精品学案:新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案


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§1.1.1 集合的含义及其表示
[自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A ; (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作 N ,正整数集记作 N 或 N ? ,整数集记作 Z ,有理数集记作 Q , 实数集记作 R . [预习自测] 例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于 5 的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式 2 x ? 1 ? 7 的整数解; (4)所有大于 0 的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.
*

例 2.已知集合 M ? ?a, b, c? 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 A.直角三角形 ( B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 )

例 3.设 a ? N , b ? N , a ? b ? 2, A ?

?? x, y ? ? x ? a ? ? ? y ? a ?
2

2

? 5b , 若 ?3,2? ? A ,求 a , b 的值.

?

分析: 某元素属于集合 A,必具有集合 A 中元素的性质 p ,反过来,只要元素具有集合 A 中元素的性 质 p ,就一定属于集合 A.

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2 例 4.已知 M ? ?2, a, b? , N ? 2a, 2, b ,且 M ? N ,求实数 a , b 的值.

?

?

[课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A)所有著名的作家可以形成一个集合 (B)0 与 ?0? 的意义相同 (C)集合 A ? ? x x ?

? ?

? 1 , n ? N ? ? 是有限集 n ?

(D)方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集只有一个元素
2

2.下列四个集合中,是空集的是 A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x ? 0} x ? y ?2 3.方程组 x ? y ?0 的解构成的集合是
2

( B. {( x, y) | y ? ? x , x, y ? R}
2 2



D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0} ( C. (1,1) D. {1} . )

{

A. {(1,1)}

B. {1,1}

4.已知 A ? {?2,?1,0,1} , B ? {y | y ? x x ? A},则 B= 5.若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B=
2

.

[归纳反思] 1. 本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法, 难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三 个重要特性的正确使用; 2.根据元素的特征进行分析,运用集合中元素的三个特性解决问题,叫做元素分析法。这是解决 有关集合问题的一种重要方法; 3. 确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合 可采用列举法,而其它的一般采用描述法. 4.要特别注意数学语言、符号的规范使用. [巩固提高]

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1.已知下列条件:①小于 60 的全体有理数;②某校高一年级的所有学生;③与 2 相差很小的数; ④方程 x =4 的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.下列关系中表述正确的是-----------------------------------------( A.
2

) )

0 ? ? x 2 ? 0?

B.

0 ??? 0,0??

C. 0 ??

D. 0 ? N )

3.下列表述中正确的是----------------------------------------------( A.

?0? ? ?

B.

?1, 2? ? ?2,1?
2

C.

??? ? ?

D. 0 ? N )

?a ? 3, 2a ? 1, a 4.已知集合 A=
A.0 B.-1

? 1?

,若 ?3 是集合 A 的一个元素,则 a 的取值是( D.2

C.1

?x ? 3 ? 2 y ? 5x ? y ? 4 的解的集合是---------------------------------------( 5.方程组 ?
A.



??1, ?1??

B.

?? ?1,1??

C.

?? x, y ? ?1, ?1??

D.

??1,1?

?2 x ? 4 ? 0 ? 1 ? x ? 2 x ? 1 的整数解集合为: 6.用列举法表示不等式组 ?
1 ? 2 5 ? 2 19 ? ? ? ? x x ? ax ? ? 0? ? x x ? x ? a ? 0? 2 2 ? 中所有元素的和为: ? ,则集合 ? 7.设 2 ?
8、用列举法表示下列集合: ⑴ ⑵

?? x, y ? x ? y ? 3, x ? N , y ? N?
? y x ? y ? 3, x ? N , y ? N ?

9.已知 A={1,2,x -5x+9},B={3,x +ax+a},如果 A={1,2,3},2 ∈B,求实数 a 的值.

2

2

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10.设集合

A ? ?n n ? Z , n ? 3?
2

,集合

B ? ? y y ? x 2 ? 1, x ? A?



C?

?? x, y ? y ? x

? 1, x ? A

?

集合,试用列举法分别写出集合 A、B、C.

1.1.2 子集、全集、补集
[自学目标] 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. [知识要点] 1.子集的概念:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素(若 a ? A ,则 a ? B ) ,那么 称集合 A 为集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B 或 B ? A ,. A A ? B 还可以用 Venn 图表示. B 我们规定: ? ? A .即空集是任何集合的子集. 根据子集的定义,容易得到: ⑴任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A . ⑵子集具有传递性,即若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C . 2.真子集:如果 A ? B 且 A ? B ,这时集合 A 称为集合 B 的真子集(proper subset). 记作:A B ⑴规定:空集是任何非空集合的真子集. ⑵如果 A B, B

C ,那么 A

C

3.两个集合相等:如果 A ? B 与 B ? A 同时成立,那么 A, B 中的元素是一样的,即 A ? B . 4. 全集: 如果集合 S 包含有我们所要研究的各个集合, 这时 S 可以看作一个全集 (Universal set) , 全集通常记作 U. 5.补集:设 A ? S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集

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(complementary set), 记作: ?S A (读作 A 在 S 中的补集),即

?S A ? {x x ? S , 且x ? A}.
补集的 Venn 图表示:

S

U
A

A CUA

?S A

[预习自测] 例 1.判断以下关系是否正确: ⑴ ⑷

?a? ? ?a? ;
0 ??0?


⑵ ⑸

?1,2,3? ? ?3,2,1? ;
???0?


⑶ ⑹

? ? ?0? ? ? ?0?





例 2.设 A ? x ? 1 ? x ? 3, x ? Z ,写出 A 的所有子集.

?

?

2 例 3. 已知集合 M ? ?a, a ? d, a ? 2 d? , N ? a, aq , aq , 其中 a ? 0 且 M ? N , 求 q 和 d 的值

?

?

(用 a 表示).

2 例 4.设全集 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , CU A ? ?5? ,求实数 a 的值.

?

?

?

?

例 5.已知 A ? x x ? 3 , B ? x x ? a . ⑴若 B ? A ,求 a 的取值范围; ⑵若 A ? B ,求 a 的取值范围;

?

?

?

?

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⑶若 CR A

CR B ,求 a 的取值范围.

[课内练习] 1. 下列关系中正确的个数为( )

①0∈{0},②Φ {0},③{0,1} ? {(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}

A)1

(B)2

(C)3 ) (D) 13

(D)4

2.集合 ?2,4,6,8?的真子集的个数是( (A)16 (B)15 (C)14

3.集合 A ? ? 正方形?, B ? ?矩形?, C ? 平行四边形 , D ? 梯形 ,则下面包含关系中不正 确的是( ) A ? B (A) 4.若集合 ,则 b ? _____. 5.已知 M={x| ?2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a?1}. (Ⅰ)若 M ? N,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 M ? N,求实数 a 的取值范围. (B) B ? C (C)

?

?

?

?

C?D

(D) A ? C

[归纳反思] 1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、 真子集,补集的概念,注意 空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集. 2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题,并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言, 抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙,解决集合问题时要注意充 分运用数轴和韦恩图,发挥数形结合的思想方法的巨大威力。 [巩固提高] 1.四个关系式:① ? ? {0} ;②0 ? {0} ;③ ? ? {0} ;④ ? ? {0} .其中表述正确的是[ A.①,② B.①,③ C. ①,④ D. ②,④ ]

2. 若 U={x∣x 是三角形}, P={ x∣x 是直角三角形}, 则 A.{x∣x 是直角三角形}

C

U

P ? ----------------------[

]

B.{x∣x 是锐角三角形}

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C.{x∣x 是钝角三角形}

D.{x∣x 是锐角三角形或钝角三角形}

3.下列四个命题:① ? ? ?0? ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个子集;④空集是任何 一 个 集 合 的 子 集 . 其 ---------------------------------------------------[ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4 . 满 足 关 系 中 ] 正 确 的 有

?1,2? ? A

?1

,

集 ,合 4 A , 的 5个 数 是 2? ,的 3

--------------------------[ ] A.5 B.6 C.7 5.若 x, y ? R , A ? A.A

D.8 ]

y ? ?? x, y ? y ? x? , B ? ? ?? x, y ? ? 1? ,则 A, B 的关系是---[ x ? ?
B.A

B

B

C. A ? B

D. A ? B

6.设 A= x x ? 5, x ? N ,B={x∣1< x <6,x ? N } ,则

?

?

C

A

B?

7.U={x∣ x 2 ? 8x ? 15 ? 0, x ? R},则 U 的所有子集是 8.已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

9.已知集合 P={x∣ x 2 ? x ? 6 ? 0, x ? R} ,S={x∣ ax ? 1 ? 0, x ? R} , 若 S ? P,求实数 a 的取值集合.

10.已知 M={x∣x ? 0, x ? R },N={x∣x ? a, x ? R } (1)若 M ? N ,求 a 得取值范围; (2)若 M ? N ,求 a 得取值范围; (3)若

C

R

M

C

R

N ,求 a 得取值范围.

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交集、并集
[自学目标] 1.理解交集、并集的概念和意义 2.掌握了解区间的概念和表示方法 3.掌握有关集合的术语和符号 [知识要点] 1.交集定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B} 运算性质:(1)A∩B?A,A∩B?B (2) A∩A=A,A∩φ=φ (3) A∩B= B∩A (4) A? B ? A∩B=A 2.并集定义:A∪B={x| x∈A 或 x∈B } 运算性质:(1) A ? (A∪B) ,B ? (A∪B) (2) A∪A=A,A∪φ=A (3) A∪B= B∪A (4) A? B ? A∪B=B [预习自测] 1.设 A={x|x>—2},B={x|x<3},求 A∩B 和 A∪B

2.已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数},A、B 是 U 的两个子集,且 A∩CUB= {5,13,23},CUA∩B={11,19,29},CUA∩CUB={3,7},求 A,B.

3.设集合 A={|a+1|,3,5},集合 B={2a+1,a +2a,a +2a—1}当 A∩B={2,3}时, 求 A∪B

2

2

[课内练习] 1.设 A= ?? 1,3? ,B= ?2,4? ,求 A∩B

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2.设 A= ?0,1? ,B={0},求 A∪B

3.在平面内,设 A、B、O 为定点,P 为动点,则下列集合表示什么图形 (1){P|PA=PB} (2) {P|PO=1}

4.设 A={(x,y)|y=—4x+b},B={(x,y)|y=5x—3 },求 A∩B

5.设 A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k—1,k∈Z},C= {x|x=2k,k∈Z}, 求 A∩B,A∪C,A∪B

[归纳反思] 1.集合的交、并、补运算,可以借助数轴,还可以借助文氏图,它们都是数形结合思想的体现 2.分类讨论是一种重要的数学思想法,明确分类讨论思想,掌握分类讨论思想方法。 [巩固提高] 1. 设全集 U={a,b,c,d,e},N={b,d,e}集合 M={a,c,d},则 CU(M∪N) 等于 2.设 A={ x|x<2},B={x|x>1},求 A∩B 和 A∪B

? 3.已知集合 A= ?1,4? , B= ?? ?, a ? ,若 A ≠ B,求实数 a 的取值范围

4.求满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合 A

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5.设 A={x|x —x—2=0},B= ?? 2,2?,求 A∩B
2

6、设 A={(x,y)| 4x+m y =6},B={(x,y)|y=nx—3 }且 A∩B={(1,2)}, 则 m= n= 2 7、已知 A={2,—1,x —x+1},B={2y,—4,x+4},C={—1,7}且 A∩B=C,求 x,y 的值

8、设集合 A={x|2x +3px+2=0},B={x|2x +x+q=0},其中 p,q,x∈R,且 A∩B={ 和 A∪B

2

2

1 }时,求 p 的值 2

9、某车间有 120 人,其中乘电车上班的 84 人,乘汽车上班的 32 人,两车都乘的 18 人,求:⑴ 只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数

10、设集合 A={x|x +2(a+1)x+a —1=0},B={x|x +4x=0} ⑴若 A∩B=A,求 a 的值 ⑵若 A∪B=A,求 a 的值

2

2

2

集合复习课
[自学目标] 1.加深对集合关系运算的认识 2.对含字母的集合问题有一个初步的了解

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[知识要点] 1.数轴在解集合题中应用 2.若集合中含有参数,需对参数进行分类讨论 [预习自测] 1.含有三个实数的集合可表示为 ?a,

? b ? ,1? ,也可表示为 a 2 , a ? b,0 ,求 a 2003 ? b 2004 ? a ?

?

?

