2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线学案北师大版选修1_12018060617

§2 抛_物_线 2.1 抛物线及其标准方程 [对应学生用书 P21] 抛物线的定义 如右图,我们在黑板上画一条直线 EF,然后取一个三角板,将一条拉 链 AB 固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在 C 点, 将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上,在拉锁 D 处放置一支粉笔,上 下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 问题 1:曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么? 提示:线段 DA 的长. 问题 2:曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么? 提示:线段 DC 的长. 问题 3:曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关系? 提示:相等. 抛物线的定义 定义 焦点 准线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线 定点 F 定直线 l 抛物线的标准方程 已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上),且定点到 l 的距离为 6,曲线上的点到定 点距离与到定直线 l 的距离相等.在推导曲线的方程的过程中,由建系的不同,有以下点和直 线. A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3); l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3. 问题 1:到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方程是什么?并指出曲线开口方向. 提示:y2=12x. 向右. 1 问题 2:到定点 B 和定直线 l2 距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:y2=-12x. 向左. 问题 3:到定点 C 和定直线 l3 距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:x2=12y. 向上. 问题 4:到定点 D 和定直线 l4 距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:x2=-12y. 向下. 抛物线的标准方程 图像 标准方程 y2=2px(p>0) 焦点坐标 准线方程 p ( ,0) 2 p x=- 2 p y2=-2px(p>0) (- 2 ,0 p x= 2 ) p y=- 2 p x2=2py(p>0) (0, 2 ) p x2=-2py(p>0) (0,- 2 p y= 2 ) 1.平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛物线,定点 F 不在定直线上, 否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线. 2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点在坐标轴上. [对应学生用书 P23] 求抛物线的焦点坐标和准线方程 [例 1] 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向. 1 (1)y= x2; 4 (2)x=ay2(a≠0). [思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型,求出 p.再写出焦点坐标 和准线方程. 2 1 [精解详析] (1)抛物线 y= x2 的标准形式为 x2=4y, 4 ∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1.抛物线开口向上. 1 (2) 抛物线方程的标准形式为 y2= x, a ∴2p= 1 . | a| p 1 ①当 a>0 时, = ,抛物线开口向右, 2 4a 1 ∴焦点坐标是 1 ; 4a ( ,0 ,准线方程是 x=- 4a ) p 1 ②当 a<0 时, =- ,抛物线开口向左, 2 4a 1 ∴焦点坐标是 1 . 4a 1 综合上述,当 a≠0 时,抛物线 x=ay2 开口向右;a<0 时,开口向左. [一点通] 1.先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、焦点位置,准确地求出 p 值. 的焦点坐标为 ( ,0 ,准线方程是 x=- 4a ) 1 ( ,0 ,准线方程为 x=- 4a ) .a>0 时, 4a a 2.抛物线 y2=2ax(a≠0)的焦点坐标 2 a 2 的正负. ( ,0),准线 x=- ,不必讨论 a ) B.(0,-2) D.(-4,0) 1.抛物线 x2=8y 的焦点坐标是( A.(0,2) C.(4,0) p 解析:由抛 物线的方程为 x2=8y 知,抛物线的焦点在 y 轴上,所以 2p=8, =2,所以焦 2 点坐标为(0,2),故选 A. 答案:A 2. (北京高考)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0), 则p=________,准线方程为________. p 解析:因为抛物线 y2=2px 的焦点坐标为 2 p 2 ( ,0),准线方程为 x=- ,抛物线 y =2px 的 2 焦点坐标为(1,0),所以 p=2,准线方程为 x=-1. 答案:2 x=-1 求抛物线的标准方程 [例 2] 求满足下列条件的抛物线的标准方程. 3 (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上; (3)已知抛物线焦点在 y 轴上,焦点到准线的距离为 3. [思路点拨] 确定 p 的值和抛物线的开口方向,写出标准方程. [精解详析] (1)设所求的抛物线方程为 y2=-2p1x(p1>0)或 x2=2p2y(p2>0),∵过点(- 3,2), ∴4=-2p1(-3)或 9=2p2·2. 2 9 ∴p1= 或 p2= . 3 4 4 9 故所求的抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 3 2 (2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 点为(4,0)时, =4, 2 p 当焦 ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; (0,-2)时, =|-2|, 2 p 当焦点为 ∴p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y. 故所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y. (3)由题意知,抛物线标准方程为 x2=2py(p>0)或 x2=-2py(p>0)且 p=3,∴抛物线标准 方程为 x2=6y 或 x2=-6y. [一点通] 求抛物线标准方程的方法有: (1

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