湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试数学文试题


湖北省重点高中 2013 届高三五月模拟考试
数学(文科)
考试时间:2013 年 5 月 17 日下午 15:00-17:00 满分 150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题列出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 2 1.下列复数在复平面内对应的点不在圆 x ? y ? 5 上的是(



A. 1? 2i

B. 2 ? 3i

C. 3 ? 2i )

D. ?2 ? 2i

2 3 2.命题 P : ?x ? 0, 使x ? x 的否定 ?P 是(
2 3 A. ?P : ?x ? 0, 使x ? x

2 3 B. ?P : ?x ? 0, x ? x
2 3 D. ?P : ?x ? 0, x ? x

C. ?P : ?x ? 0, x2 ? x3

3.流程图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以 被输出的函数是( ) A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 4.已知 sin 2? ? ? A. ? 1
5

B. f ( x) ? x ?1 D. f ( x) ? sin x ) D. 7

24 , ? ? (? ? , 0) ,则 sin ? ? cos ? ? ( 25 4

B. 1

5

C. ? 7

5

5

? 1 ? 2 5. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2bx 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线 L 与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行, 若数列 ? ? ? f (n) ?
的前 n 项和为 Sn ,则 S 2013 的值为( )

A.

2014 2013

B.

2013 2014

C.

2013 2012

D.

2012 2013


6.等差数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m ? ( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
a b ? 2 , 则a ? b ,则 ( 2 c c

7.已知命题 p : x ? 2 是 x 2 ? 4 的充要条件,命题 q : 若 A. p ? q 为真 B. p ? q 为真 C. p 真 q 假

)

D. p, q 均为假

8.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长 与圆的直径均为 2,则该几何体的表面积为(
-1正视图 侧视图

)

A. 8π C.
4? 3 π 3

B. 7π D.

19 π 3

? x ? y ? 5 ? ?, ? 9.由不等式组 ? y ? t, 围成的三角形区域内有一个内切圆,向该三角形区域内随机投一 ?0 ? x ? 2 ?
个点,该点落在圆内的概率是关于 t 的函数 P(t ) ,则( A. P (t ) ? 0
'


'

B. P (t ) ? 0
'

C. P (t ) ? 0
'

D. P (t ) 符号不确定 )

10.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线为 l,点 Q 在圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 上,记抛物线上任意 一点 P 到直线 l 的距离为 d,则 d ? PQ 的最小值为( A.3 B.2 C.4 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11.已知集合 A ? ? x ? R ?1 ? x ? 1? , B ? x ? R 1 ? 2 x ? 4 ,则 A ? (CR B) ? 12.若双曲线 x 2 ? ky 2 ? 1 的离心率是 2 ,则实数 k 的值是 ▲ . D.5

?

?

▲ .

?2? x ? 0 ?? 1 13.设函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax, x ?[?2,2] 为偶函 0? x?2 ?x ?1 数,则实数 a 的值为 ▲ . y
14.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 在 R 上的部分图象如图所示,则 f (2013) 的 值为 ▲ .
?1

5

O

5

11 x

15.在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 ??? ? ??? ? ??? ? 的中点, AC ? ? AE ? ? AF ,其中 ? , ? ? R, 则? ? ? ?

BC
▲ .

16 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 : ① 定 义 域 为 R ; ② ?x ? R , 有 f ( x ? 2 )? 2 f (x ) ③ 当 x ? [0, 2] 时 , ;
.记 (1) f (?1) ? ▲ ; f ( x) ? 2? 2x ? 2 ? ( x) ? f ( x) ? x ( x ?[ ?4,4]) .根据以上信息,可以得:

(2)函数 ? ( x) 的零点个数为 17.图(1)是一个边长为 1 角形,将每边三等分,以 段为边向形外作正三

▲ 的正三 中间一 角形,并

擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3),??,则: (1)第 n 个图形的边长 an ? ▲ ; (2)第 n 个图形的面积 sn ? ▲ ;
-2-

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)某驾校在报名者中随机抽取 10 人,检查得到他们的视力状况的茎叶 图(如图) (小数点前一位为茎,小数点后一位为叶) ,若视力不低于 4.8,则称该报名者 “视力过关”. 图中数据的平均数为 4.82, (Ⅰ)求茎叶图中的数字 x 和这组数据的中位数; (Ⅱ)若共有 500 人报名,据此估计报名者中“视力过关”的人数。