2.已知集合 A= ?x | x ? ?1或x ? 2? ,集合 B= ?x | 4 x ? p ? 0? ,当 A ? B 时,求实数 p 的取值范 围

3.已知全集 U={1,3, x ? 3x ? 2 x },A={1,|2x—1|},若 CUA={0},则这样的实数 x 是否存
3 2

在,若存在,求出 x 的值,若不存在,说明理由

[课内练习] 1.已知 A={x|x<3},B={x|x<a} (1)若 B?A,求 a 的取值范围 (2)若 A?B,求 a 的取值范围 ?CRB,求 a 的取值范围 (3)若 CRA ≠

2.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y| y=x +1,x∈R },则 P∩Q = 2 2 3.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)| y=x ,x∈R },则 P∩Q = ? A?{a,b,c,d,e}的集合 A 的个数是 4.满足{a,b} ≠

2

2

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[归纳反思] 1.由条件给出的集合要明白它所表示的含义,即元素是什么? 2.含参数问题需对参数进行分类讨论,讨论时要求既不重复也不遗漏。 [巩固提高] 3 2 1.已知集合 M={x|x —2x —x+2=0},则下列各数中不属于 M 的一个是 ( ) A.—1 B.1 C.2 D.—2 2.设集合 A= {x|—1≤x<2},B={ x|x<a },若 A∩B≠φ,则 a 的取值范围是( ) A.a<2 B.a>—2 C.a>—1 D.—1≤a≤2 3.集合 A、B 各有 12 个元素,A∩B 中有 4 个元素,则 A∪B 中元素个数为 4.数集 M={x| x ? k ?

1 k 1 , k ? N },N={ x| x ? ? , k ? N },则它们之间的关系是 4 2 4

5.已知集合 M={(x,y)|x+y=2 },N={(x,y)|x—y=4},那么集合 M∩N= 2 2 6.设集合 A={x|x —px+15=0},B={x|x —5x+q=0},若 A∪B={2,3,5},则 A= B= 7.已知全集 U=R,A={x|x≤3},B={ x|0≤x≤5},求(CUA)∩B

2 2 ? A,求实数 m 的值 8.已知集合 A={x|x —3x+2=0},B={x|x —mx+(m—1)=0},且 B ≠

9.已知 A={x|x +x—6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,求实数 m 的取值范围

2

10.已知集合 A={x|—2<x<—1 或 x>0},集合 B={ x|a≤x≤b},满足 A∩B={x|0<x≤2},A∪ B={x|x>—2},求 a、b 的值

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§2.1.1 函数的概念与图象(1)
[自学目标] 1.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念; 2.了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则; [知识要点] 1.函数的定义: y ? f ( x) , x ? A . 2.函数概念的三要素:定义域、值域与对应法则. 3.函数的相等. [预习自测] 例 1.判断下列对应是否为函数: (1) x ?

2 , x ? 0, x ? R; x

(2) x ? y , 这里 y 2 ? x, x ? N , y ? R. 补充: (1) A ? R, B ? {x ? R ︱ x ? 0 } , f : x ? y ? x ; (2) A ? B ? N , f : x ? y ? x ? 3 ; (3) A ? {x ? R ︱ x ? 0} , B ? R, f : x ? y ? ? x ; (4) A ? {x 0 ≤ x ≤ 6}, B ? {x 0 ≤ x ≤ 3}, f : x ? y ?

x 2

分析:判断是否为函数应从定义入手,其关键是是否为单值对应,单值对应的关键是元素对 应的存在性和唯一性。

例 2. 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[

]

y

y

y

y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

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例 3. 在下列各组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是------------------[ A. f ( x) =1, g ( x) = x
0

]

B. y ? x 与 y ?

x2

C. y ? x 2 与 y ? ( x ? 1) 2

D. f ( x) =∣ x ∣, g ( x) = x 2

3x ? 6
例4 已知函数 f ( x) ?

( x≥0 ) 求 f (1) 及 f [ f (1)]

x?5

(x ? 0) ,

[课内练习] 1.下列图象中表示函数 y=f(x)关系的有--------------------------------(

)

A.(1)(2)(4) B.(1)(2) C.(2)(3)(4) D.(1)(4) 2.下列四组函数中,表示同一函数的是----------------------------------( A. y ?

)

4 x2 ? 12 x ? 9 和 y ? 3 ? 2x x2

B. y ? x2 和 y ? x x D. y ? x 和 y ?

C. y ? x 和 y ? 3.下列四个命题

? x?

2

(1)f(x)= x ? 2 ? 1 ? x 有意义; (2) f ( x) 表示的是含有 x 的代数式 (3)函数 y=2x(x ? N )的图象是一直线;
2 ? ?x , x ? 0 (4)函数 y= ? 的图象是抛物线,其中正确的命题个数是 2 ? ?? x , x ? 0





A.1 4.已知 f(x)= ?

B.2
2 ? 3 ? x ? 1( x ? 1) ,则 f( )= 2 3 1 ? x ( x ? 1) ? ?

C.3

D.0 ;

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5.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b),且 f(2)= p , f (3) ? q 那么 f (72) =

[归纳反思] 1.本课时的重点内容是函数的定义与函数记号

f ? x?

的意义,难点是函数概念的理解和正确应

用; 2.判断两个函数是否是同一函数,是函数概念的一个重要应用,要能紧扣函数定义的三要素进 行分析,从而正确地作出判断. [巩固提高] 1.下列各图中,可表示函数 y ? f ( x) 的图象的只可能是--------------------[ ]

y

y

y

y

x

x

x

x

A B C D 2.下列各项中表示同一函数的是-----------------------------------------[ A. y ? ( x ? 1) 0 与 y ? 1 C. y ? x ? 1, x ? R 与 y ? x ? 1, x ? N
2

]

B.

y=

1 2 x3 x ,y= 2 2x

D. f ( x) ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? 2t ? 1 ]

3.若 f ( x) ? x ? a ( a 为常数), f ( 2 ) =3,则 a =------------------------[ A. ? 1 4.设 f ( x) ? A. B.1 C.2 D. ? 2

x ?1 , x ? ?1,则 f (? x) 等于--------------------------------[ x ?1
B. ? f ( x) C. ?

]

1 f ( x)
2

1 f ( x)
f ( x ? 1) =

D. f ( x)

5.已知 f ( x) = x ? 1 ,则 f ( 2) =



6.已知 f ( x) = x ? 1 , x ? Z 且 x ? [?1,4] ,则 f ( x) 的定义域是 值域是
2 ? 3 ? x ? 1? x ? 1? )? 7.已知 f ( x) = ? ,则 f ( 2 3 1 ? x x ? 1 ? ? ? ?



3 8.设 f ( x) ? x ? 1 ,求 f { f [ f (0)]}的值

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9.已知函数 f ( x) ?

1 9 x ? 3, 求使 f ( x) ? ( , 4) 的 x 的取值范围 2 8

10.若 f ( x) ? 2x 2 ? 1 , g ( x) ? x ? 1 ,求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)]

§2.1.1 函数的概念与图象(2)
[自学目标] 掌握求函数定义域的方法以及步骤; [知识要点] 1、函数定义域的求法: (1)由函数的解析式确定函数的定义域; (2)由实际问题确定的函数的定义域; (3)不给出函数的解析式,而由 f ( x) 的定义域确定函数 f [ g ( x)] 的定义域。 [预习自测] 例 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? 1 ? x ? x (2) f ( x) =

1 1 1 (3) f ( x) ? (4) f ( x) = 5 ? x ? 2 2?x x? x 1? x

分析:如果 f ( x ) 是整式,那么函数的定义域是实数集 R ;如果 f ( x ) 是分式,那么函数的定义域 是使分母 ? 0 的实数的集合;如果 f ( x ) 是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0

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的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。

例 2.周长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长为 2 x ,求 此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并指出其定义域

例 3.若函数 y ? f ( x) 的定义域为[ ? 1,1] (1)求函数 f ( x ? 1) 的定义域; (2)求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。

1 4

1 4

[课内练习] 1.函数 f ? x ? ? A. ? ??,0 ?

1 的定义域是―――――――――――――――――( x? x
B. ? 0, ?? ? C. [0, ??) D.R



2.函数 f(x)的定义域是[ A [0,1]

1 ,1],则 y=f(3-x)的定义域是―――――――――( 2 5 5 B [2, ] C [0, ] D ? ??,3? 2 2
0



3.函数 f ? x ? = ?1 ? x ? ? 1 ? x 的定义域是: 4.函数 f ( x) ? lg( x ? 5) 的定义域是 5.函数 f ?x ? ?

4? x ? log3 ?x ? 1? 的定义域是 x ?1

[归纳反思] 1.函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值; 2.求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组;

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[巩固提高] 1.函数 y = 1 ? x 2 + x 2 ? 1 的定义域是----------------------------[ A.[ ? 1 , 1 ] B. ( ? ?,?1] ? [1,??) C.[0,1] D.{ ? 1,1 } ] ]

2.已知 f ( x) 的定义域为[ ? 2,2 ],则 f (1 ? 2 x) 的定义域为------------[ A.[ ? 2,2 ] B.[ ?
0

1 3 , ] 2 2

C.[ ? 1,3]

D.[ ? 2,

3 ] 2
]

? x ? 1? 3.函数 y ?
A. x x ? 0

x ?x

的定义域是------------------------------------[

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? 0, x ? ?1

?

?

D. x x ? 0, x ? ?1

?

?

4.函数 y =

x ?1 的定义域是 x
;值域是 。

5.函数 f ( x) = x ? 1 的定义域是 6.函数 y ?

1 的定义域是: 1? x



7.求下列函数的定义域 (1) y = 2 x ? 3 ; (2) y =

1 ; (1 ? 2 x)(x ? 1)

(3) y ?

1? x x?5

8.若函数 f ? x ? 的定义域为 x ?? ?3,1? ,则 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ?x ? 的定义域.

9.用长为 30cm 的铁丝围成矩形,试将矩形面积 S( cm )表示为矩形一边长 x(cm) 的函数,并 画出函数的图象.

2

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10.已知函数 f ( x) = ax ? bx ? c ,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x) 的表达式.
2

§2.1.1 函数的概念与图象(3)
[自学目标] 掌握求函数值域的基本求法; [知识要点] 函数值域的求法 函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的,因此,要求函数的值域,一般要从函数的 定义域与对应法则入手分析,常用的方法有: (1)观察法; (2)图象法; (3)配方法; (4)换元法。 [预习自测] 例 1. 求下列函数的值域: (1) y ? 2 x ? 1, x ?{1, 2,3, 4,5} ;

(2) y ?

x ?1;

(3) y ?

x ; x ?1

1? x2 (4) y ? ; 1? x2

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2 (5) y ? ? x ? 2 x ? 3

2 变题: y ? ? x ? 2 x ? 3 ( ?5 ≤ x ≤ ? 2 ) ;

(6) y ? x ? 2 x ? 1

分析:求函数的值域,一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形,通过观察或利用熟知 的基本函数(如一次函数、二次函数等)的值域,从而逐步推出所求函数的值域(观察法) ;或者 也可以利用换元法进行转化求值域。 例2. 若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ?
2

25 , ?4] ,求 m 的取值范围 4

[课堂练习] 1.函数 y ? A. ? 0, 2?
2

2 ? x ? 0 ? 的值域为( 1? x
B. ? 0, 2?

) C. ? 0, 2 ? ( D. ? 0, 2 ? )

2.函数 y=2x -4x-3,0≤x≤3 的值域为 A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞) 3.函数 y ? ? , x ? ? ?4, ?1? 的最大值是 A. 2 B.

2 x

( D. ?4

)

1 2

C. ?1

4.函数 y ? x 2 ? x ? ?2? 的值域为 5.求函数 y=x+ 1 ? 2 x 的定义域和值域

[归纳反思] 求函数的值域是学习中的一个难点,方法灵活多样,初学时只要掌握几种常用的方法,如观 察法、图象法、配方法、换元法等,在以后的学习中还会有一些新的方法(例如运用函数的单调

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性、配方法、分段讨论法、不等式法等等) ,可以逐步地深入和提高。 [巩固提高] 1.函数 y =

1 ( x ? 1) 的值域是---------------------------------------[ x
B.R C. (0,1) D.(1, ? ?) 走

]

A. ( ? ?,0) ? (0,??)

2.下列函数中,值域是(0, ? ? )的是--------------------------------[ A.

]

y

=

x 2 ? 3x ? 1 B. y =2 x ? 1 ( x ? 0)

C. y ? x 2 ? x ? 1

D. y ?

1 x2
]

3.已知函数 f ? x ? 的值域是 ? ?2, 2? ,则函数 y ? f ? x ? 1? 的值域是--------[ A. ? ?1,3?
2

B. ? ?3,1?

C. ? ?2, 2?

D. ??1,1? . . .

4. f ( x) = x ? x , x ?{ ? 1,?2,?3 },则 f ( x) 的值域是: 5.函数 y ? x ? 2 1 ? x ? 2 的值域为: 6.函数 y ?

1 的值域为: x ? 2x ? 2
2

7.求下列函数的值域 (1) y ? (4) y ?

x ?1
x2 ?1 x2 ? 1

(2) y ? ?2 x2 ? x ? 1 (5) y ? 2x ? x ?1

(3) y ? x2 (?2 ? x ? 3)

(6) y =

1 ? 2x 1 ? 3x

8.当 x ? [1,3] 时,求函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? c 的值域
2

§2.1.1 函数的概念与图象(4)
[自学目标] 1.会运用描点法作出一些简单函数的图象,从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解; 2.通过对函数图象的描绘和研究,培养数形结合的意识,提高运用数形结合的思想方法解决数学 问题的能力. [知识要点]

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1.函数图象的概念 将自变量的一个值 x0 作为横坐标, 相应的函数值 f ? x0 ? 作为纵坐标,就得到坐标平面上的一 个点 x0, f ? x0 ? .当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这 些点组成的集合(点集)为

?

