2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质讲义 北师大版必修2_图文

章 立体几何初步
6.2 垂直关系的性质

1.问题导航 (1)过空间一点作已知平面的垂线有几条? (2)两个平面垂直,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平 面一定垂直吗? (3)如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线垂 直于第三个平面吗?

2.例题导读 P40例4.通过本例学习,了解面面垂直的性质定理及其应用. 解答本例时需注意,证明过程是由面面垂直及线线垂直得到 线面垂直,进而推出线线垂直.

1.直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

如果两条直线同 _垂__直__于__一__个__平__面__, 那么这两条直线
平行

符号语言 ________ba__⊥⊥____αα________????a∥b

2.平面与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

如果两个平面互 相垂直,那么在 一个平面内垂直 于它们__交__线____ 的直线垂直于另 一个平面

___α_⊥__β______
?? α∩β=l ? ___a___α______ ?a⊥β ?? ____a_⊥__l _____

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.( √ ) (2)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两 条直线互相垂直.( √ ) (3)平面 α⊥平面 β,平面 β⊥平面 γ,则平面 α⊥平面 γ.( × )

2.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平

面,那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( B )

A.α ⊥β ,且 m α

B.m∥n,且 n⊥β

C.α ⊥β ,且 m∥α

D.m⊥n,且 n∥β

解析:

m∥n n⊥β

????m⊥β
??

,故选

B.

3.已知平面 α,β 和直线 m,l,则下列命题中正确的是( D ) A.若 α⊥β,α ∩β =m,l⊥m,则 l⊥β B.若 α∩β=m,l α ,l⊥m,则 l⊥β C.若 α⊥β,l α ,则 l⊥β D.若 α⊥β,α ∩β =m,l α ,l⊥m,则 l⊥β 解析:选项 A 缺少了条件:l α ;选项 B 缺少了条件:α⊥β; 选项 C 缺少了条件:α∩β=m,l⊥m;选项 D 具备了面面垂 直性质定理的全部条件,故选 D.

4.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则顶点在底面的正 投影是底面三角形的____垂____心. 解析:三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则三条交线两两互 相垂直,易证投影是底面三角形的垂心.

1.线面垂直的其他性质 (1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条 也垂直于这个平面. (2)过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直 线也垂直于另一个平面. (5)如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直,那么这条直 线与此平面平行.

2.对面面垂直的性质定理的两点说明 (1)定理可简记为“面面垂直,则线面垂直”,该定理可以作为 判断线面垂直的判定方法,即只要两个平面垂直,那么在其 中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直. (2)应用面面垂直的性质定理时,要注意以下几点: ①两个平面垂直; ②直线必须在一个平面内; ③直线必须垂直于两个平面的交线.

线面垂直的性质的应用
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别在 A1D、AC 上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC.求证:EF∥BD1.

[证明] 如图,连接 AB1、B1C、BD、B1D1. 因为 DD1⊥平面 ABCD,
AC 平面 ABCD. 所以 DD1⊥AC. 又因为 AC⊥BD. 且 BD∩DD1=D, 所以 AC⊥平面 BDD1B1.
因为 BD1 平面 BDD1B1, 所以 BD1⊥AC. 同理可证 BD1⊥B1C,又 AC∩B1C=C,所以 BD1⊥平面 AB1C. 因为 EF⊥A1D,A1D∥B1C, 所以 EF⊥B1C,又 EF⊥AC 且 AC∩B1C=C, 所以 EF⊥平面 AB1C,所以 EF∥BD1.

在本例中,若AC与BD的交点为O,DD1的中 点为G,证明GO⊥平面ACB1. 证明:在△BDD1 中,O 是 DB 的中点,G 是 DD1 的中点,所 以 GO∥BD1. 又由例题解析可知,BD1⊥平面 ACB1, 所以 GO⊥平面 ACB1.

[方法归纳] 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义:证共面且无公共点; (2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线; (3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行; (4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直; (5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.

1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一 点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC.求证:MN∥AD1.

证明:因为 ADD1A1 为正方形, 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1, 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD=D, 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC, 所以 MN∥AD1.

面面垂直的性质的应用
如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所 在平面互相垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=12BE.求证: EA⊥平面 ABCD.

[证明] 设 AF=EF=a,则 BE=2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. 因为 AF∥BE,所以 AM⊥AF. 又因为 AF⊥EF,所以 AM∥EF, 所以四边形 AMEF 是正方形. 所以 AM=a,EM=MB=a, 所以 AE=AB= 2a,所以 AE2+AB2=EB2,所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AE 平面 ABEF,所以 EA⊥ 平面 ABCD.

[方法归纳] (1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的 性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直 的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件; ②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于这两个平 面的交线. (2)面面垂直性质定理的其他推论 ①两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交 线也垂直于第三个平面; ②两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直; ③如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一 个平面平行或在另一个平面内.

2.(1)如图所示,三棱锥 P-ABC 的底面在平面 α 上,且 AC⊥PC, 平面 PAC⊥平面 PBC,点 P、A、B 是定点,则动点 C 运动形 成的图形是( D ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点

(2)如图所示,S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC, 平面SAB⊥平面SBC.求证:AB⊥BC.

解:(1)因为平面 PAC⊥平面 PBC,AC⊥PC,AC 平面 PAC, 且平面 PAC∩平面 PBC=PC,所以 AC⊥平面 PBC. 又因为 BC 平面 PBC,所以 AC⊥BC, 所以∠ACB=90°, 所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆,除去 A 和 B 两点,故选 D.

