高中数学必修2第1课棱柱、棱锥、棱台的结构特征_图文

1.1 第 1 课时

空间几何体的结构

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[基础· 初探] 教材整理 1 空间几何体的定义、分类及相关概念

阅读教材 P2~P3 的内容,完成下列问题. 1.空间几何体的定义及分类

形状 大小 (1)定义:如果我们只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由 空间图形 这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 多面体 旋转体 (2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.

2.多面体与旋转体 类别 多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内

定义

平面多边形 由若干个平面多边形围成的几何


封闭 定直线 的一条定直线旋转所形成的封闭 几何体

图形

相关 概念

多边形 面:围成多面体的各个多边形; 公共边 棱:相邻两个面的公共边; 公共点 顶点:棱与棱的公共点 定直线 轴:形成旋转体所绕的定直线

下列物体不能抽象成旋转体的是________. ①篮球;②日光灯管;③电线杆;④金字塔.
【答案】 ④

教材整理 2

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

阅读教材 P3~P4 的内容,完成下列问题. 1.棱柱的结构特征 名称 结构特征 图形及表示法 分类 依据底面多 边形的边 数.

平行 有两个面互相平行,其余各面 四边形 都是四边形,并且每相邻两个 互相平行 棱柱 四边形的公共边都互相平行,
由这些面所围成的多面体叫做 棱柱.

两个互相平行 棱柱中,两个互相平行的面叫
其余 做棱柱的底面,简称底;其余
棱柱

用表示底面各顶点的字 母表示棱柱,如上、下 底面分别是四边形 A′B′C′D′、四边形 ABCD 的四棱柱, 可记为 棱 柱 ABCD -

例如: 三棱柱(底 面是三角 形), 四棱柱 (底面是四 边形),?

各面 各面叫做棱柱的侧面;相邻的
公共边 侧面的公共边叫做棱柱的侧 公共顶点 棱;侧面与底面的公共顶点叫
做棱柱的顶点

A′B′C′D′

2.棱锥的结构特征 名称 结构特征 图形及表示法 分类 依据底面多 边形的边 数. 例如:三棱 锥(底面是 用顶点和底面各顶点的 字母表示,如上图中棱
S?ABCD 锥可表示为棱锥? ABCD

多边形 其余各面 有一个面是多边形, 三角 都是有一个公共顶点的三角 形 由这些面所围成的多面体 形, 多边形面 叫做棱锥. 这个多边形面叫做
棱锥 棱锥的底面或底; 有公共顶点

三角形面 的各个三角形面叫做棱锥的 公共顶点 侧面; 各侧面的公共顶点叫做 公共 棱锥的顶点; 相邻侧面的公共 边 边叫做棱锥的侧棱

三角形), 四棱锥(底 面是四边 形),?

3.棱台的结构特征 名称 结构特征 图形及表示法 分类

平行于棱锥 用一个平行于棱锥 底面 底面的平面去截棱
锥,底面与截面之 间的部分叫做棱 棱台 底面 台.原棱锥的底面

按照棱台底 面多边形的 边数分类.例 用上下底面的顶点表示棱台.如: 上 、 下 底 面 分 别 是 四 边 形 A′B′C′D′、 四边形 ABCD 的四 棱台,可记为棱台 ABCD? -A′B′C′D′ 如: 三棱台(由 三棱锥截得), 四棱台,?

截面 和截面分别叫做棱
台的下底面和上底 面.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些 面所围成的几何体是棱锥. (2)用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台. (3)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形. (4)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形. ( ( ( ( ) ) ) )

【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×

[小组合作型]

棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1)下列命题中正确的是________.(填序号) ①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱; ②棱柱的一对互相平行的平面均可看做底面; ③三棱锥的任何一个面都可看做底面; ④棱台各侧棱的延长线交于一点.

(2)关于如图 111 所示几何体的正确说法的序号为________.

①这是一个六面体; ②这是一个四棱台; ③这是一个四棱柱; ④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到; ⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

【导学号:09960000】

图 111

【精彩点拨】 根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断.

【自主解答】

(1)结合有关多面体的定义及性质判断.对于①,还可能是

棱台;对于②,只要看一个正六棱柱模型即知是错的;对于③,显然是正确的; ④显然符合定义.故填③④. (2)①正确.因为有六个面,属于六面体的范围. ②错误.因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确. ③正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱. ④⑤都正确.如图所示.

【答案】 (1)③④ (2)①③④⑤

解决关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断题,需要准确理解三类几何体 的意义,把握几何体的结构特征,通过作图、比较或举一些反例来作出正确的 判断.

[再练一题] 1.下列关于棱锥、棱台的说法: ①棱台的侧面一定不会是平行四边形; ②棱锥的侧面只能是三角形; ③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________.

【解析】 ①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形; ②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; ③正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; ④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
【答案】 ①②③

多面体的平面展开图

给出两个几何体,如图 112:

图 112 (1)画出两个几何体的平面展开图;
(2)图①是侧棱长为 2 3的正三棱锥 DABC, ∠ADB=∠BDC=∠CDA=40° , 过 A 作截面 AEF 分别交 BD,CD 于 E,F,求截面三角形 AEF 周长的最小值.