?

?? x, f ? x ?? x ? A? , 即 ?? x, y ? y ? f ? x ? , x ? A? ,所有这些点组成的

图形就是函数 y ? f ? x ? 的图象. 2.函数图象的画法 画函数的图象,常用描点法,其基本步骤是:⑴列表;⑵描点;⑶连线.在画图过程中,一 定要注意函数的定义域和值域. 3.会作图,会读(用)图 [预习自测] 例 1.画出下列函数的图象,并求值域: (1) y = 3x ? 1 , x ?[1,2]; (3) y = x ; 变题: y ? x ?1 ; (2) y = ( ? 1 ) , x ?{0,1,2,3};
x

(4) y = x ? 2 x ? 2
2

例 2.直线 y=3 与函数 y=|x -6x |图象的交点个数为 ( ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

2

例 3.下图中的 A. B. C. D 四个图象中,用哪三个分别描述下列三件事最合适,并请你为剩下的 一个图象写出一件事。 离开家的距离(m) 离开家的距离(m)

时间(min) A B

时间(min)

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离开家的距离(m)

离开家的距离(m)

时间(min) 时间(min) C D (1) 我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,停下来想了一会还是返回家取了作业本再上 学; (2) 我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3) 我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间加快了速度。

[课堂练习] 1.下列四个图像中,是函数图像的是





y

y

y

y

O
(1)

x

O
(2) D、 (3) 、 (4)

x
O
(3)

x

O
(4)

x

A、 (1) B、 (1) 、 (3) 、 (4)

C、 (1) 、 (2) 、 (3)

2.直线 x ? a ? a ? R? 和函数 y ? x2 ? 1 的图象的交点个数 A 至多一个 B 至少有一个 C 有且仅有一个 3.函数 y=|x+1|+1 的图象是

(

)

D 有一个或两个以上 ( )

4.某企业近几年的年产值如图,则年增长率最高的是( ) (年增长率=年增长值/年产值) A)97 年 B)98 年 (万元) 1000 C)99 年 D)00 年
800 600 400 200 96 97 98 99 00(年)

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5.作出函数 y ? x2 ? 2x ? 3( x ? ?1 或 x ? 2 )的图象;

[归纳反思] 1. 根据函数的解析式画函数的图象,基本方法是描点法,但值得指出的是:一要注意函数的定 义域,二要注意对函数解析式的特征加以分析,充分利用已知函数的图象提高作图的速度和 准确性; 2. 函数的图象是表示函数的一种方法,通过函数的图象可以直观地表示 x 与 y 的对应关系以及 两个变量变化过程中的变化趋势,以后我们会经常地运用函数解析式与函数图象两者的有机 结合来研究函数的性质. [巩固提高] 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走作余下的路,在 下 图中纵轴表示离学校距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合学生走法的是 ( ) d d d d

O t O t O t O t A B C D 2.某工厂八年来产品 C(即前 t 年年产量之和)与时间 t(年)的函数如下图,下列四种说法: (1) 前三年中,产量增长的速度越来越快; (2)前三年中,产量增长的速度越来越慢; (3)第三年后,年产量保持不变; (4)第三年后,年产量逐步增长. 其中说法正确的是 ( ) A. (2)与(3) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (1)与(4) 3.下列各图象中,哪一个不可能是函数 y ? f ( x) 的图象 ( )

y

x
0 A. 0

x
B.

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y

y

0

x
0 C. D.

x

4.函数 y ? kx ? b(kb ? 0) 的图象不通过第一象限,则 k , b 满足-----------[ A. k ? 0, b ? 0 B. k ? 0, b ? 0 C. k ? 0, b ? 0 D. k ? 0, b ? 0

]

5.函数 y ? ax2 ? bx ? c 与 y ? ax ? b ( ab ? 0) 的图象只可能是---------[

]

y
0 A.

y x
0 B.

y x
C. 0

y x
0 D. ]

x

6.函数 y ? x ? 1 的图象是----------------------------------------[

y

y x
0 B.

y x
0 C.

y x
0 D.

0 A.

x

7.函数 y ? 3x ? 1(1 ≤ x ≤2)的图象是 8.一次函数的图象经过点(2,0)和(-2,1) ,则此函数的解析式为
2 2 9.若二次函数 y ? ? x ? 2mx ? m ? 3 的图象的对称轴为 x ? ?2 ,则 m ?

10.在同一个坐标系中作出函数 f ( x) = ( x ? 1) 2 与 g ( x) = x ? 1 的图象 (1)问: y ? g ( x) 的图象关于什么直线对称? (2)已知 x1 ? x2 ? 1,比较大小: g ( x1 )

g ( x2 )

§2.1.2

函数的表示方法

[自学目标] 1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内 在的联系,在一定的条件下是可以互相转化的.

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2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式. 3.了解简单的分段函数的特点以及应用. [知识要点] 1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法. 在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而 解析法是通过函数解析式表示函数. 2.求函数的解析式,一般有三种情况 ⑴根据实际问题建立函数的关系式; ⑵已知函数的类型求函数的解析式; ⑶运用换元法求函数的解析式; 3.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数; 注意: ①分段函数是一个函数,而不是几个函数; ②分段函数的定义域是 x 的不同取值范围的并集;其值域是相应的 y 的取值范围的并集 [例题分析] 例 1. 购买某种饮料 x 听,所需钱数为 y 元.若每听 2 元,试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示 x( x ??1,2,3,4? )成的函数,并指出该函数的值域.

例 2. (1)已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1,求 f(x)的表达式; (2)已知 f(2x-3)= x +x+1,求 f(x)的表达式;
2

例 3.画出函数 f ( x) ? x 的图象,并求 f (?3) , f (3) , f (?1), f (1) , f ( f (?2))

变题① 作出函数 f ( x) ? x ? 1

f ( x) ? x ? 2 的图象

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变题② 作出函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象

变题③ 求函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域

变题④ 作出函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象,是否存在 x0 使得 f( x0 )= 2 2 ? 通过分类讨论,将解析式化为不含有绝对值的式子.

?-2x+1, x<-1, ? f(x)= x+1 + x-2 = ?3, -1 ? x ? 2, ?2x-1, x>2 ?
作出 f(x)的图象

由图可知, f ( x ) 的值域为 [3, ??) ,而 2 2 ? 3 ,故不存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 2 2

? x ? 5, x ? ?1, ? 2 例 4.已知函数 f ( x) ? ? x , ? 1 ? x ? 1, ?2 x, x ? 1. ?
(1)求 f(-3)、f[f(-3)] ; (2)若 f(a)=

1 ,求 a 的值. 2

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[课堂练习] 1.用长为 30cm 的铁丝围成矩形,试将矩形面积 S( cm )表示为矩形一边长 x(cm)的函数, 并画出函数的图象.
2

2.若 f(f(x))=2x-1,其中 f(x)为一次函数,求 f(x)的解析式.

3.已知 f(x-3)= x ? 2 x ? 1 ,求 f(x+3) 的表达式.
2

4.如图,根据 y=f(x) ( x ? R )的图象,写出 y=f(x)的解析式.

[归纳反思] 1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点 ,千 万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数; 2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之 间的对应法则,二是要求出函数的定义域; 3. 无论运用哪种方法表示函数 ,都不能忽略函数的定义域 ;对于分段函数 ,还必须注意在不同的 定义范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式. [巩固提高] 1 . 函 数 f(x)= ︱ x+3 ︱ 的 图 象 是 ------------------------------------------------------------( )

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2







f ? 2x ? ? 2x ? 3
x ?3 2

,

则 ) D. 2 x ? 3

f ? x?





--------------------------------------------------( A. x ?

3 2

B. x ? 3

C.

3.已知一次函数的图象过点 ?1,0 ? 以及 ? 0,1? ,则此一次函数的解析式为------( A. y ? ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. y ? ? x ? 1



? x ? 2 ? x ? ?1? ? 2 4.已知函数 y ? f ? x ? ? ? x ? ?1 ? x ? 2 ? ,且 f ? a ? ? 3,则实数 a 的值为---( ?2 x( x ? 2) ?
A.1 B. 1.5
2



C. ? 3

D. 3

5.若函数 f ? x ? ? x ? mx ? n, f (n) ? m, f (1) ? ?1, 则 f ? ?5? ? 6. 某航空公司规定, 乘机所携带行李的重量 ( kg ) 与其运费 (元) 由如图的一次函数图象确定, 那么乘客免费可携带行李的最大重 量为 7.画出函数 f(x)= ?

?x ?x
2

x ? 0, x ? 0,

的图象,

并求 f( 3 ? 2 )+f( 3 ? 2 的值. 8.画出下列函数的图象 (1) y=x-︱1-x︱ (2)

? x 2 ? 1, x ? 0 y?? ??2 x, x ? 0

9.求函数 y=1-︱1-x︱的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积.

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10.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P,它沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向 A(终点)运动.设点 P 运动的路程为 x, △APB 的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数表示式,并指出定义域; (2)画出 y=f(x)的图象.

函数的单调性(一)
[自学目标] 1.掌握函数的单调性的概念 2.掌握函数单调性的证明方法与步骤 [知识要点] 1.会判断简单函数的单调性(1)直接法 (2)图象法 2.会用定义证明简单函数的单调性: (取值 , 作差 , 变形 , 定号 , 判断) 3.函数的单调性与单调区间的联系与区别 [预习自测] 1.画出下列函数图象,并写出单调区间: ⑴ y ? ?x ? 2
2

⑵ y?

1 x

( x ? 0)

2.证明 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数

3.讨论函数 y ? x 的单调性
3

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[课内练习] 1.判断 f ( x) ? x 2 ? 1 在(0,+∞)上是增函数还是减函数 2.判断 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x 在( —∞,0)上是增函数还是减函数 3.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( (A)y= )

1 2 (B) y=2x-1 (C) y=1-x (D)y= (2 x ? 1) x 1 4. 函数 y= -1 的单调 递 区间为 x 1 2 5.证明函数 f(x)=- x +x 在( ,+ ? )上为减函数 2

[归纳反思] 1.要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性 2.函数的单调性是对区间而言的,它反映的是函数的局部性质 [巩固提高] 1.已知 f(x)=(2k+1x+1 在(- ? ,+ ? )上是减函数,则(



1 (A)k> 2
(A)y=2x+1

1 (B)k< 2
(B)y=3 x
2

1 (C)k>2


1 (D k<2
(D) y=3 x +x +1
2

2.在区间(0,+∞)上不是增函数的是 (
2

+1 (C)y=

2 x

3.若函数 f(x)= x +2(a-1)x+2 在区间(- ? ,4)上为增函数,则实数 a 的 取值范围是 ( ) (A) a ? -3 (B)a ? -3 (C)a ? 3 (D)a ? 3 4.如果函数 f(x)是实数集 R 上的增函数,a 是实数,则 ( (A)f( a )>f(a+1) (B)f(a)< f(3a) (C)f( a +a)>f( a ) (D)f( a -1)<f( a )
2 2 2 2 2



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5.函数 y=

1 的单调减区间为 x ?1
减区间为

6.函数 y= x ? 1 + 2 ? x 的增区间为 7.证明: f ( x ) ?

1 在(0,+∞)上是减函数 x2

8.证明函数 f ( x) ? x ?

1 在(0,1)上是减函数 x

9. 定义域为 R 的函数 f (x) 在区间 ( —∞, 5) 上单调递减, 对注意实数 t 都有 f (5 ? t ) ? f (5 ? t ) , 那么 f(—1) ,f(9) ,f(13)的大小关系是 10.若 f(x)是定义在 ?? 1,1?上的减函数,f(x-1)<f( x -1) ,求 x 的取值范围
2

函数的单调性(二)
[自学目标] 1.理解函数的单调性,最大(小)值及其几何意义 2.会求简单函数的最值 [知识要点] 1.会用配方法,函数的单调性求简单函数最值 2.会看图形,注意数形语言的转换 [预习自测] 1.求下列函数的最小值 (1) y ?

1 1,3? , x ?? x

1,3? (2) y ? ax ? 1, (a ? 0) , x ? ?

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2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 ,且 f(-1)= -3,求函数 f(x)在区间[2,3]内的最值。

3.已知函数 y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b,当 x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当 x∈ [c,b]时,f(x)是单调减函数,试证明 f(x)在 x=c 时取得最大值。

[课内练习] 1.函数 f(x)=-2x+1 在[-1,2]上的最大值和最小值分别是 ( (A)3,0 (B)3,-3 (C)2,-3 (D)2,-2 2. y ?



