2),即有 c4+a4-3a2c2=0,

由 e=ca,可得 e4-3e2+1=0,

解得 e2=3±2 5,可得 e=1+2 5,或 e= 52-1(舍去).故选 C. 23.B 【解析】8 的顺序数为 2,则 8 必是排第三位.7 的顺序数为 3,则 7 必是第 5 位, 那么还得考虑 5 和 6,有两种,(1)5 在 6 的前面.那么 5 只能排在第 6 位,6 可以是第 7 或 第 8 位,其它四个任排,有 2A44=48 种.(2)6 在 5 前面, 5 在第 7 位,有 4A44=96 种.所以 满足题意的排列总数为 48+96=144 种.故选 B. 二、填空题 24.136 【解析】抛物线 C 的直角坐标方程为 x2=4y,直线 l 的方程为 x= 3(y-1),

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),

则由??x2=4y,

解得

?x= 3(y-1)

10 y1+y2= 3 ,又直线过抛物线的焦点

F(0,1),

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所以|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=130+2=136.

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25.(1,e) 【解析】因为 0<a<b,对等式 ab=ba 的两边取自然对数,得 bln a=aln b,

ln a ln b

ln x

1-ln x

即 a = b .构造函数 f(x)= x (x>0),则 f′(x)= x2 ,令 f′(x)=0 得 x=e.易

1 知 f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,所以 f(x)max=f(e)=e.因 为 f(1)=0,所以当 x∈(0,1)时 f(x)<0;当 x>1 时 f(x)>0.如图所示,a,b 可以看成是函 数 f(x)=lnx x(x>0)的图象与直线 y=k(k>0)的两个交点的横坐标.因为 0<a<b,所以 a 的取

值范围是(1,e). 三、解答题 26.【解析】(1)设 Q(x0,0),由 F2(c,0),A(0,b),

知F→2A=(-c,b),A→Q=(x0,-b),

∵F→2A⊥→AQ,∴-cx0-b2=0,x0=-bc2.由于|QF1|=|F1F2|,
故-bc2+c=-2c,∴b2=3c2=a2-c2,即 c=12a,

于是 F2???12a,0???,Q???-32a,0???.

又因为△AQF2 的外接圆圆心为???-12a,0???,半径 r=a.该圆与直线 x- 3y-3=0 相切,

所以???-122a-3???=a

a=2.∴c=1,b= 3.

x2 y2 ∴所求椭圆方程为 4 + 3 =1.(4 分)

??y=k(x-1),

(2)由(1)知 F2(1,0),设 l:y=k(x-1),由???x42+y32=1

消掉 y,得

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.(6 分)

8k2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=3+4k2,y1+y2=k(x1+x2-2),(7 分)

→PM+→PN=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2),

由于菱形的对角线垂直,故(P→M+P→N)·M→N=0,(9 分)

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故 k(y1+y2)+x1+x2-2m=0,即 k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,

即:k2???3+8k42k2-2???+3+8k42k2-2m=0,

k2

1

1

由已知条件知 k≠0 且 k∈R,∴m=3+4k2= 3 ,∴0<m<4,

k2+4

故存在满足的点 P(m,0)且 m 的取值范围是???0,14???.(12 分)
27.【解析】(1)a=0 时,f(x)<g(x) ln(x+1)<bx, 设 h(x)=ln(1+x)-bx,则 h′(x)=1+1 x-b.

若 b≤0,显然不满足题意;

若 b≥1,则 x∈[0,+∞)时,h′(x)=1+1 x-b≤0 恒成立,

∴h(x)在(0,+∞)上为减函数,有 ln(x+1)-bx<h(0)=0 在(0,+∞)上恒成立;



0<b<1,则

1 h′(x)=1+x-b=0

时,x=1b-1,x∈???0,1b-1???时

h′(x)≥0,

所以 h(x)在???0,1b-1???上单调递增.

∵h(0)=0,∴x∈???0,1b-1???时,h(x)>0,不满足题意.
综上,b≥1 时 f(x)<g(x)在(0,+∞)上恒成立.(4 分)

(2)由(1)得 ln(x+1)<x 在(0,+∞)上恒成立.令 x=n+1 1有

ln???1+n+1 1???<n+1 1,1-n+1 1<1-ln???1+n+1 1???,
1 则 cn=1-n+1<1-ln(n+2)+ln(n+1),
∴Sn<(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+…+(1-ln(n+2)+ln(n+1)),
即 Sn<n-ln???n+2 2???.(8 分)
(3)f(x-1)=ln x,设点 P,Q 的坐标是 P(x1, y1),Q(x2, y2),且 0<x1<x2, 则点 M,N 的横坐标为 x=x1+2 x2.

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1=

1x???x=x1+2 x2=x1+2 x2.

C2 在点 N 处的切线斜率为 k2= ax+b|x=x1+2 x2=a(x1+ 2 x2)+b.
假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即x1+2 x2=a(x1+ 2 x2)+b.

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所以2(xx12+-xx21)=a(x222-x21)+b(x2-x1)

=???a2x22+bx2???-???a2x21+bx1???=y2-y1=ln x2-ln x1=ln xx21.

所以 ln xx21=2(xx12+-xx21)=2???1xx+12-xx211???.(10 分)

设 u=xx21>1,则 ln u=2(1u+-u1),u>1. ①

2(u-1)

1

4

(u-1)2

令 r(u)=ln u- 1+u ,u>1,则 r′(u)=u-(u+1)2=u(u+1)2.

因为 u>1,所以 r′(u)>0,所以 r(u)在[1,+∞)上单调递增.

故 r(u)>r(1)=0,则 ln u>2(uu+-11).

这与①矛盾,假设不成立. 故不存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行.(13 分)

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