4 5

x 8 2 1

5

6

2 8

1 0

??? ???? ? ??? ???? ? 19.本小题满分 12 分) ( △ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a, c,AB ? AC ? 6, AB ? AC ? 7 . 角 B、 b,
2 2 (Ⅰ)求 b ? c ;

(Ⅱ)求△ABC 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC , D 为 BC CC1 中点,侧面 BCC1 B1 为正方形。 (Ⅰ)证明: BE ? AB1 ; (Ⅱ)设 ?BAC ? ? ,若 AB ? 2 , 求这个三棱柱体积的最大值。

中点, E 为

21. (本小题满分 14 分) 椭圆 C : 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,左,右顶点分别 a 2 b2
( 3, 2) .

A1 , A2 .过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 的一个交点为 M

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)动直线 l : x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P , Q 两点, 直线

A1 P 与 A2Q 交于点 S .当直线 l 变化

时, 点 S 是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x 2 ? 3 x .
-3-

(Ⅰ)求证:函数 f (x) 在区间 [0,1] 上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应 x 的近似 值(误差不超过 0.2 )(参考数据 e ? 2.7 , e ? 1.6 , e0.3 ? 1.3 ) ; (Ⅱ)当 x ? 1 时,若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

湖北省重点高中 2013 届五月模拟考试 数学(文科)参考答案
一、选择题
题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

D
12. ?

D
1 3

B
1 2

B

C
14. ? 5 3 2

A
15. 4 3

B

C

A

二、填空题 11. [?1, 0] 13.

16.(1) 1 ; (2) 三.解答题

5

17. (1)

?1? an ? ? ? ? 3?

n ?1

; (2) Sn ?

2 3 3 3?4? ? ? ? 5 20 ? 9 ?

n ?1

18.解(Ⅰ)? 4.2 ? 4.5 ? 4.6 ? 4.8 ? 4.8 ? 5.0 ? 5.1 ? 5.1 ? 5.2 ? 43.3 , 又均值为 4.82? x ? 9 , ? 中位数为 4.85 (Ⅱ)由(Ⅰ)得样本中“视力过关”的概率为 约有 500 ?

?? 3 分 ?? 8 分

7 ,所以在新学员中 ??10 分 10
?????? 12 分

7 ? 350 人“视力过关” 10

??? ???? ? 19. (本小题满分 12 分)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, AB ? AC ? 6,
??? ???? ? AB ? AC ? 7 .

(1)求 b2 ? c 2 ; (2)求△ABC 面积的最大值. 解(Ⅰ)?

??? ???? ? ??? ???? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ??? ???? ? AB ? AC ? 6 , 则 AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB ?AC ? 36
????????5 分
49 7 , sin A ? 1 ? 2 2 bc bc

? b 2 ? c 2 ? 50
(Ⅱ)? AB ? AC ? bc ? cos A ? 7 ,则 cos A ? 所以△ABC 面积 S ? bc sin A ? bc 1 ?
2 2

??? ???? ?

?? 8 分 ??10 分

1 2

1 2

49 1 2 2 ? b c ? 49 b2c2 2

又因为由(Ⅰ)得 b ? c ? 50 ,故 b2 c2 ? (

2 2 当且仅当 b ? c ? 25, 即a ? b ? 5 时,面积 S 取得最大值 Smax ? 12

b2 ? c 2 2 ) ? 252 2
-4-

??12 分

20.解(Ⅰ) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面垂直于底面,又 AB ? AC ,D 为 BC 中点,故 AD ? BC ? 所以 AD ? 平面BCC1 B1 ,所以 BE ? AD ????? 2 分

? BCC1 B1 为正方形,又 D 为 BC 中点, E 为 CC1 中点,
所以 BE ? B1 D ????? 4 分 ????? 6 分

? BE ? 平面AB1 D ,所以 BE ? AB1

(Ⅱ) V ? sin ? ? 4(1 ? cos ? ) ? 2 (1 ? cos 2 ? )(1 ? cos ? ) ?