1 在区间 ?? 2,?1? 上有最大值吗?有最小值吗? x
2

3.求函数 y ? x ? 2 x ? 3, x ? ?? 2,0?的最小值 4.已知 f(x)在区间[a,c]上单调递减,在区间[c,d]上单调递增,则 f(x)在[a,d] 上 最小值为 5. 填表已知函数 f(x),的定义域是 F, 函数 g(x)的定义域是 G, 且对于任意的 x ? G ,g ( x) ? F , 试根据下表中所给的条件,用“增函数” 、 “减函数” 、 “不能确定”填空。 f(x) 增 增 减 g(x) 增 减 增 f(x)+g(x) f(x)-g(x)

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[归纳反思] 1.函数的单调形是函数的重要性质之一,在应用函数的观点解决问题中 起着十分重要的作用 2. 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一 [巩固提高] 1.函数 y=-x +x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是 ( (A)0,-6 (B)
2



1 ,0 4
2

(C)

1 ,-6 4

(D)0,-12

2.已知二次函数 f(x)=2 x -mx+3 在 ?? ?,?2?上是减函数,在 ?? 2,??? 上是增函数, 则实数 m 的取值是 ( ) (A) -2 (B) -8
2

(C) 2

(D) 8 )

3.已知函数 f(x)=a x -6ax+1 (a>0),则下列关系中正确的是 (

(A) f( 2 ) <f( 3 ) (B) f( 5 )< f(3) (C)f(-1)< f(1) (D)f(2) > f(3) 4. 若 f(x)是 R 上的增函数,对于实数 a,b,若 a+b>0,则有 ( ) (A) f(a)+ f(b) >f(-a)+ f(-b) (B)f(a)+ f(b) <f(-a)+ f(-b) (C) f(a)- f(b) >f(-a)- f(-b) (D)f(a)- f(b) <f(-a)-f(-b) 5.函数 y=-

2 +1 在[1,3]上的最大值为 x
2

最小值为

6.函数 y=- x +2x-1 在区间[0,3]的最小值为 7.求函数 y=-2 x +3x-1 在[-2,1]上的最值
2

8.求 f ( x) ? x ? 2ax ? 1, x ? ?0,2?上的最小值
2

9.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,且 f(x +x) > f(a-x)对一切 x∈R 都成立, 求实数 a 的取值范围

2

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10.已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c (b、c 为常数)满足条件:f(0)=10,且对任意实数 x,都有 f(3+x)=f(3-x)。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若当 f(x)的定义域为[m,8]时,函数 y=f(x)的值域恰为[2m,n],求 m、n 的值。

函数的奇偶性
[自学目标] 1.掌握奇函数、偶函数的定义 2.会判断和证明函数的奇偶性 [知识要点] 1.奇、偶函数的定义 2.奇偶函数的图象与性质(等价性) 3.函数奇偶性的判断方法和步骤 [预习自测] 例 1.判断下列函数是否具有奇偶性 (1) f ( x) ? 2 x (3) f ( x) ? 0 (5) f ( x) ? (2) f ( x) ? ( x ? 1) 2 (4) f ( x) ? x ? 1, x ? ?0,1?
2

x ?1 ? 1 ? x

(6) f ( x) ? x 5 ? 2 x 3 ? 3x

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例 2.已知函数 f ( x) ? x ? ⑴判断奇偶性 ⑵判断单调性 ⑶求函数的值域

1 x

例 3.若 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2| ,求 x<0 时 f(x)的表达式

[课内练习] 1.奇函数 y=f(x),x∈R 的图象必经过点 (

) D. (a, f(

A. (a,f(-a) ) B. (-a,f(a) ) C. (-a, -f(a) )

1 ) ) a

2.对于定义在 R 上的奇函数 f(x)有 ( ) A.f(x)+f(-x)<0 B.f(x) -f(-x)<0 C.f(x) f(-x)≤0 3.已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f(-2)=0,那么 f(2)等于

D.f(x) f(-x)>0

4.奇函数 f(x)在 1≤x≤4 时解吸式为 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ,则当-4≤x≤-1 时,f(x)
2

最大值为 5.f(x)= x ? m x ? nx 为奇函数,y= x ? nx ? 3 在(-∞,3)上为减函数,
3 2 2

在(3,+∞)上为增函数,则 m= n= [归纳反思] 1.按奇偶性分类,函数可分为四类: (1)奇函数 (2)偶函数 (3)既是奇函数又是偶函数 (4)既非奇函数又非偶函数 2.在判断函数的奇偶性的基本步骤: (1)判断定义域是否关于原点对称 (2)验证 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x) 3.可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性 [巩固提高] 1.已知函数 f(x)在[-5,5]上是奇函数,且 f(3) <f(1),则 ( ) (A)f(-1) <f(-3) (B)f(0) >f(1) (C)f(-1) <f(1) (D)f(-3) >f(-5) 2.下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 ( ) (A)y=

1 x

(B)y=

1 x ?1
2

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(C)y=0 , x ∈[-1,2]

(D)y=

x x ?1
2

3.设函数 f(x)=

x ?1 ? a 1 ? x2

是奇函数,则实数 a 的值为 (



(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 1 4.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在 区间[-7,-3]上是 ( ) (A)增函数且最小值为-5 (B)增函数且最大值为-5 (C)减函数且最大值为-5 (D)减函数且最小值为-5 5.如果二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)是偶函数,则 b= 6.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(0)= 7.已知函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增,且为偶函数,则 f(- ? ),f(f(3)之间的大小关系是 8.f(x)为 R 上的偶函数,在(0,+∞)上为减函数,则 p= f( ? 的大小关系为 9.已知函数 f(x)=x +mx+n (m,n 是常数)是偶函数,求 f(x)的最小值
2 2

1 ), 3

3 2 )与 q= f( a ? a ? 1 ) 4

10.已知函数 f(x) 为 R 上的偶函数,在[0,+∞)上为减函数,f(a)=0 (a>0) 求 xf(x)<0 的解集

映射的概念
[自学目标] 1.了解映射的概念,函数是一类特殊的映射 2.会判断集合 A 到集合 B 的关系是否构成映射 [知识要点]

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1.正确理解“任意唯一”的含义 2.函数与映射的关系,函数是一类特殊的映射 [预习自测] 例题 1.下列图中,哪些是 A 到 B 的映射? 1 2 3 (A) 1 2 (C) a b c 1 2 3 (D) a b 1 2 3 (B) a b a b

例 2.根据对应法则,写出图中给定元素的对应元素 ⑴f:x→ 2x+1 A 1 2 3 B A 1 2 3 ⑵f:x→ x -1 B
2

例 3.(1)已知 f 是集合 A={a,b}到集合 B={c,d}的映射,求这样的 f 的个数 (2)设 M={-1,0,1},N={2,3,4},映射 f:M→N 对任意 x∈M 都有 x+f(x)是奇数,这样的 映射的个数为多少?

[课内练习] 1.下面给出四个对应中,能构成映射的有 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 《中学数学信息网》系列资料 b1 b2 b3 b1 b2 b3



) b1 b2 b3 b4 b1 b2 a2 b3 版权所有@《中学数学信息网》 b4 a1

a1 a2 a3 a4 WWW.ZXSX.COM

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⑴ (A) 1 个

⑵ (B) 2 个 (C) 3 个

⑶ (D) 4 个



2.判断下列对应是不是集合 A 到集合 B 的映射? (1) A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方” (2) A=N,B=N+,对应法则是“ f:x→|x-3|” (3) A=B=R,对应法则是“f:x→3x+1” (4) A={x|x 是平面α内的圆}B={x|x 是平面α内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形” 3.集合 B={-1,3,5},试找出一个集合 A 使得对应法则 f: x→3x-2 是 A 到 B 的映射

4.若 A={(x,y)}在映射 f 下得集合 B={ ( 2x-y,x+2y) }, 已知 C={ (a,b) }在 f 下得集合 D={(-1,2)}, 求 a,b 的值

5.设集 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下图中能表示从集 A 到集 B 的映射的是( y y y y 2 2 2 2 1 1 1 1 O O x x x 1 2 1 2 1 2 A. B. C. [归纳反思] 1.构成映射的三要素:集合 A , 集合 B ,映射法则 f 2.理解映射的概念的关键是:明确“任意” “唯一”的含义 O [巩固提高] 1.关于映射下列说法错误的是 ( ) (A) A 中的每个元素在 B 中都存在元素与之对应 (B) 在 B 存在唯一元素和 A 中元素对应 (C) A 中可以有的每个元素在 B 中都存在元素与之对应 (D) B 中不可以有元素不被 A 中的元素所对应。 2.下列从集合 A 到集合 B 的对应中,是映射的是 ( ) (A) A={0,2} , B={0,1},f:x ?y=2x (B) A={-2,0,2},B={4} ,f:x ?y=2x O 1 2 D. x



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(C) A=R ,B={y│y<0} ,f:x ?y=

(D) A=B=R , f:x ?y=2x+1 3.若集合 P={x│0≤x≤4} ,Q={y│0≤y≤2},则下列对应中,不是 从 P 到 Q 的映射的 ( ) (A) y=

1 x2

1 x 2

(B) y=

1 x 3

(C)

y=

1 x 8

(D) y=

2 x 3

4.给定映射 f: (x,y)?(x+2y,2x—y),在映射 f 作用下(3,1)的象是 2 5.设 A 到 B 的映射 f1:x?2x+1,B 到 C 的映射 f2:y?y —1,则从 A 到 C 的映射是 f: 6.已知元素(x,y)在映射 f 下的原象是(x+y,x—y) ,则(1,2)在 f 下的象 7.设 A={—1,1,2},B={3,5,4,6},试写出一个集合 A 到集合 B 的映射 8.已知集合 A={1,2,3},集合 B={4,5},则从集合 A 到 B 的映射有 个。 9.设映射 f:A?B,其中 A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f: (x,y)?(3x-2y+1,4x+3y-1) (1)求 A 中元素(3,4)的象 (2)求 B 中元素(5,10)的原象 (3)是否存在这样的元素(a,b)使它的象仍然是自己?若有,求出这个元素。

10.已知 A={1,2,3,k},B={4,7,a ,a +3a},a∈N ,k∈N ,x∈A,y∈B,f:x?y=3x+1 是 定义域 A 到值域 B 的一个函数,求 a,k,A,B。
4 2 * *

2.2.1 分数指数幂(1)
【自学目标】

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1.掌握正整数指数幂的概念和性质; 2.理解 n 次方根和 n 次根式的概念,能正确地运用根式表示一个正实数的算术根; 3.能熟练运用 n 次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。 【知识要点】 1.方根的概念 若 x 2 ? a ,则称 x 是 a 的平方根;若 x 3 ? a ,则称 x 是 a 的立方根。 一般地,若一个实数 x 满足 x n ? a (n ? 1, n ? N*) ,则称 x 为 a 的 n 次实数方根。 当 n 是奇数时,正数的 n 次实数方根是一个正数,负数 n 次实数方根是一个负数,这时 a 的 n 的次实数方根只有一个,记作 x ? n a ; 当 n 是偶数时,正数的 n 次实数方根有二个,它们是相反数。这时 a 的正的 n 次实数方根用 符号 n a (a ? 0) 。 注意:0 的 n 次实数方根等于 0。 2.根式的概念 式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 求 a 的 n 次实数方根的运算叫做开方运算。 3.方根的性质 (1) (n a ) n ? a ; (2)当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a | 【预习自测】 例 1.试根据 n 次方根的定义分别写出下列各数的 n 次方根。 ⑴25 的平方根 ; ⑵ 27 的三次方根 ⑶-32 的五次方根 例 2.求下列各式的值: ⑴ ( 5)2 ; ⑵
3

; .



⑷ a 的三次方根

6

(?2) 3 ;



4

(?2) 4 ;



(a ? b) 2 。

例 3.化简下列各式:

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⑴ ⑶

6

81 ;



15

? 32 ;

6

a 2b4 ;

例 4.化简下列各式: ⑴ 5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2 ; ⑵

3? 3 2 ? 2? 3



【课堂练习】 1.填空: ⑴0 的七次方根 2.化简: ⑴ ⑶
4

;⑵ x 4 的四次方根



(3 ? ?) 4 ;
a 2 ? 2ab ? b 2 ;

⑵ ⑷

3

(? x ) 6 ;
x8 。

4

3.计算: 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6

4.若 10 x ? 3 , 10 y ? 4 ,求 10 x ? y 的值

5. 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

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【归纳反思】 1.在化简 n a n 时,不仅要注意 n 是奇数还是偶数,还要注意 a 的正负; 2. 配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧, 而分类讨论则是不可忽 视的数学思想。 【巩固提高】 1. 3 a ? 6 ? a 的值为( A. ? ? a ) C. ? a ) D. a

B. ? a

2.下列结论中,正确的命题的个数是(
3

①当 a<0 时, (a 2 ) 2 ? a 3 ;② n a n ?| a | ;
1

③函数 y ? ( x ? 2) 2 ? (3x ? 7) 0 的定义域为 (0, ??) ;④若 (n a ) n 与 n a n 相同。 A.0 B.1 ) D.0 ) C.2 D.3

3.化简 a ? 4 (1 ? a) 4 的结果是(

A.1 B.2a-1 C.1 或 2a-1 4.如果 a,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( A. 3 a 3 ? b 2 ? a ? b C. 4 (a 2 ? b 2 ) 4 ? a 2 ? b 2

B. ( | a | ? b ) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab D. a 2 ? 2ab ? b 2 ? a ? b 。 。

5.当 8<x<10 时, ( x ? 8) 2 ? ( x ?10) 2 ? 6.若 x 2 ? 2x ? 1 ? y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ,则 y x = 7.若 (| x | ?1)
1

?

