2012年普通高中学业水平考试数学试题

2012 年普通高中学业水平考试数学试题
第一卷(选择题 共 45 分) 第一卷(
一、选择题(15’×3=45’) 选择题( × )
1、已知角的终边经过点(-3,4) ,则 tanx 等于

4 D 3 3 2、已知 lg2=a,lg3=b,则 lg 等于 2 b A a-b B b-a C a
A B

3 4

?

3 4

C

?

4 3

D

a b

3、设集合 M= {(1,2)} ,则下列关系成立的是 A 1∈M B 2∈M C (1,2)∈M D (2,1)∈M 4、直线 x-y+3=0 的倾斜角是 A 300 B 450 C 600 D 900 5、底面半径为 2,高为 4 的圆柱,它的侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若 b<0<a(a,b∈R),则下列不等式中正确的是 A b2<a2 B

4 ,则 tanx 等于 2 5 3 3 4 4 A B ? C D ? 4 4 3 3 n +1 8、已知数列 {a n } 的前 n 项和 sn= ,则 a3 等于 n+2 1 1 1 1 A B C D 20 24 28 32
7、已知 x∈(,o),cosx= 9、在ΔABC 中,sinA ? sinB-cosA ? cosB<0 则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数 f ( x) =

π

1 1 > b a

C

-b<-a

D a-b>a+b

A 在(-2,+ ∞ ),内单调递增 B 在(-2,+ ∞ )内单调递减 C 在(2,+ ∞ )内单调递增 D 在(2,+ ∞ )内单调递减 11、在空间中,a、b、c 是两两不重合的三条直线,α、β、γ是两两不重合的三个平面, 下列命题正确的是 D1 A 若两直线 a、b 分别与平面α平行, 则 a∥b C1 B 若直线 a 与平面β内的一条直线 b 平行,则 a∥β A1 B1 C 若直线 a 与平面β内的两条直线 b、c 都垂直,则 a⊥β D 若平面β内的一条直线 a 垂直平面γ,则γ⊥β 12、不等式(x+1) (x+2)<0 的解集是 D C A B

1 ( x ≠ 2) ,则 f(x) x?2

A

{x ? 2 < x < ?1} { }
D

B

{x x < ?2或x > ?1}

C x1 < x < 2

{x x < 1或x > 2}

13、正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1 C1 与 BD 所在直线所成角的大小是 D 900 A 300 B 450 C 600 14、某数学兴趣小组共有张云等 10 名实力相当的组员, 现用简单随机抽样的方法从中抽取 3 人参加比赛, 则张云被选中的概率是 A 10% B 30% C 33.3% D 37.5% 15、如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c, 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ← ”或“:=” ) A c>x B x>c C c>b D b>c

开始

输入 a,b,c

x=a

是 b>x? x=b 否 是 x=c 否

第二卷( 第二卷(非选择题共 55 分)
二、填空题(5’ ×4=20’) 填空题( )
16、已知 a>0,b>0,a+b=1 则 ab 的最大值是____________ 17、若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行,则实数 a 等于____________ 18、已知函数 f ( x) = ?

?2 x , ( x < 4) ? f ( x ? 1), ( x ≥ 4)


那么 f(5)的值为____________ 19、在[-π,π]内,函数 y = sin( x ?

π
3

输出 x

) 为增函数的区间是____________
结束

20、设┃a┃=12,┃b┃=9,a ? b=-54 2 , , 则 a 和 b 的夹角θ为____________

小题, 三、解答题(共 5 小题,共 35 分) 解答题(
21、已知 a =(2,1)b=(λ,-2) ,若 a⊥ b,求λ的值 22、 (6’)已知一个圆的圆心坐标为(-1, 2) ,且过点 P(2,-2) ,求这个圆的标准方程

23、 (7’)已知 {a n } 是各项为正数的等比数列,且 a1=1,a2+a3=6,求该数列前 10 项的和 Sn

24、 (8’)已知函数 f ( x ) =

3 1 sin x ? cos x, x ∈ R 2 2

求 f(x)的最大值,并求使 f(x)取得最大值时 x 的集合 25、 (8’)已知函数 f(x)满足 xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且 f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的 任意 x 都成立 (1)求 f(x)的解析式及定义域 (2)写出 f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?

参考答案
一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A 1 1 π 5π 3π 17、 18、8 19、 [ ? , ] 20、 二、16、 4 3 6 6 4 ,b ,∴a ? b=2λ-2=0,∴λ 三、21、解:∵a⊥b,∴a ? b=0,又∵a=(2,1) =(λ,-2) ,
=1 22、解:依题意可设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=r2。 ∵点 P(2,-2)在圆上, ∴ r2=(2+1)2+(-2-2)2=25 ∴所求的圆的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=52 。 23、解:设数列 {a n } 的公比为 q,由 a1=1,a2+a3=6 得: q+q2=6,即 q2+q-6=0, 解得 q=-3(舍去)或 q=2

a1 (1 ? q 10 ) 1 ? 210 = = 210 ? 1 = 1023 ∴S10= 1? q 1? 2
24 解:∵ f ( x ) =

3 1 π π π sin x ? cos x = sin x cos ? cos x sin = sin( x ? ) 2 2 6 6 6

∴f(x)取到最大值为 1 当x?

π
6

= 2kπ +

π

2 , k ∈ Z , 即x = 2kπ + π , k ∈ Z时 ,f(x)取到最大值为 1 2 3

∴f(x)取到最大值时的 x 的集合为 ? x│x = 2kπ +

? ?

2 ? π .,k ∈ Z ? 3 ?

25、解: (1)由 xf(x)=b+cf(x),b≠0,

b , x?c b b 由 f(1-x)=-f(x+1)得 =? 1? x ? c x +1? c
∴x≠c,得 f ( x ) = ∴c=1 由 f(2)=-1,得-1=

b ,即 b=-1 2 ?1 ?1 1 ∴ f ( x) = = , x ?1 1? x

∵1-x≠0,∴x≠1 即 f(x)的定义域为 x│x ≠ 1

{

}

(2)f(x)的单调区间为(- ∞ ,1)(1,+ ∞ )且都为增区间 , 证明:当 x∈(- ∞ ,1)时,设 x1<x2<1,

则 1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ∵1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =

x1 ? x 2 1 1 ? = , 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) x1 ? x 2 1 1 ? = <0 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )

即 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ∴f(x)在(- ∞ ,1)上单调递增。同理 f(x)在(1,+ ∞ )上单调递增。


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