【精彩点拨】 (1)将几何体沿着某些棱剪开,然后伸展到平面上. (2)把点 A、D 所在侧棱剪开展平,再利用平面几何知识或解三角形知识求 解.

【自主解答】

(1)展开图如下图所示.

(2)将三棱锥沿侧棱 DA 剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,

线段 AA1 的长为所求△AEF 周长的最小值,取 AA1 的中点 G,则 DG⊥AA1, 又∠ADG=60° ,可求得 AG=3,则 AA1=6,即截面三角形 AEF 周长的最小值 为 6.

1.本题(2)实际上是求多面体侧面上两点间的最短距离问题,常常要归纳为 求平面上两点间的最短距离问题,因此解决这类问题的方法就是先把多面体侧 面展开成平面图形,再用平面几何的知识来求解. 2.解答展开与折叠问题,要结合多面体的定义和结构特征,发挥空间想象 能力.必要时可制作平面展开图进行实践.

[再练一题] 2.(2016· 泰安高一检测)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2,P 是 AA1 的中点,E 是 BB1 上的点,则 PE+EC 的最小值是________. 【导学号:09960001】

【解析】

将正方体的侧面 ABB1A1,BCC1B1 放在同一平面内,如图,则

PE+EC 的最小值为 PC= PA2+AC2= 12+42= 17.

【答案】

17

[探究共研型]

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

探究 1

若一个几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,这个

几何体是否是棱柱?

【提示】

如图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边

形,但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体.其原因是不具备条件 “每相邻两个四边形的公共边都互相平行”.

探究 2

有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?

【提示】

未必是棱锥.如图所示的几何体,满足各面都是三角形,但这

个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角 形”.

探究 3 台吗?

若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则它一定是棱

【提示】

未必是棱台,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图,

用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体,截面与底面之间的几何 体虽有两个面平行,其余各面是梯形,但它不是棱台,所以看一个几何体是否 是棱台,不仅要看是否有两个面平行,其余各面是否是梯形,还要看其侧棱延 长后是否交于一点.

如图 113,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 被平面 BCEF 所截得的两部分 分别是怎样的几何体?若几何体 ABCDA1FED1 是棱柱,指出它的底面和侧面.

图 113 【精彩点拨】 根据棱柱的定义作出判断.

【自主解答】 所截两部分分别是四棱柱和三棱柱.几何体 ABCDA1FED1 是四棱柱, 它的底面是平面 ABFA1 和平面 DCED1, 侧面为平面 ABCD, 平面 BCEF, 平面 ADD1A1 和平面 A1D1EF,侧面均为平行四边形.

正确判断几何体类型的方法 要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对 于有些四棱柱,互相平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不固定.棱 柱的概念中两个面互相平行,指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方 式不同,两个底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满足棱柱的定义.

[再练一题] 3.如图 114,能推断这个几何体是三棱台的是(
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4

) 【导学号:09960002】

B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=2,A1C1=2,AC=4 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.A1B1=AB,B1C1=BC,C1A1=CA
【解析】 因为三棱台的上下底面相似, 所以该几何体如果是三 A1B1 B1C1 A1C1 棱台,则△A1B1C1∽△ABC,所以 AB = BC = AC ,C 正确. 【答案】 C

图 114

[构建· 体系]

1.(2016· 聊城高一检测)下列几何体中是棱柱的个数有(

)

图 115

A.5 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

【解析】 由棱柱的定义知①③是棱柱,选 D. 【答案】 D

2.对有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是 ( ) A.棱柱 C.棱台 B.棱锥 D.一定不是棱柱、棱锥

【解析】

有两个面互相平行,故此多面体一定不是棱锥,其余各面都是

梯形,所以也不是棱柱,棱柱的侧面都是平行四边形,选 D.
【答案】 D

3.如图 116 所示,在棱锥 ABCD 中,截面 EFG 平行于底面,且 AE∶AB =1∶3,已知△BCD 的周长是 18,则△EFG 的周长为________.

图 116

【解析】

由已知得 EF∥BD,FG∥CD,EG∥BC,

∴△EFG∽△BCD, △EFG的周长 EF ∴ = . △BDC的周长 BD △EFG的周长 1 EF AE 1 又∵BD=AB=3,∴ =3, △BCD的周长 1 ∴△EFG 的周长=18×3=6.

【答案】 6

4.一个棱柱至少有__________个面;面数最少的棱柱有________个顶点, 有________条棱. 【导学号:09960003】
【解析】 面数最少的棱柱是三棱柱,有 5 个面,6 个顶点,9 条棱. 【答案】 5 6 9

5.如图 117 是三个几何体的侧面展开图,请问:各是什么几何体?

图 117

【解】 ①五棱柱;②五棱锥;③三棱台. 如图所示:

家庭作业

学业分层测评(一)


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