1 3

有意义,则 x∈

8.计算 16 2 ? (

1 ? 0.25 1 ) ? ( ? ) 0 的值 81 2

9.若 2

1 32

? a ,用 a 表示 (1 ? 2

1 32

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )

1 16

1 8

1 4

1 2

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10.求使等式 (a ? 3)(a 2 ? 9) ? (a ? 3) a ? 3 成立的实数 a 的取值范围。

2.2.1 分数指数幂(2)
【自学目标】 1.理解分数指数幂的意义,熟练掌握根式与分数指数幂的互化方法; 2.掌握有理数指数幂的运算性质,灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简,会进行 根式与有理数指数幂的相互转化。 【知识描述】 1.分数指数幂 规定:
m

(1) a n ? n a m ( a ? 0 ,m,m 均为正整数) ; (2) a
? m n

?

1 a
m n

( a ? 0 ,m,m 均为正整数) ;

(3)0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义。 2.有理数指数幂的运算性质 设 a ? 0 , b ? 0 , r, s ? Q ,则有: ⑴ a r ? a s ? a r ?s ;⑵ (a r ) s ? a rs ;⑶ a r ? b r ? (a ? b) s 。 【预习自测】 例 1.求下列各式的值:
1

⑴ 100 2 ; ⑶ 9
? 3 2

⑵ 8 ; ⑷
4 2

2 3



81 ? 9 3

例 2.化简下列各式: ⑴

a2 a? a
3 2



⑵ 3 xy 2 ? xy ?1 ? xy 。

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1

例 3.已知 a 2 ? a ⑴ a ? a ?1 ;
3 3 2 1 2

?

1 2

? 3 ,求下列各式的值:
⑵ a 2 ? a ?2 ;



a2 ?a a ?a
1 2

?





a 2 ? a ?2 ? 2 a ?a
3 2 ? 3 2



?

?3

4 3 ? 2 例 4.将 ( ) 3 , 2 3 , (? ) 3 , ( ) 2 用“<”号联接起来。 3 4 3

1

2

1

【课堂练习】 1.填空:
2

⑴ 83 ?

;⑵ (3 25 ? 125) ? 4 5 ? 。



2.若 3a ? 3?a ? 3 ,则 27 a ? 27 ? a ? 3.化简: ( x ? y ) ÷ ( x ? y )
1 2 1 2 1 4 1 4

8

6

1

4.化简 (a 5 ? b 5 ) 2 ? 5 a 4 ? 5 b 3

5.化简

a2 b3 4 a ? ? b a b3

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【归纳反思】 1. 分数指数幂是根式的另一种表示, 根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数 指数幂的运算来进行,解题时一般要遵循先化简再计算的原则; 2.在进行指数幂运算时,采取的方法是:化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分 数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算可以达到化繁为简的目的。 【巩固提高】 1.若 a=(2+ 3 ) A.1
?1

,b=(2 ? 3 ) B.
1 4

?1

,则(a+1)

?2

+(b+1)
2 2
? 1 3

?2

的值是 ( D.
2 3

)

C. ) B.a D.(

2.下列结论中,正确的命题的是( A. ? a = ( ? a ) 2 ( a ? 0) C. 6 b 2 = b
a 3b 2
1 4 1 2 4
1

=- 3 a
3

1 3

( b <0)
ab2
? 1 3 1 3

a ?4 4 b 3 ) = ( ) a b

(a,b ? 0 )

3

3.化简
b a

的结果是(

)
a b

(a b ) a b

A.

B.ab

C.

D.a b ) C. 4 a 4 ? 4 b 4 ? a ? b

2

4.如果 a,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( A. (6 a ? 6 b ) 6 ? a ? b D. 10 (a ? b)1 0 ? a ? b 5.若 x 3 ? x ?3 ? 2 ,则 x ? x ?1 ?
1 6.将 (? ) ?1 , 2 2
1 ? 2

B. 8 (a 2 ? b 2 ) 8 ? a 2 ? b 2

。 。

1 ,( ) 2

?

1 2

, 2 ?1 用“<”号联接起来是

7.计算 3 2 ? 5 ? 3 2 ? 5 的值

8.解方程 41? x ? 4 ? 2 ? x ? 8 ? 0

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? ? 1 ? ? 9.化简 (2a 4 b 3 )(?3a 2 b 3 ) ? (? a 4 b 3 ) 4

1

1

1

2

1

2

4

1

10.化简

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 2 ab ? a
3 2 3 2 3

÷ (1 ? 23

b )×3 a

a

2.2.2 指数函数(1)
【自学目标】 1. 掌握指数函数的概念、图象和性质; 2. 能借助于计算机画指数函数的图象; 3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。 【知识描述】 1.指数函数的定义。 2.指数函数的性质

a ?1
图 象 y y =a (a > 1)
x x

0 ? a ?1
y

y=1 (0, 1) O x

y =a (0<a<1) <1) y=1 (0, 1) O x

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(1)定义域:R 性 质 (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时 y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

【预习自测】 例 1.下列函数中是指数函数的是 ⑴ y ? x2 ; ⑶ y ? ?4 x ; ⑸ y ? xx ; ⑺ y ? 3 x ?1 ;

。 ⑵ y ? 3x ; ⑷ y ? (?4) x ; ⑹ y ? ex ; ⑻ y ? (2a ? 1) x ( a ?

1 ,a ?1) 2

例 2.已知指数函数 y ? f ( x ) 的图象经过点(1, ? ) ,求下列各个函数值: ⑴ f (0) ; ⑵ f (1) ; ⑶ f (?) 。

例 3.比较大小: ⑴ 1.7 2.5 和 1.7 3 ; ⑵ 0.8 ?0.1 与 1.250.2 ; ⑶ 1.7 0.3 与 0.9 3.1 。

例 4.作出下列函数的图象,并说明它们之间的关系: ⑴ y ? 3x ; ⑵ y ? 3 x ?1 ; ⑶ y ? 3 x ?1 。

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【课堂练习】
1 1. 在下列六个函数中: ① y ? 2a x ; ② y ? a x?2 ; ③ y ?a x ?3 ; ④ y ? ax ; ⑤ y ? ( ?a ) x ; ⑥ y ? ( )x。 a 若 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则其中是指数函数的有( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个 。

D.3 个

2.函数 y ? 2 x ?3 ? 3 恒过定点

1 3.函数 y ? ( ) x 和 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于 a

对称。

4.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[0,1]上的最大和最小值之和是 3,求实数 a 的值。

5.设 2 3?2 x ? (0.5) 3 x ?4 ,求 x 的取值范围。

【归纳反思】 1.要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质,并根据需要,对底数 a 分两种情况 加以讨论,体会其中的数形结合和分类讨论思想; 2. 注意图象的的平移变换的方法和规律, 并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题, 加深对指数函数的图象和性质的认识和理解。 【巩固提高】 1.若集合 A ? {y | y ? 2 x , x ? R} , B ? {y | y ? x 2 , x ? R} ,则 ( A.A B B. A ? B C.B A )

D. A ? B ) D.第四象限

2.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3. 图中曲线 C1 , C 2 , C 3 , C 4 分别是指数函数 y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 的图象, 则 a, b, c, d 与 1 的大 小关系是( ) y
y ? cx
y ? bx y ? ax

A. a ? b ? 1 ? c ? d B. a ? b ? 1 ? d ? c C. b ? a ? 1 ? c ? d
y?d
x

1 O x
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D. b ? a ? 1 ? d ? c

4.已知 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? a a A. M ? N C. M ? N
1 5.函数 y ? ( ) ? x 的值域是 4

3

? a ?1

, N ? a a ?a ?1 ,则( ) B. M ? N D.M、N 大小关系不确定 ; 。 。

2

6.若指数函数 y ? (a 2 ? 1) x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是

7.把函数 y=f(x) 的图象向左、向下分别平移 2 个单位得到 y ? 2 x 的图象,则 f(x)= 8.比较 1.5 ? 0.2 , 1.3 0.7 , ( ) 3 的大小
2 3
1

9.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[1,2]上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值

10.试比较 a 2 x

2

? 3 x ?1

与ax

2

? 2 x ?5

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大小

2.2.2 指数函数(2)
【自学目标】 1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质,能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质 解决有关指数函数的问题; 2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题,提高综合运

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用所学知识分析问题和解决问题的能力。 【知识描述】 1. y ? a f ( x ) 性质 ⑴定义域:与 f ( x ) 的定义域相同。 ⑵值域:其值域不仅要考虑 f ( x ) 的值域,还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。 求 y ? a f ( x ) 的值域,先求 f ( x ) 的值域,再由指数函数的单调性求出 y ? a f ( x ) 的值域。 ⑶单调性: 单调性不仅要考虑 f ( x ) 的单调性, 还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。 若a ?1, 则 y ? a f (x) 与 y ? f ( x ) 有相同的单调性;若 0 ? a ? 1 ,则 y ? a f ( x ) 与 y ? f ( x ) 有相反的单调性。 ⑷奇偶性:奇偶性情况比较复杂。若 y ? f ( x ) 是偶函数,则 y ? a f ( x ) 也是偶函数;若 y ? f ( x ) 是奇函数,则 y ? a f ( x ) 没有奇偶性。 2. y ? g(a x ) 类型的函数的性质 可采用换元法: 令ax ? t , 注意 t 的取值范围, 根据 y ? g( t ) 与 y ? a x 的的性质综合进行讨论。 【预习自测】
2 ? 3 例 1.将六个数 ( ) 3 , ( ) 2 3 5
1 1

3 5 5 ? , ( ) 3 , ( ) 0 , (?2) 3 , ( ) 3 按从小到大的顺序排列。 2 6 3

2

1

例 2.求函数 y ? ( ) x

1 3

2

? 4 x ?1

和 y ? 2 ?2 x

2

? 4 x ?7

的单调区间。

例 3.求下列函数的定义域和值域。
1

⑴ y ? 2 x ?4 ;

⑵ y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 .

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例 4.判断下列函数的奇偶性: (1) (2) y ? ( ) ?|x| ;

2 3

(2) y ?

a x ? a ?x (a ? 0,a ?1) ; 2

例 5.若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

【课堂练习】 1.函数 y ? 3 2 x ?1 ? A. (-2,+∞) C. (-∞,-1] 2.函数 y ? e ?| x| 是( )
1 的定义域为( 27

) B.[-1,+∞) D. (-∞,-2]

A.奇函数,且在(-∞,0]上是增函数 B.偶函数,且在(-∞,0]上是减函数 C.奇函数,且在[0,-∞)上是增函数 D.偶函数,且在[0,-∞)上是减函数
1 3.函数 f ( x) ? ( ) 2
? x ?3

的增区间是

4.求 y ?

e x ?1 的值域。 e x ?1

5.已知函数 y=4x-3·2x+3 的定义域是(-∞,0],求它的值域

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【归纳反思】 1.指数函数是单调函数,复合函数 y ? a f ( x ) 的单调性由 y ? a u 和 u ? f ( x ) 的单调性综合确定; 2.比较两个幂式的大小主要是利用指数函数的单调性,但是在应用时要注意底数与 1 的关系。 3.利用指数函数的性质比较大小 ⑴同底数幂比较大小直接根据指数函数的单调性比较; ⑵同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1 得结论; ⑶既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或是 0) ,或用作差法,作商法。 【巩固提高】 1.函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )对于任意的实数 x,y 都有( A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) 2.下列函数中值域为 (0, ??) 的是(
1



B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) )

A. y ? 5 2? x

B. y ? ( )1?x

1 3

1 C. y ? ( ) x ? 1 2
3.函数 y=a|x|(a>1)的图像是 ( y 1 0 A. x 0 B. x y

D. y ? 1 ? 2 x ) y 1 0 C. x 1 0 D. ) x y

4.若集合 P ? { y | y ? 3 x , x ? R} , Q ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 P ? Q 是( A.P B.Φ C.Q D.R 。

5.若函数 f ( x) ? a ? 6.函数 y ? 2 ? x
2

1 是奇函数,则实数 a 的值为 2 x ?1

? ax?1

在区间(-∞,3)内递减,则实数 a 的取值范围是

。 。

7.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | 的图象与直线 y ? a 的图象恰有一个交点,则实数 a 的值为

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8.若函数 y ? a x ? b ( a ? 0 , a ? 1 )的图象不经过第一象限,求 a,b 的取值范围

9.已知 2 x

2

?x

1 ? ( ) x ?2 ,求函数 y ? 2 x ? 2 ? x 的值域 4

10.设 f ( x) ?

