高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列(二)课件 新人教B版必修5_图文

第二章 §2.2 等差数列
2.2.1 等差数列(二)

学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 等差数列通项公式的推广
思考1
已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an=a1+ (n-1)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an?
答案
设等差数列的首项为a1,则am=a1+(m-1)d, 变形得a1=am-(m-1)d, 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d =am+(n-m)d.

思考2
由思考1可得 d=ann--a11,d=ann--mam ,你能联系直线的斜 率解释一下这两个式子的几何意义吗? 答案
等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直 线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直 线 率d上=的ann点--.a11d.当为两直点线为的(斜n,率a,n),故(两m,点a(m1),时a,1)有,d(n=,aannn--)连mam线. 的斜

梳理
等差数列{an}中,若公差为d,则an=am+(n-m)d,当n≠m时, d= an-am .
n-m

知识点二 等差数列的性质
思考
还记得高斯怎么计算1+2+3+…+100的吗?推广到一般的等 差数列,你有什么猜想? 答案
利 用 1 + 100 = 2 + 99 = …. 在 有 穷 等 差 数 列 中 , 与 首 末 两 项 “等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1+an=a2+ an-1=a3+an-2=….

梳理
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+ an = ap+ aq .特别地,若m+n=2p,则an+am=2ap.

知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考
若{an}是公差为d的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗? 若是,公差是多少? 答案
∵(an+1+an+3)-(an+an+2) =(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d. ∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列.

梳理
若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有

数列 {c+an} {c·an} {an+an+k} {pan+qbn}

结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N+) 公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)

题型探究

类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项 公式. 解答
因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1.

灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.

反思与感悟

跟踪训练1 数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an

(n∈N+),若b3=-2,b10=12,则a8等于 答案 解析

A.0

B.3

C.8

D.11

类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个 数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少? 解答
取数列{an}中任意相邻两项an和an-1(n>1),
求差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p.
它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列. 由于an=pn+q=q+p+(n-1)p, 所以首项a1=p+q,公差d=p.

反思与感悟
本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度, 利用构造等差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征, 这种解答方式的转变,同学们要在学习中体会,在体会中升华.

跟踪训练2 某公司经销一种数码产品,第1年获利200 万元,从第2年 起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20 万元,按照 这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起, 该公司经销这一产品将亏损? 解答

类型三 等差数列性质的应用
例3 已知在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的 通项公式. 解答

引申探究 1.在例3中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,则在等差数列{an}中, 若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N+,是否有am+an+ap= aq+ar+as? 解答

2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=__2_0__.
答案 解析
∵a3+a8=10, ∴a3+a3+a8+a8=20. ∵3+3+8+8=5+5+5+7, ∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7, 即3a5+a7=2(a3+a8)=20.

反思与感悟
解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质; 二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项 方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.

跟踪训练3 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33, 求a3+a6+a9的值. 解答

当堂训练

1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 答案

A.3

√B.-6

C.4

D.-3

解析

由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d, -20-10
所以 d= 5 =-6.

123

2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于 答案 解析

A.32

B.-32

√C.35

D.-35

由a8-a4=(8-4)d=4d,得d=3, 所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.

123

3.在等差数列{an}中,已知a4+a5=15,a7=12,则a2等于 答案 解析

√A.3

B.-3

C.32

D.-32

由数列的性质,得a4+a5=a2+a7, 所以a2=15-12=3.

123

规律与方法
1.等差数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列, 构成的新数列仍然是等差数列. 2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差 数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的 关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计 算量.

本课结束


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