2017-2018学年高中数学人教版选修1-1习题:第二章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含答案

第二章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 双曲线 双曲线的简单几何性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.双曲线 2x -y =8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 2 2 ) 解析:双曲线方程可变形为 - =1,所以 a =4,a=2,从而 2a=4. 4 8 答案:C 2.等轴双曲线的一个焦点是 F1(-6,0),则其标准方程为( A. - =1 9 9 C. ) x2 y2 2 x2 y2 y2 18 B. - =1 9 9 D. y2 x2 x2 18 - x2 18 =1 - y2 18 =1 解析:由已知可得 c=6,所以 a=b= 所以 双曲线的标准方程是 - =1. 18 18 答案:D 2 c=3 2, 2 x2 y2 y2 3 .已知双曲线 - 2 = 1(b>0) 的焦点到其渐近线的距离为 1 ,则该双曲线的离心率为 3 b ( ) A. 2 C. 2 3 3 B. 3 D. 2 x2 3 2 2 2 | b +3·b| 解析:由题意及对称性可知焦点( b +3,0)到 bx- 3y=0 的距离为 1,即 b2+3 2 3 =1,所以 b=1,所以 c=2,又 a= 3,所以双曲线的离心率为 . 3 答案:C x2 y2 5 4.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 A.y=± x 4 1 B.y=± x 3 ) 1 C.y=± x 2 D.y=±x 解析:因为双曲线 2- 2=1 的焦点在 x 轴上,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x. x2 y2 a b b a 又离心率为 e= = c a a2+b2 = a 2 5 ?b? 1+? ? = , 2 ?a? b 1 1 所以 = ,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x. a 2 2 答案:C x2 y2 5.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3,则 C 的 a b 焦距等于( A.2 ) B.2 2 C.4 D.4 2 解析:双曲线的一条渐近线方程为 - =0,即 bx-ay=0,焦点(c,0)到该渐近线的距 离为 =4. 答案:C 二、填空题 x y a b bc bc c 2 2 2 = = 3,故 b= 3,结合 =2,c =a +b 得 c=2,则双曲线 C 的焦距为 2c 2 2 c a a +b x2 y2 6.已知双曲线 - =1(0<n<12)的离心率为 3,则 n 的值为________. n 12-n 解析:因为 0<n<12,所以 a =n,b =12-n. 所以 c =a +b =12.所以 e= = 所以 n=4. 答案:4 7.(2016·北京卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点 为( 5,0),则 a=____,b=________. 2 2 2 2 2 c a 12 n = 3. x2 y2 a b x2 y2 b 解析:因为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,即 y=-2x,所以 = a b a 2.① 又双曲线的一个焦点为( 5,0),所以 a +b =5.② 由①②得 a=1,b=2. 答案:1 2 2 2 8.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是________. 4 k 解析:双曲线方程可变为 - =1,则 a =4,b =-k,c =4-k,e= = 4 -k a 因为 e∈(1,2),则 1< 答案:(-12,0) 三、解答题 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)过点(3,- 2),离心率 e= 5 ; 2 4-k <2,解得-12<k<0 2 x2 y2 x2 y2 2 2 2 c 4-k ,又 2 (2)中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点 P(4,- 10). 解:(1)若双曲线的焦点在 x 轴上,设其标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 9 2 因为双曲线过点(3,- 2),则 2- 2=1.① x2 y2 a b a b 又 e= = c a a2+b2 5 2 2 = ,故 a =4b .② 2 a 2 2 1 y 2 2 2 由①②得 a =1,b = ,故所求双曲线的标准方程为 x - =1. 4 1 4 y2 x2 若双曲线的焦点在 y 轴上,设其标准方程为 2- 2= a b 17 2 1(a>0,b>0).同理可得 b =- ,不符合题意. 2 综上可知,所求双曲线的标准方程为 x - =1. 1 4 (2)由 2a=2b 得 a=b,所以 e= 2 2 2 y2 1+ 2= 2, b2 a 所以可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). 因为双曲线过点 P(4,- 10), 所以 16-10=λ ,即 λ =6. 所以 双曲线方程为 x -y =6. 所以 双曲线的标准方程为 - =1. 6 6 10.设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. 2 2 x2 y2 x2 a 2 (1)求实数 a 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,若PA= PB ,求 a 的值. 12 x2 2 2 2 2 2 解:(1)将 y=-x+1 代入双曲线方程 2-y =1(a>0)中得(1-a )x +2a x-2a =0. a ? ?1-a ≠0, 依题意? 4 2 2 ?Δ =4a +8a (1-a )>0, ? 2 所以 0<a< 2且 a≠1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1), → 5→ 5 因为PA= PB,所以(x1,

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