4x ,若 0 ? a ? 1 ,求: 4x ? 2 1 2 3 1000 (1) f (a) ? f (1 ? a)的值 ; (2) f ( )? f ( )? f ( )????? f ( )的值 1001 1001 1001 1001

2.2.2 指数函数(3)(习题课)
【自学目标】 1.掌握分数指数幂的概念与运算性质,根式与分数指数幂的互化方法,能正确地进行有关根式和 分数指数幂的化简、求值等问题,提高恒等变形的能力; 2.掌握指数函数的定义、图象和性质及其应用,体会利用函数图象研究函数性质的思想方法以及 从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程,充分认识指数函数是一类重要的函数模型,了解指数 函数在现代科技、生产、生活实际中的广泛应用,培养数学应用的意识和能力。 【知识描述】 1.利用整体替换的思想,根据复合函数及对数函数的性质解决有关对数函数的复合问题。平时常 常遇见一次、二次函数与指数函数、对数函数的复合。换元法是求解复合函数的常用方法。 2.函数图象的应用,如利用指数函数与对数函数图像的对称性来解题。 3.指数对数方程与不等式的解法。这类问题应特别注意自变量的取值范围和底数大于 1,还是大 于 0 小于 1 的讨论。 【预习自测】 例 1.函数 y ? a x ? 1 的定义域为 (?? , 0] ,求 a 的取值范围

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例 2.已知函数 f ( x ) ? 数

2x ?1 , (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证:函数 f ( x ) 是 R 上的增函 2x ? 1

例 3.有纯酒精 20 升,从中倒出 1 升,再用水加满;然后再倒出 1 升,再用水加满;如此反复进 行。问第九次和第十次各倒出多少升纯酒精?

例 4.2005 年人才招聘会上,有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准,甲公司允诺第一年月工 资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;乙公司允诺第一年月工资数为 2000 元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%,若某大学生年初被甲、乙两家公司同时录 取,试问: ⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作 n 年, 则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? ⑵该人打算连续在一家公司工作 3 年, 仅从工资收入总量较多作为应聘标准 (不记其他因素) , 该人应选择哪家公司,为什么?

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【课堂练习】 1.函数 y ? 5 x ? 5 ? x 是( A. R 上的增函数 C. 奇函数 ) B. R 上的减函数 D. 偶函数

2.某厂 1991 年的产值为 a 万元,预计产值每年以 5%递增,则该厂到 2003 年的产值是( ) A. a(1 ? 5%) 13 C. a(1 ? 5%) 11 B. a(1 ? 5%) 12 D.
10 a(1 ? 5%) 12 9

3.一产品原价为 a 元,连续两年上涨 x%,现欲恢复原价,应降价
1 2 4.求函数 y ? ( ) x ?3x ? 2 的单调区间 3

%。

5.已知函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1 ( a >0 且 a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值

【归纳反思】 解答数学应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,正确理解题意,明确问题的实际 背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归结为相应的数学问题;二是要合理选取变量, 设定变元后,寻找它们之间的内在联系,建立相应的函数模型。 【巩固提高】 1.若 2 2 x ? 4 ? 5 ? 2 x ,则 x 2 ? 1 等于( ) A.1 B.5 C.5 或 1 D.2 或 5 )
x a

2.已知 0 ? a ? 1, x ? y ? 1 ,则下列各式中,正确的是( A. x a ? y a B. a x ? a y C. a ? a
x y

D. a ? y

3.函数 f ( x) ? 3 2? x ( ?1 ? x ? 3 )的值域是( A.(0,+∞) B. (0,9)

)
1 D. ( ,27) 3

1 C.[ ,27] 3

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4.函数 f(x)=|2x-1|,当 a<b<c 时,有 f(a)>f(c)>f(b),则 A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 - a c C.2 <2 D.2a+2c<2
1 5.若函数 f ( x) 的定义域是 ( , 1) ,则函数 f (2 x ) 的定义域是______________. 2

6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈(-1,1)时均有 f ( x) ? 是 ; 。

2

x

1 ,则实数 a 的取值范围 2

7.函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2 (a>0 且 a≠1)的最小值是 8.已知函数 y ? a x
2

?3 x ?3

,当 x∈[1,3]时有最小值 8,求 a 的值

9.某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每年利率为 r,设存期为 x 年,本利和(本金加上 利息)为 y 元。 (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 年后的本利和

10.已知定义在 R 上恒不为 0 的函数 y=f(x),当 x>0 时,满足 f(x)>1,且对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)f(y)。 ⑴求 f(0) 的值; ⑵证明 f (? x ) ? ? 的增函数
f ( x) 1 ; ⑶ f ( x ? y) ? ; ⑷证明函数 y=f(x) 是 R 上 f ( x) f ( y)

对数的概念
【自学目标】 1. 通过实例展示了解研究对数的必要性

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2. 理解对数的概念及其运算性质,会熟练地进行指数式与对数式的互化 3. 理解并掌握常用对数与自然对数的概念及表示法 【知识要点】 1. 对数的概念 一般地,如果 a(a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即 a ? N ,那么就称 b 是以 a 为底 N 的
b

对数,记作 loga N ? b 。其中, a 叫做对数的底数, N 叫做真数。 2. 常用对数 通常将以 10 为底的对数称为常用对数,为了方便起见,对数 log10 N 简记为 lg N 3. 自然对数 在科学技术中,常使用以 e 为底的对数,这种对数称为自然对数,e 是一个无理数,正数 N 的自然对数 loge N 一般简记为 ln N 【预习自测】 例 1.将下列指数式改写成对数式 (1) a ? y
x

(2) 4

?2

1 ? 16

(3) (a ? b) ? m

1 c

(4) (

n 0 ) ?1 m

例 2.将下列对数式改写成指数式 (1) log
3

9?4

(2) log ( a 2 ?b 2 ) x ?

1 c

(3) lg 0.001? ?3

(4) loga (MN ) ? p ? q

例 3.不用计算器,求下列各式的值 (1) log2 64 (2) log9 27 (3) log a

1 a

(4) log0.2 1

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【课堂练习】 1.求下列各式的值 (1) log 1 2
16

(2) log2 16 - log3 9

(3) loga a

1 5

2.求值:(1)

log8 9 log2 3

(2) 7

1?log7 5

(3) 100 2

1 ( lg9 ?lg 2 )

【归纳反思】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式与指数形式的互化又是解决问题 的重要手段 【巩固反思】 1. 已知 log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,则 x 2. 已知 lg 3 ? 0.4771,则 10
0.4771

?

1 2

=___

=___
a

3. 已知集合 R ? ?0,1?, S ? 11? a, a,2 , lg a ,问是否存在 a 的值,使 R ? S ? ? 1?,并说明理 由

?

?

4. 已知 f ( x) ? a

x?

1 2

, f (lg a) ? 10 ,试求 a 的值

对数的运算性质
【自学目标】

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1. 理解并掌握对数的运算性质 2. 能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算 3. 了解对数恒等式以及换底公式,并会用换底公式进行一些简单的化简与证明 【知识要点】 1. 对数的两个运算性质

loga (MN ) ? loga M ? loga N
log a M ? log a M ? log a N N
其中 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0

2. 对数的换底公式 一般地 , loga N ? 数的换底公式. 【预习自测】 例1. 求值

logc N , 其中 a ? 0, c ? 0, N ? 0, 且a ? 1, c ? 1 这个公式称为对 logc a

?1? lg 5(lg 8 ? lg1000 ) ? (lg 2
(2)(lg2) 3 ? (lg5) 3 ? 3 lg 2 lg 5

3

1 ) 2 ? lg ? lg 0.06 6

?3?2 log 3 2 ? log 3 32 ? log 3 8 ? 5 2 log 3
5

9

例2.

求值 (1) log 2 (2) log

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9
15 3

32 ? (log 2 3 ? log 4 9 ? ? ? ? ? log 225 3 25 )

例3.

已知 x, y , z 均为正数,且 3 ? 4 ? 6 ,求证:
x y z

1 1 1 ? ? z x 2y

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【课堂练习】 1. 已知 log3 5 ? m, log8 3 ? n则lg 5 ? _________ 2. 求值 log ?
2 ?1

? (3 ? 2 2 ) ? ________
b

3. 已知 ?11.2? ? 1000 ? ? 1000,求 , ?0.0112
a

1 1 ? a b

【归纳反思】 1. 本课时的重点是对数的运算性质,包括两个运算性质及换底公式 2. 掌 握 运 算 性 质 的 关 键 在 于 准 确 记 忆 公 式 , 常 见 的 错 误 :

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
3. 对数换底公式的灵活应用是解决对数计算,化简问题的重要基础,学习与解题过程 中一定要熟记由换底公式推导出的一些常用结论 【巩固反思】 1. 若 a ? 0, 且a ? 1, x ? R, y ? R, 且xy ? 0 ,则下列各式中错误的是 ( ) (1) loga x 2 ? 2 loga x (2) loga x ? 2 loga x
2

(3) loga xy ? loga x ? loga y

(4) loga xy ? loga x ? loga y A(2)(4) B(1)(3) C(1)(4) D(2)(3) )

2. 若 lg x ? m, lg y ? n, 则 lg x ? lg? A

? y? ? 的值等于 ( ? 10 ?
C

2

1 m ? 2n ? 2 2

B

1 m ? 2n ? 1 2 1 2

1 1 m ? 2n ? 1 D m ? 2n ? 2 2 2
则 a=_______

3. 若 log 3 7 ? log 2 9 ? log 49 a ? log 4 4. 已知 lg(3a ) ? lg 3b
3

a =_______________ b 5. 求值: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32
3

? ?? 9



2

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6. 已知 a ? b ? 1, log a b ? log b a ?

10 ,求 loga b ? logb a 3

7. 已知 lg( x ? y) ? lg( x ? y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求

x 的值. y

对数函数(1)
【自学目标】 1.初步理解对数函数的概念 2 通过观察对数函数的图像,发现并了解对数函数的性质,并在进一步应用函数性质过程中, 加深对对数函数性质的理解 【知识要点】 1.对数函数的概念 一般地, y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,它的定义域是 (0,??) 2.对数函数与指数函数的关系

y ? loga x 的定义域和值域分别是函数 y ? a x 的值域和定义域,它们互为反函数
3.对数函数的图像与性质(图略) 【预习自测】 例1. 求下列函数的定义域 (1) y ? log0.2 (4 ? x) (2) y ? loga

x ?1 (a ? 0且a ? 1)

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例2. 利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个数的大小 (1) log2 3.4 , log2 3.8 (2) log0.5 1.8 , log0.5 2.1 (3) log7 5 , log6 7

【课堂练习】 1.(1)求函数 y ? loga ( x ? 1) (a ? 0且a ? 1) 的定义域

(2)求函数 y ? lg(? x 2 ? 8x ? 7) 的定义域

2.比较下列三数的大小(1) log3 0.8 , log4 0.8 , log5 0.8

(2) 1.1 , log1.1 0.9 , log0.7 0.8

0.9

【归纳反思】 1. 理解对数函数的概念,应特别重视真数与底数的取值范围; 2. 对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域与值域互换; 3. 利用对数函数性质比较大小是一类常见题型,学习中要注意对不同的方法进行归类和体会. 【巩固反思】 1. 已知 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,且 a 2. 若 log ( a ? 3)
logb ( x ?3)

? 1 ,则 x 的取值范围是________

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是________ 3

3. 求函数 y ? log(5? x ) (2x ? 3) 的定义域

2 4. 已知 1 ? x ? m ,设 a ? log m x , b ? logm x , c ? logm (logm x) ,试比较 a 、 b 、 c 的大小

2

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5. 已知 2 lg(

x? y x ) ? lg x ? lg y ,求 的值 2 y

对数函数(2)
【自学目标】 1.进一步巩固对数函数的概念 2.利用对数函数单调性解决相关问题,深入理解对数函数的性质 【知识要点】 1. 对数函数的单调性 2. 不同底数对数函数图像的关系(图略) 3. 对数不等式 解对数不等式的实质是将不等式两边化为同底的对数函数,利用对数函数单调性进行等价转 化,进而通过比较真数的大小解不等式 【预习自测】 例1. 求下列函数的单调区间 (1) y ? log0.5 x 2 (2) y ? ? log 2 x ? 4 log2 x ? 2
2

例2. 解下列不等式 (1) log2 a x ? loga x 2 ? 8 ? 0(0 ? a ? 1) (2) log1 ( x ? 2 x ? 3) ? log2
2 2

1 3x ? 1

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例3. 求函数 y ? log1 x ? log1 x ? 5 , x ? [2,4] 的最小值和最大值
4 4

