新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第1课时均值不等式课件新人教B版必修5_图文

新课标导学

数 学
必修5 ·人教B版

第三章
不等式 3.2 均值不等式
第1课时 均值不等式

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接 称重不准确. 有一个顾客要买一串金项链, 店主分别把项链放 于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量 a 和 b,然后就把 a+b 两次称得的重量的算术平均数 2 作为项链的重量来计算. 顾 客对这个重量的真实性提出了质疑,那么这样计算的重量相对于原来的真实重量 到底是大了还是小了呢?

1.均值定理(又称基本不等式或均值不等式) a+b ≥ ab 2 (1)形式:______________.
a∈R+ ,________. b∈R+ (2)成立的前提条件:________ a=b 时取等号. (3)等号成立的条件:当且仅当________

2.算术平均值和几何平均值
(1)定义 a+ b ab 叫做正实数 a、b的几何 ________ 叫做正实数a、b的算术平均值,________ 2 平均值. (2)结论

大于或等于 它们的几何平均值. 两个正实数的算术平均值___________
(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数,那么①若积xy是定值P,那么 x=y 时,和x+y有________ x=y 时, 最小 值.②若和 x+y是定值S,那么当________ ________ 最大 值. 积xy有________

1.已知 a、b∈R,且 a2+b2=4,那么 ab 导学号 27542650 ( A ) A.有最大值 2,有最小值-2 C.有最小值 2,但无最大值 B.有最大值 2,但无最小值 D.有最大值 2,有最小值 0

[解析]

这里没有限制 a、 b 的正负, 则由 a2+b2=4, a2+b2≥2|ab|, 得|ab|≤2,

所以-2≤ab≤2,可知 ab 的最大值为 2,最小值为-2.

4 2.已知 x>0,则 y=3x+ 有 导学号 27542651 ( B ) x A.最大值 4 3 C.最大值 2 3
[解析] 等号成立. 4 ∵x>0,∴y=3x+ ≥2 x

B.最小值 4 3 D.最小值 2 3
4 4 2 3 3x·=4 3,当且仅当 3x= ,即 x= 时, x x 3

1 1 1 3.已知 a>0,b>0,a、b 的等差中项是2,且 α=a+a, β=b+b,则 α+β 的最小值是 导学号 27542652 ( C ) A.3 C.5 B.4 D.6

[ 解析 ] 1 =5. a+b 2 ? 2 ?

a+b 1 1 1 由题意 a + b = 1 ,则 α + β = a + a + b + b = 1 + ab = 1 + ab ≥1 +

4.在 4× +9× =60 的两个 中,分别填入两自然数,使它们的倒数和

4 6 最小,应分别填上________ 和________. 导学号 27542653

[解析]

设两数为 x,y,即 4x+9y=60.

1 1 1 1 4x+9y 1 4x 9y x+y=(x +y )· 60 =60(13+ y + x ) 1 ≥ (13+2 60 4x 9y 1 5 4x 9y · )= ×(13+12)= .当且仅当 = ,且 4x+9y=60,即 y x 60 12 y x

x=6 且 y=4 时等号成立,故应填 6 和 4.

[9,+∞) 5 .若正数 a 、 b 满足 ab = a + b + 3 ,则 ab 的取值范围是 ____________.
导学号 27542654
[解析] ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab.

∵ab=a+b+3≥2 ab+3, ∴( ab)2-2 ab-3≥0, ∴ ab≥3 或 ab≤-1(舍去),∴ab≥9.

课堂典例讲练

命题方向1 ?利用均值不等式比较两数(式)的大小
1 已知 m=a+ (a>2),n=22-b2(b≠0),则 m、n 的大小关系是 a-2 导学号 27542655 ( A ) A.m>n C.m=n B.m<n D.不确定

[解析]

∵a>2,∴a-2>0,

1 1 又∵m=a+ =(a-2)+ +2 a-2 a-2 ≥2 1 1 ?a-2?· +2=4,当且仅当 a-2= ,即(a-2)2=1,又 a-2>0, a-2 a-2

∴a-2=1,即 a=3 时取等号.∴m≥4. ∵b≠0,∴b2≠0,∴2-b2<2, ∴22-b2<4,即 n<4,∴m>n.