(2)证明:作 AE⊥SB,垂足为 E. 因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 所以 AE⊥平面 SBC. 又 BC 平面 SBC,所以 AE⊥BC. 又因为 SA⊥平面 ABC,BC 平面 ABC, 所以 SA⊥BC. 因为 AE∩SA=A,所以 BC⊥平面 SAB, 而 AB 平面 SAB,所以 AB⊥BC.

线线、线面、面面垂直的综合应用
已知:如图,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

[证明] (1)在平面 ABC 内任取一点 D,作 DF⊥AC 于点 F, 作 DG⊥AB 于点 G.因为平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC, 所以 DF⊥平面 PAC.
因为 PA 平面 PAC,所以 DF⊥PA. 同理可证,DG⊥PA. 因为 DG∩DF=D,所以 PA⊥平面 ABC.

(2)连接 BE 并延长交 PC 于点 H. 因为 E 是△PBC 的垂心,所以 PC⊥BH. 又因为 AE 是平面 PBC 的垂线,所以 PC⊥AE. 因为 BH∩AE=E,所以 PC⊥平面 ABE,所以 PC⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AB. 因为 PA∩PC=P,所以 AB⊥平面 PAC. 所以 AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形.

[方法归纳] 垂直关系之间的相互转化

3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD =60°,若 PA=PD,平面 PAD⊥平面 ABCD.
(1)求证:AD⊥PB; (2)若 E 为 BC 的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使得到平 面 DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论.

解:(1)证明:取 AD 的中点 O,连接 PO, BO,BD, 因为 PA=PD,所以 PO⊥AD,因为底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°,所以△ABD 是等边三角形, 又 O 是 AD 的中点. 所以 AD⊥OB,又 OB∩OP=O,所以 AD⊥ 平面 POB, 因为 PB 平面 POB,所以 AD⊥PB.

(2)当 F 是棱 PC 的中点时,平面 DEF⊥平面 ABCD, 连接 OE,OC, 因为在菱形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,O 是 AD 的中点, 所以 DO∥CE,DO=CE, 所以四边形 DOEC 是平行四边形,设 DE∩OC=M, 所以 M 是 OC 的中点,连接 FM, 又因为 F 是棱 PC 的中点,所以 FM∥PO;因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, PO⊥AD,所以 PO⊥平面 ABCD,所以 FM⊥平面 ABCD,
又因为 FM 平面 DEF,所以平面 DEF⊥平面 ABCD.

规范解答

平行与垂直的综合应用

(本题满分 12 分)如图,在△ABC 中, AC=BC= 22AB,四边形 ABED 是边长 为 a 的正方形,平面 ABED⊥平面 ABC, 若 G,F 分别是 EC,BD 的中点. 求证:(1)GF∥平面 ABC; (2)平面 EBC⊥平面 ACD.

[证明] (1)如图,取 BE 的中点 H,连接 HF,GH.因为 G,F 分别是 EC 和 BD 的中点,所以 HG∥BC, HF∥DE. 2 分
又因为四边形 ADEB 为正方形, 所以 DE∥AB,从而 HF∥AB. 所以 HF∥平面 ABC,HG∥平面 ABC. 又 HF∩HG=H,HF,HG 平面 HGF, 所以平面 HGF∥平面 ABC. 所以 GF∥平面 ABC.6 分

(2)因为四边形 ADEB 为正方形,所以 EB⊥AB. 又因为平面 ABED⊥平面 ABC, 所以 BE⊥平面 ABC,所以 BE⊥AC.10 分 又因为 CA2+CB2=AB2,所以 AC⊥BC. 又 BE∩BC=B, 所以 AC⊥平面 BCE.
从而平面 EBC⊥平面 ACD.12 分

[规范与警示] (1)解决本题的 2 个关键点:

处证明线线平行时,找中点,作辅助线得平行关系,是解

题的关键.

处证明垂直时,往往是通过对已知条件得出的结果进行判

断,故立体几何的有关证明可采用作图、计算、证明的混合 模式. (2)解决该类问题一般思路 a.线面垂直与平行的相互转化: 空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行 可以相互转化,每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与 平行开始转化为另一种垂直与平行,最终达到目的的. b.转化关系:

线线垂直判定定理线面垂直 性质定理 线线平行.

定义

判定定理

(3)在解决平行和垂直的综合问题时,一定要把线面垂直、面 面垂直的性质和判定方法掌握准确,应用时所具备的条件要 罗列清楚,明确题目中的关键点,为后面的计算或解答明确 目标.

1.若 a,b 表示两条不同直线,α 表示平面,下列命题中正

确的个数为( B )

①a⊥α ,b∥α ?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α ;③a∥α,a

⊥b?b⊥α ;④a⊥α,b⊥α ?a∥b.

A.1

B.2

C.3

D.0

解析:

2.空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平 面ABC,则△ABC的形状是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

解析:过 A 点作 AE⊥BD,交 BD 于 E,E 为垂足. 因为平面 ABD⊥平面 BCD, 且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 AE⊥平面 BCD.
又 BC 平面 BCD, 所以 BC⊥AE.又 AD⊥平面 ABC,
BC 平面 ABC,所以 BC⊥AD.
又因为 AD∩AE=A,且 AD,AE 平面 ABD, 所以 BC⊥平面 ABD,
又 AB 平面 ABD,所以 BC⊥AB, 所以△ABC 为直角三角形.


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