2

【课堂练习】 1. 已知 log a

1 ? 1 ,那么 a 的取值范围是_________ 2

2..求函数 y ? log 1
2

3 ? 2 x ? x 2 的定义域和值域

3.已知 y ? log4 (2 x ? 3 ? x 2 ) (1) 求定义域 (2) 求 f ( x) 的单调区间 (3) 求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值

【归纳反思】 解对数不等式一定要注意函数定义域及隐含条件 利用对数单调性解题,要重视数形结合的思想,利用函数图像帮助简化思考过程,降低思维 难度 对数函数与二次函数有两种典型的复合形式,学习中应注重掌握对形式的识别 【巩固反思】 1. 设 a ? 0且a ? 1 ,若 loga 2 ? log2 a ,则 a 的取值范围是__________ 2. 已知函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 在 x ? [2,4] 上的最大值比最小值大 1,则 a =______ 3. 若 ? 3 ? log1 x ? ?
2

x x 1 ,求 y ? (log 2 )(log 2 ) 的最大(小)值以及取得最大(小)值时的 2 4 2

相应的 x 的值

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对数函数(3)
【自学目标】 1. 理解函数图像变换与函数表达式之间的联系 2. 深入体会数形结合思想,逐步学会灵活运用函数图像研究函数性质 【知识要点】 1. 函数 y ? loga x 与 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1, b ? 0) 图像的关系

b ? 0 时,函数 y ? loga x 的图像向左平移 b 个单位,得函数 y ? loga ( x ? b) 的图像 b ? 0 时, ,函数 y ? loga x 的图像向右平移 ? b 个单位, 得函数 y ? loga ( x ? b) 的
图像 2. 函数 y ? loga x 与 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 图像的关系 有函数 y ? loga x 为偶函数易知 , x ? 0 时 y ? loga x = loga x 此时函数图像记为

c1 ; x ? 0 时, y ? loga x = loga (? x) ,即得 c1 关于 y 轴对称的图像 c2
【预习自测】 例 1.函数 y ? loga x ? b (a ? 0且a ? 1, ab ? 1) 的图像只可能是 ( )

例 2.将函数 y ? 2 的图像向左平移一个单位得到 c1 ,将 c1 向上平移一个单位,得到 c2 ,再
x

作 c2 关于直线 y ? x 的对称图形,得到 c3 ,求 c3 的解析式

例 3. 在函数 y ? loga x(0 ? a ? 1, x ? 1) 的图像上有 A,B,C 三点 , 它们的横坐标分别是

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t , t ? 2, t ? 4
(1) 若 ?ABC 的面积为 S ,求 S ? f (t ) (2) 判断 S ? f (t ) 的单调性

【课堂练习】
x ?1 1. 若 a ? 0且a ? 1,则函数 y ? a ? 1 的图像过定点_______,函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1

的图像过定点____________
2 2. 函数 f ( x ) ? log 0.3 x ? 6 x ? 5 的单调增区间为_____________

3. 若函数 f ( x) ? log3 x ? a 的对称轴为 x ? ?1 ,则实数 a =___________ 【归纳反思】 1. 研究对数函数图像,一定要抓住底数大于 1 还是小于 1 这个关键,其次是要注意图像和 坐标轴的交点及图像的渐近线 2. 图像变换是数学中经常研究的问题,熟练掌握图像变换和解析式之间的关系能帮助我 们快速了解某个具体函数的草图,从而帮助思考 【巩固反思】
?x 1.已知 a ? 0且a ? 1,函数 y ? a 和 y ? loga (? x) 的图像只可能是 (

)

2.已知 f ( x) ? loga x ,其中 0 ? a ? 1 ,则下列各式正确的是 ( )

1 4 1 1 C f (2) ? f ( ) ? f ( ) 3 4
A f ( ) ? f (2) ? f ( )

1 3

B f ( ) ? f ( ) ? f (2)

1 1 4 3 1 1 D f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 3

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3. 若函数 y ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图像经过第一 ,三四象限 ,则下列结论中正确 的是 ( ) B 0 ? a ? 1且b ? 0
2

A a ? 1且b ? 1

C 0 ? a ? 1且b ? 0 D a ? 1且b ? 0

4. 作出函数 y ? log1 x ? 2 的图像

5. 怎样利用图像变换,由 y ? ? ? 的图像得到 y ? log2 x 的图像

?1? ? 2?

x

6. 若函数 y ? log2 ax ? 1 的图像的对称轴是 x ? 2 ,求非零实数 a 的值.

幂函数(一)
[自学目标] 1.了解幂函数的概念 2.会画出几个常见的幂函数的图象 3.了解几个常见的幂函数的性质,并能简单应用 [知识要点] 1. 幂函数的定义. 2. y=x, y=x , y=x , y ?
2 3

1 , y ? x 2 的图象. x

1

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3 .幂函数的性质. [预习自测] 例 1:求下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性。
1

(1) y ? x 3

(2) y ? x 2

(3) y ? x ?2

(4) y ? x

?

2 3

变式引申: 求函数 y ? ( x ? 1)
? 1 4

? ( x ? 2) 的定义域。

2 3

1

例 2:画出下列函数 y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 的图象

例 3:比较下列各组数的大小 (1) 3
? 5 2

和 3 .1
2

?

5 2

2 ? ? ? (2) (? ) 3 和 (? ) 3 3 6
2

例4:求出函数 y ? ( x ? 3) 的定义域和单调区间.

?2

例5:已知 f ( x) ? (m2 ? m) x m

2

?2 m?1

,当 m 取什么值时,

(1) f ( x) 为正比例函数;

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(2) f ( x) 为反比例函数; (3) f ( x) 为幂函数。

[课内练习] 1.求下列幂函数的定义域,并指出它们的奇偶性。 (1)
? y ? x 3 (2) y ? x 6 (3) y ? x 5 (4) y ? x 2
2 5 3

?4

2.已知幂函数 y=f(x)的图象经过(3,

3 ) ,则 f(x)= 3
的是( )

3.下列函数图象中,表示函数

y?x

?1 3

4.画出函数

y ? x 3 的图象,并指出其单调区间。

1

5.比较下列各组数中两个值的大小:

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(1) 5.232 ,5.242 (2) 0.26

1

1

?1

,0.27?1 (3) (?0.72) 3 , (?0.75) 3

[归纳反思] 1.关于指数式值的比较,主要有:①同底异指,用指数函数单调性比较 ②异底同指,用幂函数单调性比较 ③异底异指,构造中间量(同底或同指)进行比较 2.性质:对于幂函数 y ? x a :①当 a>0 时,图象经过点(1,1)和(0,0) ,在第一象限内 是增函数. ②当 a<0 时,图象经过点(1,1) ,在第一象限内是减函数, 并且图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近. [巩固提高] 1.在下列函数中,定义域为 R 的是( ) A

y ? x2

3

B

y?x

3

C y?2

x

D y?x
?1 2

?1

1 y ? x2 ?1○ 2 y?x 2.下面给出了 5 个函数○ 幂函数的是( ) 1○ 5 1○ 2○ 3 A ○ B ○ 3 下列命题中正确的是( )
m

3 y ? 2x 2 ○ 4 ○ D 2○ 3○ 5 ○

y?x

?2 3

5 y ? x 3 ? 1 ,其中是 ○

1

C

2○ 3 ○

A 当 m=0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线 B 幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C 幂函数 y ? x 图象不可能在第四象限内
m

D 若幂函数 y ? x 为奇函数,则 y ? x 是定义域内的增函数
m m

4. 下列函数中,既是奇函数,又在 (0,??) 上是减函数的是( ) A

y?x
3

B

y ? 2?x C
1

y ? ?x3 D


y ? ?x3

5.函数 y ? x 与函数 A 关于原点对称 C 关于 x 轴对称
2

y ? x 3 的图象(

B 关于 y 轴对称 D 关于直线 y=x 对称

6.函数

y ? x 3 图象的大致形状是( )

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A

B

C

D

7.如图,曲线 C1 , C2 分别是函数 y ? x m 和 y ? x n 在第一象限的图象,那么一定有 A n<m<0 C m>n>0 B m<n<0 D n>m>0

8.用“ 〈”或“〉 ”连接下列各式

0.320.6

0.340.5

0.8
1

2 ?5

0.6

?2 3

9.幂函数的图象过点( 2 , 4 ),则它的单调递增区间是 10.函数

y?x
?2

?3 4

在区间

上是减函数

11.比较下列各组数的大小 (!) 1.3 3 , (?1.2)
3

?2 3

(2) 2.13 , (?2.4) 3 , (?4) 3
3

2

?1

2

(3) 3.64 ,2.5 3 , (?0.8) 7

?2

12.函数 y ? (mx2 ? 4 x ? m ? 2)

?1 4

? ( x 2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,求实数 m 的取值范围?

2.4

幂函数(二)

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[自学目标] . 进一步理解幂函数的定义、图象和性质,能熟练的运用幂函数的定义、图象和性质解决有关问 题 [知识要点] 1 幂函数的单调性 2 幂函数的图象 [预习自测] 例 1:求下列各式中参数的取值范围
3 3

(1) a 4 ? 0.5 4 (2) (?2) ? (2a ? 4)
2 3 2 3

2

例 2:讨论函数 y ? x 3 的定义域,奇偶性,作出它的图象,并根据图象, 说明函数的增减性。

例 3: 已知 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m 的幂函数。

2

?2m?2

是幂函数,且当 x ? (0,??) 时是减函数,求实数及相应

例 4:已知函数 y ? 4 15 ? 2 x ? x 2 (1) 求函数的定义域,值域; (2) 判断函数的奇偶性; (3) 求函数的单调区间。

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[课内练习] 1.当 x ? x 成立时,x 的取值范围是 ( )
2 3

A

x<1 且 x ? 0

B

0<x<1

C x>1

D x<1

2.函数 y ? 0.5 x , y ? x ?2 , y ? log0.3 x 的图象形状如图所示,依次大致是( )

① A ○ 1○ 2○ 3 B
?

② 2○ 1○ 3 ○
2 3

③ D ○ 3○ 2○ 1

C

3○ 1○ 2 ○

3.求函数 y ? ( x ? 1)

的单调区间。

4.若 f ( x) ? x , g ( x) ? x ? 2 ,求函数 f [ g ( x)] 的单调区间。

4 5

5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( 2 ,

2 2 ), 试求出此函数的解析式,并判断奇偶性,单调性.

[归纳反思] 1.确定幂的范围,可根据所需值的大小关系及幂函数的单调性。 2.绘制图象与研究性质时,可先由性质,特别是奇偶性绘制出图象,再由图象观察性质,是研究 函数的常用方法。 [巩固提高]

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1.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x 2 , h( x) ? x ?1 的大小关系。

2. 图 中 曲 线 是 幂 函 数 y ? x n 在 第 一 象 限 的 图 象 , 已 知 n 取 ? 2, ?

1 四个值,则相对于曲线 2

C1 , C2 , C3 , C4 的 n 依次为( )

3 .已知幂函数 y=(x)的图象过点( 2 , 4 ) ,则该函数的图象( ) A C 关于原点对称 关于 x 轴对称
1

1

B 关于 y 轴对称 D 关于直线 y=x 对称

4.如图为 y ? ax 2 ? b 的图象,求 a ,b

1

5.将 y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 , y ? x , y ? x 的下面。 y y

?