2 cos3 ? ? cos2 ? ? cos? ?1
令 t ? cos ? , f (t ) ? t 3 ? t 2 ? t ? 1, t ? (?1,1) 则 f ?(t ) ? 3t ? 2t ? 1 ,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? ?
2

????? 8 分

1 或 t ? 1 (舍去) 3

?? 10 分

因为 t ? (?1, ? ) 时, f ?(t ) ? 0 , t ? (? ,1) 时, f ?(t ) ? 0 所以 f (t ) 在 (?1, ? ) 递增,在 (? ,1) 递减,故 f ( x) max ? f ( ? ) ? 所以当 cos ? ? ? 时, V 取最大值 2 21. 解(Ⅰ) c ?

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

32 1 ,此时 cos ? ? ? 27 3
???? 13 分

1 3

32 8 6 ? 27 9

3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 . 点 M ( 3 ,2) 在椭圆上, ???2 分
3a 2 ? 9 ? 4a 2 ? a 4 ? 3a 2 a 4 ? 10a 2 ? 9 ? 0

3 4 ? 2 ? 1, 2 a a ?3

(a 2 ? 9)(a 2 ? 1) ? 0
? 椭圆 C 的方程为

a 2 ? 9 或 a 2 ? 1 ? c 2 (舍去). b 2 ? a 2 ? c 2 ? 6 .

x2 y2 ? ? 1. 9 6

???5 分

(Ⅱ)当 l ? x 轴时, P (1,

4 3 4 3 ) , Q(1,? ) , 又 A1 (?3,0) , A2 (3,0) 3 3

l A1 P : y ?

3 2 3 ( x ? 3) , l A2Q : y ? ( x ? 3) , 联立解得 S (9,4 3 ) . 3 3 9 4 6 ) 6 ? 6 x , P(0, 6 ) , Q( ,? 5 5

当过椭圆的上顶点时, y ?

l A1 P : y ?

6 2 6 ( x ? 3) , l A2Q : y ? ( x ? 3) ,联立解得 S (9,4 6 ) . 3 3
???8 分
-5-

若定直线存在,则方程应是 x ? 9 .

下面给予证明. 把 x ? my ? 1 代入椭圆方程,整理得, (2m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 16 ? 0

? ? 0 成立, 记 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
l A1 P : y ? y1 y2 ( x ? 3) , l A2Q : y ? ( x ? 3) x1 ? 3 x2 ? 3

? 4m ? 16 , y1 y2 ? . 2 2m ? 3 2m 2 ? 3
???11 分

当 x ? 9 时,纵坐标 y 应相等,

12 y1 6 y2 12 y1 6 y2 , 须 ? ? x1 ? 3 x2 ? 3 my1 ? 4 my2 ? 2
? 16 ? 4m 成立. ? 4? 2 2 2m ? 3 2m ? 3

须 2 y1 (my2 ? 2) ? y2 (my1 ? 4) , 须 my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) 而 m ? 综上,定直线方程为 x ? 9.
x

????14 分 ??????????????????1 分

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? 4 x ? 3 , ∵ ∴

f ?(0) ? e0 ? 3 ? ?2 ? 0 , f ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,
f ?(0) ? f ?(1) ? 0 .
x

???????????????????????3 分
x

令 h( x) ? f ?( x) ? e ? 4 x ? 3 ,则 h?( x) ? e ? 4 ? 0 , ∴ ∴ ∴

????????4 分

f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调递增, f ?( x) 在区间 [0,1] 上存在唯一零点, f (x) 在区间 [0,1] 上存在唯一的极小值点.
???????????6 分

取区间 [0,1] 作为起始区间,用二分法逐次计算如下: ①

f ?(0.5) ? 0.6 ? 0 ,而 f ?(0) ? 0 ,∴ 极值点所在区间是 [0, 0.5] ;

② 又 f ?(0.3) ? ?0.5 ? 0 ,∴ 极值点所在区间是 [0.3, 0.5] ; ③ ∵

| 0.5 ? 0.3 |? 0.2 ,∴ 区间 [0.3, 0.5] 内任意一点即为所求.

??9 分

(Ⅱ)由 f ( x) ? ax ,得 ax ? e x ? 2 x 2 ? 3 x , ∵ x ? 1, ∴ a ?

e x ? 2 x 2 ? 3x , x

??????????????10 分

e x ? 2 x 2 ? 3x ( x ? 1)e x ? 2 x 2 ?( x) ? 令 g ( x) ? ,则 g , ???????12 分 x x2
∵ x ? 1 , ∴ g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,
-6-

∴ g min ( x) ? g (1) ? e ? 1 , ∴ a 的取值范围是 a ? e ? 1 . ????????????????14 分

-7-


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