广东省六校联盟2015届高三第四次联考数学(文)试题


广东省六校联盟 2015 届高三第四次联考数学(文)试题
2015.5 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.设集合 A ? ?x | y ? lg(3 ? 2 x)? ,集合 B ? x | y ? 1 ? x ,则 A A. [1, )

?

?

B?(



3 2

B. [??,1)

C. (??, ) )

3 2

D. ( , ??]

3 2

2.设 a,b 为实数,若复数 ?1 ? i ? ? (a ? bi) ? 1 ? 2i ,则( A. a ?

3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1

C. a ?

1 3 ,b ? 2 2

D. a ? 1, b ? 3

3.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? B. 1 ? )

a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? ( a7 ? a8 2
C. 3 ? 2 2



2

2

D. 3 ? 2 2

4.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,x?<0 C. ?x∈R, 2 x >0 5. 已知奇函数 y ? ?

B.“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 D.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 )

? f ( x ), x ? 0 = 如果 f ( x) ? a x (a>0且a≠1) 对应的图像如图所示, 那么g (x) ( g ( x ), x ? 0 ?
B. ? ( )x

A.( )? x 6.给定下列四个命题:

1 2

1 2

C.(2)? x

D. ?2 x

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② 7.已知双曲线 ) C.③和④ D.②和④ )

B. ②和③

1 x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 2 2 2 a b
B. 3 C. 5 D.2

A.

5 2

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?x ? 2y ? 5 ? 0 ? 8.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,且 x,y 为整数,则 3x ? 4 y 的 ? x ? 0, y ? 0 ?
最小值为( A.14 ) B.16 C.17 ) D.-1 D.19

9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是( A.4 B.

3 2

C.

2 3

10.对于定义域为 D 的函数 y=f(x)和常数 C,若对任意正实数ξ ,存在 x∈ D,使得 0<|f(x)-c|<ξ 恒成立,则称对于定义域为 D 的函数 y=f(x) 和常数 C,若对任意正实数ξ ,存在 x∈D,使得 0<|f(x)—c|<ξ 恒成 立,则称函数 y=f(x)为“敛 C 函数” .现给出如下函数:
x ①f(x)=x(x∈Z) ; ② f ( x) ? ( ) ? 1 ( x ? Z );③ f(x) ? log2 x ; ④ f ( x) ?

1 2

x ?1 . x

其中为“敛 1 函数”的有( A.①② B.③④

) D.①②③

C.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数之和小于 0.8 的概率是________. 12.在△ABC 中∠ABC=

? ,AB= 2 ,BC=3,则 sin∠BAC=________. 4

13.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三 棱锥 C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )

(二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题) 14. (坐标系与参数方程选做) 在极坐标系中, 圆ρ =2上的点到直线

? (cos? + 3sin?) =6 的距离为______.

15.(几何证明选讲)如图,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连 结AC,PC= 2 3 ,若∠CAP=30°,则⊙O的直径AB=

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x cos x. (1)求函数 f ( x ) 的最大值; (2)在△ABC 中,AB=AC=3,∠A 满足 f (

A ? ? ) ? 1 ,求△ABC 的面积. 2 8

17. (本小题满分12分) 某班 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下: (1)求频率分布直方图中 的值; (2)分别球出成绩落在 [50,60) 与 [60,70) 中的学生人数; (3)从成绩在 [50,70) 的学生中人选 2 人,求此 2 人的成绩都 在 [60,70) 中的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°,M 为 PC 的中点. (1)求证: PC ? AD ; (2)在棱 PB 上是否存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面?若存在,指出 Q 的位置并证明,若不存在,说 明理由。 (3)求点 D 到平面 PAM 的距离。

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19. (本小题满分14分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像通过原点,对称轴为 x ? ?2n, f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,且

f '(0) ? 2n , (n ? N *)。
(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)若数列 ?an ? 满足 an?1 ? f '(an ), 且 a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 (3)若 b ? n ? 2 n
an?1 ? an 2

, Sn ? b1 ? b2 ?

? bn , 是否存在自然数 M,使得当 n>M 时, n ? 2n?1 ? Sn ? 50 恒

成立?若存在,求出最小的 M,若不存在,说明理由。

20. (本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系 两点 直线 、 作抛物线的切线 交于点 . 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0).过抛物线在 轴上方的不同 、 ,与 轴分别交于 、 两点,且 与 交于点 ,直线 与

(1)求抛物线的标准方程; (2)求证: (3)若直线 轴; 与 轴的交点恰为 F(1,0),求证:直线 过定点.

21. (本小题满分14分) 设函数 f ( x) ?

1 ? x ? a ln x(a ? R) (e 为自然对数的底数) x

(1) 若函数 f ( x ) 在定义域上不单调,求 a 的取值范围。 (2) 设函数 f ( x ) 的两个极值点 x1 , x2 , 记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k,是否存 在 a,使得 k ?

2e a ? 2 ? 若存在,求出 a 的取值集合;若不存在,请说明理由。 e ?1
2

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参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 A 8 A 9 A 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.

4 5

12.

13. 1

14.

15.

9 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 16.

17.

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20.

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21.

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