1 2

1

, y ? x 3 , y ? x ?2 , y ? x ?1 填入对应图象

y

y

O (1) y

x (2)

O

x

O (3)

x

O (4) y

x x

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(5)

(6)

(7)

(8)

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1 3

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6.已知 x ? x ,求 x 的取值范围。
2

7. 将下列各组数按从大到小顺序排列 (1) ( )

5 7

?1 5

, (? ) 3 , ( ) 5

3 4

1

6 5

1

(2) (?1.3) 3 , (0.4) 3 , (?2) 5

2

2

1

8. 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C D 当 y ? x n 的图象经过原点时,一定有 n>0 若 y ? x n (n<0)是奇函数,则 y ? x n 在其定义域内一定是减函数

9. 讨论函数

y?x

?3 2

的定义域,值域,单调区间, 奇偶性

10. 一个幂函数 y=f(x)的图象过点( 3 ,

4

27 ) ,另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8,-2)

1)求这两个幂函数的解析式 2)判断这两个函数的奇偶性 3)作出这两个函数的图象,观察得 f(x)<g(x)的解集

二次函数与一元二次方程(一)
[自学目标]

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1. 掌握二次函数与对应方程的关系 2. 理解函数的零点的概念 3. 初步了解判断函数零点所在区间的方法 4. 会用函数图象的交点解释方程的根的意义 5. 能结合二次函数图象与 x 轴的交点个数判断一元二次方程根的存在性和根的个数 6. 了解函数的零点与对应方程根的关系 [知识要点] 1.函数的零点:一般地,如果函数 y=f(x)在实数 a 处的值等于 0,即 f(a)=0,则 a 叫做这个 函数的零点。对于函数的图象,零点也就是这个函数的图象与 x 轴的交点的横坐标。 2.二次函数的零点性质: (1) 二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号。 (2) 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 3.方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 f(x)=0 有零 点。 [预习自测] 2 例 1.求证:一元二次方程 2x +3x-7=0 有两个不相等的实数根

例 2.如图,是一个二次函数 y=f(x)的图象。 (1)写出这个二次函数的零点; (2)写出这个二次函数的解析式; (3)试比较 f(-4)f(-1),f(0)f(2)与 0 的大小关系。 -4

y 4 3 1 2

-3 -1 0

1

x

例 3.二次函数 f(x)= ax +bx+c (x ? R)的部分对应值如下:
2

X y

-3 6

-2 m

-1 -4
2

0 -6

1 -6

2 -4

3 n

4 6

不求 a,b,c 的值,可判断 ax +bx+c=0 的两根所在区间是 ( ) A(-3,-1) (2,4)B(-3,-1) (-1,1) C(-1,1) (1,2)D(- ? ,-3) (4,+ ? ) 例 4.若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是 A a<-1 B a>1 C –1<a<1 D 0 ? a<1
2

( )

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[课内练习] 2 1.函数 f(x)= x -3x-4 的零点是 A 1,-4 B 4,-1 C 2.函数 f(x)=x-

( ) 1,3 D 不存在 ( )

4 的零点的个数是 x

A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个 2 3.已知函数 f(x)= mx +(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的 取值范围是 ( ) A ( 0,1 ) B (0,1]
2

C (- ? ,1) D (??,1]

4. 关于 x 的方程|x -4x+3|-a=x 有三个不相等的实数根,则实数 a 的值是___________. 5. 对于任意定义在 R 上的函数 f(x),若实数 x0 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f(x)的一个不 2 动 点 。 现 给 定 一 个 实 数 a(a ? ( 3 , 4 ) ) , 则 函 数 f(x)=x +ax+1 的 不 动 点 共 有 ______________________________个。 2 6. 若函数 y=ax -x-1 只有一个零点,求实数 a 的取值范围。

7. 已知关于 x 的函数 f(x)=x +2(m-1)x+2m+6,当函数图象经过点(0,1)时,试证明函数 有两个不等的零点,且分别在(0,1)和(6,7)内。

2

[归纳反思] 1. 方程的根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同 的表现形式。例如求方程根的个数,就是看对应的函数图象与 x 轴有几个交点。反过来 求函数的零点个数,则可以看方程有几个实数根。 2.函数零点的存在性的判断方法是本节的重点和难点,它指出了函数零点的一种寻找方法。 对于连续不断的函数,只需找到一个区间,使区间两端点的函数值异号,就可确定在此区间 内至少有一个零点。它的几何意义是函数的图象在此区间上与 x 轴有交点。如果图象是间断 的,虽然在区间两端函数值异号,但图象与 x 轴不一定有交点,因此不一定有零点。 3.函数在某一区间上单调对零点个数的判断很重要。 [巩固提高] 1.函数 f(x)= x ? 3x ? 1 的零点个数有
2

( C 2个 D 不确定



A 0个

B 1个

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2.二次函数 y= x2 ? 4 x ? (k ? 8) 与 x 轴至多有一个交点,则 k 的取值范围是 A (??, 4) B (4, ??) C (??, 4] D [4, ??) ( D 不确定 ( ) )

3.函数 f(x)= x2 ? (m2 ? 2) x ? m 在(-1,1)上零点的个数为 A 0个 B 1个 C 2个

4.无论 m 取何值时,方程 m( x ? ) ? x ? 3 x ? 2 的实根个数为
2

3 2

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个 ( ) )

2 5.函数 f(x)= ln x ? 的零点所在的大致区间是 x
A (1,2) B (2,3) C (e, 3 ) D (e + ?

6.函数 f(x)= ax2 ? 2ax ? c(a ? 0) 的一个零点为 1,则它的另一个零点为____________ 7.f (x)= x ? 2 x ? a 在区间[-3,2]的最值是 4,则实数 a 的值为_________________
2

8.求下列函数的零点: (1) y= x ? 5 x ? 14
2

(2) y= ? x ? x ? 20
2

(3)

y=(x-1)( x ? 3x ? 1 )
2

(4) y=( x ? 2 )( x ? 3x ? 2 )
2
2

9.求下列函数的零点,图象顶点坐标,画出个函数简图,并指出函数值在哪些区间大于零,哪些 小于零。 (1)y=

1 2 x ? 2x ?1 3

(2)y= ?2 x ? 4 x ? 1
2

10.已知二次函数 f(x)= ax +bx+c (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,证明:f(x)有两个零点。 (2)证明: 若对 x1, x2 ? R 且 f(x1,)≠f(x2),则方程 f(x)= x2)内。

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 必有一实数根在区间 (x1, 2

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二次函数与一元二次方程(二)
[自学目标] 1. 进一步熟悉函数零点的概念 2. 握二次函数根的分布情况 3. 根据函数在零点两侧函数值乘积小于 0 这一结论解决有关问题。 4. 通过二次函数与一元二次方程的关系掌握二次函数的性质, 运用函数思想理解和处理现 实生活和社会中的简单问题,增强理性思维和逻辑思维能力。 5. 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力,表达交流能力。 [知识要点] 1.对二次函数的认定 2.由二次函数图象掌握二次函数的性质 3.二次函数根的分布情况 【预习自测】 例 1.已知二次函数 y=f(x)的图象过点(0,-8) , (1,-5) , (3,7) (1) 求函数 f(x)的解析式。 (2) 求函数 f(x)的零点。 (3) 比较 f(2)f(4),f(1)f(3),f(-5)f(1),f(3)f(-6)与 0 的大小关系。

例 2.当关于 x 的方程的根满足下列条件时,求实数 a 的取值范围 2 (1) 方程 x -ax+a-7=0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2。 2 (2) 方程 ax +3x+4=0 的根都小于 1 2 2 (3) 方程 x -2(a+4)x+2a +5a+3=0 的两个根都在区间[-1,3]上 2 (4) 方程 7x -(a+13)x+2a-1=0 的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上

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例 3.关于 x 的二次方程 7x -(p+13)x+p -p-2=0 的两根 ? , ? 满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ,求实数 p
2 2

的取值范围。

例 4.若二次函数 y= ? x ? mx ? 1 的图象与两端点为 A(0,3) ,B(3,0)的线段 AB 有两个不
2

同的交点,求 m 的取值范围。

[课内练习] 2 1.二次函数 y= x -4x-(k-8)与 x 轴至多有一个交点,则 k 的取值范围是 A (- ? ,4) B(4,+ ? ) C(- ? ,4 ] D [ 4,+ ? ) 2 2.函数 f(x)=log2(x -4x+5)的零点为 A 1 B 0 C 2或0 D 2

( ) ( )

3 2 与曲线 y -2y-x+3=0 只有一个公共点,则 k 的值为 2 1 1 1 1 1 1 1 A 0,- , B 0, C - , D 0, , 2 4 4 2 4 2 4
3.直线 y=kx+
2

( )

4.已知方程 x -k x+2=0 在区间(0,3)中有且只有一解,则实数 k 的取值范围是______. 5.①关于 x 的二次方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两根,且一个大于 1, 一个小于 1,求 m 的范围。
2

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②关于 x 的二次方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两根,且在 [0, 4) 内,求 m 的范围。 ③关于 x 的二次方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两根,且在[1,3]之外,求 m 的范围。 ④关于 x 的二次方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m 的范围。
2 2

2

Δ6.设二次函数 f(x)= x +x+a(a>0)若 f(m)<0, 试判断函数 f(x)在(m , m+1 )内零点的个数。

2

[归纳反思] 1. 二次函数与二次方程均不能忽略 x 前的系数不为零 2. 方程的根与图象关系 3. 求二次函数最值时要注意讨论。 [巩固提高] 1.设 f(x)= ?2 x ? 3tx ? t ( x, t ? R) 的最大值是 u(t),当 u(t)有最小值时,t 的值为
2
2

( )

A

9 4

B

4 9
2

C

-

9 4

D

-

4 9
( )

2.如果函数 f(x)= x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 A f (2) ? f (1) ? f (4) C f (4) ? f (2) ? f (1)
2

B f (2) ? f (4) ? f (1) D f (1) ? f (2) ? f (4)

3.已知函数 f(x)= x ? ax ? 5 ,对称轴是 x=-2,若 x ?[m,0] 时,函数 f(x)有最大值 5,最小 值 1,则实数 m 的取值范围为 A m ? -2 B -4 ? m ? -2
2

C -2 ? m ? 0

( D -4 ? m ? 0



4.如果函数 f(x)= x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上减函数,则 a 的取值范围是

( )

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A a ? -3

B a ?3

C a ? -3

D

a?3 ( )

5.若函数 f(x)=(m-1) x2 ? (m2 ?1) x ? 1 是偶函数,则在区间 (??, 0] 上 f(x) A 可能是增函数,可能是常数函数 B 是增函数 C 是常数函数 D 是减函数 6.已知 y= x ? ax ? 3 ? a 在区间[-2,2]上恒非负,求实数 a 的取值范围。
2

7.方程 x ?
2

3 x ? k 在(-1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2

8.方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,求实数 a 的取值范围。
2

9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3) 。 (1) 若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式 (2) 若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围。

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2 10.已知二次函数 f(x)= ax ? bx (a,b 为常数)且 a ? 0 满足条件:f(-x+5)=f(x-3),f(x)=x 有等

根 (1) 求 f(x)的解析式 (2) 是否存在实数 m,n 使 f(x)的定义域和值域分别为[m.n]和[3m,3n],如果存在,求出 m,n 的 值,如果不存在说明理由。

用二分法求方程的近似解
[自学目标] 1.掌握二分法的概念 2.利用二分法求方程的近似解及判断函数零点个数 3.理解二分法,了解逼近思想、极限思想。 4.会利用二分法求方程的近似解 5.会利用二分法求函数零点个数 [知识要点] 1.二分法概念:对于在区间[a,b]上连续不断、且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函 数 f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 二分法。 2.用二分法求方程近似解:

选 定 初 始 区 间

取 区 间 的 中 点

中点函数 值为零 是



选 取 新 区 间

否 方程的 是 解满足 精确度

结 束

【预习自测】 2 例1.利用计算器,求方程 x -2x-1=0 的一个近似解(精确到 0.1)

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例2.用二分法求函数 f(x)=x -3 的一个正实数零点(精确到 0.01)

3

例3.求函数 y= x -2x -x+2 的零点,并画出它的图象。

3

2

例4.求方程 2x +3x-3=0 的一个近似解(精确到 0.1)

3

例5.求方程 lgx=3-x 的近似解。

[课内练习] 1.方程 log3x+x=3 的近似解所在区间是 ( A (0,2) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 2.下列函数,在指定范围内存在零点的是 ( 2 A y= x -x x ? (-∞ ,0) B y=∣x∣-2 x ? [-1,1] 5 3 C y= x +x-5 x ? [1,2] D y=x -1 x ? ( 2,3 ) 3. 方程 2 +
x

) )

3 x ? 3 ? 0 的解在区间 2





A ( 0,1 )内 B ( 1,2)内 C (2,3)内 D 以上均不对 4.方程 logax=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 5.下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( ) y y

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0

x

0

x

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A y y B

0

x 0 x

D x 6.证明:方程 2 - 2 x ? 3 ? 0 的两根一个在区间(-2,-1)内,一个在(3,4)内。

C

[归纳反思] 二分法求方程的解时需要选定初始区间, 它往往需要考虑函数性质, 常用方法有试验估计法, 数形结合法,函数单调性法,还有函数增长速度差异发等等。 [巩固提高] 1.方程 x ? 64 x ? 0 的实根个数为
3

( C 2

) D ( 3 )

A

0
2

B 1

2.方程 x ? 3x ? 1 ? 0 在区间(2,3)内,根的个数为 A 0 B 1 C 2 3.方程 lnx+2x=6 的解一定位于区间( )内 A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5) 4.函数 f(x)= x ? 5
2

D 不确定

的函数零点的近似值(精确到 0.1)是 C 2.2

( ) D 2.3 ( )

A

2.0
3

B 2.1
2

5.三次方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0 在下列哪些连续整数之间有根? A –2 与-1 之间 B –1 与 0 之间

C 0 与 1 之间

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D

1 与 2 之间

E 2 与 3 之间
x

6.函数 y= ( ) 与函数 y= lg x 的图象的交点横坐标(精确到 0.1)约是 A 1.3
3

1 2





B

1.4

C 1.5

D 1.6

7.方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间[1,1.5]的一个实数根(精确到 0.01)为__________________ 8.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这 个零点(精确到 0.0001)的近似值,那么将区间(a,b)等分的次数至多是____________ 9.求方程 lnx+2x-6=0 的近似解。

x?2 (a ? 1) . x ?1 (1)证明:f(x)在(-1,+ ? )上为增函数。
10.已知函数 f(x)= a ?
x

(2)证明:方程 f(x)=0 没有负实数根。 (3)若 a=3,求方程 f(x)=0 的根(精确到 0.01)

函数的模