〔跟踪练习 1〕 导学号 27542656 某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b,这两年 的平均增长率为 x,则( B ) a+b A.x= 2 a+b C.x> 2 a+b B.x≤ 2 a+b D.x≥ 2

[解析]

∵这两年的平均增长率为 x,

∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b), ∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由题设 a>0,b>0. ?1+a?+?1+b? ∴1+x= ?1+a??1+b?≤ 2 a+b a+b =1+ ,∴x≤ .等号在 1+a=1+b 即 a=b 时成立. 2 2

命题方向2 ?应用基本不等式求最值
4 (1)已知 x<2,求函数 f(x)=x+ 的最大值; 导学号 27542657 x-2 1 (2)已知 0<x<2,求函数 y=x(1-2x)的最大值. [分析] 4 4 (1)将 x+ 等价转化为-(2-x+ )+2 即可. x-2 2-x

1 (2)将“x(1-2x)”变形为“2×2x(1-2x)”, 利用 2x+(1-2x)=1 为定值即可.

[解析]

(1)∵x<2,∴2-x>0,

4 4 ∴f(x)=x+ =-[(2-x)+ ]+2 x-2 2-x ≤-2 4 ?2-x?? ?+2=-2, 2-x

4 4 当且仅当 2-x= , 得 x=0 或 x=4(舍去), 即 x=0 时, 等号成立. ∴x+ 2-x x-2 的最大值为-2.

1 (2)∵0<x< ,∴1-2x>0. 2 1 1 2x+?1-2x? 2 1 ∴y=x(1-2x)= · 2x(1-2x)≤ [ ]= , 2 2 2 8 1 当且仅当 2x=1-2x,即 x= 时,等号成立. 4

[点评] 1.利用均值不等式求范围或最值时要注意: (1)x、y一定要都是正数.

(2)求积xy最大值时,应看x+y是否为定值;求x+y最小值时,应看xy是否为
定值. (3)等号是否能够成立. 2.有时需要结合题目条件进行添项、凑项以及“1”的代换等,目的是为了 使和或积为常数.

〔跟踪练习 2〕 导学号 27542658 t2-4t+1 -2 已知 t>0,则函数 y= 的最小值为 ________. t

[解析]

t2-4t+1 1 ∵t>0,∴y= =t+ t -4 t

1 ≥2-4=-2,当且仅当 t= t ,即 t=1 时,等号成立.

命题方向3 ?均值不等式在实际问题中的应用
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公 园由长方形 A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行道 ( 阴影部分 ) 组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的 面 积 为 4 000 m2 , 人 行 道 的 宽 分 别 为 4 m 和 10 m( 如 图 所 示). 导学号 27542659

A1B1 (1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x>1),求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x B1C1 的函数 S(x)的解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? 20 10 2 [解析] (1)设休闲区的宽为 a m, 则其长为 ax m, 由 a x=4 000, 得 a= . x

则 S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 20 10 =4 000+(8x+20)· +160 x 5 =80 10(2 x+ )+4 160(x>1). x

(2)S(x)≥80 10×2

5 2 x× +4 160=1 600+4 160=5 760. x

5 当且仅当 2 x= ,即 x=2.5 时取等号,此时 a=40,ax=100. x 所以要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 m,宽 40 m.

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542660 某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车使用多少 年时,它的年平均费用最少?

[解析]

年平均费用等于总费用除以年数,总费用包括:购车费、保险费、养

路费、汽油费总和以及维修费用总和,因此应先计算总费用,再计算年平均费用. 设使用 x 年平均费用最少.

由条件知:汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项,0.2 万元为公差的等差数 列. 因此,汽车使用 x 年总的维修费用为 ?0.2+0.2x?· x 万元. 2 设汽车的年平均费用为 y 万元,则有

?0.2+0.2x?· x 10+0.9x+ 10+x+0.1x2 2 y= = x x 10 x =1+ x +10≥1+2 10 x x· 10=3.

10 x 当且仅当 x =10,即 x=10 时,y 取最小值. 答:汽车使用 10 年平均费用最少.

1 9 已知 a>0,b>0,且a+b=1,求 a+b 的最小值. 导学号 27542661
[错解] ∴ab≥36. ∴a+b≥2 ab≥12.∴a+b 的最小值为 12. 1 9 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 9 ab =6 1 ab,∴6 1 1 1 ab≤1,∴ab≤36,

[辨析]

上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时, 两个等号成立的条件

1 9 不同,即第一次等号成立的条件为 = ,即 b=9a,第二次等号成立的条件为 a= a b b,故 a+b 取不到最小值 12.

[正解] 2

1 9 1 9 b 9a ∵a>0,b>0, + =1,∴a+b=( + )(a+b)=1+9+ + ≥10+ a b a b a b

b 9a a· b =10+2×3=16. b2=9a2 ? ? b 9a 2 2 当且仅当 = ,即 b =9a 时等号成立.由?1 9 ,解得 a=4,b=12. a b +b=1 ? a ? 故当 a=4,b=12 时,a+b 取最小值 16.


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